相关激励作用下随机结构振动响应的统计分析
随机振动的响应分析
第一页，共54页。
第七章 随机振动的响应分析
§7-1 单输入单输出的线性系统 §7-2 多输入多输出的线性系统
第二页，共54页。
本章讨论机械或结构系统在随机激励作用下，激 励—系统—响应三者之间的关系。
系统有线性与非线性之分。大量工程问题，线性模 型可得到逼真的结果。本课程只讨论线性系统问题。
通过该式可完整地确定系统的频率特性H(ω)。
第二十一页，共54页。
由于H(ω)是复数，它可表示为:
H () A() jB()
则互谱密度可以表示为:
SXY () [ A() jB()]SX ()
由于SX(ω)是实偶函数，则互谱密度函数可表示为：
SXY () H () SX ()
XY
()
arctg
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t)
Output (response) 输出（响应）
本章研究输入、输出和系统动态特性三者之间的关系， 以及计算响应（输出）的统计特征的方法
第六页，共54页。
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
输出过程Y(t)的自相关函数定义为:
E[Y (t)Y (t )]
第十一页，共54页。
则响应的自相关函数可表示为:
RY ( ) E[Y (t)Y (t )]= h(1)h(2 )RX ( 2 1)]d1d2
上式为输出的自相关函数之间的关系式。
该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机过程，
E[Y
2
]
RY
(0)
1 2π
SY ()d
随机振动分析
程序支持多个PSD基础激励，但是不考虑其关联性，也就 是程序不支持计算不同PSD激励的关联性。
3.随机振动分析步骤
（4）计算结果 程序支持三个方向的位移，速度和加速度； 因为每个方向的计算结果是统计结果，因此不 能使用一般的方法进行合并。
如果需要输出应力和应变，可用的应力结果只有名义应变和应力， 剪切应变和应力，等效应力。
4.工程实例:电路板的随机振动计算
1.随机振动分析简介
什么是随机振动分析
– 基于概率的谱分析. – 典型应用如火箭发射时结构承受的载荷谱，每次发射的谱不同，但统 计规律相同.
1.随机振动分析简介
• 和确定性谱分析不同，随机振动不能用瞬态动力学分析代 替. • 应用基于概率的功率谱密度分析，分析载荷作用过程中的 统计规律
什么是PSD?
3.随机振动分析步骤
（2）分析设置
Analysis Settings > Output Controls （1）默认情况下，位移，速度和加速度响应是输出的； （2）为了不输出速度或加速度响应，可以将输出选项设置 为No。
3.随机振动分析步骤
（3）载荷和支撑条件
1）支撑条件必须在模态分析中进行设置； 2）PSD分析中只支持PSD基础激励，包括 -PSD加速度 -PSD G加速度 -PSD速度 -PSD位移
• PSD是激励和响应的方差随频率的变化。 – PSD曲线围成的面积是响应的方差. – PSD的单位是 方差/Hz (如加速度功率谱的单位是 G2/Hz). – PSD可以是位移、速度、加速度、力或压力.
2.随机振动分析理论
（1）随机振动激励分布规律 因为随机振动激励被假设为服从高斯正态分布，因此没有计算发生 概率为100%的结构响应。 在实际工程中，分布式激励更加普遍； 此外，高sigma激励发生的概率很低；
随机震动对振动系统的响应分析
随机震动对振动系统的响应分析振动系统是指任何物体受到外力作用，产生一定的运动时，都会发生振动。
振动系统广泛应用于工程领域，例如桥梁、高楼大厦、机车、飞机等，都是振动系统。
在振动系统中，随机震动是一种很常见的现象，它对振动系统的影响非常大。
因此，对随机震动对振动系统的响应进行分析研究非常重要。
本文旨在探讨随机震动对振动系统的响应分析。
振动系统的特点振动系统是由质量、弹性和阻力等构成的一种物理系统。
在运动学和动力学上，振动系统具有以下几个特点：1. 周期性：振动系统的运动状态是周期性的，它重复的运动状态叫做一个周期。
周期是时间的固定间隔，每个周期的时间是相等的。
2. 稳定性：振动系统通常是稳定的，即使系统中受到干扰力，经过一段时间后，系统的振动状态还会恢复到原来的状态。
3. 非线性：振动系统通常具有非线性特点，即系统的响应与外界干扰力的大小不成比例。
4. 周期性和幅值：振动系统的周期和幅值决定了系统的动态响应特性，周期比较短的振动系统通常响应也比较迅速。
随机震动介绍随机震动是指由多个随机振动的幅值，频率和相位组成的振动信号。
这种振动通常是由自然界中的地震、风、海浪等引起的。
与其他振动信号不同，随机振动具有以下特点：1. 运动方向和幅值都发生变化：随机震动的运动方向和振幅通常都会随时间而变化，这是和周期振动信号不一样的地方。
2. 频率范围较宽：随机震动的频率范围很宽，它是由多种频率的振动信号组成的，而这些振动信号的频率范围可能相互重叠。
3. 并非确定性信号：随机震动信号并非确定性信号，它是由多种随机振动信号组成的。
因此，它的各种特性这方面难以准确预测。
随机震动对振动系统的响应通常会产生一系列的异常情况，例如提高系统的振动幅值、降低系统稳定性、引起共振等。
因此，分析随机震动对振动系统的影响非常重要。
为了分析随机震动对振动系统的影响，通常采用频谱分析方法。
频谱分析是指通过将随机振动信号的时域波形转换成频域或相干域表示，来分析振动信号的特性。
相关激励作用下随机结构振动响应的统计分析
（ 京 航 空 航 天 大 学 能 源 与 动 力 学 院 ，江苏 南 京 ２０ １） 南 １ ０ ６ 摘 要 ： 用 随机 过 程理 论 ， 应 以能 量 为 变 量 ， 析 了随 机 结 构 振 动 响应 的统 计 特 性 。 构 受 相关 激 励 作 用 时 ， 过 输 入 分 结 通 激 励 的解 相 关 方 法 ， 作 用 在 结 构 上 的相 关 激 励 转 变 为 各 个 不 相 关 激 励 的 作 用 ； 析 结 构 的振 动 响 应 的统 计 特 性 将 分 时 ， 及 响 应 特 征 频 率 的相 关 性 ， 响应 特 征 频 率 满 足 高 斯 正 交 总 体 的假 设 下 ， 导 出 了 随机 结 构 振 动 响 应 分 析 的 计 在 推 统 计分 析 表 达 式 。应 用设 计 的实 验 件 和 试 验 验 证 了所 提 出 的 统 计 分 析 的正 确 性 ， 过 和 已存 在 的 统 计 分 析 结 果 的 通
率 间 的相关 性 。 由于随 机结构 的输 入是 不相 关的“ 虚 拟” 励 ， 以可 以避免 在分 析响 应特 征频率 时带来 激 所 的麻 烦 。由此来 推导 随机结 构受 相关激 励 时的统计 分析 表达式 ， 通过 一块 随机质 量 板 的试 验表 明 ， 文 本 给 出的相关 激励下 的统 计分 析结 果能够 更好 地逼 近 试验值 ， 能够定 性 和 定 量地 给 出随机 结 构 的振 动 响
高频） ， 时 结构 的模 态 被 大 量 的激 起 ， 时要 准确 地 此
计算 其振 动 响应 变 得非 常 困难 ｕ 。 决 中、 ］解 高频 振动 的有效 方法是 Ｌ ｏ ｙ ｎ等人提 出的统计 能 量分析 （ ｔ— Ｓａ
分析含有静载荷作用下的结构的随机振动响应
分析含有静载荷作用下的结构的随机振动响应在常规的随机振动分析中，其计算过程是对频率响应结果作进一步的处理得到随机振动的分析结果，因此，频率响应的结果内容基本就决定了随机振动分析的结果内容。
对于考虑有恒定静载荷(预应力)作用下的随机振动分析，主要是要在随机振动分析中考虑以下2方面的内容：• 静载荷引起的微分刚度。
• 静载荷作用对随机振动响应的贡献量。
本文将说明具体分析方法。
1. 计算方法考虑静载荷引起的微分刚度的影响，可做预应力频率响应，在工况控制段添加STATSUB 卡片即可。
考虑静载荷作用对随机振动响应的贡献量，其实现方法可在频率响应结果中增加静态载荷结果。
默认情况下，Nastran的频率响应结果不包含静态载荷结果，要使其包含静态结果须做如下设置：• 增加静态载荷，定义其只在0Hz处起作用，其它频率处为零。
• 在求解控制段增加控制参数：include 'SSSALTERDIR:fsuma.alt’• 对模态法频率响应SOL 111，需设置: PARAM,DDRMM,-1随机振动分析的过程实际上是通过频率响应函数对输入功率谱密度进行放大或缩小．根据前面的方法，为了避免在计算中对静态载荷结果分量进行缩放，需要对频率响应的激励进行修正(普通情况下都是单位激励)．改变的方法是把单位激励扩大到对应频率处的相应输入功率谱自谱密度的平方根。
同时，在后续的随机振动分析中输入功率谱自谱密度都设为单位值1．对于互功率谱密度，也需要做相应修改．通常互功率谱密度是以复数的形式给出的，修改的方法是把互功率谱密度的实部和虚部都除以相应两自谱平方根的积。
2. 计算过程示例矩形薄板，左端固定，右端拉力是静载，板面上作用随机变化的压力，右下角顶点作用随机力。
模型如下：激励载荷自功率谱:激励载荷互功率谱密度：频率响应激励修正：频响激励取相应载荷自谱密度平方根随机振动输入功率谱：经过上述修正，随机振动分析时压力谱和力谱的输入功率谱都是单位值1。
结构随机振动响应特性分析与控制方法研究
结构随机振动响应特性分析与控制方法研究随着城市化进程的加速和人们对建筑物安全性的要求不断提高，结构随机振动的研究和控制变得越来越重要。
本文将探讨结构随机振动的响应特性分析以及控制方法的研究。
第一部分：结构随机振动的响应特性分析结构随机振动是指由于外部激励或内部不均匀性引起的结构的随机振动。
为了深入了解结构随机振动的特性，需要进行响应分析。
响应分析是通过数学建模和计算方法，研究结构在随机激励下的振动响应。
在结构随机振动的响应特性分析中，常用的方法有频域分析和时域分析。
频域分析是通过将结构的振动响应信号转换为频谱，分析不同频率下的振动特性。
时域分析则是直接观察结构在时间上的振动响应，了解结构的动态行为。
此外，还有一种重要的方法是模态分析。
模态分析是通过计算结构的模态参数，如固有频率、阻尼比和模态形态等，来研究结构的振动特性。
模态分析可以帮助我们了解结构的主要振动模式和频率范围，为后续的振动控制提供依据。
第二部分：结构随机振动的控制方法研究结构随机振动的控制方法研究是为了减小结构的振动响应，提高结构的稳定性和安全性。
常用的结构振动控制方法包括被动控制、主动控制和半主动控制。
被动控制是指通过在结构上安装吸振器、阻尼器等被动装置，来吸收和分散结构的振动能量。
被动控制方法简单、成本较低，但需要根据结构的特性进行设计和安装。
主动控制是指通过在结构上安装传感器和执行器，实时监测和调整结构的振动响应。
主动控制方法可以根据实时的振动信号进行反馈控制，实现有效的振动抑制。
然而，主动控制方法的实施较为复杂，需要高度的技术支持和成本投入。
半主动控制是被动控制和主动控制的结合，通过在结构上安装可调节的装置，实现对结构振动的控制。
半主动控制方法综合了被动控制和主动控制的优点，具有较高的控制效果和较低的成本。
结构随机振动的控制方法研究还涉及到多学科的交叉，如结构动力学、控制理论、材料科学等。
通过不断的研究和探索，我们可以提高结构的抗震性能，保障人们的生命财产安全。
第七章 随机振动的响应分析课件
学习交流PPT
11
则响应的自相关函数可表示为:
R Y () E [ Y ( t ) Y ( t ) ] = h ( 1 ) h ( 2 ) R X ( 2 1 ) ] d 1 d 2
上式为输出的自相关函数之间的关系式。
该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机
H(0) y(t) x(t)
直流分量
学习交流PPT
9
E [Y(t)]Y= Xg H (0)
上式表明，当输入是平稳过程时，输出的均值与 输入的均值只差一个乘子H(0)。 若输入的均值为零，则输出的均值也一定为零。 此结论可以推广到多输入与多输出的情形。
学习交流PPT
10
二、响应的自相关函数
输出过程Y(t)的自相关函数定义为:
随机激励分两类：参数激励与非参数激励 参数激励：系统本身的某些参数(如质量、刚度、 阻尼等)随时间随机地变化而引起振动。 非参数激励即由外界施加的激励。 非参数激励又分为平稳的和非平稳的两类。
本章研究常参数线性系统对平稳随机激励的
响应
学习交流PPT
3
当系统的激励(输入)是平稳过程时，由于常参数的 假设，系统的响应(输出)也一定是平稳的。
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t)
Output (response) 输出（响应）
本章研究输入、输出和系统动态特性三者之间的 关系，以及计算响应（输出）的统计特征的方法
学习交流PPT
6
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
E[Y(t)]x
h()d
多点激励下结构随机地震反应分析的反应谱方法_李杰
z(t)= qT X(t)= qT[ Xs(t)+Xd(t)]
(7)
其中 , q 为反应转换向量 , 是结构的几何和物理特性的函数 。将式(3)的 Xs 以及由振型反应表示的 Xd 代入
上式 , 则
m
mn
∑ ∑ ∑ z(t)= akuk(t)+
bkiSk i(t)
k =1
k =1 i =1
(8)
其中 , ak 和 bki 分别表示有效影响因子和有效振型参与系数 。
m 维位移列向量 ;M 、C 和 K 分别为结构约束自由度的 n ×n 维质量 、阻尼和刚度矩阵 ;Mg 、Cg 和 K g 分别为
支点约束自由度的 m ×m 维质量 、阻尼和刚度矩阵 ;Mc 、Cc 和K c 分别表示上述 2 组自由度之间的 n ×m 维
耦合质量 、阻尼和刚度矩阵 ;F 为支点约束自由度处的 m 维反力列向量 。
m
其中 ,
k
表示支承点约束自由度数 ;i 表示结构振型数 ;εki 为振型参与系数 。 若引入
yi(t
)=∑ k =1
εkiS
ki
(t
), 则
S ki(t)满 足
S¨ki
· +2ζi ωiS ki
+ ω2iS ki
= ¨u (t)
(6)
对于任意一个反应量 z(t)(比如结点位移或杆端内力等), 均可表示为
根据随机振动分析理论 , 由式(8)可得到 z(t )的功率谱密度函数 Szz(ω)为[ 1]
mm
mmn
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Szz(ω)= k =1
l =1
akalSukul(i ω)+2 k =1
l =1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相关激励作用下随机结构振动响应的统计分析廖庆斌,李舜酩,辛江慧,郑娟丽(南京航空航天大学能源与动力学院,江苏南京210016)摘要:应用随机过程理论,以能量为变量,分析了随机结构振动响应的统计特性。
结构受相关激励作用时,通过输入激励的解相关方法,将作用在结构上的相关激励转变为各个不相关激励的作用;分析结构的振动响应的统计特性时,计及响应特征频率的相关性,在响应特征频率满足高斯正交总体的假设下,推导出了随机结构振动响应分析的统计分析表达式。
应用设计的实验件和试验验证了所提出的统计分析的正确性,通过和已存在的统计分析结果的比较,表明了统计分析具有更高的分析精度,能够定性和定量的给出随机结构振动响应的统计变化情况。
关键词:随机结构;相关激励;统计分析;本征正交分解;统计能量分析中图分类号:T B53;O324 文献标识码:A 文章编号:1004-4523(2008)05-0429-07引 言结构的动力响应特性与激励频率有很大的关系,在激励频率较低时,结构只有很少的前几阶模态被激起,这样应用有限元或者边界元方法即可以精确地得到系统动态响应,当激励频率较高(中频或者高频)时,结构的模态被大量的激起,此时要准确地计算其振动响应变得非常困难[1]。
解决中、高频振动的有效方法是Lyon等人提出的统计能量分析(Statistical Energy Analysis:SEA)方法[2],他将随机动力系统划分为数量不多的动力子结构,然后求解各个子系统的振动能量,进而得到动力系统的振动响应。
在分析系统的中、高频振动响应时,SEA方法包含有振动能量的平均分布、系统响应的频带平均以及系统响应的随机总体平均等假设[1,3],因此, SEA方法仅仅是结构动力响应的估计。
Kompella 和Bernhar d等人通过实验发现[4],由同一条生产线生产出来的98辆型号相同的汽车,对其进行响应分析(振动和噪声水平分析)时,车辆的动态响应敏感的依赖于制造细节的变化。
从该实验可以看出,对动力系统的中、高频激励得到的频响进行统计分析是十分必要的[5],一方面它能给出同一批产品的响应变化动态范围,这有利于对各批次的产品进行评价;另一方面,它为利用SEA分析方法来确定产品的前期设计提供依据,使得设计中对各个部分的改动而最后得到的动态系统响应在规定的范围之内。
已经建立的随机结构响应统计分析,均是在随机系统受单点激励或者随机不相关的激励(rain on the roo f ex citation)作用下的情况,没有考虑系统受相关激励时的响应统计情况[6～8]。
而在实际工程的应用中,往往各个激励具有一定程度的相关性,本文针对这种情况,提出随机结构受相关激励作用时,结构振动响应的统计分析方法。
首先对输入激励的解进行相关分析,使得输入的激励对应于不相关的各个“虚拟”激励。
分析结构的响应时,在特征频率满足高斯正交总体(Gaussian or thog onal ensemble: GOE)的假设下,应用随机过程理论来分析特征频率间的相关性。
由于随机结构的输入是不相关的“虚拟”激励,所以可以避免在分析响应特征频率时带来的麻烦。
由此来推导随机结构受相关激励时的统计分析表达式,通过一块随机质量板的试验表明,本文给出的相关激励下的统计分析结果能够更好地逼近试验值,能够定性和定量地给出随机结构的振动响应相对偏差的变化情况。
1 结构动力学响应分析的基本方法对于比例阻尼的线性系统,在外部稳态激励作用下,离散化系统的n自由度的动力学方程可以写为mu¨(t)+cu (t)+ku(t)=F(t)(1)式中 u(t),u・(t),u¨(t)分别为结构的位移、速度和 第21卷第5期2008年10月振 动 工 程 学 报Journal of Vibration Eng ineeringV ol.21N o.5O ct.2008收稿日期:2008-01-10;修订日期:2008-05-08基金项目:国家自然科学基金资助项目(50675099)和江苏省自然科学基金资助项目(BK2007197)加速度响应列阵;m ,c 和k 分别为系统n ×n 的质量、阻尼和刚度矩阵;F (t )为外载荷列阵。
对等式(1)进行解耦,设其位移响应为u (t )= q (t )(2)式中 为模态振型向量,q (t )为广义坐标向量。
这样,应用模态正交性并将质量阵归一化,得到Tm =I (3) T k = 2(4) T c =(5)式中 为激励频率矩阵, 为损耗因子。
将式(2)～(5)带入式(1)中,则得到响应中某点x 的振动幅值可以表达为u (x )=∑nr =1∑ms =1f (x s ) r (x s ) r (x )2r - 2+i r(6)式中 f (x s )为第s 个外部作用力, r 为系统的第r阶模态频率,i 为虚数单位。
假定结构的密度为常数,且在频带中心处,振动能量是动能的两倍。
根据上面的分析,应用模态振型的正交性,可以得到响应的动能密度函数为T ( )=C∑nr =12a r( 2r - 2)2+( r )2(7)式中 C 为与结构自身的物理参数有关的常数,由于它不影响后文所要求取的统计分析结果(相对偏差),故而本文将该常数取为1,并且在上式中a r =∑ms =1f (x s )!2r (x s )2(8)根据文献[6,9]的分析,可以将式(7)简化为T ( )=∑nr =1a rg (r- )(9)在式(9)中g ( r - )=14( r - )2+( )2(10) 从式(6)可以看出,由于系统的传递函数与系统的激励频率相关,所以,在中、高频的状态下,要想精确地确定系统的响应状况是非常困难的,故结构在中、高频状态下的振动响应分析的统计分析就成为衡量分析准确性的一个很重要的标准。
为了能够应用SEA 方法分析中、高频下系统响应,就需要分析在该状态下的能量统计响应情况,这也是将式(6)进一步转化为式(9)的原因所在。
2 输入相关激励的解相关分析本征正交分解(properorthog onaldeco mposition:POD)是LeGresley 和Alo nso 等人提出的一种在保证计算精度的前提下,降低计算流体力学(Com putational Fluid Dynamics:CFD)计算成本的模态方法,因而其在CFD 中得到了广泛的应用[9,10]。
其分析的本质就是把一组相关的函数用一组不相关的基函数来表示,从几何上理解是完成了一次坐标系的旋转。
第一模态沿着特征空间拥有最大方差的方向,第二模态沿着次大方差的方向,依此类推。
因而对一个具体的问题而言,只需要少数的前几阶模态,就能表达原函数(或称信号)中的全部信息[11]。
本文拟通过探寻多相关激励的解相关方法,使得输入的相关激励可以应用一组正交的基函数(亦称模态基)来表示,利用这些基函数的线性组合来构造任意的输入情况,这样,在计算相关激励对结构的作用时,只需少量基函数的线性组合来表示,极大地减少计算量和计算的复杂性。
对于一个给定的场向量u (x ),类似于Fourier 变换,将其分解为[12]u (x )=∑Mi =1g i i(x )(11)式中 i (i =1,…M )为分解得到的M 个模态基函数,g i 为分解系数。
在求得模态基函数 i (x )和分解系数g i 后,由等式(11)可知,这就将相关输入的场向量分解为了各个独立的模态基函数,在后继的计算中,只需当作是各个独立的激励作用在结构上即可,简化了在结构响应中的计算和分析的复杂程度。
根据上面的分析,作用在结构上的多相关载荷,应用POD 方法可以将其表示为各个独立的激励形式。
理论和试验已经证明,POD 最大的优势在于它对稳态场和非稳态场分解的有效性,因此,对相关激励输入的问题,是可以尝试应用POD 方法来求解的。
3 结构的响应统计分析按照上节的分析知,分析结构受相关的外激励作用下的响应问题时,只要求得相关激励的自功率谱密度函数,然后按照互不相关的“虚拟”外激励来处理,就可以解决结构受相关激励作用时的响应问题。
下面给出结构受不相关随机激励作用时的响应统计分析。
设动态结构的模态密度为∀,且受稳态激励,这样由Campbell 理论可以得到动能响应密度函数的均值为[13]430振 动 工 程 学 报第21卷 m T=E[T]=2E[a r]∫∞0∀g( r- )d r=#∀2E[a r](12) 相应地,为了求得不确定结构动能响应密度函数的相对偏差,根据结构动力学中的概率理论,将结构响应的特征频率看作是频率轴上的随机过程,并考虑到响应特征频率的相关性,这样式(9)进一步表达为T( )=∫∞-∞g( ′- )∃( ′)d ′(13)其中∃(%)=∑nj=1a r p(%,%j)(14)式中 p(%,%j)为描述冲击型函数(shape o f plus)的确定性函数,%j为随机时间点[13],这样,可以求得式(13)的概率密度函数为S T(&)= F(&) 2S∃(&)(15)式中 S∃(&)为函数∃(%)的谱密度函数,F(&)为函数g( ′- )的Fourier变换,即F(&)=∫∞-∞g( ′- )ex p(-i& ′)d ′(16) 在式(9)中,由于a r是相互独立的随机外载荷参数,根据结构响应特征频率的一般特性,由式(14),按照文献[13]中的结论,可以得到S∃(&)=(2#)2E[a2r]g12#+E[a r]2G2(&) P(&) 2+ E[a r]g1∫∞-∞p(u)d u2∋(&)(17)式中P(&)=12#∫∞-∞p(u)ex p(-i&u)d u(18)G2(&)=12#∫∞-∞g2(()exp(-i&()d((19)g1在此为结构体的模态密度,即g1=∀,g2为描述两个响应特征频率相关性的函数。
根据上面的分析,可以得到不确定结构动能响应密度函数的均方值为E[T2]=2∫∞0S T(&)d&=2∫∞0 F(&) 2S∃(&)d&(20) 由于结构动能响应密度的方差)2T与其均方值有关系)2T=E[T2]-E[T]2(21)存在,这样相对偏差r2T(称r T相对标准偏差)为r 222)3.1 动能响应密度函数相对偏差的求解从式(22)可以看出,为了求得不确定结构振动响应密度函数的相对偏差,关键在于对式(16)和(17)的求解,下面来对这两式求解。
为求解式(16),将式(10)带入其中,可以得到[6]F(&)=#2 ex p-&2-i& (23) 根据前文的分析可知,响应特征频率服从GOE统计,这样,由随机矩阵中两点相关函数(tw o-pointcorrelation function)与二水平簇函数的关系,可以将其表述为Y2(x1,x2)=-g2(x1,x2)+g1(x1)g1(x2)(24)式中 x1和x2表示频率轴上的两个随机变量。