割圆术
刘徽割圆术
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（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。早 在一千四百多年以前，我国古代著名 的数学家祖冲之，就精密地计算出圆 的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上 算得最精确的数值----圆周率。
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（三）圆周率的发展
“圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一个 固定的比例。我们的祖先很早就有“径一周三”的 说法，就是说，假如一个圆的直径是1尺，那它的 周长就是3尺。后来，人们发现这个说法并不准确。 东汉的大科学家张衡认为应该是3.162。三国到西 晋时期的数学家刘徽经过计算，求出了3. 14159的 圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽只算到这 里就没有继续算。祖冲打算采用刘徽“割圆术” （在圆内做正6边形，6边形的周长刚好是直径的3 倍，然后再做12边形、24边形……边数越多，它的 周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。
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第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
如图所示，四边形 OADB的面积和△OAB 的面积的差等于以AD和 DB为弦的两个直角三角 形面积，而OADB的面 积再加上这样两个直角 三角形的面积，就有一 部分超出圆周了。
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第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密 率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
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祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他 对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其 深奥，是故废而不理”，以致后来失传。
割圆术公式
割圆术公式割圆术公式是古希腊数学家阿基米德在公元前3世纪提出的一种求圆周率的方法。
这个公式可以用来计算圆的周长和面积，是数学中的一个重要定理。
下面我将简要介绍一下割圆术公式的原理和应用。
割圆术公式的原理是通过不断逼近圆的周长和面积来求解圆周率。
具体的方法是将圆分割成多个等分的扇形，然后将这些扇形展开成一条长线段，通过计算这条线段的长度来逼近圆的周长。
同时，还可以将扇形展开成一个近似的矩形，通过计算这个矩形的面积来逼近圆的面积。
在割圆术公式中，首先需要确定圆的半径r。
然后，将圆分割成n 个等分的扇形，每个扇形的夹角为Δθ=2π/n。
接下来，我们可以通过计算每个扇形的弦长来逼近圆的周长。
每个扇形的弦长可以通过割线的长度来计算，割线的长度可以通过圆的半径和扇形的夹角来确定。
根据三角函数的定义，割线的长度可以表示为2r*sin(Δθ/2)。
因此，每个扇形的弦长为2r*sin(Δθ/2)。
通过将所有扇形的弦长相加，可以得到整个圆的周长。
即圆的周长C可以表示为C=n*2r*sin(Δθ/2)。
类似地，我们可以通过计算扇形的面积来逼近圆的面积。
每个扇形的面积可以表示为1/2*r^2*Δθ。
因此，整个圆的面积可以表示为A=n*1/2*r^2*Δθ。
割圆术公式的应用非常广泛。
在几何学中，它可以用来计算圆的周长和面积，为其他几何问题的解决提供基础。
在物理学和工程学中，割圆术公式可以用来计算圆形物体的周长和面积，以及圆形运动的相关参数。
在计算机图形学中，割圆术公式可以用来生成圆形的曲线和图像。
值得注意的是，割圆术公式是一种近似求解方法，其结果会随着等分的数量n的增加而越来越接近真实值。
然而，在实际应用中，我们通常会使用更加精确的数值方法或者解析方法来计算圆的周长和面积。
割圆术公式是一种用来求解圆的周长和面积的数学方法。
通过将圆分割成多个等分的扇形，我们可以通过计算扇形的弦长和面积来逼近圆的周长和面积。
割圆术公式在几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域都有广泛的应用，为解决各种问题提供了有力的工具。
刘徽割圆术精品PPT课件
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
发，求得正十二边形的边长。根据勾股 定理，从圆内接正n边形每边的长，可以 求出圆内接正2n边形每边的长。
第三，从圆内接正n边形每边的长， 可以直接求出圆内接正2n边形面积。如 图所示，四边形OADB的面积等于半径 OD和正n边形边长AB乘积的一半。
第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密 率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他 对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其 深奥，是故废而不理”，以致后来失传。
很多人都知道用密率355/113表示π的近似值，是 一项了不起的贡献。密率355／113传到了日本后， 1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周 率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。 祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整 1000年！直到16世纪德国人V·奥托和荷兰人A·安 托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。 但是 “祖率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人 却说不出来。
（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。早 在一千四百多年以前，我国古代著名 的数学家祖冲之，就精密地计算出圆 的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上 算得最精确的数值----圆周率。
刘徽割圆术
（四）建议将3月14日定为祖冲之纪念日 建议将 月 日定为祖冲之纪念日
美国麻省理工学院首先倡议将3日 日 寓意3﹒ ） 美国麻省理工学院首先倡议将 日14日（寓意 ﹒14）定为国际 圆周率日(National p Day)。1736年，瑞士数学家歐拉 (Euler， 圆周率日 。 年 ， 1707 – 1783) 提倡以希腊字母 p (音：pi) 来表示圓周率，p是圓周 来表示圓周率， 是圓周 音 的字頭。直到現在， 的希腊文 perijereia (英文为 periphery) 的字頭。直到現在，p 已 英文为 成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“ 成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“圆周率日 快乐！ 快乐！”用大家熟悉的生日歌旋律唱起 happy pi day to you！学 ！ 院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼(英 院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼 英 同音)以及其他各种以圆周率为主题的食物 文pie，与圆周率英文 同音 以及其他各种以圆周率为主题的食物， ，与圆周率英文pi同音 以及其他各种以圆周率为主题的食物， 举行圆周率背诵比赛。 举行圆周率背诵比赛。 全球各地的一些著名大学的数学系，也在3月 日举行 日举行Party庆 全球各地的一些著名大学的数学系，也在 月14日举行 庆 在圓周率日當天， 祝。在圓周率日當天，加拿大滑铁庐大学还会以供應免費的餡餅来 庆祝。而3月14日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 (Albert 庆祝。 月 日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 Einstein，1879 – 1955) 的生日。所以他们还会「择时辰」以庆祝 的生日。所以他们还会「择时辰」 ， 圆周率日：选择在下午1時 分开始庆祝 分开始庆祝， 圆周率日：选择在下午 時59分开始庆祝，它代表 3.14159 (准确至 准确至 六位小数) 的圓周率近似值。 六位小数 的圓周率近似值。
《刘徽割圆术》课件
割圆术与极限思想的关系
极限思想是数学中一个重要的 概念，它描述了当某量变化时 ，其极限的存在性。
割圆术体现了极限思想的应用 ，即通过不断增加多边形的边 数，使得多边形的周长无限接 近于圆的周长。
这种极限思想的应用使得刘徽 能够利用有限的手段来逼近无 限的数值，从而得到圆周率的 近似值。
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THANKS
计算机图形学
在现代计算机图形学中，刘徽割圆术 的思想被广泛应用于生成平滑的曲线 和曲面，例如在制作动画、游戏、电 影等领域。
数值分析
刘徽割圆术中的数值计算方法也被广 泛应用于现代科学中的数值分析领域 ，例如在计算物理、工程等领域中， 可以利用刘徽割圆术的方法进行数值 模拟和计算。
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刘徽割圆术的局限性与挑战
在数学史上的地位
推动了中国古代数学的发展
刘徽割圆术是中国古代数学发展史上的重要里程碑，它的出现标志着中国古代数学从经验型向理论型的转变。
对世界数学史的影响
刘徽割圆术的提出和应用，不仅对中国古代数学产生了深远影响，也对世界数学史的发展产生了重要影响，为后 来的数学家提供了宝贵的启示和借鉴。
在现代科学中的应用
古代科学技术的局限性
缺乏精确的测量工具
古代科学技术的限制使得刘徽在进行 割圆术时无法获得精确的数值和比例 。
缺乏数学理论支持
受限于经验和实践
由于历史背景和知识体系的限制，刘 徽只能通过直观和实践来验证割圆术 ，这使得其结果的可靠性和准确性存 在一定问题。
当时的数学理论尚未发展到能够完全 支撑刘徽割圆术的证明，这使得该方 法在理论上的可靠性受到质疑。
刘徽割圆术在现代科学中的应用前景
数学建模
刘徽割圆术的基本思想和技巧可以应用 于数学建模中，为解决实际问题提供新 的思路和方法。例如，在物理、工程、 经济等领域中，可以利用刘徽割圆术的 思想来建立数学模型，解决复杂的问题 。
割圆术的理解
割圆术的理解
割圆术，又称作圆周率的求法，是一种古老的数学方法，用来计算圆的周长和面积。
它的原理是将圆分割成无数个小块，然后计算每个小块的周长和面积，最后将它们加起来。
随着时间的推移，割圆术逐渐被新的数学方法所取代，但它仍然是一种了解数学基本原理的重要工具。
割圆术最早出现在古希腊，由古希腊哲学家泰勒斯发明。
他将圆分割成多边形，然后用正方形的面积来逼近圆的面积。
后来，随着技术的发展，人们开始使用更多的边来逼近圆的周长和面积，直到最终使用无限多的边，才能得到完美的结果。
割圆术的重要性在于它演示了数学中的一些基本原理，例如，如何使用无限小的分割来逼近连续曲线的长度和面积。
它也表明了数学中的抽象思维，以及如何使用这些抽象思维来解决实际问题。
虽然现代数学已经有了更为高效的方法来计算圆的周长和面积，但割圆术仍然具有重要的历史和教育意义。
它提醒人们要尊重和珍视古老的知识，同时也鼓励人们不断探索和创新，以推动数学和其他领域的进步。
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割圆术的理解
割圆术的理解
割圆术，又称作圆周率的计算方法，是古代数学家们为了解决圆周率这一无理数的问题而提出的一种独特的数学技巧。
通过不断逼近、分割圆的方法，人们逐渐探索出了一系列近似值，使得这个神秘的圆周率逐渐呈现出一种规律性。
在古代，人们对圆周率的求解一直是一个难题。
圆周率是一个无限不循环小数，无法用简单的分数或有限小数来表示。
因此，数学家们努力探索各种方法，试图找到一种近似值来代表这个神秘的数。
最早的割圆术可以追溯到古代希腊数学家阿基米德。
他通过不断细分正多边形，逐渐逼近圆的周长，从而得到了一个相对准确的圆周率近似值。
这种方法被称为阿基米德割圆术，为后人提供了一个重要的启示。
除了阿基米德，古代中国的数学家刘徽也提出了类似的割圆方法。
他通过细分正方形、正六边形等多边形，逐步逼近圆的周长，得到了一系列圆周率的近似值。
这种方法被称为刘徽割圆术，为中国古代数学的发展做出了重要贡献。
随着数学的发展，人们逐渐发现，割圆术不仅可以用来计算圆周率，还可以应用于其他领域。
例如，在微积分中，割圆术可以用来计算曲线的长度、面积等问题。
在工程领域，割圆术可以用来设计各种复杂的曲线、图形等。
总的来说，割圆术是一种古老而神秘的数学方法，它通过不断逼近、分割圆的方式，揭示了圆周率这个神秘数的一些规律。
虽然我们无法用有限的小数或分数来精确表示圆周率，但通过割圆术这种方法，我们可以得到一系列近似值，从而更好地理解这个数学世界的奥秘。
数学文化之割圆术
割圆术3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.“圜，一中同长也”.意思是说：圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等.早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系.认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积.我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在所熟悉的公式.为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”. 利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周.早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题.到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小.阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7.公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率.书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）.刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.其思想与古希腊穷竭法不谋而合.割圆术在圆周率计算史上曾长期使用.1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位.1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果.分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.。
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y 16(2) 2 16(0) 2 32英尺 / 秒 t 20
例 2 求上例中岩石在时刻t=2的速度
y 16(2 h)2 16(2)2 t h
时间区间的长度h（秒） 该时间区间内的平均速 度∆y/∆t（英尺/秒）
1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001
实验表明一块致密的固体在地 球表面附近从静止状态自由落
下，下落的头t秒钟下落的英尺
数为
y 16t
2
例 1 （求平均速度） 一块岩石突然松动从峭壁顶 上掉下来，掉下来的头2秒岩石的平均速度是多少？
在任何给定的时间区间上岩石的平均 速度是所走过的距离∆y除以时间区间
的长度∆t。从t=0到t=2的头2秒下落平
割圆术（cyclotomic method）
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近 圆面积并以此求之上的。他 首先论证，将圆分割成多边形，分割来越细，多边形 的边数越多，多边形的面积就和圆面积没有差别了。
他说，将6边形一边的长度乘以圆半径，再乘3，得12
边形的面积。将12边形的一边长乘半径，再乘6，得 24边形面积。越割越细，多边形和圆面积的差越小。 如此割了再割，最后终于和圆合为一体，毫无差别了
正12边形面积 <正24边形面积< 正48边形面积<正96 边形面积……<内接6*2N边形面积<圆面积
按照这样的思路，刘徽把圆内接 正多边形的面积一直算到了正
80 65.6 64.16 64.016 64.0016 64.00016
例 2 求上例中岩石在时刻t=2的速度
y 16(2 h) 2 16(2) 2 t h 16(4 4h h 2 ) 64 h 64h 16h 2 64 16h h
3072边形，并由此而求得了圆周
率 为3.1415和 3.1416这两个近似 数值。这个结果是当时世界上圆 周率计算的最精确的数据。
内接 6*2N边形面积 圆面积 内接 6*2N边形面积+6*2N*d*L。
例 1 （求平均速度） 一块岩石突然松动从峭壁顶 上掉下来，掉下来的头2秒岩石的平均速度是多少？