2.6拉压超静定问题
第6章超静定问题
T =7 kN.m d1=0.1 m
2m
A
1m
B
1m
C 2m d2
材料力学电子教案
例 7 答案 解：联立三式求出 FN ,即可得结果：
∆l = FN ⋅2 8FN = π d 22 Eπd 2 E 4 ∆l 2 ⋅∆l = = d1 d1 2 T ⋅1 FN d1 ⋅2 = − GI P GI P
材料力学电子教案
对(c)图: (1) 平衡方程
A
1
a
2 C
a
3 B
l
∑F
y
= 0, F1 + F2 + F3 − F = 0
A
F
∑M
= 0, aF2 + 2aF3 = 0
F1
F2
F3
(2) 变形协调方程
∆l1 − ∆l2 = ∆l2 − ∆l3
即∆l1 − 2∆l2 + ∆l3 = 0 (3) 物理方程 F1l ∆l1 = E1 A1
(4)补充方程变为 (4)
FN1 = FN 3
EA cos 2 α E3 A3
材料力学电子教案
联立平衡方程、补充方程，求解得
FN1 = FN 2 =
F E3 A3 2 cos α + EA cos 2 α
FN 3
F = EA 3 1+ 2 cos α E3 A3
在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆 的刚度的比值有关，杆系中任一杆刚度的改变都将引起杆系各 轴力的重新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的。
F N3
α
FN2
A F
x
ΣFy = 0, FN3 + FN1 cos α + FN2 cos α − F = 0
超静定问题
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl
GI p
T ( x)dx
l GI p
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面 C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力 偶矩。
m
A
C
a
B
b
解：
A
m
C
ɑ
m
B
b
mA
mB
静力平衡方程为： mA mB m
变形协调条件为： AB AC CB 0
即： mA a mB b 0 GIp GIp
例题 6.1
有载荷F,垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横 梁AB的自重不计,求两杆中的内力.
MA 0
1
A
C
2
L1
FN1a FN22a F2a 0
B
变形协调方程
a
a
F
FN1
FN 2
A
B
C L1
L2
a
a
F
2L1 L2
2 FN1L FN 2L E1 A1 E2 A2
FN1
1
2F 4E2 A2
第六章 简单的超静定问题 q
1.超静定问题及其解法
A
B
l
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由 平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静 定问题,相应的结构称为静定结构.
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程 无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问 题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.
E1 A1
FN 2
4
4F E1 A1
E2 A2
L
1.8L LDB
例题 6.2 图示刚性梁AB受均布载荷作用，梁在A端铰支，在B点和 C点由两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆的横截面面积
超静定问题
l ＞
B端必接触
C
40kN 1.2m
静力平衡方程
RA RB 100kN
B
变形协调条件为 l
RB
RA
A
60kN 2.4m 1.2m
轴 力 图
15kN
85kN
⊕ 25kN
C
40kN 1.2m
B
RA 103 1.2 ( RA 60) 103 2.4 RB 103 1.2 l 9 6 9 6 9 6 210 10 600 10 210 10 600 10 210 10 300 10
3
FC
A
FC
C
L
2
L
B
2
P
例题 6.10
当系统的温度升高时,下列结构中的____不会 A 产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.11
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用, 梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列 关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论 中,___是错误的. C
RB
RA 85kN
RB 15kN
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl GI p
T ( x) dx GI p l
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力
偶矩。
m
A C B
a
b
解：
A
m
ɑ
mA
C
B
b
m
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为：
5 ql 8
B
L
q
超静定问题——精选推荐
西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室第八章简单的超静定问题§8-1 概述静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的全部未知的约束反力或内力FAB2A F1BααC平面任意力系：3个平衡方程平面共点力系：2个平衡方程独立平衡方程数：超静定结构(静不定结构): 仅凭静力学平衡方程不能求解全部未知内力或反力的结构。
超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数。
BD C A 132FααF F CF B F A BC ABCADA FααF N1y xF N3F N2BD C A 132FααF F CF B F A BC AA FααF N1y xF N3F N2•习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约束，相应的约束反力称为多余未知力。
•超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。
•注意：从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的。
超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系列出需要的补充方程；则可求解超静定问题。
F F CF B F A BC A•补充方程的数目=多余未知力的数目=多余约束数。
•根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程，结合物理关系（胡克定律），则可列出需要的力的补充方程。
•补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧与关键。
此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明。
BD C A 132FααF F CF B F A BC AA FααF N1yxF N3F N2§8.2 拉压超静定问题1拉压超静定问题解法例两端固定的等直杆AB ，在C 处承受轴向力F 如图，杆的拉压刚度为EA ，求杆的支反力.解：一次超静定问题=−+F F F B A F BA F AB ablFC (1) 由节点A 的平衡条件列出杆轴线方向的平衡方程（2）变形：补充方程(变形协调条件)可选取固定端B 为多余约束，予以解除，在该处的施加对应的约束反力F B ，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构--称为原超静定结构的基本静定系或相当系统注意原超静定结构的 B 端约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在B 点的位移为零。
材料力学轴向拉压
σ
σ
α
2.3 拉压杆的变形
一、拉压杆的轴向变形
F
F
l
l1
b
b1
轴向变形
轴向线应变 拉为正
实验表明，当 F 在一定的范围时，有：
FN
FN
胡克定律, E 称弹性模量或杨氏模量, 与应力有相同的量刚,EA 称杆的拉压刚度。
2.3 拉压杆的变形
b1 横向变形 横向线应变 弹性模量 E 和泊松比μ都是材料的弹性常数，由实验测得。
即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之比的绝对值为一常数，称为泊松比。
二、拉压杆的横向变形
实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：
F
l1
b
l
F
例：图示等截面直杆，横截面面积为A，弹性模量E，自重为W。杆的自由端受轴向力F作用，考虑杆的自重影响，求自由端 B 及杆中截面C 的轴向位移。
F
l/2
l/2
一、外力作用下的超静定问题 例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆件EC 及FD 组成，在B端受力 F 作用。两弹性杆的拉压刚度分别为E1A1 和E2A2 。试求杆EC 和 FD 的内力。
A
D
C
B
E
F
F
l / 3
l / 3
l / 3
a
E1A1
E2A2
C`
D`
A
FHA
FVA
B
FN2
F
FN1
解：一次超静定问题，取AB 杆为研究对象
当曲柄为铅直位置时轴力(值)最大
(受压)
确定连杆截面尺寸：
θmax
例：图示三角托架。在节点A受铅垂载荷F作用，其中钢拉杆AC由两根№6.3（边厚为6mm）等边角钢组成，AB杆由两根№10工字钢组成。材料为Q235钢，许用拉应力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=90MPa ，试确定许用载荷[ F ]。
超静定问题
ΔA ΔC w B B0 B1 ΔB 2
FN3
ΔA'
A'
F
ΔA
由位移相容 条件 ΔA ΔA ， 利用物理关系(位 移或变形计算公 式)可得补充方程：
A
FN3
FN3 l1 cos 2 E3 A3 2 E1 A1 cos
F FN3 l1
Review
于是可求出多余未知力FN3 。
材料力学
简单的超静定问题
5
e B
材料力学
简单的超静定问题
10
例题 6-5
3. 根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程 M ea M B l GI p GI p 求得 M ea MB l 可由平衡方程求得为
M ea M eb M A Me M B Me l l
材料力学
简单的超静定问题
例题 6-7
材料力学
简单的超静定问题
27
例题 6-7
把图d所示外伸梁， 视为由悬臂梁AB(图 e)和简支梁BC(图f) 两部分组成。
( FN a )( 2a ) 2FN a 2 2FN a 3 BM , w A1 B a ( ) 3 EI 3 EI 3 EI 3 3 3 3 FN a 2FN a FN a FN a w A2 ＝ ( ) , w AF＝ ＋ ＝ ( ) 3 EI 3 EI 3 EI EI
材料力学
简单的超静定问题
39
现按如图a中所示各支点沉陷DB >DC > DA的情 况进行分析。此时，支座B相对于支座A 、C 沉陷 后的点A1 、C1 的连线有位移 ΔA ΔC w B B0 B1 ΔB 2
材料力学
§2-8 拉伸、压缩超静定问题.
=cm2 ， =cm2，当温度升至T2
=25℃时,求各杆的温度应力。 a (线膨胀系数 =12.5× 106 / C N1 a 弹性模量E=200GPa) 解：、平衡方程： ；
Y N N
1
2
0
、几何方程：
a
L LT LN 0
A A1 100 0 0 A
3、脆性、塑性及相对性
以 5 0 0 为界
四、无明显屈服现象的塑性材料
0.2
名义屈服应力:
0.2
，即此类材料的失效应力。
.
bL
五、铸铁拉伸时的机械性能
ｂL ---铸铁拉伸强度极限（失效应力）
E t g ; 割线斜率
六、材料压缩时的机械性能
应力越高蠕变越快
蠕变变形是不可恢复的塑性变形。
2、应力松弛：
在一定的高温下，构件上的总变形不变时，弹性变形会随时 间而转变为塑性变形（原因为蠕变），从而使构件内的应力变小 。这种现象称为应力松弛。
加静载
经过较长时间后 卸载
杆也是自己长了一段！
温度不变 3 2 1
初始弹性应变不变
T1T2 T3
§2－8 拉伸、压缩超静定问题 一、超静定问题及其处理方法 不 稳 定 平 衡 稳 定 平 衡
静定问题 超静定问题 1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 （外力、内力、应力）的问题。 2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理 方程相结合，进行求解。
例11 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
N ( x) P() P()
其中“P()”与“P()”均为x点左侧与右侧部分的 所有外力。
第五节 简单拉压超静定问题
第五节简单拉压超静定问题在前面几节讨论的问题中，杆件的约束反力和杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这类问题称为静定问题。
例如图5-25a所示的杆AB，在C处受到集中力P，则AC、CB段的内力可由平衡方程求出；同样，图5-26a所示的构架，是由AB及AC两杆组成，在A点受到载荷G的作用，求AB和AC杆的两个未知内力时，因能列出两个平衡方程，所以是静定问题。
(a) (b)图5-25图5-26在工程实际中，有时为了增加构件和结构物的强度和刚度，或者由于构造上的需要，往往要给构件增加一些约束，或在结构物中增加一些杆件，这时构件的约束反力或杆件的数目多于刚体静力学平衡方程的数目，因而仅用静力平衡方程不能求解。
这类问题称为超静定问题或称静不定问题。
未知力个数与独立的平衡方程数之差称为静不定次数或称超静定次数。
例如图5-25b所示的杆，A、B两端有未知的约束力R1、R2，y方向静力平衡方程数只有1个，故属于一次超静定问题；图5-26b所示的构架，是由AB、AC、AD三杆组成，若取节点A研究，其所受力组成平面汇交力系，可列出2个静力平衡方程，但未知力有3个（N1、N2、N3），属于一次超静定问题。
显然仅由静力平衡方程不能求出全部未知内力。
求解超静定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须根据杆件变形之间的相互关系（称为变形协调条件），列出变形的几何方程，再由力和变形之间的物理条件（虎克定律）建立所需的补充方程。
下面通过例题说明超静定问题的解法。
例5-8图5-27a所示为两端固定的杆。
在C、D两截面处有一对力P作用，杆的横截面面积为A，弹性模量为E，求A、B处支座反力，并作轴力图。
图5-27解：取AB 杆为研究对象，设A 、B 处的约束反力为压力，如图5-27b 所示，由平衡方程得 （a ）上式中只知道两个未知约束反力相等，不能解出具体值，故还需要列一个补充方程。
显然，杆件各段变形后，由于约束的限制，总长度保持不变，故变形协调条件为根据虎克定律，得到=，，，代入上式得到变形的几何方程为整理后得（b ）将式（a ）代入式（b ），可解得作出杆的轴力图，如图5-27c 所示。