2017_2018学年高中数学第二单元平面向量2.4.2向量在物理中的应用学案北师大版必修4(含答案)
2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案含解析新人
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义[提出问题]一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．问题1：如何计算这个力所做的功？提示：W＝|s||F|cos θ.问题2：力F在位移方向上的分力是多少？提示：|F|cos θ.问题3：力做功的大小与哪些量有关？提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．[导入新知]1．向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积：(2)规定：零向量与任一向量的数量积均为0.2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ.②向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．[化解疑难]透析平面向量的数量积(1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab.(2)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．设两个非零向量a与b的夹角为θ，则当θ＝0°时，cos θ＝1，a·b＝|a||b|；当θ为锐角时，cos θ>0，a·b>0；当θ为钝角时，cos θ<0，a·b<0；当θ为直角时，cos θ＝0，a·b＝0；当θ＝180°时，cos θ＝－1，a·b＝－|a||b|.[已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角．问题1：若a·b＝0，则a与b有什么关系？提示：∵a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°，a⊥b. 问题2：a·a等于什么？提示：a·a＝|a|2cos 0°＝|a|2.问题3：在什么条件下可求cos θ？提示：已知a·b及|a||b|时，可得cos θ＝a·b|a||b|. [导入新知]1．向量数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.(4)cos θ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[化解疑难]辨析向量数量积与实数运算(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b ，却有|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则向量c ，b 在向量a 方向上的投影相同，因此由a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．[例1] (1)a ·b; ②(a ＋b )·(a －2b )．(2)如图，设正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .[解] (1)①由已知得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3. [类题通法] 向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． [活学活用]1．(山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ―→·CD ―→＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2 答案：D2．已知正方形ABCD 的边长为2，分别求：(1)AB ·CD ；(2)AB ·AD ；(3)DA ·AC . 答案：(1)－4 (2)0 (3)－4[例2] 则|b |＝________. (2)已知|a |＝2，|b |＝4，a ，b 的夹角为π3，以a ，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．[解] (1)3 2(2)∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|a －b |， ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－2×2×4×cos π3＋16＝2 3.[类题通法] 向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a |＝a ·a ，但计算两向量的和与差的长度用|a ±b |＝a ±b2＝ a 2±2a ·b ＋b 2.[活学活用]已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，求|a －b |. 答案：10[例3] b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．[解] (1)A(2)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b a －5b ＝0，a －4ba －2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ②②－①得23b 2－46a ·b ＝0， ∴2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2， ∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.[类题通法]求向量a ，b 的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a ·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a ·b |a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． [活学活用]1．如果向量a 和b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，那么a 和b 的夹角θ的大小为( )A ．30°B ．45°C ．75°D ．135°答案：B2．已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝ma －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直．答案：m ＝2914时，c 与d 垂直10.忽视向量共线条件而致误[典例] 设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________．[解析] 由向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，得te 1＋7e 2e 1＋te 2|2te 1＋7e 2|·|e 1＋te 2|<0，即(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0， 化简即得2t 2＋15t ＋7<0，画出2t 2＋15t ＋7＝0的图象，如图． 若2t 2＋15t ＋7<0， 则t ∈⎝⎛⎭⎪⎫－7，－12. 当夹角为π时，也有(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0， 但此时夹角不是钝角，设2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)，λ<0，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12 [易错防范]1．本题易混淆两非零向量的夹角为钝角与两向量的数量积小于零的关系，忽视向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为π时，也有数量积小于0的情况，从而得出t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－12的错误答案．2．由于a ·b <0包含了其夹角为180°的情况，a ·b >0包含了其夹角为0°的情况，在求解时应注意排除．[成功破障]已知同一平面上的向量a ，b ，c 两两所成的角相等，并且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b ＋c 的长度为( )A ．6 B. 3 C ．3 D ．6或 3答案：D[随堂即时演练]1．下列命题：(1)若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；(2)(a ·b )c ＝a (b ·c )对任意向量a ，b ，c 都成立； (3)对任一向量a ，有a 2＝|a |2. 其中正确的命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案：B2．若|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为135°，则a ·(－b )等于( ) A ．12 B ．－12 C ．12 2 D ．－12 2 答案：C3．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________． 答案：120°4．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 答案：75．设非零向量a 和b ，它们的夹角为θ.(1)若|a |＝5，|b |＝4，θ＝150°，求a 在b 方向上的投影和a 与b 的数量积； (2)若a·b ＝9，|a |＝6，|b |＝3，求b 在a 方向上的投影和a 与b 的夹角θ. 答案：(1)|a |cos θ＝－532，a ·b ＝－10 3(2)|b |cos θ＝32，θ＝60°[课时达标检测]一、选择题1．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案：C2．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 答案：B3．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，则|a －c |的最小值为( ) A ．1 B.12C.34D.32 答案：D4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则AP ·(PB ＋PC )等于( )A.49B.43 C ．－43D ．－49答案：A5.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝ 3 BD ，|AD |＝1，则AC ·AD 等于( )A ．2 3 B.32C.33D. 3 答案：D 二、填空题6．在Rt △ABC 中，C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC ＝________. 答案：167．已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a ＋b|＝7，则a 与b 的夹角θ为________． 答案：2π38．(浙江高考)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是________．答案：7 三、解答题9．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a ·b ； (2)a 2－b 2；(3)(2a －b )·(a ＋3b )；(4)|a ＋b |.解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3； (2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5；(3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a |·|b |cos 120°－3|b |2＝8－15－27＝－34；(4)|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－6＋9＝7.10．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2. ∴|a |2＋2a·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a·b ＋|b |2)． ∴|a |2－4a·b ＋|b |2＝0. ∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，Δ＝b |cos θ2－4|b |2≥0，解得cos θ∈[12，1]．又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，|a ＋b |＝3|a －b |成立．11．已知|a |＝1，a ·b ＝14，(a ＋b )·(a －b )＝12.(1)求|b |的值；(2)求向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值． 解：(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝12.∵|a |＝1，∴1－|b |2＝12，∴|b |＝22.(2)∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×14＋12＝2，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×14＋12＝1，∴|a ＋b |＝2，|a －b |＝1.令a＋b与a－b的夹角为θ，则cos θ＝a＋b a－b|a＋b||a－b|＝122×1＝24，即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是24.。
2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例2.7.2向量的应用举例课件北师大版必修4
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名师点拨平面几何中的向量方法: (1)几何法: ①证明线段相等常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法 则. ②证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常 运用向量平行(共线)的条件:a∥b⇔a=λb(b≠0)(或x1y2-x2y1=0). ③证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两 直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a· b=0(或 x1x2+y1y2=0).
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3.向量在物理中的应用 (1)力是具有大小、方向和作用点的向量,它与向量有所不同.大 小和方向相同的两个力,如果作用点不同,它们就不相等.但是在不 计作用点的情况下,可用平行四边形法则计算两个力的合力. (2)速度是具有大小和方向的向量,因此,可用三角形法则和平行 四边形法则求两个速度的合速度.
答案:菱形
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2.向量在解析几何中的应用 因为平面向量在坐标平面内有相应的坐标,能进行坐标运算,所 以它与平面解析几何存在着密切的联系.根据向量的线性运算和数 量积运算,可以方便地处理平行、垂直、距离、角度、方向等问题.
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【做一做2】 已知▱ABCD的三个顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),求顶 点D的坐标. 分析:先将平行四边形的性质“对边平行且相等”转化为向量之间 的关系,然后由向量相等求解. 解�� = ������������ , 即(3,-1)-(-1,-2)=(5,6)-(x,y), 即(4,1)=(5-x,6-y), 5-������ = 4, ������ = 1, ∴ ∴ ������ = 5. 6-������ = 1. ∴顶点 D 的坐标为(1,5).
2017_2018学年高中数学第二章平面向量7向量应用举例教学案北师大版必修4
1．已知Rt△ABC，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，若D为斜边AB的中点，
(1)求证：CD＝ AB；
(2)假设E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
[尝试解答]以C为坐标原点，以边CB、CA所在的直线别离为x轴、y轴成立平面直角坐标系，如下图，A(0，m)，B(n,0)， ＝(n，－m)．
＝(－2 a，－2a)，
∴ ＝(－ a，－3a)，| |＝2 a，
即| |＝1 000 (km)．
又cosC＝ ＝ ＝ ，C＝30°，
结合图形可知 的方向为南偏西30°，
因此飞机从B地到C地的位移的大小为1000 km，方向为南偏西30°.
1．由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，因此能够用向量的知识来解决；
解：依据物理知识，有三对相对速度，
车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地，风对地的速度能够看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地
如下图，依照向量求和的平行四边形法那么，可知表示向量v风地的有向线段 对应▱ABDC的对角线．
∵| |＝4，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝90°.
F1、F2的大小别离为2和4，则F3的大小为________．
解析：由向量加法的平行四边形法那么知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|·cos 60°＝4＋16＋8＝28，
∴|F3|＝2 .
答案： 2
6．已知△ABC为直角三角形，设AB＝c，BC＝a，CA＝b.假设c＝90°，试证：c2＝a2＋b2.
同理可证：
2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量本章整合课件 北师大版必修4
∴������������
=
������������
−
������������
=
������������
−
2 3
������������ =2a-53b.
(2)设������������ =λ������������,
则������������ = ������������ − ������������ =λ������������ − ������������ =λa-2a+b=(λ-2)a+b.
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(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).
由(a+kc)⊥(2b-a),得(-5)×(3+4k)+2(2+k)=0,
解得 k=-1118.
专题1 专题2 专题3
(3)设 d=(x,y)(x,y∈R),
则 d+b=(x-1,y+2).
由题意,可知 a-c=(-1,1),
又(d+b)∥(a-c),
∴������������=(-7,3)或������������=(-3,-7).
专题1 专题2 专题3
③当点 A 为等腰直角三角形 OAB 的直角顶点时,������������ ⊥ ������������,且
|������������|=|������������|,
∴
5(������-5) + 2(������-2) = 0, (������-5)2 + (������-2)2 = 52 + 22 ,
时,f (x)取得最大值,
即
|������ |2 4
−
| b|+1 =0.
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标课堂导学案北师大版 必修
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标课堂导学案北师大版必修2、4 平面向量的坐标课堂导学三点剖析1、向量的坐标运算【例1】已知A（1，-2）、B（2，1）、C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示++、思路分析：本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识、求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量、、、、等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式++=m+n，再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出系数m、n、解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1），∴++=（-3，5）+（-4，2）+（-5，1）=（-12，8）、根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得++=m+n，∴（-12，8）=m（1，3）+n（2，4）、也就是（-12，8）=（m+2n,3m+4n）、可得、∴++=32-22、各个击破类题演练1已知向量a=(3,-2),b=（-2，1），c=(7,-4),试用a和b来表示c、解:设c=ma+nb、即（7，-4）=m(3,-2)+n(-2,1)=(3m-2n,-2m+n),于是有所以c=a-2b、变式提升1已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示、解析：=（1，3），=（2，4），=（-3，5）、设=m+n,即（-3，5）=m(1,3)+n(2,4)=(m+2n,3m+4n)于是有∴=11-7、2、共线向量的坐标表示【例2】已知点A、B的坐标分别为（2，-2）、（4，3），向量p的坐标为（2k-1，7），且p∥，则k的值是( )A、B、C、D、思路分析：欲求k的值，只需建立k的方程，由共线向量定理的坐标表示，利用p∥，得到k的方程，然后求解、解：∵A(2,-2),B(4,3),∴=（2，5）、又p∥,∴14-5(2k-1)=0，即k=、答案：B友情提示一般求字母的值时，往往将条件化为关于该字母的方程，然后通过解方程求得字母的值，所以解决这类问题的关键是从题目中找出等量关系、类题演练2已知四边形ABCD 是平行四边形，其顶点A、B、C的坐标分别是A（-2，1）、B（-1，3）、C（3，4），求D点的坐标、解析：设D点坐标为（x，y），由题意可知，=（1，2），=（3-x，4-y）、∵四边形为平行四边形，∴=,即∴D 的坐标为（2，2）变式提升2已知：A（-2，-3），B（2，1），C （1，4），D（-7，-4），判断与是否共线？解析:=（2，1）-（-2，-3）=（4，4），=（-7，-4）-（1，4）=（-8，-8）、∵4（-8）-4（-8）=0，∴∥、即与共线，或=-2、∥、∴与共线、3、向量坐标形式的灵活应用【例3】用坐标法证明++=0、思路分析：本题没有给出向量的坐标，需要将各向量的坐标设出来，然后进行向量运算、解：设A（a1,a2）,B(b1,b2),C(c1,c2),则=(b1-a1,b2-a2),=(c1-b1,c2-b2),=(a1-c1,a2-c2)，∴++=(b1-a1,b2-a2)+(c1-b1,c2-b2)+(a1-c1,a2-c2)=(b1-a1+c1-b1+a1-c1,b2-a2+c2-b2+a2-c2)=(0,0)=0、∴++=0、友情提示这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无需考虑三个点A、B、C是否共线、同时，对这个结论的更一般的形式，即n个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了：=0、类题演练3已知平面内三个点A（1，-2），B （7，0），C（-5，6），求,,+,2+、解析：∵A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),∴=(7-1,0+2)=(6,2),=(-5-1,6+2)=(-6,8),+=(6-6,2+8)=(0,10),2+=2(6,2)+(-6,8)=(12,4)+(-3,4)=(9,8)、变式提升3 若点O（0，0）、A（1，2）、B（-1，3），且=2，=3，则点A′的坐标为________，点B′的坐标为________，向量的坐标为_________、解析：∵O（0，0），A （1，2），B（-1，3），∴=（1，2），=（-1，3），=2(1,2)=(2,4),=3(-1,3)=(-3,9)、∴A′(2,4),B′(-3,9),=(-3-2,9-4)=(-5,5)、答案：（2，4）（-3，9）（-5，5）【例4】如右图，已知A（-1，2），B（3，4）连结A、B并延长至P，使|AP|=3|BP|，求P点坐标、思路分析：由、同向共线，得=3、这样就可建立方程组，求出点P的坐标、解：设P点坐标为（x,y）,则=（x+1,y-2）,=(x-3,y-4)、由、同向共线，得=3，即（x+1,y-2）=3(x-3,y-4)、于是,解得因此，P点的坐标为（5，5）、友情提示一般地，A、B、P三点中选哪一个点作起点，分点或终点都可以，但一经确定两点、第三点也随之确定、虽然对各种情况的系数不同，但计算结果都一样，可根据题目条件恰当选择起点、分点和终点，确定相应的系数λ的值，优化解题过程、而此类题目最大的弊病是分不清起点与终点，致使公式用错、类题演练4已知A（-2，1），B（1，3），求线段AB中点M和三等分点P、Q的坐标、解析：因为==（1，3）-（-2，1）=（3，2）、所以=（+）=(-,2)、=+=(-1,)、=+=(0,)、因此M（-，2），P（-1，），Q（0，）、变式提升4在△ABC中，已知A（4，1）、B（7，5）、C（-4，7），则BC边的中线AD的长是（）A、B、C、D、解析：∵B（7，5），C（-4，7），∴D（，6）、∵A （4，1），∴=（，5）、∴||=、即BC边中线长为，应选B、答案：B。
高中数学第2章平面向量2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用教案含解析新人教B版必修4
2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1．向量在几何中的应用 (1)直线与向量平行的条件 ①直线的斜率与向量的关系：设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(a 1，a 2)平行于l ，可得k ＝y －y 1x －x 1＝a 2a 1＝tan α.②平行条件：如果知道直线l 的斜率k ＝a 2a 1，则向量(a 1，a 2)一定与该直线平行． ③法向量：如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线．这个向量称为这条直线的法向量．(2)特殊向量设直线l 的一般方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与l 平行．思考1：向量可以解决哪些常见的几何问题？[提示] (1)解决直线平行、垂直、三点共线等位置关系问题． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．向量在物理中的应用 (1)力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．(2)速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示． 思考2：向量可以解决哪些物理问题？[提示] 解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问题，以及与力做功相关的问题．1．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－1或2D [由于11－m ＝－m2，得m ＝－1或m ＝2.]2．下列直线与a ＝(2,1)垂直的是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋2y ＋1＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．2x －y ＋4＝0A [直线2x ＋y ＋1＝0与向量(2,1)垂直．]3．已知力F ＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则F 对物体所做的功为________焦耳．1 [由已知位移AB →＝(－4,3)，∴力F 做的功为W ＝F ·AB →＝2×(－4)＋3×3＝1.]别交AC 于R ，T 两点．求证：AR ＝RT ＝TC .[思路探究] 由于R ，T 是对角线AC 上的两点，要证AR ＝RT ＝TC ，只要证AR, RT ，TC 都等于13AC 即可．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，AT →＝t ，则AC →＝a ＋b . 由于AR →与AC →共线，所以可设r ＝n (a ＋b )． 因为EB →＝AB →－AE →＝a －12b ，ER →与EB →共线，所以可设ER →＝mEB →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b .因为AR →＝AE →＋ER →，所以r ＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ，所以n (a ＋b )＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ， 即(n －m )a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n ＋m －12b ＝0. 由于向量a ，b 不共线，要使上式成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝0，n ＋m －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝13.所以AR →＝13AC →.同理TC →＝13AC →.所以AR ＝RT ＝TC .1．利用向量的关系证明问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．2．平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系．1.如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2→－AC 2→＝DB 2→－DC 2→，求证：AD ⊥BC . [证明] 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ， ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ，∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0， ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .(1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．[思路探究] 在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →∥a 可以得(1)，由AP →⊥b 可以得(2)．[解] 设所求直线上任意一点P (x ，y )， ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)． (1)由题意知AP →∥a ，∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0，即x －3y ＋5＝0， ∴所求直线方程为x －3y ＋5＝0. (2)由题意，知AP →⊥b ，∴(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0，即x －2y ＋4＝0， ∴所求直线方程为x －2y ＋4＝0.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.2．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．[解] 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，－y 0＝2y ，又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2， ①6－2x 0＝2y ， ②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程.1.向量的数量积与功有什么联系？[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？[提示] 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．【例3】 两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功．[思路探究] 向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题．[解] AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j . (1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28 J.F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB →＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23 J.(2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F ·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5 J.1．求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解． 2．如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W ＝|F ||s |cos θ，其中θ是F 与s 的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．3．在静水中划船速度的大小是每分钟40 m ，水流速度的大小是每分钟20 m ，如果一小船从岸边O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？[解] 如图所示，设向量OA →的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB →的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，连接OC .依题意OC ⊥OA ，BC ＝OA ＝20，OB ＝40， ∴∠BOC ＝30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进．(教师用书独具)1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方向(1)要证明两线段相等，如AB ＝CD ，则可转化为证明AB →2＝CD →2.(2)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明存在实数λ≠0，使AB →2＝λCD →成立，且AB 与CD 无公共点．(3)要证明两线段垂直，如AB ⊥CD ，则只要证明数量积AB →·CD →＝0. (4)要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →. (5)要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →的夹角即可． 2．向量方法研究物理问题的相关知识 (1)力、速度、加速度和位移都是向量．(2)力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法． (3)动量mv 是数乘向量．(4)功是力F 与在力F 的作用下物体所产生的位移s 的数量积.1．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．形状无法确定C [∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，∴CA →2－CB →2＝0，CA →2＝CB →2，∴CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形．]2．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0A [设P (x ，y )是所求直线上任一点，则AP →⊥a ，又∵AP →＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.] 3．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________． 等腰梯形 [由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →， AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形， 所以AB ∥DC ，AB ≠DC .又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ， 所以四边形ABCD 为等腰梯形．]4．一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地，然后向C 地飞行．设C 地恰好在A 地的南偏西60°方向上，并且A ，C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．[解] 如图所示，设A 地在东西基线和南北基线的交点处，则A (0,0)，B (－1 000cos 30°，1 000sin 30°)＝(－5003，500)，C (－2 000cos 30°，－2 000sin 30°)＝(－1 0003，－1 000)，∴BC →＝(－5003，－1 500)，∴|BC →|＝(－5003)2＋(－1 500)2＝1 0003(km)．∴飞机从B 地到C 地的位移大小是1 000 3 km ，方向是南偏西30°.。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.2 向量在物理中的应用示范教案 新人教B版必修4
2.4.2 向量在物理中的应用示范教案整体设计教学分析向量与物理学天然相联．向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．用向量研究物理问题的相关知识．(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量是数乘向量；(3)功即是力与所产生位移的数量积．用向量知识研究物理问题的基本思路和方法．①通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；②认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；④利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．三维目标1．通过力的合成与分解的物理模型，速度的合成与分解的物理模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识．2．通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力．体会数学在现实生活中的重要作用．养成善于发现生活中的数学，善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯．重点难点教学重点：1．运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算．2．归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法．教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情景引入)章头图中，道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系．章头引言说明了向量的研究对象及研究方法．那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样，是一条解决物理问题的高速公路．在学生渴望了解的企盼中，教师展示物理模型，由此展开新课．思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来．进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？教师由此引导：向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识．我们可以通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用．由此自然地引入新课．推进新课新知探究提出问题(1)力向量与前面所学的自由向量一样吗？(2)作用于同一点的两个力的合力怎样表示？活动：力向量与前面学过的自由向量有些不同，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但力是具有大小和方向的量，在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．例如，求作用于同一点的两个力的合力，可用向量求和的平行四边形法则(图1)．图1同一平面上，作用于同一点的两个力F1，F2或三个力F1，F2，F3处于平衡状态(图2)，可分别用等式来表示图2F1＋F2＝0，F1＋F2＋F3＝0.讨论结果：(略)应用示例例 1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？活动：这个日常生活问题可以抽象为如图3所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题．这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题．只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力)，就得到了问题的数学解释．图3在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响．由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证．用向量解决物理问题的一般步骤是：①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．解：不妨设|F 1|＝|F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道cos θ2＝12|G||F 1| |F 1|＝|G |2cos θ2. 通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，θ2由0°到90°逐渐变大，cos θ2的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1，F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．点评：本例是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验．本例的关键是作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型，从数学角度进行解释，这就是本例活动中所完成的事情．教学中要充分利用好这个模型，为解决其他物理问题打下基础．得到模型后就可以发现，这是一个很简单的向量问题，这也是向量工具优越性的具体体现．例 2河水从东向西流，流速为2 m/s ，一轮船以2 m/s 垂直于水流方向向北横渡，求轮船实际航行的方向和航速(精确到0.1 m/s)(图4)．图4解：设a ＝“向西方向，2 m/s”，b ＝“向北方向，2 m/s”，则|a ＋b |＝22＋22＝22≈2.8(m/s)．由|a |＝|b |，可得a ＋b 的方向为西北方向．答：轮船实际航行速度为“向西北方向，2.8 m/s”．活动：本例通过速度向量，说明向量的应用，其实向量在电学、力学、工程和机械等各学科中都有着十分广泛的应用.图5，实际风速为v .例 3如图6所示，利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度，设有一砂箱悬挂在两线下端，子弹击中砂箱后，陷入箱内，使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M ，求子弹的速度v 的大小．图6解：设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度，由于水平方向上动量守恒，所以m|v |＝(M ＋m)|v 0|.①由于机械能守恒，所以12(M ＋m)v 20＝(M ＋m)gh.② 联立①②解得|v |＝M ＋m m2gh. 又因为m 相对于M 很小，所以|v |≈M m2gh ， 即子弹的速度大小约为M m2gh.课堂小结1．与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤．①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．2．与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型．①力、速度、加速度、位移都是向量；②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减；③)动量m v 是数乘向量，冲量Δt F 也是数乘向量；④功是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s .作业课本本节练习B 组 1、2、3；习题2—4A 组 4.设计感想1．本教案设计的指导思想是：由于本节重在解决两个问题，一是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上．而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上，也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系．通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题．2．经历是最好的老师．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点．3．突出数形结合的思想．教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点．让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性．备课资料一、向量与重心问题假如有两个质点M 1，M 2，它们的质量分别是m 1，m 2，由物理学知识，这两个质点的重心M 在线段M 1M 2上，并且分此线段为与质量成反比例的两部分，即M 1M MM 2＝m 2m 1，或m 1M 1M →＝m 2MM 2→. 现设点M 1、M 2、M ，对应的向量分别是r 1、r 2、r ，则上式可以写成m 1(r －r 1)＝m 2(r 2－r )．所以r ＝m 1r 1＋m 2r 2m 1＋m 2，点M 处的质量为m 1＋m 2. 现求三个质点的重心问题．三个质点M 1、M 2、M 3的质量分别是m 1、m 2、m 3，所对应的向量分别是r 1、r 2、r 3，我们可设M 1，M 2的重心在点D 处，该处对应的向量为r D ＝m 1r 1＋m 2r 2m 1＋m 2，该点的质量为m 1＋m 2，然后求点D 与点M 3的重心M 所对应的向量r ，易得r ＝m 1r 1＋m 2r 2＋m 3r 3m 1＋m 2＋m 3. 二、备用习题1．作用于同一点的两个力F 1和F 2，|F 1|＝5，|F 2|＝3，夹角为60°，则F 1＋F 2的大小为______．2．一条渔船距对岸为4 km ，现正以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km ，求河水的流速.3．在半径为15 cm 的均匀铁板上，挖出一个圆洞，已知圆洞的圆心和铁板中心相距8 cm ，圆洞的半径是5 cm ，求挖去圆洞后所剩下铁板的重心．4．如图7所示，重力为G 的均匀小球放在倾角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板的压力最小，求木板与斜面间夹角θ的大小.图7参考答案：1．72．解：如图8所示，设AB →表示船垂直于对岸的速度，则AB →＋BC →＝AC →，图8知AC →就是渔船实际航行的速度．因为航行的时间为4÷2＝2(h)，所以在Rt△ABC 中，|A B →|＝2 km/h ，|AC →|＝8÷2＝4(km/h)，则|B C →|＝2 3 km/h.答：河水的流速为2 3 km/h.3．解：如图9所示，建立平面直角坐标系，两圆的圆心分别为O 1(0,0)，O 2(8,0)，圆O 2是挖去的圆，不妨设铁板的密度为ρ＝1，则小圆的质量m 1＝25π，挖去圆洞后，铁板的质量为m 2＝(225－25)π＝200π，设所求的重心为O 3.图9根据物理学知识，知O 3在直线O 1O 2上，即可设O 3(x 3,0)，且满足O 3O 1→＝λO 1O 2→，其中λ＝m 1m 2＝25200＝18.由定比分点坐标公式知0＝x 3＋18×81＋18，解得x 3＝－1， 即O 3(－1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心．4．解：对小球的受力分析如图9所示，重力为G ，斜面弹力为N 2(垂直于斜面向上)，木板弹力N 1(垂直于木板)，其中N 1与N 2的合力的大小恒为|G ′|，方向向上，N 2的方向始终不变，随着木板的转动，N 1的方向始终垂直于木板，N 1的大小在变化，且满足|N 1|sin α＝|G′|sin θ， 又|G ′|＝|G |，∴|N 1|＝|G |sin αsin θ. ∴当sin θ取最大值1时，|N 1|min ＝|G |sin α，此时θ＝π2.。
高中数学第二章平面向量2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用bb高一数学
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失误防范 由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维 与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有 效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．
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1．过点 A(2，3)，且垂直于向量 a＝(2，1)的直线方程为( )
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②平行条件
a2
如果直线 l 的斜率 k＝__a_1_，则向量(a1，a2)一定与该直线平行．
③法向量
如果表示向量的基线与一条直线__垂__直__，则称这个向量_垂__直___
于该直线．这个向量称为这条直线的法向量．
(2)特殊向量
设直线 l 的一般方程为 Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线
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1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量 问题．对具体的问题选用向量几何法还是向量坐标法是解题的 关键． 2．利用向量法解决物理问题时，要认真分析物理现象，深刻 把握物理量之间的向量关系，通过抽象、概括把物理现象转化 为与之相关的向量问题．
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(1)设 P(x，y)是过点 A 且与 l 平行的直线上的动点， 则A→P＝(x＋1，y－2)． 所求直线与 l 平行， 当且仅当 u∥A→P，转化为坐标表示， 即为 1×(y－2)－43×(x＋1)＝0. 整理，得 4x－3y＋10＝0. 则过点 A 且与直线 l 平行的直线方程为 4x－3y＋10＝0.
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2．在△ABC 中，若(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0，则△ABC( )
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2.4.2 向量在物理中的应用
学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其它一些实际问题的过程.2.体会
向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.
知识点一 向量的线性运算在物理中的应用
思考1 向量与力有什么相同点和不同点？
思考2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？
梳理 (1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上.
(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算.
知识点二 向量的数量积在物理中的应用
思考 向量的数量积与功有什么联系？
梳理 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos
〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的
夹角，它的实质是向量F与s的数量积.
知识点三 向量方法解决物理问题的步骤
用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题；
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
类型一 向量的线性运算在物理中的应用
例1 (1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分
别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.
(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力
方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他
因素，求帆船的速度与方向.
反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将
题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过
建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.
跟踪训练1 河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水
中的速度为103 km/h，求小船的实际航行速度.
类型二 向量的数量积在物理中的应用
例2 已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点
B
(7,0).
(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功.
反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.
跟踪训练2 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移
动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，
方向为北偏西30°，求合力F所做的功.
1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子
的拉力大小为______ N.
2.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹
角为60°，则力F所做的功W＝________ J.
3.一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为
12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min.
4.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的
方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂
直于河岸的方向以23 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.
用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以
向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物
理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.