裂项相消法求和附答案解析

裂项相消法

利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。

（1）若是{a n }等差数列，则

)11.(1111++-=n n n n a a d a a ,)1

1.(2112

2n ++-=n n n a a d a a

（2）1

1

111+-

=+n n n n ）（ （3）

)1

1(1)(1k

n n k k n n +-=+

（4）

)121

121(2112)121+--=+-n n n n ）（（

（5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n

（6）n n n n -+=++11

1

（7）

)(1

1n k n k

k

n n -+=

++ 1.已知数列

的前n 项和为

，

．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n 项和为．

[解析] (1) ……………①

时, ……………②

①②得:

即……………………………………3分

在①中令, 有, 即，……………………………………5分

故对

2.已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8．

（Ⅰ）求公差d的值；

（Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值；

[解析]（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，

∵S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8，

解得d=2．……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由a1=1，d=2，得a n=2n-1，…………………………………………5分

∴=．…………………………………………6分

∴T n=

=

=≥，…………………………………………8分

又∵不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立，

∴≥，…………………………………………10分

化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．

∴m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分3.)已知各项均不相同的等差数列{a n}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;

(Ⅱ)设T n为数列的前n项和,求T2 012的值.

[答案] (Ⅰ)设公差为d,由已知得(3分)

解得d=1或d=0(舍去),∴a1=2. (5分)

故a n=n+1. (6分)

(Ⅱ)==-,(8分)

∴T n=-+-+…+-=-=. (10分)

∴T2 012=. (12分)

4.)已知数列{a n}是等差数列,-=8n+4,设数列{|a n|}的前n项和为S n,数列的前n项和为T n.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)求证:≤T n<1.

[答案] (1)设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n-1)d. (2分)

∵-=8n+4,

∴(a n+1+a n)(a n+1-a n)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.

当n=1时,d(2a1+d)=12;

当n=2时,d(2a1+3d)=20.

解方程组得或(4分)

经检验知,a n=2n或a n=-2n都满足要求.

∴a n=2n或a n=-2n. (6分)

(2)证明:由(1)知:a n=2n或a n=-2n.

∴|a n|=2n.

∴S n=n(n+1). (8分)

∴==-.

∴T n=1-+-+…+-=1-. (10分)

∴≤T n<1. (12分)

5.已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;

(Ⅱ)令b n=(-1)n-1,求数列{b n}的前n项和T n.

[答案] 查看解析

[解析] (Ⅰ)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,

S4=4a1+×2=4a1+12,

由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),

解得a1=1,

所以a n=2n-1.

(Ⅱ)b n=(-1)n-1=(-1)n-1

=(-1)n-1.

当n为偶数时,

T n=-+…+-

=1-

=.

当n为奇数时,

T n=-+…-+++=1+= .

所以T n=

6. 已知点的图象上一点，等比数列

的首项为，且前项和

(Ⅰ) 求数列和的通项公式；

(Ⅱ) 若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？

[解析]解：(Ⅰ) 因为，所以，

所以，，

，

又数列是等比数列，所以，所以，

又公比，所以，

因为，

又，所以，所以，

所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，所以，当时，，

所以. （6分）

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得

，（10分）

由得，满足的最小正整数为72. （12分）

7. 在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列（）.

（Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：.

[解析] （Ⅰ）由条件得，

由此可得.

猜测. （4分）

用数学归纳法证明：

①当时，由上可得结论成立.

②假设当时，结论成立，即，

那么当时，

.

所以当时，结论也成立.

由①②，可知对一切正整数都成立. （7分）

（Ⅱ）因为.

当时，由（Ⅰ）知.

所以

.

综上所述，原不等式成立. (12分）

8.已知数列的前项和是，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，求使成立的最小

的正整数的值．

[解析] （1）当时，，由，……………………1分

当时，

∴是以为首项，为公比的等比数列．……………………4分故…………………6分

（2）由（1）知，

………………8分

，

故使成立的最小的正整数的值. ………………12分

9. 己知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．

（I）求数列{a n}的通项公式；

（II）设T n为数列的前n项和，若T n≤¨对恒成立，求实数的最小值．

[解析] 122. （Ⅰ）设公差为d. 由已知得

……………………………3分

解得，所以………………………………6分（Ⅱ），

………………………………9分

对恒成立，即对恒成立又

∴的最小值为……………………………………………………………12分

10. 已知数列前项和为，首项为，且，，成等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（II）数列满足，求证：，

[解析] （Ⅰ）成等差数列, ∴，

，

当时，,

两式相减得： .

所以数列是首项为，公比为2的等比数列，. （6分）(Ⅱ) ，（8分）

，

. （12分）

11.等差数列{a n}各项均为正整数, a1=3, 前n项和为S n, 等比数列{b n}中, b1=1, 且b2S2=64, {}是公比为64的等比数列.

(Ⅰ) 求a n与b n;

(Ⅱ) 证明:++…+<.

[答案] (Ⅰ) 设{a n}的公差为d, {b n}的公比为q, 则d为正整数,

a n=3+(n-1) d,

b n=q n-1.

依题意有①

由(6+d) q=64知q为正有理数, 又由q=知, d为6的因子1, 2, 3, 6之一, 解①得d=2, q=8.

故a n=3+2(n-1) =2n+1, b n=8n-1.

(Ⅱ) 证明:S n=3+5+…+(2n+1) =n(n+2) ,

所以++…+=+++…+

=

=<.

12. 等比数列{a n}的各项均为正数, 且2a1+3a2=1, =9a2a6.

(Ⅰ) 求数列{a n}的通项公式;

(Ⅱ) 设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n, 求数列的前n项和.

[答案] (Ⅰ) 设数列{a n}的公比为q. 由=9a2a6得=9, 所以q2=.

因为条件可知q>0, 故q=.

由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1, 所以a1=.

故数列{a n}的通项公式为a n=.

(Ⅱ) b n=log3a1+log3a2+…+log3a n

=-(1+2+…+n)

=-,

故=-=-2,

++…+=-2++…+=-.

所以数列的前n项和为-.

13.等差数列{a n}的各项均为正数,a1=3,其前n项和为S n,{b n}为等比数列,b1=1,且b2S2=16,b3S3=60.

(Ⅰ)求a n和b n;

(Ⅱ)求++…+.

[答案] (Ⅰ)设{a n}的公差为d,且d为正数,{b n}的公比为q,

a n=3+(n-1)d,

b n=q n-1,

依题意有b2S2=q·(6+d)=16,

b3S3=q2·(9+3d)=60,(2分)

解得d=2,q=2.(4分)

故a n=3+2(n-1)=2n+1,b n=2n-1.(6分)

(Ⅱ)S n=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),(8分)

所以++…+

=+++…+

=(10分)

=

=-.(12分)

14.设数列{a n}的前n项和S n满足:S n=na n-2n(n-1). 等比数列{b n}的前n项和为T n,公比为a1,且T5=T3+2b5.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)设数列的前n项和为M n,求证:≤M n<.

[答案](1)∵T5=T3+2b5,∴b4+b5=2b5,即(a1-1)b4=0,又b4≠0,∴a1=1.

n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-(n-1)a n-1-4(n-1),

即(n-1)a n-(n-1)a n-1=4(n-1).

∵n-1≥1,∴a n-a n-1=4(n≥2),

∴数列{a n}是以1为首项,4为公差的等差数列,

∴a n=4n-3. (6分)

(2)证明:∵==·,(8分) ∴M n=++…+

=

=<,(10分)

又易知M n单调递增,故M n≥M1=.

综上所述,≤M n<. (12分)