刘徽割圆术精品PPT课件
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刘徽割圆术
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（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。早 在一千四百多年以前，我国古代著名 的数学家祖冲之，就精密地计算出圆 的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上 算得最精确的数值----圆周率。
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（三）圆周率的发展
“圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一个 固定的比例。我们的祖先很早就有“径一周三”的 说法，就是说，假如一个圆的直径是1尺，那它的 周长就是3尺。后来，人们发现这个说法并不准确。 东汉的大科学家张衡认为应该是3.162。三国到西 晋时期的数学家刘徽经过计算，求出了3. 14159的 圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽只算到这 里就没有继续算。祖冲打算采用刘徽“割圆术” （在圆内做正6边形，6边形的周长刚好是直径的3 倍，然后再做12边形、24边形……边数越多，它的 周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。
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第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
如图所示，四边形 OADB的面积和△OAB 的面积的差等于以AD和 DB为弦的两个直角三角 形面积，而OADB的面 积再加上这样两个直角 三角形的面积，就有一 部分超出圆周了。
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第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密 率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
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祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他 对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其 深奥，是故废而不理”，以致后来失传。
人教高中数学中国古代数学家PPT课件
人教高中数学中国古代数学家P P T 课件
祖氏原理：幂势既同，则积不容异
面积
高
夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
祖氏原理在西方称为“卡瓦列利原理”
人教高中数学中国古代数学家P P T 课件
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普通高中课程标准试验教科书 . 数学选修3-1
一场跨越一千多年的数学文化探索之旅 中国古代数学家
刘徽的重要贡献
刘徽，中国古代数学理论的奠基人，撰写 了世界数学经典名著《九章算术注》. 他的主要贡献有：创造了“割圆术”，运用朴 素的极限思想计算圆面积及圆周率；建立了重 差术；重视逻辑推理，同时又注意几何直观的 作用.
若夫觚之细者与 圆合体，则表无 余径.表无余径, 则幂不外出矣.
动手试一试
设圆的半径为1，用圆内接正n边形的面积作为圆 面积的近似值，估算圆周率.
2.598075 3
3.105828 3.132624 3.139344 3.141024
建立微积分的先驱人物阿基米德和刘徽
西方:古希腊的穷竭法
古希腊的科学泰斗阿基米德发明的穷竭法与古代中国的割
圆术极相似.根据记载，阿基米德也曾研究过求解圆周率
的问题，他是通过圆内接正多边形和圆外切正多边形从正
六边形开始加倍的进行，双向逼近圆.
310 3 1 3.142857
71
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中国古代:刘徽的割圆术
刘徽的割圆术虽然比古希腊晚几百年，但他独辟蹊径，利用已有的结果来表示圆
面积的上限，巧妙避开了对圆外切正多边形的计算，在计算圆面积的过程中收到
祖暅之开立圆术的分解
割圆术课件
割圆术的编程实现
Python实现
使用Python编程语言，我们可以编写程序来实现割圆术的计算过程，从而得到近似结 果。
算法优化
为了提高计算效率和精度，我们可以对割圆术的算法进行优化，如采用迭代法、二分法 等技巧。
THANKS
魏晋南北朝时期，随着数学理论的不断发展和完善，割圆术 逐渐形成了一套完整的理论体系。
隋唐时期的数学成就
隋唐时期，中国数学达到了巅峰，割圆术在这一时期得到了 广泛的应用和推广。
割圆术的基本概念
割圆术的定义
割圆术是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，逐步逼近圆周，最终求得圆周率的方法。
圆内接正多边形
在圆内作一个正多边形，随着边数的不断增加，多边形的形状逐渐接近于圆。
计算复杂度问题
01
割圆术在计算过程中涉及大量的 数值运算和迭代，这可能导致计 算时间较长，特别是在处理大规 模数据时。
02
对于一些复杂的问题，割圆术可 能无法在合理的时间内给出精确 解，这限制了它在解决实际问题 中的应用。
精度问题
由于割圆术基于近似算法，因此在处 理某些问题时可能无法获得高精度的 结果。
微积分中的应用
ห้องสมุดไป่ตู้极限理论
割圆术的思想可以用于理 解微积分中的极限概念， 帮助我们更好地理解极限 的性质和计算方法。
积分学
通过割圆术的方法，可以 将一些复杂的积分转化为 易于计算的简单积分，简 化计算过程。
无穷级数
割圆术与无穷级数之间存 在密切的联系，可以帮助 我们理解无穷级数的收敛 性和计算方法。
物理学中的应用
探讨割圆术在代数几何领域的应用，以及代数方法在割圆术研究中的重要性。
割圆术的未来发展方向
刘徽与割圆术
圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。
▪ 刘徽由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數。
正6邊形
正12邊形
正24邊形
邊數愈多，正多邊形愈接近圓形。 最後，劉徽求得π≈ 3.1416。 BG
正48邊形
7
谢谢观看
BG
8
BGΒιβλιοθήκη 4②刘徽原理在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时， 提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
③“牟合方盖”说 在《九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径) 的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是 指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
▪ 成就
▪ 刘徽的成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算
术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系： ①在数系理论方面 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的
运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根 的存在，并引进了新数，创造了用十B进G 分数无限逼近无理根的方法。 3
④方程新术 在《九章算术•方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了 比率算法的思想。 ⑤重差术 在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等 测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展 为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次 测望的问题。
二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的
创见： ①割圆术与圆周率 他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并
▪ 刘徽由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數。
正6邊形
正12邊形
正24邊形
邊數愈多，正多邊形愈接近圓形。 最後，劉徽求得π≈ 3.1416。 BG
正48邊形
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谢谢观看
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8
BGΒιβλιοθήκη 4②刘徽原理在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时， 提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
③“牟合方盖”说 在《九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径) 的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是 指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
▪ 成就
▪ 刘徽的成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算
术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系： ①在数系理论方面 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的
运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根 的存在，并引进了新数，创造了用十B进G 分数无限逼近无理根的方法。 3
④方程新术 在《九章算术•方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了 比率算法的思想。 ⑤重差术 在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等 测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展 为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次 测望的问题。
二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的
创见： ①割圆术与圆周率 他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并
刘徽割圆术
（四）建议将3月14日定为祖冲之纪念日 建议将 月 日定为祖冲之纪念日
美国麻省理工学院首先倡议将3日 日 寓意3﹒ ） 美国麻省理工学院首先倡议将 日14日（寓意 ﹒14）定为国际 圆周率日(National p Day)。1736年，瑞士数学家歐拉 (Euler， 圆周率日 。 年 ， 1707 – 1783) 提倡以希腊字母 p (音：pi) 来表示圓周率，p是圓周 来表示圓周率， 是圓周 音 的字頭。直到現在， 的希腊文 perijereia (英文为 periphery) 的字頭。直到現在，p 已 英文为 成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“ 成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“圆周率日 快乐！ 快乐！”用大家熟悉的生日歌旋律唱起 happy pi day to you！学 ！ 院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼(英 院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼 英 同音)以及其他各种以圆周率为主题的食物 文pie，与圆周率英文 同音 以及其他各种以圆周率为主题的食物， ，与圆周率英文pi同音 以及其他各种以圆周率为主题的食物， 举行圆周率背诵比赛。 举行圆周率背诵比赛。 全球各地的一些著名大学的数学系，也在3月 日举行 日举行Party庆 全球各地的一些著名大学的数学系，也在 月14日举行 庆 在圓周率日當天， 祝。在圓周率日當天，加拿大滑铁庐大学还会以供應免費的餡餅来 庆祝。而3月14日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 (Albert 庆祝。 月 日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 Einstein，1879 – 1955) 的生日。所以他们还会「择时辰」以庆祝 的生日。所以他们还会「择时辰」 ， 圆周率日：选择在下午1時 分开始庆祝 分开始庆祝， 圆周率日：选择在下午 時59分开始庆祝，它代表 3.14159 (准确至 准确至 六位小数) 的圓周率近似值。 六位小数 的圓周率近似值。
刘徽割圆术
刘徽割圆术
•一、刘徽首先指出利用π=3这一数值算得的 结果不是圆面积，而是圆内接正十二边形的 面积，这个结果比π的真值少.
•二、他由圆内接正六边形算起，逐渐把边数 加倍，算出正12边形、正24边形、正48边形、 正96边形……的面积，这些面积会逐渐地接 近圆面积.
三、已知正6边形一边（恰与半径等长)即
《九章算术》注文明白写着： “割之弥细，所失弥少；割之 又割以至于不可割，则与圆合 体而无所失矣 ，这段注文充分 说明了刘徽对极限概念.
后来.刘徽就用割圆术将圆周率精确到小数点后3位，
祖冲之:
祖冲之
（公元429-500年）是我国南北朝时 期，河北省涞源县人．他从小就阅读 了许多天文、数学方面的书籍，勤奋 好学，刻苦实践，终于使他成为我国 古代杰出的数学家、天文学家．
圆周率是指平面上圆的周长与直 径之比。早在一千四百多年以前， 我国古代著名的数学家祖冲之， 就精密地计算出圆的周长是它直 径的3.1415926---3.1415927倍之 间。这是当时世界上算得最精确 的数值----圆周率。
“圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一个固定的比例。我们的 祖先很早就有“径一周三”的说法，就是说，假如一个圆的直径是1尺， 那它的周长就是3尺。后来，人们发现这个说法并不准确。东汉的大科 学家张衡认为应该是3.162。三国到西晋时期的数学家刘徽经过计算， 求出了3. 14159的圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽只算到这里 就没有继续算。祖冲打算采用刘徽“割圆术”（在圆内做正6边形，6 边形的周长刚好是直径的3倍，然后再做12边形、24边形……边数越多， 它的周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。 在当时的情况下，不但没有计算机，也没有笔算，只能用长4寸，方3 寸的小竹棍来计算。工作是艰巨的，这时祖冲之的儿子也能帮助他了。 父子俩算了一天又一天，眼睛熬红了，人也渐渐瘦了下来，可大圆里的 边形却越画越多，3072边、6144边……边数越多，边长越短。父子俩 蹲在地上，一个认真地画，一个细心地算，谁也不敢走神。 最后，他们在那个大圆里画出了24576边形，并计算出它的周长是 3.1415926。 俩人看看摆在地上密密麻麻的小木棍，再看看画在地上的大圆里的图形， 高兴地笑了。 后来，祖冲之推算出，49152边形的周长不会超过3.1415927。所以， 他得出结论，圆周率是在3.1415926和3.1415927这两个数之间。 祖冲之是世界上第一个计算圆周率精确到小数点后7位的人，比欧洲人 早了1000多年，这是多么了不起的贡献啊！
•一、刘徽首先指出利用π=3这一数值算得的 结果不是圆面积，而是圆内接正十二边形的 面积，这个结果比π的真值少.
•二、他由圆内接正六边形算起，逐渐把边数 加倍，算出正12边形、正24边形、正48边形、 正96边形……的面积，这些面积会逐渐地接 近圆面积.
三、已知正6边形一边（恰与半径等长)即
《九章算术》注文明白写着： “割之弥细，所失弥少；割之 又割以至于不可割，则与圆合 体而无所失矣 ，这段注文充分 说明了刘徽对极限概念.
后来.刘徽就用割圆术将圆周率精确到小数点后3位，
祖冲之:
祖冲之
（公元429-500年）是我国南北朝时 期，河北省涞源县人．他从小就阅读 了许多天文、数学方面的书籍，勤奋 好学，刻苦实践，终于使他成为我国 古代杰出的数学家、天文学家．
圆周率是指平面上圆的周长与直 径之比。早在一千四百多年以前， 我国古代著名的数学家祖冲之， 就精密地计算出圆的周长是它直 径的3.1415926---3.1415927倍之 间。这是当时世界上算得最精确 的数值----圆周率。
“圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一个固定的比例。我们的 祖先很早就有“径一周三”的说法，就是说，假如一个圆的直径是1尺， 那它的周长就是3尺。后来，人们发现这个说法并不准确。东汉的大科 学家张衡认为应该是3.162。三国到西晋时期的数学家刘徽经过计算， 求出了3. 14159的圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽只算到这里 就没有继续算。祖冲打算采用刘徽“割圆术”（在圆内做正6边形，6 边形的周长刚好是直径的3倍，然后再做12边形、24边形……边数越多， 它的周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。 在当时的情况下，不但没有计算机，也没有笔算，只能用长4寸，方3 寸的小竹棍来计算。工作是艰巨的，这时祖冲之的儿子也能帮助他了。 父子俩算了一天又一天，眼睛熬红了，人也渐渐瘦了下来，可大圆里的 边形却越画越多，3072边、6144边……边数越多，边长越短。父子俩 蹲在地上，一个认真地画，一个细心地算，谁也不敢走神。 最后，他们在那个大圆里画出了24576边形，并计算出它的周长是 3.1415926。 俩人看看摆在地上密密麻麻的小木棍，再看看画在地上的大圆里的图形， 高兴地笑了。 后来，祖冲之推算出，49152边形的周长不会超过3.1415927。所以， 他得出结论，圆周率是在3.1415926和3.1415927这两个数之间。 祖冲之是世界上第一个计算圆周率精确到小数点后7位的人，比欧洲人 早了1000多年，这是多么了不起的贡献啊！
高中数学人教A版必修3第一章算法初步阅读与思考割圆术教学课件共13张PPT含视频等素材 (3份)
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割圆术 用圆的外切正多边形的面积逼近圆的面积
割圆术
平面图形的面积为： S6 2 S12 S6
Sn 2S2n Sn S2n S2n Sn
小结
化圆为方 内外夹逼
谢谢观看
成功的道路上充满荆棘，苦战方能成功。 能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。 世界原本就不是属于你，因此你用不着抛弃，要抛弃的是一切的执着。万物皆为我所用，但非我所属。 人生，不可能一帆风顺，有得就有失，有爱就有恨，有快乐就会有苦恼，有生就有死，生活就是这样。 所有欺骗中，自欺是最为严重的。 重要的不是发生了什么事，而是要做哪些事来改善它。 勇敢地迎接逆境，即使不能实现最初的梦想，也会打开另一扇梦想的大门。 让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。 时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 未经一番寒彻骨，哪得梅花扑鼻香。 所谓成功，就是在平凡中做出不平凡的坚持。 志坚者，功名之柱也。登山不以艰险而止，则必臻乎峻岭。 夫妇和，而后家道成。——清·程允中 只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。 壮志与毅力是事业的双翼。 实现梦想比睡在床上的梦想更灿烂。 书籍是造就灵魂的工具。 用最多的梦想面对未来。 上天不会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。 人生，不可能一帆风顺，有得就有失，有爱就有恨，有快乐就会有苦恼，有生就有死，生活就是这样。
刘徽的割圆术
圆
正六边形
正十二边形
用内接正多边形的面积无限逼近圆的面积
割圆术
E
H
A
B
F
1
O
割圆术
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B
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设圆内接正n边形边长为 xn ,面积为 Sn ，
人教A版高中数学必修3《一章 算法初步 阅读与思考 割圆术》示范课课件_10
50 失传的《缀术》
但是刘徽只算到这里就没有继 续算，南北朝时期数学家祖冲之继 承并发展了刘徽的“割圆术”，求
出 的范围为： 3.1415926< <3.1415927
需要计算到圆内接正12288边形， 是当时世界上算得最精确的数值。
（四） 刘徽“割圆术”的意义
刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了 坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重 要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是 很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形 面积，而无须外切多边形面积，这比古希腊数 学家阿基米德（前287—前212）用圆内接和外 切正多边形计算，在程序上要简便得多，可以 收到事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问 题，刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化 思想，这在一千五百年前的古代，也是非常难 能可贵的。
以直代曲，无限趋近，内外夹逼
中国古代创造了辉煌的数学成就，在数学发展的 历史长河中涌现了许多杰出的数学家。先哲们分析和 解决问题的历史背景、内容和方法都值得我们研究。 他们的丰功伟绩值得我们崇敬，他们百折不挠的治学 精神值得我们学习。
作业：
1. 修改和完善程序语句，提现“割圆术” 中“内外夹逼”。
2. 查看相关资料，了解圆周率的发展史和 刘徽、祖冲之等数学家的主要贡献
/a/1709221816388 74557008.html?qid=01359
（二）“割圆术”的含义
所谓“割圆术”，是当圆内接正多边形的边数无 限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即“割之 弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣”；
（直径为1，周长为3），实际上就是将圆的内接正六 边形周长作为圆的周长，从而求出圆周率。后来，人 们发现这个说法并不准确。东汉的大科学家张衡认为 应该是3.162。三国到西晋时期的数学家刘徽经过计 算，求出了3. 14159的圆周率，这在当时是最先进的。
但是刘徽只算到这里就没有继 续算，南北朝时期数学家祖冲之继 承并发展了刘徽的“割圆术”，求
出 的范围为： 3.1415926< <3.1415927
需要计算到圆内接正12288边形， 是当时世界上算得最精确的数值。
（四） 刘徽“割圆术”的意义
刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了 坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重 要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是 很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形 面积，而无须外切多边形面积，这比古希腊数 学家阿基米德（前287—前212）用圆内接和外 切正多边形计算，在程序上要简便得多，可以 收到事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问 题，刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化 思想，这在一千五百年前的古代，也是非常难 能可贵的。
以直代曲，无限趋近，内外夹逼
中国古代创造了辉煌的数学成就，在数学发展的 历史长河中涌现了许多杰出的数学家。先哲们分析和 解决问题的历史背景、内容和方法都值得我们研究。 他们的丰功伟绩值得我们崇敬，他们百折不挠的治学 精神值得我们学习。
作业：
1. 修改和完善程序语句，提现“割圆术” 中“内外夹逼”。
2. 查看相关资料，了解圆周率的发展史和 刘徽、祖冲之等数学家的主要贡献
/a/1709221816388 74557008.html?qid=01359
（二）“割圆术”的含义
所谓“割圆术”，是当圆内接正多边形的边数无 限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即“割之 弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣”；
（直径为1，周长为3），实际上就是将圆的内接正六 边形周长作为圆的周长，从而求出圆周率。后来，人 们发现这个说法并不准确。东汉的大科学家张衡认为 应该是3.162。三国到西晋时期的数学家刘徽经过计 算，求出了3. 14159的圆周率，这在当时是最先进的。
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如图所示，四边形 OADB的面积和△OAB 的面积的差等于以AD和 DB为弦的两个直角三角 形面积，而OADB的面 积再加上这样两个直角 三角形的面积，就有一 部分超出圆周了。
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
发，求得正十二边形的边长。根据勾股 定理，从圆内接正n边形每边的长，可以 求出圆内接正2n边形每边的长。
第三，从圆内接正n边形每边的长， 可以直接求出圆内接正2n边形面积。如 图所示，四边形OADB的面积等于半径 OD和正n边形边长AB乘积的一半。
第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密 率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他 对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其 深奥，是故废而不理”，以致后来失传。
很多人都知道用密率355/113表示π的近似值，是 一项了不起的贡献。密率355／113传到了日本后， 1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周 率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。 祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整 1000年！直到16世纪德国人V·奥托和荷兰人A·安 托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。 但是 “祖率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人 却说不出来。
（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。早 在一千四百多年以前，我国古代著名 的数学家祖冲之，就精密地计算出圆 的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上 算得最精确的数值----圆周率。
（三）圆周率的发展
“圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一 个固定的比例。我们的祖先很早就有“径一周三” 的说法，就是说，假如一个圆的直径是1尺，那它 的周长就是3尺。后来，人们发现这个说法并不准 确。东汉的大科学家张衡认为应该是3.162。三国 到西晋时期的数学家刘徽经过计算，求出了3. 14159的圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽 只算到这里就没有继续算。祖冲打算采用刘徽“割 圆术”（在圆内做正6边形，6边形的周长刚好是直 径的3倍，然后再做12边形、24边形……边数越多， 它的周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。
（一）祖冲之简介
祖冲之（公元４２９——５００年） 字文远，范阳郡遒县（今河北省保定市涞 水县）人，是我国南北朝时代一位成绩卓 著的科学家。他不仅在天文、数学等方面 有过闻名世界的贡献，而且在机械制造等 方面也有许多发明创造。他的发明为促进 社会生产的发展，建立了不可磨灭的功绩， 受到了中国人民和世界人民的尊敬。
最后，他们在那个大圆里画出了24576边形，并计算出它的 周长是3.1415926。 俩人看看摆在地上密密麻麻的小木棍，再看看画在地上的大圆里 的图形，高兴地笑了。
后来，祖冲之推算出，49152边形的周长不会超过3.1415927。 所以，他得出结论，圆周率是在3.1415926和3.1415927这两个数 之间。
（二）“割圆术”的含义
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形 的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的 方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学 史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑 才创造出来的一种崭新的方法。
（三）刘徽“割圆术”的主要 内容和根据
第一，圆内接正六边形每边的长等于半径。
Байду номын сангаас
第二，作正十二边形，从勾股定理出
（一）刘徽简介 （二）“割圆术”的含义 （三）刘徽割圆术的主要内容和根据 （四）刘徽“割圆术”的意义
（一）刘徽简介
刘徽（约公元225年—295年），汉族， 山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古 典数学 理论的奠基者之一。是中国数学史上一 个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》 和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。 刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张 直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方 式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学 刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高 尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的 伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
结果，并且得出更精确的圆周率值
π=3927/1250=3.1416
（四） 刘徽“割圆术”的意义
刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了 坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重 要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是 很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形 面积，而无须外切形面积，这比古希腊数学家 阿基米德（前287—前212）用圆内接和外切正 多边形计算，在程序上要简便得多，可以收到 事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题， 刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想， 这在一千五百年前的古代，也是非常难能可贵 的。
在当时的情况下，不但没有计算机，也没有笔算，只能用长4 寸，方3寸的小竹棍来计算。工作是艰巨的，这时祖冲之的儿子也 能帮助他了。
父子俩算了一天又一天，眼睛熬红了，人也渐渐瘦了下来， 可大圆里的边形却越画越多，3072边、6144边……边数越多，边 长越短。父子俩蹲在地上，一个认真地画，一个细心地算，谁也 不敢走神。
祖冲之是世界上第一个计算圆周率精确到小数点后7位的人， 比欧洲人早了1000多年，这是多么了不起的贡献啊！
祖率（密率）是圆周率十分精确的近似值，且又很好 记，只要将113355一分为二，便是它的分母和分子了。 张景中院士在《数学家的眼光》一书中指出：它与π精 确值的误差不超过0.000000267。在数学家看来，好 的近似分数，既要精确，分母最好又不太大。现今数 学上己不难证明，在所有分母不超过16500的分数中， 密率355/113是当之无愧的冠军。
刘徽根据割圆术从圆内接正六边形
算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边
形，正二十四边形，……以至于正九十六
边形每边的长，并且求出正一百九十二边
形的面积。
这相当于求得
π=3.14 1024。他在实际计算中，采用了
π=157/50=3.14 ，
不仅这样，刘徽还继续求到圆内 接正
三千零七十二边形的面积，验证了前面的
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
发，求得正十二边形的边长。根据勾股 定理，从圆内接正n边形每边的长，可以 求出圆内接正2n边形每边的长。
第三，从圆内接正n边形每边的长， 可以直接求出圆内接正2n边形面积。如 图所示，四边形OADB的面积等于半径 OD和正n边形边长AB乘积的一半。
第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密 率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他 对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其 深奥，是故废而不理”，以致后来失传。
很多人都知道用密率355/113表示π的近似值，是 一项了不起的贡献。密率355／113传到了日本后， 1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周 率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。 祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整 1000年！直到16世纪德国人V·奥托和荷兰人A·安 托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。 但是 “祖率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人 却说不出来。
（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。早 在一千四百多年以前，我国古代著名 的数学家祖冲之，就精密地计算出圆 的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上 算得最精确的数值----圆周率。
（三）圆周率的发展
“圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一 个固定的比例。我们的祖先很早就有“径一周三” 的说法，就是说，假如一个圆的直径是1尺，那它 的周长就是3尺。后来，人们发现这个说法并不准 确。东汉的大科学家张衡认为应该是3.162。三国 到西晋时期的数学家刘徽经过计算，求出了3. 14159的圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽 只算到这里就没有继续算。祖冲打算采用刘徽“割 圆术”（在圆内做正6边形，6边形的周长刚好是直 径的3倍，然后再做12边形、24边形……边数越多， 它的周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。
（一）祖冲之简介
祖冲之（公元４２９——５００年） 字文远，范阳郡遒县（今河北省保定市涞 水县）人，是我国南北朝时代一位成绩卓 著的科学家。他不仅在天文、数学等方面 有过闻名世界的贡献，而且在机械制造等 方面也有许多发明创造。他的发明为促进 社会生产的发展，建立了不可磨灭的功绩， 受到了中国人民和世界人民的尊敬。
最后，他们在那个大圆里画出了24576边形，并计算出它的 周长是3.1415926。 俩人看看摆在地上密密麻麻的小木棍，再看看画在地上的大圆里 的图形，高兴地笑了。
后来，祖冲之推算出，49152边形的周长不会超过3.1415927。 所以，他得出结论，圆周率是在3.1415926和3.1415927这两个数 之间。
（二）“割圆术”的含义
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形 的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的 方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学 史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑 才创造出来的一种崭新的方法。
（三）刘徽“割圆术”的主要 内容和根据
第一，圆内接正六边形每边的长等于半径。
Байду номын сангаас
第二，作正十二边形，从勾股定理出
（一）刘徽简介 （二）“割圆术”的含义 （三）刘徽割圆术的主要内容和根据 （四）刘徽“割圆术”的意义
（一）刘徽简介
刘徽（约公元225年—295年），汉族， 山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古 典数学 理论的奠基者之一。是中国数学史上一 个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》 和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。 刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张 直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方 式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学 刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高 尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的 伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
结果，并且得出更精确的圆周率值
π=3927/1250=3.1416
（四） 刘徽“割圆术”的意义
刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了 坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重 要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是 很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形 面积，而无须外切形面积，这比古希腊数学家 阿基米德（前287—前212）用圆内接和外切正 多边形计算，在程序上要简便得多，可以收到 事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题， 刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想， 这在一千五百年前的古代，也是非常难能可贵 的。
在当时的情况下，不但没有计算机，也没有笔算，只能用长4 寸，方3寸的小竹棍来计算。工作是艰巨的，这时祖冲之的儿子也 能帮助他了。
父子俩算了一天又一天，眼睛熬红了，人也渐渐瘦了下来， 可大圆里的边形却越画越多，3072边、6144边……边数越多，边 长越短。父子俩蹲在地上，一个认真地画，一个细心地算，谁也 不敢走神。
祖冲之是世界上第一个计算圆周率精确到小数点后7位的人， 比欧洲人早了1000多年，这是多么了不起的贡献啊！
祖率（密率）是圆周率十分精确的近似值，且又很好 记，只要将113355一分为二，便是它的分母和分子了。 张景中院士在《数学家的眼光》一书中指出：它与π精 确值的误差不超过0.000000267。在数学家看来，好 的近似分数，既要精确，分母最好又不太大。现今数 学上己不难证明，在所有分母不超过16500的分数中， 密率355/113是当之无愧的冠军。
刘徽根据割圆术从圆内接正六边形
算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边
形，正二十四边形，……以至于正九十六
边形每边的长，并且求出正一百九十二边
形的面积。
这相当于求得
π=3.14 1024。他在实际计算中，采用了
π=157/50=3.14 ，
不仅这样，刘徽还继续求到圆内 接正
三千零七十二边形的面积，验证了前面的