《探索勾股定理》练习题
探索勾股定理练习题
探索勾股定理练习题一、选择题1. 勾股定理适用于以下哪种形状的三角形？A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形2. 如果直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 83. 勾股定理的数学表达式是：A. a + b = cB. a × b = cC. a² + b² = c²D. a² - b² = c²二、填空题4. 在直角三角形中，如果斜边的长度为13，一条直角边的长度为5，那么另一条直角边的长度是________。
5. 勾股定理指出，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于________。
6. 如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么根据勾股定理，c的长度可以表示为________。
三、计算题7. 已知直角三角形的斜边长度为10，一条直角边的长度为6，求另一条直角边的长度。
8. 一个梯形的上底为3米，下底为4米，高为5米，求梯形的对角线长度。
四、应用题9. 一座塔的高度是50米，从塔底到塔顶的视线与地面形成的角度为45度。
求从塔底到视线与地面相交点的距离。
10. 某建筑工地需要测量两点之间的直线距离。
已知从点A到点B的水平距离是120米，从点A到点B的垂直高度差是30米。
求点A和点B之间的直线距离。
五、证明题11. 证明勾股定理在等腰直角三角形中同样适用。
12. 证明如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，且满足a² + b²= c²，那么这个三角形一定是直角三角形。
六、探索题13. 假设有一张正方形纸板，边长为2米。
如果将这张纸板对折，形成一个直角三角形，求这个直角三角形的斜边长度。
14. 探索勾股数的性质，找出满足勾股定理的一组勾股数，并说明它们之间的关系。
七、综合题15. 在一个直角三角形中，已知斜边长度为17米，一条直角边的长度为8米。
《探索勾股定理》测试题
．
图 7
单 卓
图 8
14
．
因
图 9
，
如 图 1 0 在 等 腰 直 角 三 角 形A B C 中 点 P 是 斜 边 上
，
一
C
不 与 A 曰重 合 的任 意
、
点 试 探 究P A
，
。
+
船
。
与P C 之 间 的数
量 关 系 并 说 明理 由
，
．
P
图 10
测 探 《 索勾 股 定 理 》 试 题
1 11
，
四 边 形 A B CD 中
，
，
=
90
．
B D j_D C A B
，
=
8
，
AD
6
，
B C
=
26
，
则四边
形 A 曰∞ 的 周 长 为
面积为
C
图 4
三
图 5
～
图 6
、
解 答 题 ( 1 1 12 题 每 题 10 分
，
，
13
～
14
题 每题 15 分 共5 0 分 )
， ，
．
11
12
．
如 图 7 网 格 中 的 小 方 格 都 是 边 长 为 1 的 正 方 形 求 四 边 形 A B C D 的面 积
，
一
一 鲥 龇 鼬 一锵
一 一
一 臻一
一
一 一 ～
，
条直 角 边 长 是 6
D
12
c m
，
则 斜边 长为 ( )
A 2 A 3
． ．
．
4
探索勾股定理练习题
探索勾股定理姓名： 时间： 分数：一．选择题 （每小题3分，共计36分）1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+`3. 如图字母B 所代表的正方形的面积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 1944. 在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB ²+BC ²+AC ²=（ ）5.直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（ ）cm cm cm cm6.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）或25 @7.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A.钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形.8.已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A 、5B 、25C 、7D 、159.△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42 或 32D ．37 或 3310.已知a 、b 、c是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对~12.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3B ：4C ：5D ：7二．填空题（每空4分，共计36分）1．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．B169252.一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．3.（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°．①若AB=41，AC=9，则BC=_______；②若AC=，BC=2，则AB=______，△ABC 的面积为________．4. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______.5.一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.—6.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．7.如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．】三.解答题（每小题7分，共计28分） 1.如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．…2.如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是多少米.3.如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.4.如图，一架米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将向外移多少米AC B。
2019年八年级数学上册第一章《勾股定理》第一节《探索勾股定理》习题二(含答案)
2019年八年级数学上册第一章《勾股定理》《探索勾股定理》同步练习二1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（）讲完知识点梳理后作做问题延伸题（举一反三）：BE 的长？求折痕DE 的长？A. 425B. 322C. 47D. 352.如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC•于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．3.折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。
4.如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积5.如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少？（举一反三：题干不变，求折痕EF 的长？）利用直角三角形ABE 可求得BE ，也就是DE 长，构造EF为斜边的直角三角形，进而利用勾A BF股定理求解．6.如图，在长方形ABCD中，将∆ABC沿AC对折至∆AEC位置，CE与AD交于点F。
（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长（举一反三：试说明EF=DF．)7.如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．（原题图不标准重新画一个图）习题答案1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（）讲完知识点梳理后作做问题延伸题（举一反三）：BE 的长？求折痕DE 的长？A. 425B. 322C. 47D. 35解：由题意得DB=AD ； 设CD=xcm ，则 AD=DB=（8-x ）cm ， ∵∠C=90°， ∴，解得x=，即CD=cm ．故选C ．2.如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC•于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．解：连接AM∵MN 是AB 的垂直平分线，∴△AMN ≌△BMN ，∴MA = MB ，∠B = ∠BAM ∵MB = 2MC ，∴MA = 2MC ，∴∠CAM = 30°，即∠CMA = 60°∵∠CMA = ∠B + ∠BAM 且∠B = ∠BAM ，∴∠B = 30°，∴AB = 2AC = 16折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。
专题06 探索勾股定理(五大类型)(题型专练)(原卷版)
专题06 探索勾股定理（五大类型）【题型1：一直直角三角形的两边，求第三边长】【题型2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】【题型3：等面积法求直接斜边上的高问题】【题型4：作无理数的线段】【题型5：勾股定理的证明】【题型1：一直直角三角形的两边，求第三边长】1．（2023春•南宁期末）如图是课堂上同学们在探究勾股定理用到的图形，已知网格中小正方形的边长为1，则线段AB的长为（）A．B．5C．9D．13 2．（2023春•嘉祥县期末）在直角三角形中，若股为4，弦为5，则勾为（）A．3B．C．3或D．6 3．（2023春•无棣县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝7，BC＝4，则AC的值是（）A．3B．11C．D．4．（2023春•丰宁县期末）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形的形状改变而变化．当△ABC是直角三角形时，对角线AC的长为（）A．5B．C．D．4 5．（2023春•东丽区期末）直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（）A．6B．8C．12D．6．（2023春•老河口市期末）直角三角形的两条直角边的长分别为1，3，则斜边的长为（）A．2B．4C．D．7．（2023春•红桥区期末）已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为2和4，则它的斜边的长为（）A．4B．C．D．20 8．（2023春•藁城区期末）已知一个三角形的最短边是5，最长边是10，要使该三角形是直角三角形，则另一边的长是（）A．5B．5C．5D．5 9．（2023•台江区校级模拟）以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（）A．B．C．4D．5【题型2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】10．（2023春•应县期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以边AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH的面积为25，正方形BDEC的面积为169，则正方形ACFG的面积是（）A．194B．144C．122D．11011．（2023春•新罗区校级期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（）A．15B．61C．69D．72 12．（2023春•忠县期末）已知直角三角形的两边长分别为6，8，则该直角三角形的周长为（）A．14B．24C．D．24或13．（2023春•白云区期末）如图，在直线l上方有正方形①，②，③，若①，③的面积分别为4和16，则正方形②的面积为（）A．24B．20C．12D．22【题型3：等面积法求直接斜边上的高问题】14．（2023•固镇县一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．15．（2023春•中宁县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．16．（2023春•沈北新区期中）如图，AD是△ABC的高，AB＝5，BC＝7，AC ＝4．①设BD＝x，用x表示AD2；②求BD长；③求△ABC的面积．【题型4：作无理数的线段】17．（2023春•前郭县期末）如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝1，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．2.2B．C．D．18．（2022秋•沙河市期末）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，点D与数轴上表示数﹣4的点重合，AB＝1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E 表示的数为（）A．B．C．D．19．（2023春•开封期末）如图，正方形ABCD的面积为7，A是数轴上表示﹣2的点，以A为圆心，AB为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（）A．﹣1+B．1﹣C．﹣2+D．2﹣20．（2023春•澄海区期末）如图，矩形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，点D与数轴上表示数﹣3的点重合，AB＝1，以点A为圆心，以对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（）A．B．C．D．21．（2023春•和平区校级期末）如图，数轴上点A表示的数为﹣1，Rt△ABC 的直角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．B．C．D．22．（2023春•中江县期中）如图，边长为1的正方形ABCD，AB在数轴上，点A在原点，点B对应的实数1，以A为圆心，AC长为半径逆时针画弧交数轴于点E，则点E对应的实数是（）A．B．C．D．【题型5：勾股定理的证明】23．（2022秋•屯留区期末）阅读与思考阅读下列材料，完成后面的任务：赵爽“弦圈”与完全平方公式三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系，如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．由图可知，1个大正方形ABCD的面积＝8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN的面积．任务：（1）在图2中，正方形ABCD的面积可表示为，正方形PQMN的面积可表示为BCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2之间的关系为．（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：已知a+b＝5，ab＝4，求（a﹣b）2的值．24．（2022春•隆阳区校级月考）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD与小正方形EFGH．设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c，若（a+b）2＝26，大正方形的面积为17，求小正方形的边长．25．（2022春•广汉市期中）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是三角形，结论是（三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；26．（2022秋•南海区月考）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG 的位置，连接CF，此时∠F AC＝90°，AB＝a，BC＝b，AC＝c．请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：a2+b2＝c2．27．（2022春•玉山县月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．（1）如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边BC的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的，求直角三角形的长直角边AC的长；（2）小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长．28．（2022春•阳高县月考）4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．。
初一下册数学探索勾股定理练习试题
初一下册数学探索勾股定理练习试题对于数学教师们而言，他们一般都会知道数学试题卷的练习，将会有助于学生们去提高他们的学习成绩。
以下是由收集整理的浙教版初一下册数学《探索勾股定理》练习试题，欢迎阅读!浙教版初一下册数学《探索勾股定理》练习试题选择题如下图，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，则下列结论不正确的是( )A.AC=AEB.CD=DEC.CD=DBD.AB=AC+CD(2012•安庆一模)如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点.已知图中A、B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有( )A.4个B.6个C.8个D.10个如图，大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是( )A.1B.2C.3D.4已知一直角三角形三边的长分别为x，3，4，则x的值为( )A.5B.C.5或D.已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为( )A.5B.3C.4D.7直角三角形两直角边长为6和8，则此三角形斜边上的中线的长是( )A.10B.5C.4D.3直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，则另一直角边长等于( )A.13B.12C.10D.5如图，一个含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，若BC 的长为15cm，那么AA’的长为( )A.10cmB.15cmC.30cmD.30cm如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD，则BC=( )A.7B.8C.9D.10如图，正方形A的面积为36，正方形B的面积为64，则正方形C的面积是( )A.49B.100C.144D.81填空题已知Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB边的中点，若AC=6，CD=5，则△ABC的周长为 .如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在网格中画出一个以AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长都是无理数.在Rt△ABC中，CD、CF是AB边上的高线与中线，若AC=4，BC=3，则CF= ;CD= .如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点D 为AC的中点，点E在边BC上，且ED⊥BD，则△CDE的面积是 .如图，Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD=5cm，AC=6cm，则BC= cm.若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的中线长为 .如图，四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=4，CD=2，则BC= .如图，是5×5的正方形网络，方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，这样的三角形叫格点三角形，如果以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，那么，这样的格点三角形最多可以画出个.如图，已知OA=OB，那么数轴上点A所表示数的相反数是 .解答题请根据我国古代数学家赵爽的弦图(如图)，说明勾股定理.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，将△ABC沿AC边所在直线向右平移x个单位，记平移后的对应三角形为△DEF，连接BE.(1)当x=4时，求四边形ABED的周长;(2)当x为何值时，△BED是等腰三角形?如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=9，AC=12，AD⊥BC，垂足为D.(1)求BC的长;(2)求BD的长.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点.(1)求证：MN⊥AC;(2)当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点(不与A、C重合)，EF⊥AB，垂足为F.(1)求证：AD=DB;(2)设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式;(3)当∠DEF=90°时，求BF的长?如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，BC=6.求点D到AB边的距离.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上.(1)如图1，如果AM=AN，求证：BM=CN;(2)如图2，如果M、N是边BC上任意两点，并满足∠MAN=45°，那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立?如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由.如图，在四边形ABCD中，AD=4cm，CD=3cm，AD⊥CD，AB=13cm，BC=12cm，求四边形的面积.初一下册数学探索勾股定理教学设计一、学情分析学生经历了一年的初中学习，具备了一定的归纳、总结、类比、转化以及数学表达的能力，对现实生活中的数学知识充满了强烈的好奇心与探究欲，并能在老师的指导下通过小组成员间的互助合作，发表自己的见解。
初二数学探索勾股定理试题
初二数学探索勾股定理试题1.如下图，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，则下列结论不正确的是（）A．AC=AE B．CD=DE C．CD=DB D．AB=AC+CD【答案】C【解析】根据角平分线性质求出CD=DE，根据勾股定理求出AC=AE，根据三角形的内角和定理求出∠B=∠BDE，推出BE=DE=CD，即可推出AB=AC+CD．解：B、∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，故本选项错误；A、由勾股定理得：AC=，AE=，∴AC=AE，故本选项错误；D、∵∠B=45°，DE⊥AB，∴∠BDE=180°﹣90°﹣45°=45°=∠B，∴BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；C、∵CD=DE，BD＞DE，∴BD＞CD，故本选项正确；故选C．点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，角平分线性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．2.如图，一个含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A′B′C 的位置，若BC的长为15cm，那么AA’的长为（）A．10cm B．15cm C．30cm D．30cm【答案】C【解析】连接AA′．构建Rt△ABA′；由旋转的性质可以推知BC=B′C，AC=A′C；根据图示知Rt△ABC中的∠A=30°，由30°所对的直角边是斜边的一半可以求得AC=30cm，由勾股定理可以求得AB=15cm；最后在根据线段间的和差关系求得A′B=BC+CA′=BC+AC=45cm，根据勾股定理在Rt△ABA′中求得AA′的值即可．解：连接AA′．∵△A′B′C是由△ABC按顺时针方向旋转得到的，∴BC=B′C，AC=A′C；又∵△ABC是含有一个30°角的直角三角形，∴从图中知，∠BAC=30°，∴AC=2BC，AB=BC；而BC=15cm；∴在Rt△ABA′中，AB=15cm，A′B=BC+CA′=BC+AC=45cm，∴AA′==30cm．故选C．点评：本题综合考查了勾股定理、含30°角的直角三角形以及旋转的性质．在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键．3.直角三角形两直角边长为6和8，则此三角形斜边上的中线的长是（）A．10B．5C．4D．3【答案】B【解析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AB，代入求出即可．解：在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB==10，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AB=5，故选B．点评：本题考查了直角三角形斜边上中线性质和勾股定理，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，已知四边形的周长为32，那么四边形ABCD的面积为（）A．16+24B．16C．24D．32+24【答案】A【解析】连接BD，则△ABD为等边三角形，△BCD为直角三角形，根据四边形周长计算BC，CD，即可求△BCD的面积，正△ABD的面积根据计算公式计算，即可求得四边形ABCD的面积为两个三角形的面积的和．解：连接BD，∵AB=AD=8，∴△ABD为正三角形，其面积为××AB×AD=16，∵BC+CD=32﹣8﹣8=16，且BD=8，BD2+CD2=BC2，解得BC=10，CD=6，∴直角△BCD的面积=×6×8=24，故四边形ABCD的面积为24+16．故选 A．点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的灵活运用，本题中求证△ABD是正三角形是解题的关键．5.如图，大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．解：根据勾股定理，得AB2=4+16=20，AC2=1+4=5，AD2=1+9=10，BC2=25，BD2=1+9=10，CD2=9+16=25，根据勾股定理的逆定理，则可以构成直角三角形的有△ABC和△ABD．故选B．点评：此题综合考查了勾股定理及其逆定理．6.如图，是5×5的正方形网络，方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，如果以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，那么，这样的格点三角形最多可以画出个．【答案】4【解析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断后画出即可．解：共4个三角形，如图故答案为：4．点评：本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．7.如图，四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=4，CD=2，则BC= ．【答案】4﹣4【解析】延长AD、BC交于O，求出∠O，根据直角三角形性质求出OA、OC，根据勾股定理求出OB即可．解：延长AD、BC交于O，∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠O=30°，∴OA=2AB=8，OC=2CD=4，由勾股定理得：OB==4，∴BC=OB﹣OC=4﹣4．故答案为：4﹣4．点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出OC、OB的长是解此题的关键．8.如图，Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD=5cm，AC=6cm，则BC= cm．【答案】8【解析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，根据勾股定理求出BC即可．解：∵Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD=5cm，∴AB=2CD=10cm，根据勾股定理得：BC===8．故答案为：8．点评：本题主要考查对直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AB的长是解此题的关键．9.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在网格中画出一个以AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长都是无理数．【答案】【解析】要想画出一个以AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长都是无理数．必须是边长在小正方形的对角线上，题目中已经给出了一个边，那么另外等腰三角形的边也一定是在多个小正方形的对角线上．解：∵AB=，那么以AB为腰的等腰三角形（且另一个顶点在格点上）在此图形中没有了，只有AB为底边才可以得到题目要求中的三角形，如下图：△ABC、△ABD、△ABE．点评：此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，此题的难点“要求使另一个顶点在格点上，且另两边的长都是无理数”．这就要求边长必须在小正方形的对角线上，因此此题有一定难度，属于中档题．10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=9，AC=12，AD⊥BC，垂足为D．（1）求BC的长；（2）求BD的长．【答案】（1）15（2）【解析】（1）由已知在△ABC中，∠BAC=90°，所以得到△ABC为直角三角形且AB、AC为两直角边，因此根据勾股定理可求出BC的长．（2）AD⊥BC，垂足为D，所以得到直角三角形DBA，∠BDA和∠BAC都为直角，∠B为公共角，得到△ABC与△DBA相似，根据相似三角形的性质求得BDA．解：（1）在△ABC中，∵∠BAC=90°，∴BC2=AB2+AC2（勾股定理），=92+122，=81+144，=225．∴BC=15．（2）AD⊥BC，垂足为D，∴△DBA为直角三角形，在△ABC与△DBA中，∠BDA=∠BAC=90°，∠B=∠B（公共角），∴△ABC∽△DBA，∴=，∴BD===．点评：此题考查的知识点是直角三角形的勾股定理．解答此题的关键是由已知在△ABC中，∠BAC=90°，所以运用勾股定理求出BC的长，通过三角形相似求出BD．。
《探索勾股定理》课后拓展训练 2022年北师大版精品
1．如图1-16所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC 折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，那么BD的长为( )A．3 B．4 C．5 D．62．假设直角三角形的斜边长为25 cm，一条直角边长为20 cm，那么它的面积为______ cm2，斜边上的高为cm．3．假设直角三角形的两直角边长分别为8，15，那么它的周长为．4．一个零件的形状如图1-17所示，∠A＝∠CBD＝90°，AC＝3 cm，AB＝4 cm，BD＝12 cm，求CD的长．5．如图1-18所示，一架长2.5 m的梯子AB斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端B离墙根0.7 m，为了安装壁灯，梯子顶端A需离地面2 m(即A′C＝2 m)，请你计算一下，此时梯子的底端B应向远离墙根的方向拉多远?6．如图l-19所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距25千米，C，D为两个村庄(视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝15千米，CB＝10千米．现要在铁路上A，B之间建一个产品收购站，使C，D两村到E站的距离相等，你认为E站应建在何处?请说明理由．7．如图l-20所示，一棵36 m高的树被风刮断，树顶落在离树根24 m处，求折断处距地面的高度AB．8．如图1-21所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，假设AC＝4，BC＝3，求CD的长.参考答案1．A2．150 123．40[提示：先利用勾股定理求出斜边的长．]4．解：在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∴BC 2＝AB 2+AC 2＝42+32＝25。
∴BC ＝5 cm ．在Rt △BCD 中，∠CBD ＝90°，∴CD 2＝BC 2+BD 2＝52+122＝169，∴CD ＝13 cm ．5．提示：B ′C 2＝A ′B ′2-A ′C 2＝2.52-22＝2.25，∴B ′C ＝1.5，∴BB ′＝1.5-0.7＝0.8(m)．6．解：E 站应建在A ，B 之间距A 站10千米处．理由如下：可设AE ＝x 千米，那么BE ＝(25-x )千米，由DE 2＝152+x 2＝CE 2＝102+(25-x )2，解得x ＝10．7．解：设AB ＝x m ，那么AC ＝(36-x )m ，∵AB ⊥BC ，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴x 2+242＝(36-x )2,∴x ＝10，∴折断处距地面的高度AB 是10 m ．8．解：∵AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，∴AB 2＝AC 2+BC 2＝42+32＝25，∴AB ＝5．∵S △ABC ＝ 12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴12×4×3＝12×5×CD ，∴5CD ＝12，∴CD ＝125． 平行线的判定一、选择题1．如图，直线b a ,都与直线c 相交，给出以下条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°．其中能判断a ∥b 的条件是〔 〕A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②③④2．如图，直线CD AB ,被直线l 所截，假设︒≠∠=∠9031，那么〔 〕A ．32∠=∠B ．42∠=∠C ．41∠=∠D ．43∠=∠二、填空题1．如图，直线CD AB ,被第三条直线EF 所截，那么1∠和2∠是_________；如果21∠=∠，那么________∥_______，其理由是___________．2．如图，：︒=∠︒=∠︒=∠︒=∠1024,783,782,781，填空：〔1〕︒=∠=∠7821 ，∴//_______AB 〔 〕．〔2〕︒=∠=∠7832 ,∴//_______AB 〔 〕．〔3〕︒=︒+︒=∠+∠1801027842 ，∴_____________//_〔〕． 3．填空括号中的空白：如图，直线AB 与EF 相交于O ，OC 平分OD AOE ,∠平分BOF ∠．求证：〔1〕41∠=∠；〔2〕COD 为一条直线．证明：AB 与EF 相交于O 〔 〕，∴AOE ∠与BOF ∠为对顶角〔 〕．∴BOF AOE ∠=∠〔 〕． ∴BOF AOE ∠=∠2121〔 〕．又OC 平分AOE ∠〔 〕， ∴AOE ∠=∠211〔 〕． 同理BOF ∠=∠214． ∴41∠=∠〔 〕．EOF 为一条直线〔 〕，∴EOF ∠为平角〔 〕．即︒=∠+∠+∠=∠180432EOF ．又41∠=∠ 〔 〕，∴︒=∠+∠+∠180321〔 〕．即COD ∠为平角．∴COD 为一条直线〔 〕．三、解答题1．如图，直线a 、b ，任意画一条直线c ，使它与a 、b 都相交，量得︒=∠︒=∠462,461，那么a 与b 平行吗？为什么？2．如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截．〔1〕量得︒=∠︒=∠802,801，就可以判定CD AB //，它的根据是什么？ 〔2〕量得︒=∠︒=∠1004,1003，也可以判定CD AB //，它的根据是什么？3．如图，BE 是AB 的延长线，量得C A CBE ∠=∠=∠．〔1〕从A CBE ∠=∠，可以判下哪两条直线平行？它的根据是什么？ 〔2〕从C CBE ∠=∠，可以判定哪两条直线平行，它的根据是什么？4．如图，BOD D COA C ∠=∠∠=∠,．求证：DB AC //．5．如图，︒=∠︒=∠=∠603,11821．求：4∠的度数．6．如图，D C B A ,,,四点共线，且CD AB =，又DF CE BF AE ==,． 求证：BF AE //．参考答案一、选择题1．D 2．B二、填空题1．同位角；CD AB //，同位角相等，两直线平行．2．〔1〕CD ，同位角相等，两直线平地〔2〕CD ，内错角相等两直线平行〔3〕CD AB ,，同旁内角互补，两直线平行．3．；对顶角定义；对顶角相等；等量的同分量相等；；角平分线定义；等量代换；；平角定义；已证；等量代换；平角定义三、解答题1．b a //，同位角相等，两直线平行．2．〔1〕同位角相等，两直线平行．〔2〕内错角相等，两直线平行．3．〔1〕BC AD //，同位角相等，两直线平行．〔2〕CD AB //，内错角相等，两直线平行．4．先证D C ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行证明DB AC //即可．5．先由︒=∠=∠11821证b a //，再根据两直线平行，同旁内角互补求出︒=∠1204．6．CD AB = ，∴BD AC =．又DF CE BF AE ==, ，∴ACE ∆≌BDF ∆．∴FBD A ∠=∠．∴BF AE //．。
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探索勾股定理练习题
1.填空题
(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.
(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.
(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_________.
图1
2.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.
3.在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm
（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.
（2）求斜边被分成的两部分AD和BD 的长.
4.如图2：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
5.如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
参考答案
1.(1)
2.5 (2)30 (3)30米
2.如图：等边△ABC 中
BC =12 cm ，AB =AC =10 cm
作AD ⊥BC ，垂足为D ，
则D 为BC 中点，BD =CD =6 cm
在Rt △ABD 中，AD 2=AB 2－BD 2=102－62=64
∴AD =8 cm
∴S △ABD =21BC ·AD =2
1×12×8=48(cm 2)
3.解：(1)∵△ABC 中，∠
C =90°，AC =2.1 cm ，BC =2.8 cm
∴
AB 2=AC 2+BC 2=2.12+2.82=12.25
∴AB =3.5 cm
∵S △ABC =21AC ·BC =2
1AB ·CD ∴AC ·BC =AB ·CD
∴CD =AB BC AC
⋅=5.38.21.2⨯=1.68(cm)
(2)在Rt △ACD 中，由勾股定理得：
AD2+CD2=AC2
∴AD2=AC2－CD2=2.12－1.682
=(2.1+1.68)(2.1－1.68)
=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21
=22×9×0.21×0.21
∴AD=2×3×0.21=1.26(cm)
∴BD=AB－AD=3.5－1.26=2.24(cm)
4.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36(m2)
5.解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF
∴∠AFE=90°,AF=10 cm,EF=DE
设CE=x cm，则DE=EF=CD－CE=8－x
在Rt△ABF中由勾股定理得：
AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，
∴BF=6 cm
∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)
在Rt△ECF中由勾股定理可得：
EF2=CE2+CF2，即(8－x)2=x2+42
∴64－16x+x2=x2+16
∴x=3(cm),即CE=3 cm。