高中数学《球的体积和表面积》问题导学案
高中数学《球的体积和表面积 》导学案
1.3.2 球的体积和表面积课前自主预习知识点 球的体积和表面积1.球的体积如果球的半径为R ，那么它的体积V ＝□143πR 3. 2.球的表面积如果球的半径为R ，那么它的表面积S ＝□24πR 2.1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)决定球的大小的因素是球的半径．( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( )(3)球的体积V 与球的表面积S 的关系为V ＝R 3S .( )答案 (1)√ (2)√ (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)表面积为4π的球的半径是________．(2)直径为2的球的体积是________．(3)(教材改编，P 28，T 3)已知一个球的体积为43π，则此球的表面积为_______．答案 (1)1 (2)4π3 (3)4π3.(教材改编，P 27，例4)若球的过球心的圆面圆周长是c ，则这个球的表面积是( )A.c 24πB.c 22πC.c 2π D ．2πc 2答案 C课堂互动探究探究1 球的体积与表面积例1 (1)已知球的直径为6 cm ，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64π，求它的体积；(3)已知球的体积为5003π，求它的表面积．解 (1)∵直径为6 cm ，∴半径R ＝3 cm.∴表面积S 球＝4πR 2＝36π(cm 2)，体积V 球＝43πR 3＝36π(cm 3)．(2)∵S 球＝4πR 2＝64π，∴R 2＝16，即R ＝4.∴V 球＝43πR 3＝43π×43＝2563π.(3)∵V 球＝43πR 3＝5003π，∴R 3＝125，R ＝5.∴S 球＝4πR 2＝100π.拓展提升求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. 【跟踪训练1】 (1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．(2)已知球的大圆周长为16π cm ，求这个球的表面积．答案 (1)364π3 (2)见解析解析 (1)设大、小两球半径分别为R ，r ，则由题意可得⎩⎨⎧ R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，∴⎩⎨⎧ R ＝4，r ＝3.∴它们的体积和为43πR 3＋43πr 3＝364π3.(2)设球的半径为R cm ，由题意可知2πR ＝16π，解得R ＝8，则S 球＝4πR 2＝256π(cm 2).探究2 球的三视图例2 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.该几何体的体积为V ＝23＋12×43π×13＝8＋2π3.拓展提升(1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．(2)求解表面积和体积时，要避免重叠和交叉.【跟踪训练2】 某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π 答案 C解析 由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，根据体积公式可得组合体的体积为12×43π×33＋13π×32×4＝30π.探究3 球的截面问题例3 一平面截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π解析利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝2，O′M＝1，∴OM＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V＝4＝43π.3π×(3)3答案B拓展提升球的截面的性质(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．(2)利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.【跟踪训练3】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1372π3 cm 3D.2048π3 cm 3答案 A解析 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3).【跟踪训练4】 球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为________．答案 6解析 如图，由已知条件知球的半径R ＝10，截面圆的半径r ＝8，∴球心到截面的距离h ＝R 2－r 2＝6.探究3 球的组合体问题例4 设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析 作出图形的轴截面如图所示，点O 即为该球的球心，线段AB 即为长方体底面的对角线，长度为a 2＋(2a )2＝5a ，线段BC 即为长方体的高，长度为a ，线段AC 即为长方体的体对角线，长度为a 2＋(5a )2＝6a ，则球的半径R ＝AC 2＝62a ，所以球的表面积S ＝4πR 2＝6πa 2.答案 B[条件探究] 将本例中长方体改为棱长为a 的正四面体，则球的表面积如何求？解 如图，过A 作底面BCD 的垂线，垂足为E ，则E 为△BCD 的中心，连接BE .∵棱长为a ，∴BE ＝32a ×23＝33a .∴在Rt △ABE 中，AE ＝a 2－a 23＝63a .设球心为O ，半径为R ，则(AE －R )2＋BE 2＝R 2，∴R ＝64a ，∴S 球＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫64a 2＝32πa 2. 拓展提升1.正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a 2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2.长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．3．正四面体的外接球 正四面体的棱长a 与外接球的半径R 的关系为：2R ＝62a .【跟踪训练5】 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 答案 B解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.【跟踪训练6】 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．答案932或332解析①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球的半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2－⎝⎛⎭⎪⎫r22＝3r2，高为3r2.该圆锥的体积为13×π×⎝⎛⎭⎪⎫3r22×3r2＝38πr3，球的体积为43πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.1.球的有关性质(1)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝R2－r2.(2)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径，被不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆．2.与球有关的组合体与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的轴截面．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合体，通常作出它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”“接点”作出轴截面．课堂达标自测1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6答案 A解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．4πB ．8πC ．12πD ．20π答案 D解析 由该几何体的三视图知，它是由一个球和一个圆柱组成，S 表＝S 球＋S 圆柱＝4π×12＋π×22×2＋2π×2×2＝4π＋8π＋8π＝20π.3.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A.1倍 B ．2倍 C.95倍 D.74倍答案 C解析 设最小球的半径为r ，则另外两个球的半径分别为2r,3r ，其表面积分别为4πr 2,16πr 2,36πr 2，故最大球是其余两个球的表面积之和的36πr 24πr 2＋16πr2＝95倍. 4.一个距离球心为3的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为________．答案 32π3解析 设所得的圆面的半径为r ，球的半径为R ，则由π＝πr2，得r＝1，又r2＋(3)2＝R2，∴R＝2.∴V＝43πR3＝32π3.5.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝13π·(3r)2·3r－4 3πr3＝53πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积是V′＝13π·⎝⎛⎭⎪⎫33h2·h＝19πh3，由V＝V′，得h＝315r.即容器中水的深度为315r.课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1.已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为( )A.24πB.6πC. 324πD. 36π答案 D解析 设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝ 36π.2.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A.8π3 B.32π3 C ．8π D.82π3答案 C 解析 设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1， ∴截面圆的面积为S ＝π(R 2－1)2＝(R 2－1)π＝π，∴R 2＝2，∴球的表面积S ＝4πR 2＝8π.3.一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是( )A.202π B ．252π C ．50π D ．200π答案 C解析 因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球．设此三棱锥的外接球的半径为r ，则有(2r )2＝32＋42＋52＝50，即4r 2＝50，故它的外接球的表面积是S ＝4πr 2＝50π.4.某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可知该几何体的体积为( )A.4π3B.15π3C.4π3－15π3D.4π3＋15π3答案 D解析 由三视图可得，该几何体的上部是一个球，球的直径为2，则V 球＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝4π3，该几何体的下部是一个圆锥，圆锥的底面直径为2，高为15，则V 圆锥＝π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫222×15＝15π3，所以该几何体的体积为V 球＋V 圆锥＝4π3＋15π3.5.一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧棱与底面垂直)的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A.96 3 B ．16 3 C ．24 3 D ．483答案 D解析 设正三棱柱的底面边长为a ，则球的半径R ＝33×12a ＝36a ，正三棱柱的高为33a .又V 球＝43πR 3＝4π3×(3)363a 3＝32π3.∴a ＝4 3.∴V 柱＝34×(43)2×33×43＝48 3.二、填空题6．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.答案 4解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm.7.已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．答案 16π解析 由题意得圆M 的半径r ＝3，又球心到圆M 的距离为R 2，由勾股定理得R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22，R ＝2，则球的表面积为16π.8.已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为1∶2，则该球的表面积为________．答案 36π解析 ∵两正四棱锥有公共底，且体积比为1∶2，∴它们的高之比为1∶2，设高分别为h,2h ，球的半径为R ，则h ＋2h ＝3h ＝2R ，∴R ＝32h ，又∵底面边长为4，∴R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＋(22)2， 解得h ＝2，∴R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π.三、解答题9.如图是一个几何体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算这个几何体的体积与表面积．解 这个几何体的直观图如图所示．因为V 长方体＝10×8×15＝1200(cm 3)，又V 半球＝12×43πR 3＝12×4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π12(cm 3)， 所以所求几何体的体积为V ＝V 长方体＋V 半球＝1200＋125π12(cm 3)．因为S 长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm 2)，S 半球＝12×4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π2， S 半球底＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π4，故所求几何体的表面积 S 表面积＝S 长方体全＋S 半球－S 半球底＝700＋25π4(cm 2).B 级：能力提升练10.在半径为15的球O 内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A－BCD，求此正三棱锥的体积．解①如图甲所示的情形，显然OA＝OB＝OC＝OD＝15.设H 为△BCD的中心，则A，O，H三点在同一条直线上．∵HB＝HC＝HD＝23×32×123＝12，∴OH＝OB2－HB2＝9，∴正三棱锥A－BCD的高h＝9＋15＝24.又S△BCD＝34×(123)2＝1083，∴V三棱锥A－BCD＝13×1083×24＝864 3.②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A－BCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝1083，∴V三棱锥A－BCD＝13×1083×6＝216 3.综上，此正三棱锥的体积为8643或216 3.。
球的体积和表面积
球的体积和表面积
——西宁28中“4.16”教学法导学案
一、创设情景，引入新课：
提出问题：
1.曹冲称象的故事，你是否还记得？
2.你认为用什么样的方法可以快速的的测量出一个鸡蛋的体积?
3.是否可以用这一方法测出地球月球的体积呢？
4.如果不能，我们是否可以推导出一般的方法，来计算所有的球体的体积呢？
二、学导结合：
1．先通过已学知识，运用类比的方法猜想出球的体积
圆锥的体积： 球的体积： 圆柱的体积：
2. 探究球的体积运算公式：
构想：
方法：
结论：
3.运用极限法推导出球的表面积公式。
三、探究深化
径。
化为一个铁球，求其半如果将两铁球经熔铸后别是已知两个铁球的半径分例,4,2.121==R R
例2.如图，已知正方体的棱长为a,它的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积和表面积分别是多少。
四、总结反思
作业：
1.球的体积为12时，内接正三棱锥的体积是多少?
2.球外切三棱锥的各棱长为2，球的表面积是多少？
——————说说你对本堂课的感受。
刘伟老师的信箱：421244717@
C B A。
《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》教案、导学案、课后作业
《8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》教案【教材分析】本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积.【教学目标与核心素养】课程目标1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【教学重点和难点】重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；难点：圆台的体积公式的理解.【教学过程】一、情景导入前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本116-119页，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？3．球的表面积与体积公式各式什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积（二）棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝13 Sh.3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝13(S′＋S′S＋S)h.(三) 球的体积公式与表面积公式1．球的体积公式V＝43πR3 (其中R为球的半径)．2．球的表面积公式S＝4πR2.四、典例分析、举一反三题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.【答案】8π12π.【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形，∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π (cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π (cm2)．解题技巧（求旋转体表面积注意事项）旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．跟踪训练一1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )A．81π B．100πC．168π D．169π【答案】C【解析】选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.题型二圆柱、圆锥、圆台的体积例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m 如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）【答案】423.9kg【解析】一个浮标的表面积是，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料. 解题技巧(求几何体积的常用方法) (1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 跟踪训练二1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．【答案】10π.【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.()2220.150.640.150.8478m ππ⨯⨯+⨯=0.84780.51000423.9(kg)⨯⨯=2. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．【答案】见解析【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝BC－ADcos60°＝2a，AB＝CD sin60°＝3a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝12DD′＝a.由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a ＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·3a＝43πa3，V锥＝13·π·a2·3a＝33πa3.∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝43πa3－33πa3＝1133πa3.题型三 球的表面积与体积例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.【答案】【解析】 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .球的体积，圆柱的体积，.例4 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B．43π C ．46π D．63π 【答案】B【解析】如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1.∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3.∴V ＝43π(3)3＝43π.解题技巧（与球有关问题的注意事项）1．正方体的内切球233143V R π=23222V R R R ππ=⋅=123342::233V V R R ππ∴==球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝√2a2，如图(2)．3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝√a2+b2+c22，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝3a. 5．正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝62a.6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.跟踪训练三1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V 球＝43×π×13＝4π3. 2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 【答案】B.【解析】选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本119页练习，119页习题8.3的剩余题.本节课的重点是掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.须注意的是:①求面积时看清求的是侧面积，还是底面积，还是表面积；②对本节课的难点的理解类比棱台与棱锥、棱锥的联系；③解决实际问题时先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.《8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》导学案【学习目标】知识目标1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．核心素养1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【学习重点】：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；【学习难点】：圆台的体积公式的理解.【学习过程】一、预习导入阅读课本116-119页，填写。
高中数学 1.3.2球的体积与表面积导学案新人教版必修2
1.3.2 球的体积与表面积【学习目标】1、掌握球的体积、表面积公式．2、能会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力． 重、难点：球的体积、表面积公式及应用【课前导学】 阅读必修2课本P27～28的内容后回答下列问题：1、球的体积：半径为R 的球，其体积V =球___________________2、球的表面积：球面不可展开，半径为R 的球，其表面积S =球面________________ 3、球的截面及其性质：（1）用一个平面去截一个球，截面是圆面。
其中，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径，被不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆。
（2）球心与截面圆圆心的连线与截面的位置关系是 。
4、边长为a 正三角形的外接圆的半径为 。
【预习自测】1、将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的 倍。
2、已知某球的体积与表面积的数值相等，则此球的半径数值为_______________。
3、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是2cm ，则球的表面积为 ，体积为 。
【典例探究】例1、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径：求证：(1)球的体积等于圆柱体积的23； (2)球的表面积等于圆柱的侧面积。
例2、设正方体的棱长为a ，球半径为R ：①若球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
如图，截面图为正方形EFGH 的内切圆，则_________=R②若球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，则_________=R③若正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，则_________=R例3、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．【总结与提升】熟练掌握球的体积、表面积公式及其应用。
数学必修2导学案1.3.2球的体积和表面积
研卷知古今；藏书教子孙。
1.3.2球的体积和表面积一、学习目标:知识与技能:⑴通过对球的体积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法，知道祖暅原理。
⑵能运用球的公式灵活解决实际问题。
培养空间想象能力。
过程与方法:通过球的体积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式的方法，情感与价值观:通过学习，使我们对球的表面积、体积公式的推导方法有了一定的了解，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
二、学习重难点:学习重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
学习难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三、使用说明及学法指导:1、限定45分钟完成，认真阅读教材内容，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
3、小班完成A,B,C 全部内容；实验班完成B 级以上；平行班完成A~B.（其中A 、B 级问题自主完成；C 级问题可由合作探究方式完成）四、知识链接:什么是球？球的半径？球的直观图怎样画？球的半径，截面圆的半径，球心与截面圆心的距离间有何关系？五、学习过程:B 问题1：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？（阅读32页了解球的体积的推导即可，球的表面积的推导不要求了解）B 问题2：球的表面积的公式怎样？球的体积怎样？A 例1：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。
求证：（1）球的体积等于圆柱的体积的32；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积；A 例2：已知：钢球直径是5cm,求它的体积.B (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)六、达标训练一、选择题A1一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ） A. 3π B. 4π C. 2π D. πB2．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）A B C DB3正方体的全面积为a ,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.B4已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ）（A）（B（C（D二、填空题A5、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.B6、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为cm3.B7、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。
球的体积与表面积教案设计(参考)
球的体积与表面积教案设计(参考)一、教学目标：1. 知识与技能：理解球的体积和表面积的概念，掌握球的体积和表面积的计算公式，能够运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
2. 过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，探究球的体积和表面积的计算方法，培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神，使学生认识到数学在生活中的重要性。
二、教学内容：1. 球的体积和表面积的概念。
2. 球的体积和表面积的计算公式。
3. 运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：球的体积和表面积的概念，球的体积和表面积的计算公式，运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
2. 教学难点：球的体积和表面积公式的推导，运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
四、教学方法：1. 自主学习：让学生自主探究球的体积和表面积的概念和计算公式。
2. 合作交流：分组讨论，共同探究球的体积和表面积公式的推导，以及运用公式解决实际问题。
3. 实例分析：通过具体实例，让学生学会运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引出球的体积和表面积的概念。
2. 新课导入：介绍球的体积和表面积的计算公式。
3. 实例分析：运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
4. 课堂练习：让学生独立完成球的体积和表面积的计算练习。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调球的体积和表面积的概念和计算方法。
6. 课后作业：布置有关球的体积和表面积的练习题，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂练习：通过课堂练习，评估学生对球的体积和表面积计算公式的理解和运用情况。
2. 课后作业：通过学生完成的课后作业，评估学生对球的体积和表面积计算公式的掌握程度。
3. 小组讨论：通过小组讨论，评估学生的团队合作能力和逻辑思维能力。
七、教学反思：在课后，对教学过程进行反思，思考教学方法是否适合学生，教学内容是否难易适中，以及学生的学习效果如何。
球的体积与表面积导学案
兴隆县第一中学数学必修2 导学案http://121.26.254.71………………………..装……………………订……………………线……………………….球的体积与表面积导学案日期：撰写人：审定人：孙红芳一、学习目标1、了解球体的体积与表面积公式，并能够利用它们解决几何体的度量问题。
2、积极讨论，大胆质疑，探究球的体积与表面积公式的应用。
3、积极主动，用极度的热情投入学习，体验成功。
二、重点、难点1、重、难点：了解球体的体积与表面积公式，并能够利用它们解决集合体的度量问题。
三、知识链接1、柱体、锥体、台体的体积公式和表面积公式分别是什么？2、球也是一个旋转体，它也有表面积和体积，那么它的表面积和体积的求法也是我们这节课所要研究的内容。
四、学法指导1、结合问题导学自学课本27-28页，独立完成例题，并总结规律方法。
2、针对预习自学合作探究疑惑点，课上小组讨论交流。
答疑解惑。
五、学习内容1、半径为R的球的体积公式：_________________________2、半径为R的球的表面积公式：__________________________热身练习：1、若球的表面积变为原来的2倍，则半径变为原来的_______倍.2、若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_______倍.3、若两球的表面积之比为1：2，则体积之比为_______________.4、若两球的体积之比为1：2，则表面积之比为_______________.例题解析：例1（1（2例2、已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为2a，求球O的表面积和体积.变式1、如果球O和正方体的六个面都相切，则有S=________________变式2、如果球O和正方体的十二棱都相切，则有S=________________巩固练习：课本28页练习练习：1．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）.A. B. 2 C. 2 D. 32．设正方体的全面积为224cm，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）.A. 3cm B. 3323cmπ C. 383cmπ D. 343cmπ………………………..装……………………订……………………线……………………….3．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则（ ）.A. 以上四个图形都是正确的B. 只有(2)(4)是正确的C. 只有(4)是错误的D. 只有(1)(2)是正确的4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）.A. 25πB. 50πC. 125πD. 都不对 5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（ ）.A.49 B. 94 C. 427 D. 2746．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是 .7． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则这个球的表面积为 ，体积为 .8．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.六、学习小结：知识方面：____________________________________________解题方法：___________________________________________七、达标检测：1、直三棱柱高为cm 6，底面三角形的边长分别为cm cm cm 543，，，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值______________.2、已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为632、、，则它的体积为（ ） A.32 B.23 C.6 D.43、已知圆台两底面的半径分别为)(,b a b a >，则圆台和截得它的圆锥的体积比为_________4、一个斜棱柱的体积是230cm ，和它等底等高的棱锥的体积为___________、已知圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：，母线长为10，则圆台的侧面积为______________八、学习反思：(3)(4)。
8.3.2(2)球的表面积和体积-导学案【新教材】
8.3.2（2）球的表面积和体积一、知识梳理1.球的表面积：=_____S球。
2.球的体积：=____V球。
3.球内接正方体的体对角线长为球的_______,即3____a 。
二、重要题型知识点一：球的表面积1．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．2πB．3π C．4πD．6π2．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A.316B.916C.38D.932知识点二：球的体积3．把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为() A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm4．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．5．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．6．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．知识点三： 球的切、接问题7．正方体的内切球与外接球的体积之比为( )A ．1∶3B ．1∶ 3C ．1∶3 3D ．1∶2 38.已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为( )A.4π3 B ．43π C.246π3 D.82π39．如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．三、巩固练习1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶272．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S 的值是( ) A ．4π B ．32 C ．24 D ．12π3．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3B ．4πC ．2πD.4π34．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为( ) A ．4∶3 B ．3∶1 C ．3∶2D ．9∶45．一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧棱与底面垂直)的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为483，则球的表面积为________．6．已知球面上的四点P 、A 、B 、C ，PA 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．7.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm. 8．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？9．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．8.3.2（2）球的表面积和体积 答案一、知识梳理1. 24R π.2.343R π. 3.直径，2R 。
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1.3.2《球的体积和表面积》问题导读——评价单
【学习目标】
1．知识与技能：了解球的体积与表面积公式，会用求的体积和表面积公式来解决实际生活中的问题
2．过程与方法：以球的体积和表面积公式为载体，增强学生的直观感知，加深类比思想、转化思想、整体思想的认识;在公式的利用中，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3．情态与价值：通过利用球的体积与表面积公式解决实际问题，增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野，培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，增强辩证唯物主义观点。
【学习重点】球的体积和表面积公式的形式及应用。
【学习难点】应用球的体积和表面积公式来解决实际问题。
．
【预习评价】
（一）（自主预习思考，学生上课前填好空）
1、球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？
设球的半径为R，则球的体积V=，表面积S=。
（注：这两个公式以后可以证明）
2、如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半径变为原来的__________倍，体积变为原来的________倍．
（二）（相互交流大胆质疑）
3、如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
2；
（1）球的体积等于圆柱体积的
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.。