2019年数学二轮复习 第3讲 不等式专题突破练 理

经典教育资料 精品（一） 第3讲 不等式

1.(1)[2017·山东卷] 若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 . (2)[2018·天津卷] 已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为 . [试做]

命题角度 利用基本不等式求最值 关键一:确定定值式(已知中是和为定值还是积为定值); 关键二:将待求式变形,利用基本不等式转换成定值式.

2.(1)[2018·全国卷Ⅱ] 若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为 .

(2)[2017·全国卷Ⅰ] 设x,y满足约束条件则z=3x-2y的最小值为 . [试做]

命题角度 求线性目标函数的最值 关键一:直线定界,特殊点定域;

关键二:在目标函数z=ax+by中,若b>0,则截距取最大值时,z取最大值,若b<0,则截距取最大值时,z取最小值; 关键三:注意可行域是否包含边界,线性目标函数的最值一般在区域的顶点或边界处取得. 3.[2016·全国卷Ⅰ] 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元. [试做] 经典教育资料 精品（一） 命题角度 线性规划实际应用问题 关键一:将实际问题转化为数学模型; 关键二:设出未知量,写出约束条件和目标函数; 关键三:求出最优解和其他要求的解. 注意:实际问题中所设未知量的实际取值范围.

小题1不等式的性质及解法 1 (1)已知a

A.> B.< C.2a>2b D.a3>b3 (2)已知当-1≤a≤1时,x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则实数x的取值范围是 . [听课笔记]

【考场点拨】 求解含参不等式ax2+bx+c<0恒成立问题的易失分点:(1)对参数进行讨论时分类不完整;(2)不会转换成把参数作为主元进行求解;(3)不考虑a的符号;(4)求解不等式ax2+bx+c<0时,不会与对应的二次函数及二次方程结合起来. 【自我检测】 1.已知a,b为实数,则“ab>b2”是“a>b>0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知<<0,则下列选项中错误的是 ( ) A.|b|>|a| B.ac>bc

C.>0 D.ln>0 3.若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-2,2] D.(-∞,2]

4.已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)+f(-x),则不等式g(x)≤2的解集为 . 小题2基本不等式及其应用

2 (1)已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为 ( ) A.9 B.12 经典教育资料 精品（一） C.18 D.24 (2)已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当取得最小值时,a+b-c的最大值为 ( ) A.2 B. C. D. [听课笔记]

【考场点拨】 利用基本不等式求最值的关键: (1)基本不等式a+b≥2成立的条件是a>0,b>0,而不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,因此在使用时要注意其前提条件; (2)对多次使用基本不等式时,需考虑等号是不是能同时成立;

(3)对于含有x+(a>0)的不等式,不能简单地利用x+≥2,而是要根据x的取值范围判断能否取到最小值2,若不能,需要利用函数的单调性求其最小值. 【自我检测】

1.若lg a+lg b=0,则+的取值范围为 ( ) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.[2,3)∪(3,+∞) D.(2,3)∪(3,+∞) 2.已知实数a,b,c满足a2+b2+c2=1,则ab+c的最小值为( )

A.-2 B.- C. -1 D.- 3.已知xy=2x+y+2(x>1),则x+y的最小值为 . 小题3线性规划问题

3 (1)已知实数x,y满足若z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n= .

(2)已知实数x,y满足约束条件若z=ax+y的最小值为-8,则实数a= . [听课笔记] 经典教育资料 精品（一） 【考场点拨】 含参数的线性规划问题,参数位置一般有两种形式:一是目标函数中含有参数,这时可以准确作出可行域,这类问题一般特征是其最优解是可知的,因此解题时可充分利用目标函数的斜率特征加以转化;二是约束条件中含参,可行域的边界线一般有一条是动态的,所以要充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理,有时还得进行分类讨论. 【自我检测】

1.若实数x,y满足则z=-2x+y的最小值为( ) A. B.2 C.-2 D.1

2.点P(x,y)为不等式组所表示的平面区域内的动点,则的最大值为 ( ) A.1 B.2

C.3 D.-

3.已知实数x,y满足若z=x2+y2,则z的最小值为 ( ) A.1 B. C. D. 经典教育资料

精品（一） 第3讲 不等式 典型真题研析

1.(1)8 (2) [解析] (1)由条件可得+=1,所以2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,

当且仅当=,即b=2a时取等号知得a-3b=-6,由基本不等式得2a+≥2==(当且仅当a=-3b=-3时取等号). 2.(1)9 (2)-5 [解析] (1)不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.当直线y=-x+z经过点A(5,4)时,直线的纵截距z最大,所以zmax=5+4=9.

(2)已知不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=3x-2y,得y=x-,当z最小时,-最大,故在点A处目标函数取得最小值.由解得所以zmin=-3-2=-5.

3.216 000 [解析] 设生产产品A、产品B分别为x件、y件,利润之和为z元,则 即目标函数为z=2100x+900y. 作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域. 由图可知当直线z=2100x+900y经过点M时,z取得最大值.

解方程组得M的坐标为(60,100), 所以当x=60,y=100时,zmax=2100×60+900×100=216 000. 经典教育资料

精品（一） 考点考法探究 小题1

例1(1)A (2)(-∞,1)∪(3,+∞) [解析] (1)将a将a-b>0,所以>,所以B错;由指数函数y=2x为增函数,可知2a<2b,所以C错;由不等式性质可知,若a(2)令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4, 当-1≤a≤1时,g(a)>0恒成立,

∴即

解得x>3或x<1, ∴实数x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞). 【自我检测】 1.B [解析] 由a>b>0,得ab>b2成立;反之,如a=-2,b=-1,则a>b>0不成立.所以“ab>b2”是“a>b>0”的必要不充分条件,故选B.

2.D [解析] 由<<0知,当c<0时,>>0,即b>a>0,∴|b|>|a|,ac>bc,>0成立,此时0<<1,∴ln<0,故选D. 3.C [解析] 由题意,不等式ax2+2ax-4<2x2+4x可化为(a-2)x2+2(a-2)x-4<0. 当a-2=0,即a=2时,不等式恒成立,符合题意;

当a-2≠0时,要使不等式恒成立,则需 解得-2综上所述,a的取值范围为(-2,2],故选C.

4.[-2,2] [解析] 函数f(x)= 当-1≤x≤1时,f(x)=1-x; 当x<-1时,f(x)=x+3; 当x>1时,f(x)=(x-1)2. ①当x>1,即-x<-1时, 经典教育资料 精品（一） 可得g(x)=(x-1)2+3-x=x2-3x+4, 由g(x)≤2,得1②当x<-1,即-x>1时,可得g(x)=x+3+(x+1)2=x2+3x+4,

由g(x)≤2,得-2≤x<-1; ③当-1≤x≤1,即-1≤-x≤1时,

可得g(x)=1-x+1+x=2, 由g(x)≤2,得-1≤x≤1. 综上可得,不等式g(x)≤2的解集为[-2,2]. 小题2

例2(1)B (2)C [解析] (1)∵a>0,b>0,不等式+≥恒成立, ∴m≤.

∵(a+3b)=6++≥6+2=12,

当且仅当a=3b时取等号, ∴m的最大值为12. (2)正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2,

则有==+-1≥2-1=3, 当且仅当a=2b时取等号.

当a=2b时,取得最小值3,且c=6b2, ∴a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6+,

∴当b=时,a+b-c取得最大值. 【自我检测】 1.A [解析] ∵lg a+lg b=0, ∴lg ab=0,即ab=1,

∴·ab=2b+a≥2=2,当且仅当a=2b=时取等号,

∴+的取值范围为[2,+∞). 2.C [解析] 若ab+c取得最小值,则a,b异号,且c<0.根据题意得1-c2=a2+b2,又由a2+b2≥2|ab|=-2ab,当且仅当a=-b时取等号,得

1-c2≥-2ab⇒ab+c≥+c=+c-=(c2+2c)-=(c+1)2-1≥-1,∴当a=b=0,c=-1时,ab+c取得最小值-1,故选C.

3.7 [解析] ∵xy=2x+y+2(x>1),∴y=,