江苏省七市2020届高三第二次调研考试 数学
江苏省七市2020届高三第二次调研考试数学试卷
绝密★启用前江苏省七市2020届高三第二次调研考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高．锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{1，4}，B ＝{a －5，7}．若A ∩B ＝{4}，则实数a 的值是________．2. 若复数z 满足zi＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．(第4题)3. 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量(单位：吨)分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则该农作物的年平均产量是________吨．4. 如图是一个算法流程图，则输出S 的值是________．5. “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头，甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是________．6. 在△ABC 中，已知B ＝2A ，AC ＝3BC ，则A 的值是________．7. 在等差数列{a n }(n ∈N *)中，若a 1＝a 2＋a 4，a 8＝－3，则a 20的值是________．(第8题)8. 如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则V 1＋V 2V的值是________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q.若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线y ＝2x 上，过点P 作圆C ：(x －4)2＋y 2＝8的一条切线，切点为T.若PT ＝PO ，则PC 的长是________．11. 若x ＞1，则2x ＋9x ＋1＋1x －1的最小值是________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝e x在点P(x 0，ex 0)处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B(x 0，0)，△PAB 的面积为3，则x 0的值是________．13. 如图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2))，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，则A 6A 7→·A 7A 8→的值是________．14. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x －a|，0＜x ≤4，f （8－x ），4＜x ＜8.若存在实数m ，使得关于x 的方程f(x)＝m有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(α＋π4)，sin(α＋π4))，其中0＜α＜π2. (1) 求(b －a )·a 的值；(2) 若c ＝(1，1)，且(b ＋c )∥a ，求α的值．16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CA ＝CB ，点P ，Q 分别为AB 1，CC 1的中点．求证： (1) PQ ∥平面ABC ； (2) PQ ⊥平面ABB 1A 1.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝1，椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b＞0)的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N.当AN ＝127AM时，求直线l 的方程．某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2∶1的两部分(点D，E分别在边AB，AC上)；再取DE的中点M，建造直道AM(如图)．设AD＝x，DE＝y1，AM ＝y2(单位：百米)．(1) 分别求y1，y2关于x的函数关系式；(2) 试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．若函数f(x)在x0处有极值，且f(x0)＝x0，则称x0为函数f(x)的“F点”．(1) 设函数f(x)＝kx2－2ln x(k∈R)．①当k＝1时，求函数f(x)的极值；②若函数f(x)存在“F点”，求k的值；(2) 已知函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0)存在两个不相等的“F点”x1，x2，且|g(x1)－g(x2)|≥1，求a的取值范围．在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝18.设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1＝－1，a n ＋b n ＝－12S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 是等差数列；(3) 是否存在等差数列{c n }，使得对任意n ∈N *，都有S n ≤c n ≤a n ？若存在，求出所有符合题意的等差数列{c n }；若不存在，请说明理由．数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01a 0的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02b 0.若曲线C 1：x 24＋y 2＝1在矩阵A 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求曲线C 2的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C 的方程为ρ＝r(r ＞0)，直线l 的方程为ρcos(θ＋π4)＝ 2.设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB ＝27，求r 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知实数x ，y ，z 满足x 21＋x 2＋y 21＋y 2＋z 21＋z 2＝2，求证：x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z1＋z2≤ 2.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是12，且是否休假互不影响．若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺维持营业，否则该店就停业．(1) 求发生调剂现象的概率；(2) 设营业店铺数为X ，求X 的分布列和数学期望．23.我们称n(n ∈N *)元有序实数组(x 1，x 2，…，x n )为n 维向量，为该向量的范数．已知n 维向量a ＝(x 1，x 2，…，x n )，其中x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，…，n.记范数为奇数的n 维向量a 的个数为A n ，这A n 个向量的范数之和为B n .(1) 求A 2和B 2的值；(2) 当n 为偶数时，求A n ，B n (用n 表示)．。
江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试试题
江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题江苏省南通市 2020 届高三数学第二次调研测试一试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（共14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务势必自己的姓名、考试证号等用书写黑色笔迹的0.5 毫米署名笔填写在答题卡上。
3．作答试题一定用书写黑色笔迹的0.5 毫米署名笔写在答题卡上的指定地点，在其他位置作答一律无效。
若有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描绘清楚。
参照公式：柱体的体积公式V柱体Sh ，此中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．1．已知会合 U1，0 ，1，2，3 ，A1，0 ，2，则 e U A▲ ．2．已知复数 z1a i ，z2z13 4 i ，此中i为虚数单位．若z为纯虚数，则实数a的值为▲ ．23．某班 40 名学生参加普法知识比赛，成绩都在区间40，100 上，其频次散布直方图如下图，则成绩不低于60 分的人数为▲．开始S←1频次i ←1组距i← i1S←S× 5i < 4YN40506070 8090100成绩 /分输出 S（第 3题）结束（第4题）4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为▲．5．在长为 12 cm 的线段AB上任取一点C，以线段AC， BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm2的概率为▲ ．6．在△ABC中，已知 AB1，AC 2 ，B45 ，则BC的长为▲ ．江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题27． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2y有公共的渐近线，且经过点 x13P 2， 3 ，则双曲线 C 的焦距为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角 ， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过点A (1 ，2 ) ，B ( 5 ，1) ，则 tan() 的值为▲ ．9． 设等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ．若 S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列， 且 a 8 3 ，则a 5 的值为▲ ．10．已知 a ，b ，c 均为正数，且 abc 4( a b ) ，则 a b c 的最小值为▲ ．x ≤ 3 ，11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组x 3y 3≥ 0 ， 表示的平面地区 x3y 3 ≥ 0内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ▲ ．12．设函数 f ( x)exx31 ，x 0 ，3 个不一样的零点，则实数2（此中 e 为自然对数的底数）有 3mx 2 ，x ≤ 0m 的取值范围是▲ ．13．在平面四边形 ABCD 中，已知 AB 1，BC4 ，CD 2 ，DA uuur uuur3，则 AC BD 的值为 ▲ ．14．已知 a 为常数，函数x的最小值为2f ( x)23 ，则 a 的全部值为▲ ．x 1 x 2a二、解答题： 本大题共 6 小题，合计 90 分．请在答题卡指定地区 内作答． 解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量acos ，sin，， cos， 1 ，3．bsinc2 2 （1）若 a bc ，求 sin () 的值；（2）设5π， 0 π，且 a //b c，求的值．616．（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱111中，AB，点 ， F 分别在棱 1，1上（均异于ABC ABCACEBBCC端点），且∠ ABE ∠ ACF ， AE ⊥ BB 1， AF ⊥ CC 1． AC求证：（ 1）平面 AEF ⊥平面 BBCC ；BF11E（2）BC //平面AEF．17．（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，1， 2 是椭圆x2y21( a b 0 ) 的短轴端点，P是B Bb2a 2椭圆上异于点 B ， B 的一动点．当直线PB 的方程为y x 3时，线段 PB 的长为4 2．1211（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q知足：1122．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．QB PB， QB PByB1QO xPB2（第 17 题）18．（本小题满分16 分）2将一铁块高温消融后制成一张厚度忽视不计、面积为 100 dm 的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成 A， B，C三个矩形（ B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将 A 作为圆柱的侧面睁开图，并从B， C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l1为侧棱，将 A 作为正四棱柱的侧面睁开图，并从B， C中各裁剪出一个正方形（各边分别与l1或 l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题（ 2）设 l1的长为x dm，则当 x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？l1BAl 2C（第 18 题）19．（本小题满分16 分）设等比数列1， 2， 3， 4 的公比为，等差数列b 1，2，3， 4 的公差为，且q 1，d 0．a a a a qb b b d 记c i a i b i（i1，2， 3， 4）．（ 1）求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；（ 2）设a11，q 2．若数列，，是等比数列，求b2对于 d 的函数关系式及其定义域；c1 c2c3（ 3）数列 c1，c2，c3，c4可否为等比数列？并说明原因．20．（本小题满分16 分）设函数 f ( x )x asin x ( a0 )．（1）若函数y f ( x ) 是R上的单一增函数，务实数a 的取值范围；（2）设a 1 ，g ( x )2f ( x ) b ln x 1 ( b R ，b0 )，g ( x ) 是g( x ) 的导函数．① 若对随意的x0 ，g ( x )0 ，求证：存在x0，使 g( x0)0 ；②若 g ( x1 )g ( x2) ( x1x2)，求证：x1 x24b 2．江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题（附带题）注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷共 2 页，均为非选择题（第21~23 题）。
高考数学母题解密专题07 函数与方程(江苏专版)
专题07 函数与方程【母题来源一】【2020年江苏】已知y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f （-8）的值是____．【母题来源二】【2019年江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .【母题来源三】【2018年江苏】若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为________．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化思想和数形结合思想.【命题规律】高考对该部分内容的考查主要有两种考查角度：一是求函数零点的个数；二是判断零点的范围．一般为填空题的压轴题，难度较大，【方法总结】1．函数零点的判定方法（1）定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数()y f x =必须在区间[a ，b ]上是连续的，当()()f a f b ⋅0<时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．（2）方程法：判断方程()0f x =是否有实数解．（3）图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如()()()f x g x h x -=，作出()y g x =和()y h x =的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点.2．判断函数零点个数的方法（1）解方程法：令f (x )=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.3．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：（1）判断函数的单调性；（2）利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；（3）解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．4．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．5．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：（1）求出零点，直接比较大小；（2）确定零点所在区间；（3）同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.1．（江苏省南通市2020届高三下学期第四次调研测试）已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值为________．2．（2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3a f x x =+，则()f a 的值为________． 3．（江苏省泰州市2020届高三下学期5月高考模拟）若函数()2,1,x a x a f x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______．4．（江苏省扬州中学2019-2020学年高三下学期4月月考）已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．5．（江苏省南通市2020届高三下学期高考考前模拟）已知函数3ln ,0()2,0x x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩，若()()g x f x ax =-有3个零点，则实数a 的取值范围为________．6．（江苏省无锡市天一中学2020届高三下学期6月模拟）若函数()()30f x x ax a -=>的零点都在区间[]10,10-上，则使得方程()1000f x =有正整数解的实数a 的取值的个数为______．7．（江苏省南通市2020届高三下学期第四次调研测试）已知函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，则函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为________．8．（江苏省南京师大附中2020届高三下学期6月高考模拟）已知函数()f x =，()ln ,01,016x x g x x x >⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，若关于x 的方程()()f x g x =有3个不同的实数根，则实数a 的取值集合为________．9．（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期）已知()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数，当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()121f x x =--．若函数()log a y f x x =-（1a >）在()0,∞+上恰有4个互不相同的零点，则实数a 的值__________．10．（2020届江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高三下学期第二次调研考试）设函数()()2log ,048,48x a x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是______．11．（江苏省南京师大附中2019-2020学年高二上学期期初模拟）已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和为_____________．12．（2020届江苏省南京市十校高三下学期5月调研）函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若()13f =，则()()()1250f f f ++⋅⋅⋅+=__________． 13．（江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期四模）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，110(){2011ax x f x bx x x +-≤<=+≤≤+，，，，其中a b R ∈，．若1322f f ，则3a b +的值为 ． 14．（江苏省苏州市2020届高三下学期5月二模）设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足()12f >-，()32f m m =-，则m 的取值范围是______．15．（2020届江苏省南京十三中、中华中学高三下学期联合调研）定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上是增函数，又()30f -=，则不等式()0xf x <的解集为______．16．（2020届江苏省南京师大附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校高三下学期4月联考）已知周期为6的函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当[]1,4x ∈时，()ln x f xx =，a e <≤e 为自然对数的底数），关于x 的不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为______．如何学好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。
江苏省七市2020届高三第二次调研考试数学试题Word版含解析
江苏省七市2020届高三第二次调研考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.a的值为____．【答案】4【解析】【分析】a值即可a=4故答案为4【点睛】本题考查集合的交集，熟记交集的概念与运算是关键，是基础题2.（____．【答案】【解析】【分析】由复数运算化简为z=a+bi的形式，则实部可求故实部为【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题3.某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____．【答案】35【解析】【分析】由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数．【详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，抽样的比列为，故答案为 35．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题．4.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为____．【解析】【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【详解】随机选派2种，甲、乙两人中恰有1种，【点睛】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键，是基础题5.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为____．【答案】30【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S的值，模拟程序的运行即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得i＝1，S＝2满足条件i＜7，执行循环体，S＝2×1＝2，i＝3满足条件i＜7，执行循环体，S＝2× 3=6，i＝5满足条件i＜7，执行循环体，S＝6×5＝30，i＝7此时，不满足条件i＜7，退出循环，输出S的值为30．故答案为30【点睛】本题考查流程图，根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块重要的题型，其处理方法是：①分析流程图，②建立数学模型，③解模，确定何时结束流程是关键，是基础题6.___．【解析】【分析】由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．【详解】∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．7.___．【解析】【分析】先由平移得f(x)【详解】=2sin(3x+【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题8.则b的值为___．【答案】2【解析】【分析】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，根据点到直线的距离公式，求出b，即可求出结果．【详解】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，b＝2故答案为2【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，熟记双曲线基本概念，准确计算点线距是关键，是基础题9.在△ABC中，已知C 120°，sinB 2 sinA，且△ABC的面积为AB的长为____．【解析】【分析】由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．可得S△a，b,再利用余弦定理可得AB【详解】在△ABC中，由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．∴S△ABC∴b＝4．∴c2＝b2+a2﹣2bacosC＝16+4﹣°＝28，解得即【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA 2 m，PB 3 m，PC 4 m，则球O的表面积为____m2．【解析】【分析】由已知中P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，构造以PA,PB,PC为棱的长方体，易求出球O的半径，进而求出球O的表面积．【详解】∵P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长∵PA 2 m，PB 3 m，PC 4 m，∴2R则球O的表面积S＝4πR2＝29π【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件构造长方体，计算出球O 的半径，是解答本题的关键，是基础题11.定义在R满足上，___．【答案】5【解析】【分析】【详解】的周期为4，故f(x)关于（2,0）中心对称，又f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个故答案为5【点睛】本题考查函数与方程，明确函数f(x)的周期性奇偶性，准确画出图像是关键，是基础题12.，b，的解集为{ x | 3 < x < 4}___．【解析】【分析】由不等式解集知a<0,将b,c分别用a 表示代入利用基本不等式求最小值即可【详解】由不等式解集知a<0,，当且仅当-24a=即故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次不等式解法，根与系数的关系，求得a,b,c的关系是关键，是中档题13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B点P（3，1，M的横坐标为x0，则x0的所有值为____．【解析】【分析】设AB中点为M将向量坐标【详解】设AB中点为②，将【点睛】本题考查圆的轨迹方程，向量的坐标运算，圆的弦长公式，确定AB中点的轨迹是突破点，向量坐标化运算是关键，是中档题14.，从集合；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则____．【答案】44【解析】【分析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，取等条件不成立，则检验t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，则问题得解.【详解】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为4344故答案为44【点睛】本题考查不等式的应用，数列求和问题，分析转化能力和计算求解能力，是中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.，其中（1（2【答案】（1）；（2【解析】【分析】（1（2展开即可代入求解【详解】（1∥，，所以．解得．（2）因为，所以，，解得【点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，向量共线坐标运算，熟记三角基本公式，准确计算是关键，是中档题16.如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明DE∥AB，即可证明DE∥平面ABB1A1；（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1,进而BB1⊥A1B1,证得A1B1⊥平面BCC1B1，进而A1B1⊥BC1，又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．进一步证明平面BC1⊥平面A1B1C即可．【详解】（1）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB平面ABB1 A1，DE平面ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1平面BCC1B1，BB1∩B1C1 B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．又因为BC1平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C B1，A1B1，B1C 平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的判定，熟记判断定理，准确推理是关键，是基础题.17.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD 和BC上的射影分别为H，M．已知HM 5 m，BC 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH（1）求屋顶面积S关于（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当【答案】（1（2【解析】【分析】（1）由题知FH⊥HM，在Rt△FHM；（2）别墅总造价为=令，求导求最值即可【详解】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM 平面ABCD，得FH⊥HM．在R t△FHM中，HM 5因此△FBC所以S)．（2）在Rt△FHM，所以主体高度为记，所以，，得列表：为时该别墅总造价最低．【点睛】本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S求最值要准确，是中档题18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1C2C2与C1（1）求椭圆C2的标准方程；（2C2上一点．C1，且直线C1均有且只有一个公共点，求证：【答案】（1（2）①见解析，②见解析.【解析】【分析】（1）由题所求椭圆b即可；（2）①当直线OP斜率不存在时，得OP斜率存在时，设直线OP，推求；②，直线的方程为，记，则C1的方程得，由，得，再将代入得由韦达定理及点P【详解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，C2（2）①1°当直线OP斜率不存在时，2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为代入椭圆C1的方程，消去y，由题意，同号，所以为定值．，所以直线的方程为代入椭圆C1的方程，消去yC1有且只有一个公共点，k．又点在C2上，所以【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，定值问题，熟练运用韦达定理，及构建二次方程思想是关键，要求较高的计算能力，是中档题19.（1时，求函数的极值；（2）在的值；（3【答案】（1的极大值为；极小值为（2（3）见解析【解析】【分析】（1（2（3）假设存在一条直线的图象有两个不同的切点同一直线理，，令构造函数，求导求得盾，说明假设不成立，则不存在【详解】（1）时，函数的定义域为，令得，或；极小值为（2）依题意，切线方程为变形得在，（当且仅当，，从而（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点的方程为：整理得，消去得，．，由与，得，所以为上的单调减函数，所以【点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值，切线问题，转化与化归能力，准确计算是关键，第三问转化为函数与方程的关系是难点，是较难的题目.20.n项和为S n n项和为T n，且（1（2（3的所有值．【答案】（1（21为公比的等比数列；（3）0【解析】【分析】（1）令n=1,n=2列关方程求解即可；（2）因①，③n=1比数列（3）由（2）对任意的，当为奇数时恒成立，和，当为奇数时，单调减，（*），说明上面两个不等式不恒成立，推得矛盾，即可求得只有【详解】（1（2①②④又由（1，1为首项，为公比的等比数列．（3）由（2．，对任意的，当为奇数时，，因为所以，所以（*），时，有，所以，当为奇数时，时，有不符．综上，实数的所有值为0．【点睛】本题考查数列综合问题，由递推关系求数列通项公式，不等式恒成立问题，考查转化化归能力，准确计算是关键，是难题21.【选做题】A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m3的一个特征向量，求矩阵M及另一个特征值．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy为参数)，椭圆C的参数方程为C交于A，B两点，求线段AB的长．C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x，y，z【答案】A B C：见解析【解析】【分析】A由矩阵的运算求解即可；B坐标，由弦长公式求得AB的长；C．由柯西不等式证明即可【详解】A.矩阵的特征多项式的另一个特征值为B，．C．由柯西不等式得，，所以当且仅当“”时取等号．【点睛】本题考查矩阵运算，直线的参数方程，弦长公式，柯西不等式证明不等式，熟练掌握矩阵运算，柯西不等式是关键，是基础题【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．22.AB 1，AP AD 2.（1所成角的正弦值；（2）若点M，N分别在AB，PC M，N的位置．【答案】（1（2）M为AB的中点，N为PC的中点【解析】【分析】（1）由题意知，AB，AD，AP平面PCD的一个法向量为（2PCD M,N的位置【详解】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．设平面PCD不妨取则．所以平面PCD设直线PB与平面PCD即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．（21）知，平面PCDPCD所以M为AB的中点，N为PC的中点．【点睛】本题考查空间向量的应用，求线面角，探索性问题求点位置，熟练掌握空间向量的运算是关键，是基础题23.证明：（1（2，【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1（2）运用数学归纳法证明即可【详解】（1（2）①当时，由（1）可知，命题成立；均为非负实数，且所以【点睛】本题考查数学归纳法证明不等式，基本不等式证明问题，准确计算，严密的推理是关键，是中档题。
江苏省苏北七市
• 第三处，卓尔不群：指才德超出寻常，与众不同。 卓有成效：有突出的成绩和效果。句中形容努力， 应填“卓有成效”。
• 2.在下面一段文字横线处填入语句，衔接最恰当的一组是 • 芭蕾是世界通用的艺术语汇。 ， ， 。 ， ， ，拓展中
•B
• 语段的话题是关于中国芭蕾，联系上文“芭 蕾是世界通用的艺术语汇”，②句中“中国的 芭蕾语汇”，与之意义相连，衔接紧密，应 排在第一句，排除CD；借助关联词语，④ 句“不仅”与⑥句中“也”是一组关联词语，④ ⑥相连，排除A项。
• 3.下列交际用语使用得体的一项是 • A. 希望贵公司提供更高效的在线办公软件，特
• A. 诸生，指明清时期经考试录取而进入府、州、县各级学校 学习的生员。文中指吕留良在乡试中考中秀才。
• B. 丙午，是六十干支之一，文中用来纪年。在古代，干支除 了用于纪年外，还用于纪月、纪日和纪时。
• C. 濂溪，宋代理学家周敦颐的号，世称其“濂溪先生”。文中 借此表现吕留良过着像周敦颐一样的隐居生活。
• D. 孝友，指孝顺父母、友爱兄弟。文中吕留良病重还对子孙 辈论述孝友的大义，表现他重视对后代的教育。
•A
• “文中指吕留良在乡试中考中秀才”错，乡试中考中的称为举 人，秀才指府州、县学的生员，文中也未提及吕留良参加乡 试考试。
• (1)执斋始愕眙不得应，既而闻其衷曲本末，乃起揖 曰：“此真古人所难，但恨向日知君未识君耳。”
• “斧正”错，“斧正”是请别人修改文章的敬词， 句中用于自己修改别人的文章，不得体；
• “足下”错，“足下”是对对方的尊称，译为 “您”，句中用来称呼自己，不得体。
2020届南通市高三第二次调研测试数学试题原卷版
江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试数学试题2020．4一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{1，4}，B ＝{a ﹣5，7}．若A I B ＝{4}，则实数a 的值是 ． 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ． 3．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 吨．4．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．5．“石头、 剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ． 6．在△ABC 中，已知B ＝2A ，AC ＝3BC ，则A 的值是 ．7．在等差数列{}n a (n N *∈)中，若124a a a =+，83a =-，则20a 的值是 ．8．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ．9．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线y ＝2x 上，过点P 作圆C ：(x ﹣4)2＋y 2＝8的一条切线，切点为T ．若PT ＝PO ，则PC 的长是 ．11．若x ＞1，则91211x x x +++-的最小值是 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线xy e =在点P(0x ，0xe )处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B(0x ，0)，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ． 13．图（1）是第七届国际数学教育大会(ICME —7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图(2)），其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，则6778A A A A ⋅u u u u u r u u u u u r 的值是 ．14．设函数2log , 04()(8), 48x a x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m = 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a r ＝(cos α，sin α)，b r＝(cos(α＋4π)，sin(α＋4π))，其中0＜α＜2π． （1）求()b a a -⋅r r r的值；（2）若c r ＝(1，1)，且()b c +r r ∥a r，求α的值．16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，点P ，Q 分别为AB 1，CC 1的中点．求证：（1）PQ ∥平面ABC ； （2）PQ ⊥平面ABB 1A 1．17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ﹣3)2＋y 2＝1，椭圆E ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N ．当AN ＝127AM 时，求直线l 的方程．18．（本题满分16分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE 将△ABC 分成面积之比为2：1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）．设AD ＝x ，DE ＝1y ，AM ＝2y （单位：百米）．（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．19．（本题满分16分）若函数()f x 在0x 处有极值，且00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“F 点”． （1）设函数2()2ln f x kx x =-(k ∈R)．①当k ＝1时，求函数()f x 的极值；②若函数()f x 存在“F 点”，求k 的值；（2）已知函数32()g x ax bx cx =++(a ，b ，c ∈R ，a ≠0)存在两个不相等的“F 点”1x ，2x ，且12()()1g x g x -≥，求a 的取值范围．20．（本题满分16分）在等比数列{}n a 中，已知11a =，418a =．设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b =-，112n n n a b S -+=-(n ≥2，n N *∈)．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （3）是否存在等差数列{}n c ，使得对任意n N *∈，都有n n n S c a ≤≤?若存在，求出所有符合题意的等差数列{}n c ；若不存在，请说明理由．江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试数学附加题21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝0 1 0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵10 2A 0b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．若曲线C 1：2214x y +=在矩阵A 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求曲线C 2的方程．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C 的方程为rρ=(r ＞0)，直线l 的方程为cos()4πρθ+=．设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB ＝r 的值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足2222222111x y z x y z ++=+++，证明：222111x y z x y z++≤+++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天， 每名员工休假的概率都是12，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业．（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为X ，求X 的分布列和数学期望． 23．（本小题满分10分）我们称n (n N *∈)元有序实数组(1x ，2x ，…，n x )为n 维向量，1nii x=∑为该向量的范数．已知n 维向量a r＝(1x ，2x ，…，n x )，其中i x ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，…，n ．记范数为奇数的n 维向量a r的个数为A n ，这A n 个向量的范数之和为B n ．（1）求A 2和B 2的值；（2）当n 为偶数时，求A n ，B n （用n 表示）．数学Ⅰ答案及评分建议一、填空题：1．9 2 3．10 4．52 5．23 6．π6 7．-15 8．13 9．2 1011．8 12．ln 6 13 14．()1-∞，二、解答题：15．（1）因为向量()cos sin αα=，a ，()()()ππcos sin 44αα=++，b ，所以()2-⋅=⋅-b a a a b a …2分()()()22ππcos cos sin sin cos sin 44αααααα=+++-+ …4分()πcos 14=--1=-． ……6分 （2）因为()11=，c ，所以+b c ()()()ππcos 1sin 144αα=++++，．因为()+b c ∥a ，所以()()()()ππcos 1sin sin 1cos 044αααα++-++=．…9分于是()()ππsin cos sin cos cos sin 44αααααα-=+-+，()ππsin 44α-=，即()π1sin 42α-=． ………………12分 因为π02α<<，所以πππ444α-<-<． 于是ππ46α-=，即5π12α=． …14分 16．（1）取AB 的中点D ，连结PD CD ，．在△1ABB 中，因为P D ，分别为1AB AB ，中点， 所以1PD BB ∥，且112PD BB =． 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，11CC BB ∥，11CC BB =．因为Q 为棱1CC 的中点，所以1CQ BB ∥，且112CQ BB =． …3分于是PD CQ ∥，PD CQ =．所以四边形PDCQ 为平行四边形，从而PQ CD ∥． ……5分又因为CD ABC ⊂平面，PQ ABC ⊄平面，所以PQ ABC ∥平面． …7分（2）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，1BB ABC ⊥平面．又CD ABC ⊂平面，所以1BB CD ⊥．因为CA CB =，D 为AB 中点，所以CD AB ⊥． ……10分由（1）知CD PQ ∥，所以1BB PQ ⊥，AB PQ ⊥． ……12分 又因为1AB BB B =I ，11AB ABB A ⊂平面，111BB ABB A ⊂平面，所以11PQ ABB A ⊥平面． ……14分17．（1）记椭圆E 的焦距为2c （0c >）．因为右顶点()0A a ，在圆C 上，右准线2a x c=与圆C ：()2231x y -+=相切．所以()22230131a a c ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，， 解得 21a c =⎧⎨=⎩，．于是2223b a c =-=，所以椭圆方程为：22143y x +=． ……4分 （2）法1：设()()N N M M N x y M x y ，，，，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()2y k x =-．由方程组 ()222143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，()2222431616120k x k x k +-+-=．所以221612243N k x k -⋅=+，解得228643N k x k -=+． ……6分 由方程组()()22231y k x x y =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， 消去y 得，()()2222146480k x k x k +-+++=， 所以224+821M k x k ⋅=+，解得222+41M k x k =+． ……8分 因为127AN AM =，所以()12227N M x x -=-． ……10分 即22121227431k k =⋅++，解得 1k =±， ……12分所以直线l 的方程为20x y --=或 20x y +-=． ……14分法2：设()()N N M M N x y M x y ，，，，当直线l 与x 轴重合时，不符题意．设直线l 的方程为：()20x ty t =+≠． 由方程组222143x ty y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()2234120tx ty ++=，所以21234N t y t -=+ ． ……6分由方程组 ()22231x ty x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 得， ()22120t x ty +-=， 所以221M t y t =+ ． ……8分 因为127AN AM =，所以127N M y y =-． ……10分即22121227341t t t t -=-⋅++，解得 1t =±， ……12分 所以直线l 的方程为20x y --=或 20x y +-=． ……14分 18．（1）因为23ADE ABC S S =△△，△ABC 是边长为3的等边三角形，又AD = x ， 所以()2121sin =3sin 23323AD AE ππ⋅⋅⨯⨯，所以6AE x =． ……2分由03603AD x AE x <=⎧⎪⎨<=⎪⎩≤，≤，得23x ≤≤． ……4分 法1：在ADE △中，由余弦定理，得22222362cos 63DE AD AE AD AE x x π=+-⋅⋅=+-．所以，直道DE 长度y 1关于x的函数关系式为[]123y x ∈，． ……6分在ADM △和AEM △中，由余弦定理，得2222cos AD DM AM DM AM AMD =+-⋅⋅∠ ①()2222cos AE EM AM EM AM AMD =+-⋅⋅π-∠ ② …8分 因为M 为DE 的中点，所以12DM EM DE ==．由①+②，得22222221222AD AE DM EM AM DE AM +=++=+，所以()()222226136622x x AM xx+=+-+， 所以2229342x AM x =++． 所以，直道AM 长度y 2关于x 的函数关系式为[]223y x =∈，． ……10分 法2：因为在ADE △中，DE AE AD =-u u u r u u u r u u u r，所以()2222222663622cos 63DE AE AE AD AD x x x x x x π=-⋅+=-⋅+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 所以，直道DE 长度y 1关于x的函数关系式为[]123y x ∈，． ……6分在△ADE 中，因为M 为DE 的中点，所以()12AM AD AE =+u u u u r u u u r u u u r． …8分所以()()2222211362644AM AD AE AD AE x x =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．所以，直道AM 长度y 2关于x的函数关系式为[]223y x =∈，．……10分（2）由（1）得，两条直道的长度之和为12+DE AM y y =+=+……12分=（当且仅当22223694x x x x⎧=⎪⎨⎪=⎩，即x =时取=“”）． …14分答：当AD百米．16分19．（1）① 当k = 1时，f ( x ) = x 2- 2 ln x( k ∈R )，所以()()()()2110x x f x x x-+'=>，令()0f x '=，得x = 1， ……2分列表如下：所以函数()f x 在x = 1处取得极小值，极小值为1，无极大值． ……4分 ② 设x 0是函数()f x 的一个“F 点”()00x >．因为()()()2210kx f x x x-'=>,所以x 0是函数()f x '的零点．所以0k >，由()00f x '=，得201kx x ==， 由00()f x x =，得2002ln kx x x -=，即00+2ln 10x x -=． ……6分 设()+2ln 1x x x ϕ=-，则()21+0x xϕ'=>，所以函数()+2ln 1x x x ϕ=-在()0+∞，上单调增，注意到()10ϕ=， 所以方程00+2ln 10x x -=存在唯一实根1，所以0=1x =，得1k =， 根据①知，1k =时，1x =是函数()f x 的极小值点，所以1是函数()f x 的“F 点”．综上，得实数k 的值为1． ……9分（2）因为g (x ) = ax 3 + bx 2 + cx ( a ，b ，c ∈ R ，a ≠ 0 )所以()()2320g x ax bx c a '=++≠．又因为函数g (x ) 存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，所以x 1，x 2是关于x 的方程()232=00ax bx c a ++≠的两个相异实数根． 所以21212412023.3b ac b x x a c x x a⎧=->⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩△，，又g (x 1) = ax 13 + bx 12 + cx 1 = x 1，g (x 2) = ax 23 + bx 22+ cx 2 = x 2，所以g (x 1) - g (x 2) = x 1- x 2，即(a x 13+ bx 12+ cx 1)- (ax 23+ bx 22+ cx 2) = x 1- x 2， 从而( x 1- x 2) [a (x 12+ x 1x 2 +x 22)+ b (x 1+ x 2 )+ c ]= x 1- x 2．因为12x x ≠，所以()()21212121a x x x x b x x c ⎡⎤+-+++=⎣⎦，即()()2221333bc b a b c aa a⎡⎤--+-+=⎢⎥⎣⎦．所以()2239ac b a -=． ………13分 因为| g (x 1) - g (x 2) | ≥ 1， 所以()()1212g x g x x x -=-==1.=解得20a -<≤．所以，实数a 的取值范围为)20-⎡⎣，． ……16分（2）（解法2） 因为g (x ) = ax 3+ bx 2+ cx ( a ，b ，c ∈ R ，a ≠ 0 ) 所以()()2320g x ax bx c a '=++≠．又因为函数g (x ) 存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，所以x 1，x 2是关于x 的方程组23232=0ax bx c ax bx cx x⎧++⎪⎨++=⎪⎩，的两个相异实数根． 由32ax bx cx x ++=得2010x ax bx c =++-=，． ……11分 （2．1）当0x =是函数g (x ) 一个“F 点”时，0c =且23b x a =-．所以()()2221033bb a b aa-+--=，即292a b =-．又()()12122013b g x g x x x a-=-=--≥，所以2249b a ≥，所以()2929a a -≤． 又a ≠ 0，所以20a -<≤．…13分 （2．2）当0x =不是函数g (x ) 一个“F 点”时，则x 1，x 2是关于x 的方程2232=010ax bx c ax bx c ⎧++⎪⎨++-=⎪⎩，的两个相异实数根． 又a ≠0，所以2313b b c c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，，得032b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，.所以212ax =-，得12x =， 所以()()12121g x g x x x -=-=，得20a -<≤．综合（2．1）（2．2），实数a 的取值范围为)20-⎡⎣，． ……16分 20．（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =，418a =，所以318q =，解得12q =．所以数列{}n a 的通项公式为：()112n n a -=． ……3分（2）由（1）得，当2n n *∈N ，≥时，()111122n nn b S --+=-， ①所以，()11122nn n bS ++=-， ②②－① 得，()11122nn n b b +-=， ……………5分所以，()()1111122n nnn b b +--=，即111n nn nb b a a ++-=，2n n *∈N ，≥． 因为11b =-，由① 得，20b =，所以()2121011b b a a -=--=， 所以111=-++nnn n a b a b ，n *∈N ． 所以数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1为公差的等差数列． ……8分 （3）由（2）得b n a n=n －2，所以b n =n －22n -1，S n =－2(a n +1+b n +1)=－2(12n +n －12n )=－n2n -1.假设存在等差数列{c n }，其通项c n =dn +c ， 使得对任意*∈N n ，都有S n ≤c n ≤a n ，即对任意*∈N n ，都有－n 2n -1≤dn +c ≤12n -1. ③ ……10分首先证明满足③的d =0. 若不然，d ≠0，则d ＞0，或d ＜0.(i) 若d ＞0，则当n ＞1－c d ，*∈N n 时，c n =dn +c ＞1≥12n -1= a n ，这与c n ≤a n 矛盾.(ii) 若0<d ，则当n ＞－1+cd，*∈N n 时，c n =dn +c ＜－1.而S n +1－S n =－n +12n+n 2n -1=n －12n≥0，S 1= S 2＜S 3＜……,所以S n ≥S 1=－1.故c n =dn +c ＜－1≤S n ，这与S n ≤c n 矛盾. 所以d =0. ………12分 其次证明：当x ≥7时，f (x )=(x －1)ln2－2ln x ＞0.因为f ′(x )=ln2－1x ＞ln2－17＞0，所以f (x )在[7，+∞)上单调递增，所以，当x ≥7时，f (x )≥f (7) =6ln2－2ln7= ln 6449＞0.所以当n ≥7，*∈N n 时，2n -1＞n 2. ……14分再次证明c =0.(iii)若c ＜0时，则当n ≥7，n ＞－1c ，n ∈N*，S n =－n 2n -1＞－1n ＞c ，这与③矛盾.(iv)若c ＞0时，同(i)可得矛盾.所以c =0. 当0n c =时，因为1012n n n S --=≤，()1102n n a -=>，所以对任意*∈N n ，都有S n ≤c n ≤a n ．所以0n c n *=∈N ，．综上，存在唯一的等差数列{ c n }，其通项公式为0n c n *=∈N ，满足题设．…16分数学Ⅱ答案及评分建议21A ．因为1-=AA E ，所以010*******a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即0100201b a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 所以121b a =⎧⎨=⎩，，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，.所以01102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ． ……4分 设()P x y ''，为曲线C 1任一点，则2214x y ''+=， 又设()P x y ''，在矩阵A 变换作用得到点()Q x y ，， 则01102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2y x x y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥='⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以2y x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，，即2x y y x '=⎧⎨'=⎩，. 代入2214x y ''+=，得221y x +=，所以曲线C 2的方程为221x y +=． ……10分B ．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，于是曲线C ：(0)r r ρ=>的直角坐标方程为222x y r +=，表示以原点为圆心，半径为r 的圆． ……3分由直线l 的方程()cos 4ρθπ+=cos cos sin sin 44ρθρθππ-=，所以直线l 的直角坐标方程方程为20x y --=． …………6分记圆心到直线l 的距离为d ，则d ==又()2222ABr d =+，即2279r=+=，所以3r =． ……10分C ．因为2222222111x y z x y z ++=+++， 所以2222222221111111111111x y z x y z x y z ++=-+-+-=++++++． ……5分 由柯西不等式得， ()()()2222222222222111111111111x y z x y zx y z x y z x y z +++++++++++++++≥．所以()22222111x y zx y z +++++≤ ．所以222111x y zx y z +++++ ……10分 22．（1）记2家小店分别为A B ，，A 店有i 人休假记为事件()012i A i =，，，B 店有i 人，休假记为事件()012i B i =，，，发生调剂现象的概率为P ． 则()()()2000211C 24P A P B ===， ()()()2111211C 22P A P B ===， ()()()2222211C 24P A P B ===．所以()()02201111144448P P A B P A B =+=⨯+⨯=．答：发生调剂现象的概率为18． ……4分（2）依题意，X 的所有可能取值为012，，．则()()2211104416P X P A B ===⨯=，()()()122111111142244P X P A B P A B ==+=⨯+⨯=，()()()11112101116416P X P X P X ==-=-==--=． (8)分所以X 的分布表为：所以()111113210164168E X =⨯+⨯+⨯=． ……10分23．（1）范数为奇数的二元有序实数对有：()10-，，()01-，，()01，，()10，，它们的范数依次为1111，，，，故2244A B ==，． ……3分 （2）当n 为偶数时，在向量()123n x x x x =L ，，，a 的n 个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：131n -L ，，，进行讨论：a 的n 个坐标中含1个0，其余坐标为1或1-，共有11C 2n n -⋅个，每个a 的范数为1n -； a 的n 个坐标中含3个0，其余坐标为1或1-，共有33C 2n n -⋅个，每个a 的范数为3n -；… a 的n 个坐标中含1n -个0，其余坐标为1或1-，共有1C 2n n -⋅个，每个a 的范数为1；所以 11331C 2C 2C 2n n n n n n n A ---=⋅+⋅++⋅L ，()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅L ． ……6分 因为()0112221C 2C 2C 2C nn n n nn n n n --+=⋅+⋅+⋅++L ， ① ()0112221C 2C 2C 2(1)C nn n n n n n n n n ---=⋅-⋅+⋅-+-L ，②2-①②得，113331C 2C 22n n n n n---⋅+⋅+=L ， 所以312nn A -=． ……8分 解法1：因为()()()()()11!!C C !!!1!k k n n n n n k n k n n k n k k n k ---=-⋅=⋅=---，所以()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅L ． ()11331111C 2C 2C 2n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅L ()123411112C 2C 2C n n n n n n n ------=⋅+⋅++L()()11312312n n n n ---=⋅=⋅-． ……10分解法2：2+①②得，022C 2C 2n n n n -⋅+⋅+=L 312n+． 又因为()()()()111!!C C !!1!!k k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---，所以 ()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅L ．()()()1133111331C 2C 2C 2C 23C 21C 2n n n n n n n n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅-⋅+⋅⋅++-⋅⋅L L ()01232111C 2C 2C 2n n n n n n n nA n ------=-⋅+⋅++⋅L()()1131313122n n n n n ---+=⋅-=⋅-． ……………10分。
江苏省苏北七市2020届高三数学二模试卷含答案
江苏省苏北七市2020届高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积公式：Sh V =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高.椎体的体积公式：Sh V 31=锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{}{}7,5,4,1-==a B A .若{}4=B A ,则实数a 的值是▲.2．若复数z 满足iiz+=2,其中i 是虚数单位，则z 的模是▲.3．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量(单位:吨)分别为8.10,3.10,8.9,7.9,4.9.则该农作物的年平均产量是▲吨.4．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲.5．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是:在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局:若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是▲.6．在ABC △中，已知AC A B 3,2==,则A 的值是▲.7．在等差数列{}()*N ∈n a n 中，若3,8421-=+=a a a a ,则20a 的值是▲.8．如图，在体积为V 的圆柱21O O 中，以线段21O O 上的点O 为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为21,V V ,则VV V 21+的值是▲.9．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左顶点为A ,右焦点为F ,过F 作x 轴的垂线交双曲线于点Q P ,.若APQ △为直角三角形，则该双曲线的离心率是▲.10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线x y 2=上，过点P 作圆8)4(:22=+-y x C 的一条切线，切点为T .若PO PT =，则PC 的长是▲.512321914567890152231063π- 、、、、、、、、11．若1>x ,则11192-+++x x x 的最小值是▲.9111811x x x x =+++-+≥+-解：所求（验等）．12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线xe y =在点),(00xe x P 处的切线与x 轴相交于点A ,其中e 为自然对数的底数.若点()PAB x B △,0,0的面积为3，则0x 的值是▲.000001(1)(1,0)3ln 62x x PA y e x x A x S e x =-+-===解：：，则，故，得：．13．图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME -7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2)),其中18732211=====A A A A A A OA ,则8776A A A A ⋅的值是▲.76sin cos()sin 27OA A παααα===-==解：设∠，易得：14．设函数⎩⎨⎧<<-≤<-=.84),8(,40,log )(2x x f x a x x f 若存在实数m ，使得关于x 的方程m x f =)(有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是▲.1234123414232242422221212221222241222222212,,,28(2,4)222()()(8)(8)2(2,42)2161282a aa a ii a a a a i i x x x x x x x x a x x x x x f x f x a x x x x x x x x t x t t x =+-+=<<<<+=+=∈==⇒=⇒=++-+-+=∈+=-+-∑∑解：设四个根分别为：，不妨 数形结合知：，， 令，则 由12224421a a a +-<<+⇒<题意知：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,4sin ,4cos ),sin ,(cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==παπαααb a 其中20πα<<.（1）求()a a b ⋅-的值；（2）若()1,1=c ,且()a c b //+,求α的值．2221()cos cos()sin sin()(cos sin )44cos()142222(cos sin ),sin ))22(cos sin )1,22b a a a b a b b c ππααααααπαααααααα-⋅=⋅-=+++-+=+---==-++=-+ 解：（） ； （）(cos sin )1)()//(cos sin )sin cos (cos sin )cos 22sin cos 2)421sin()42(0,)(,)2444546b c a ααααααααααααπαπαππππααππαα+++-+=++-=-=-=∈-∈--== 因为，故 整理得： 则： ，则： 故，因此：12π．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =,点Q P ,分别为11,CC AB 的中点．求证：（1）//PQ 平面ABC ；（2）⊥PQ 平面11A ABB ．1111111111111//2//////AB D CD PD P D AB AB PD BB PD BB ABC A B C BB CC BB CC Q CC PD CQ PD CQ PDCQ PQ CD PQ ABC CD ABC =-==⇒⊄⊂证：（）取中点，连结， 因为，分别为，中点所以， 直三棱柱中，， 又为中点，故， 所以四边形为平行四边形 又平面，平面 1111111111//21////PQ ABC CA CB D AB AB CD PQ CD AB PQABC A B C AA ABC CD ABC AA CD PQ CD AA PQAA AB A AA ABB A AB A =⊥⊥-⊥⊂⊥⊥=⊂⊂ 所以平面； （）因为，为中点所以，，又由（）知： 所以， 直三棱柱中，平面 又平面，故 又，所以 又，平面，平面1111BB A PQ ABB A ⊥ 所以，平面．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：1)3(22=+-y x ，椭圆E :)0(12222>>=+b a by a x 的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C相切．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N .当AM AN 712=时，求直线l的方程．222222102424213143224222C y x E ca a cb ac cx y E l x AN a AM l x l x my AM m ======-=+=====+==解：（）圆中令得：或，设椭圆的焦距为 由题意知：，，得：，故 因此椭圆的方程为：；（）①当与轴重合时，易得：，，与题意不符，舍去； ②当与轴不重合时，设：，则：222222228622861234(,)03434341212342417m x x my x m m m N y m m x y m y m AN m l x ⎧-=⎪=+=⎧⎧--⎪+⇒⎨⎨⎨=+++=-⎩⎩⎪=⎪+⎩==+=⇒=± 或，即 故 则方程为：2020y l x y ±-=±-=；综上，直线的方程为：．18．（本小题满分16分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植花卉.方案是：先建造一条直道DE 将ABC △分成面积之比为2:1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）.设x AD =，1y DE =，2y AM =（单位：百米）．（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．o 22222112161sin 6024233[2,3]2cos 36660[2,3]ADE S AD AE x AE AE xAD AE x ADE DE AD AE AD AE DAE y x y x x M DE AD AE =⋅=⋅==≤≤∈=+-⋅=+-≥>⇒=∈+= △解：（）由题意知： 由，得： 在△中，由余弦定理得：∠ 即： 因为为中点，故2222222212122243664[2,3][2,3][2,3]21AMADAE AD AE AM x y yx x yx y x y y ++⋅=++=⇒=∈=∈=∈+= 平方得： 即：； 答：；； （）由（）知：222212(2,3)363612[2,3]x x x x x xy y AD ∈+≥==+≥== ，当且仅当，即时取等故 答：当19．（本小题满分16分）设函数)(x f 在0x 处有极值，且00)(x x f =，则称0x 为函数)(x f 的“F 点”．（1）设函数x kx x f ln 2)(2-=（R ∈k ）.①当1=k 时，求函数)(x f 的极值；②当函数)(x f 存在“F 点”，求k 的值；（2）已知函数cx bx ax x g ++=23)(（a ，b ，R ∈c ，0≠a ）存在两个不相等的“F 点”21,x x ，且1)()(21≥-x g x g ，求a 的取值范围．222(1)(1)1()2ln (0,)'()(0,1)1(1,)'()0()()(1)12(1)'()(0,)0'()0()0x x f x x x x f x xx f x f x f x f kx f x x xk f x f x k +-=-∈+∞=+∞-+↓↑==-=∈+∞≤<>极小值解：（）①，， 极小值故，无极大值；②， 当时，，在定义域上递减，无极值，故；()1102()2ln 10'()10()(0,)(1)01011f x f F x x x x F x F x x F F k ==-=⇒+==+->=+>+∞==+=⇒==极小值 由题意知： 令，，，故在递增又，故，解得：； （212112232121,212322'()320()(),()2200,0033222()()()333g x ax bx c x x g x x g x x x x g x ax bx cx x b b c x x x a ab b b g a b a a a =++====++===-==-≠-=-+-）由题意知：的两个不相等的根为， 由题意知：， 为方程的两个不相等的根 ①时，易得：，不妨，则[)21212212122222932()()12,030,0,10320100233(1)0bb aa b g x g x x x a a c x x x x ax bx c ax bx c ax bx c a b b c c b =-⇒=--=-===≥⇒∈-≠≠++-=++=++-=≠==-= ； ②时，，则为方程的两个不相等的根 故方程与方程同解，又 故，，得：1,21212302()()1[2,0)c x a g x g x x x a ==<-=-=≥⇒∈-，，此时， ；20．（本小满分16分）在等比数列{}n a 中，已知11=a ，814=a .设数列{}n b 的前n 项为n S ，且11-=b ，121--=+n n n S b a （2≥n ，*∈Νn ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是等差数列．（3）是否存在等差数列{}n c ，使得对任意*∈N n ，都有n n n a c S ≤≤？若存在，求出所有符合题意的等差数列{}n c ；若不存在，请说明理由．解：（1）因为1411,8a a ==，所以34118a q a ==，解得12q =，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）因为()1122n n n a b S n -+=-≥，所以1112n n n a b S +++=-，两式相减，可得()11122n n n n n a b a b b n +++--=-≥，所以11111222nn n n n n b b a a b ++⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，所以()112212nn n n b b n -+=+≥，即()1112n nn nb b n a a ++-=≥，当2n =时，2211122a b b +=-=，所以211022b =-=，所以2121011112b b a a --=-=，所以111n nn n b b a a ++-=对任意*n ∈N 恒成立，即数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列；（3）由（2）可知12112n n n nb b n n a -==-+-=-，所以122n n n b --=，所以111112222n n n n n n n n S a b ++--=+=+=，即12n n n S --=，因为11110222n n n n nn n n S S +-----=+=，所以1n n S S +≥，当且仅当1n =时，等号成立，且易知0n n S a ＜＜，若存在等差数列{}n c 符合题意，则111S c a ≤≤，即[]11,1c ∈-，设{}n c 公差为d ，①若0d ≠，当2n d＞时，112n c c n d +-=⋅＞，即[]11,1n c +∉-，所以1111n n c a c ++=＞≥，或+11+11n n c S S -=＜≤，不符题意；②若0d =，1n c c =恒成立，当10c =时，0n c =，所以n n n S c a ＜＜，即0n c =符合题意，当10c ＞时，取211log n c ＞，则11112n n n a c c ++==＜，不符题意，当10c ＜时，当18n c -＞时，218c n n -＞，所以21112122n n n n nn S c c c -+⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭＞，设()2212n n f n +=-，则()()()2223231211222n n n n n n n f n f n +++++-+-=-=，当1,2n =时，()()10f n f n +-＞，所以()()()123f f f ＜＜，当3n ≥时，()()10f n f n +-＜，所以()()1f n f n +≤，所以()()()*593102f n f n =-∈N ≤＜，即212102n n n n S c c +⎛⎫-- ⎪⎝⎭＞＞，所以n n S c ＞，即10c ＜不符合题意，综上，当且仅当0n c =时，满足题意.江苏省苏北七市2020届高三第二次调研测试数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010a A 的逆矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-0201b A 若曲线14:221=+y x C 在矩阵A 对应的变换作用下得到另一曲线2C ,求曲线2C 的方程.21（A）.解：由题意可知10102010000201b a b a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA，所以121b a =⎧⎨=⎩，解得11,2b a ==，所以矩阵01102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ，设曲线1C 上的一点(),P x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点()111,P x y ，则110111022y x x y y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1112y x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即112y x x y =⎧⎨=⎩，因为点P 在曲线1C 上，所以2214x y +=，所以22111y x +=，即曲线2C 的方程为221x y +=.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C 的方程为)0(>=r r ρ，直线l 的方程为24cos =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ.设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，且72=AB ，求r 的值.解：以极点为坐标原点，以极轴为x 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，因为曲线C 的方程为r ρ=，所以22r ρ=，即()2220x y rr +=＞，所以曲线C 是以原点为圆心，以r 为半径的圆，直线l 的方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππcos cos sin sin 44ρθρθ-=整理得cos sin 2ρθρθ-=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的方程为20x y --=，圆心O 到直线l 的距离d ==，所以AB ===，解得3r =.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数z y x ,,满足2111222222=+++++z z y y x x ,证明:2111222≤+++++z zy y x x .解：由题意可知，22222222211131111111x y z x y z x y z ⎛⎫++=-++= ⎪++++++⎝⎭，即2222222111x y z ++=+++，因为222222221111x x x x x x ++=++++≥，当且仅当x =时，等号成立，同理2222222222,111111y z y y y z z z ++++++++≥，当且仅当y z ==时，等号成立，所以2224111x y z +++++≥，即222111x y zx y z +++++，当且仅当x y z ===时，等号成立.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天,每名员工休假的概率都是21，且是否休假互不影响.若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为X ,求X 的分布列和数学期望.解：（1）设发生调剂现象为事件A ，则()41211C 28P A ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值为0,1,2，()4110216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()414111C 24P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()()()11211016P X P X P X ==-=-==，所以随机变量X 的分布列为X 012P1161458随机变量X 的数学期望()111113012164168E X =⨯+⨯+⨯=.23.（本小题满分10分）.我们称*)(N ∈n n 元有序实数组()n x x x ,,,21 为n 维向量，∑=ni ix1为该向量的范数.已知n 维向量()n x x x a ,,,21 =，其中{}.,,2,1,1,0,1n i x i =-∈记范数为奇数的n 维向量a 的个数为n A ,这n A 个向量的范数之和为n B .（1）求2A 和2B 的值；（2）当n 为偶数时，求n A ，n B (用n 表示).23.解：（1）当2n =时，范数为奇数的2维向量有()()()()12340,10,11,01,0==-==-a a a a ，所以224,11114A B ==+++=；（2）当()*2n k k =∈N 时，范数为奇数的2k 维向量()122...,,,k x x x =a 的个数为2k A ，因为当范数为奇数时，只有奇数个i a 的值为1或1-，所以13321212121222221...C 2C 2C2C 2kk k i i k kkkk i A ----==+++=∑，因为()2212122221012C2C 2kk ki i i ikki i --==+=+∑∑，()221212222112C2C 2kkki i i ikk i i --==-=-+∑∑，所以()222223131kkkk A =--=-，即312n n A -=，因为()21212222222222212111121C24C24C 2kkki i i i i i k kk k i i i B i k k --------====-==∑∑∑，因为()212222212121211112C2C2kkk i i i i k k i i -------==+=+∑∑，()212222212121211112C2C 2kkk i i i i k k i i -------==-=-∑∑，所以()21222221212112C23131kk i i k k k i ------==+-=-∑，即21222221131C22k ki i k i ----=-=∑，所以()212231k k B k -=-，即()131n n B n -=-.方法二：因为2k 维向量()122...,,,k x x x =a 共有239kk =个，则对于22k +维向量()1222122...,,,,,k k k x x x x x ++=a ，若21kii a=∑为奇数，则2122k k x x +++为偶数即可，此时()2122,k k x x ++共有()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1----五种取值，若21kii a=∑为偶数，则2122k k x x +++为奇数即可，此时()2122,k k x x ++共有()()()()0,1,0,1,1,0,1,0--四种取值，所以()22222254349k k k k k k A A A A +=+-=+⨯，即22249kk k A A +-=⨯，又因为24A =，由累加法可知，()1212419 (4494949)19k k k A --=+⨯+⨯++⨯=-，即()41331192n n n A --==-.注：求解n B 也可以用递推数列，但是过程过于复杂，这里略过.。
江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)2020届高三第二次调研考试数学试题含附加题答案
江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试数学试题2020．4一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{1，4}，B ＝{a ﹣5，7}．若A B ＝{4}，则实数a 的值是 ．答案：9考点：集合交集运算解析：∵集合A ＝{1，4}，B ＝{a ﹣5，7}．A B ＝{4}，∴a ﹣5＝4，则a 的值是9． 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．考点：复数 解析：∵2i iz=+，∴22i i 12i z =+=-+，则z =．3．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 吨． 答案：10 考点：平均数 解析：9.49.79.810.310.8105x ++++==．4．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．答案：5 2考点：算法与流程图解析：第一次S＝15，k＝1；第二次S＝15，k＝2；第三次S＝152，k＝3；第四次S＝52＜3；所以输出的S的值是52．5．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是．答案：2 3考点：随机事件的概率解析：甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为62 93 =．6．在△ABC中，已知B＝2A，AC BC，则A的值是．答案：6π考点：正弦定理，二倍角的正弦公式解析：∵AC，∴b=，即sinB sinA，∵B＝2A，∴sin2A，则2sinAcosA sinA，∵sinA ≠0，∴cos A 2=，A ∈(0，π)，则A ＝6π． 7．在等差数列{}n a (n N *∈)中，若124a a a =+，83a =-，则20a 的值是 ． 答案：﹣15考点：等差数列的通项公式及性质解析：∵数列{}n a 是等差数列，∴1524a a a a +=+，又124a a a =+，∴50a =， ∴8531853a a d --===--，故2051515a a d =+=-． 8．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ．答案：13考点：圆柱圆锥的体积 解析：由12112121211113333O O O V V S OO S OO S O O V +=⋅+⋅=⋅=，得1213V V V +=． 9．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ． 答案：2考点：双曲线的简单性质解析：由题意知，AF ＝PF ，即2b a c a +=，∴22c a a c a-+=，化简得：220e e --=，又e ＞1，∴e ＝2．10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线y ＝2x 上，过点P 作圆C ：(x ﹣4)2＋y 2＝8的一条切线，切点为T ．若PT ＝PO ，则PC 的长是 ．考点：直线与圆解析：设P(p ，2p )，则2222(4)45816PC p p p p =-+=-+，2222588PT PC TC p p =-=-+，225PO p =，∵PT ＝PO ，∴225885p p p -+=，解得p ＝1，∴22581613PC p p =-+=，即PC 11．若x ＞1，则91211x x x +++-的最小值是 ． 答案：8考点：基本不等式解析：91912116281111x x x x x x x ++=+++-+≥+=+-+-，当且仅当x ＝2时取“＝”． 12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线xy e =在点P(0x ，0xe )处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B(0x ，0)，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ． 答案：ln6考点：利用导数研究函数的切线解析：∵xy e '=，∴0xk e =，则切线方程为000()x x y ee x x -=-，令y ＝0，求得01A x x =-，∴01132x e ⨯⋅=，解得0ln 6x =． 13．图（1）是第七届国际数学教育大会(ICME —7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图(2)），其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，则6778A A A A ⋅的值是 ．考点：平面向量数量积 解析：sin ∠A 6A 7O＝67A O A O =，∴6778A A A A 117⋅=⨯=． 14．设函数2log , 04()(8), 48x a x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ．答案：(-∞，1) 考点：函数与方程解析：当2a ≥时，2log 0x a -≤，此时22log , 04()log (8), 48a x x f x a x x -<≤⎧=⎨--<<⎩，此时函数()f x在(0，4)单调递减，在(4，8)单调递增，方程()f x m =最多2个不相等的实根，舍； 当a ＜2时，函数()f x 图像如下所示：从左到右方程()f x m =4个不相等的实根，依次为1x ，2x ，3x ，4x ，即1x ＜2x ＜3x ＜4x ，由图可知2122log log a x x a -=-，故124ax x =，且328x x =-，418x x =-，从而222222123411211442()16()128a ax x x x x x x x +++=+-++，令114a t x x =+，显然t ＞4a，22222112342161284a x x x x t t ++++=-+-，要使该式在t ＞4a时有最小值，则对称轴t ＝4＞4a，解得a ＜1．综上所述，实数a 的取值范围是(-∞，1)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(α＋4π)，sin(α＋4π))，其中0＜α＜2π． （1）求()b a a -⋅的值；（2）若c ＝(1，1)，且()b c +∥a ，求α的值．解：（1）因为向量()cos sin αα=，a ，()()()ππcos sin 44αα=++，b ，所以()2-⋅=⋅-b a a a b a …2分()()()22ππcos cos sin sin cos sin 44αααααα=+++-+ …4分()πcos 14=--1=． ……6分 （2）因为()11=，c ，所以+b c ()()()ππcos 1sin 144αα=++++，．因为()+b c ∥a ，所以()()()()ππcos 1sin sin 1cos 044αααα++-++=．…9分于是()()ππsin cos sin cos cos sin 44αααααα-=+-+，()ππsin 44α-=，即()π1sin 42α-=． ………………12分 因为π02α<<，所以πππ444α-<-<． 于是ππ46α-=，即5π12α=． …14分16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，点P ，Q 分别为AB 1，CC 1的中点．求证：（1）PQ ∥平面ABC ； （2）PQ ⊥平面ABB 1A 1．解：（1）取AB 的中点D ，连结PD CD ，．在△1ABB 中，因为P D ，分别为1AB AB ，中点， 所以1PD BB ∥，且112PD BB =． 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，11CC BB ∥，11CC BB =．因为Q 为棱1CC 的中点，所以1CQ BB ∥，且112CQ BB =． …3分于是PD CQ ∥，PD CQ =．所以四边形PDCQ 为平行四边形，从而PQ CD ∥． ……5分又因为CD ABC ⊂平面，PQ ABC ⊄平面，所以PQ ABC ∥平面． …7分（2）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，1BB ABC ⊥平面．又CD ABC ⊂平面，所以1BB CD ⊥．因为CA CB =，D 为AB 中点，所以CD AB ⊥． ……10分由（1）知CD PQ ∥，所以1BB PQ ⊥，AB PQ ⊥． ……12分 又因为1ABBB B =，11AB ABB A ⊂平面，111BB ABB A ⊂平面，所以11PQ ABB A ⊥平面． ……14分 17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ﹣3)2＋y 2＝1，椭圆E ：22221x ya b+=(a＞b ＞0)的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N ．当AN ＝127AM 时，求直线l 的方程．解：（1）记椭圆E 的焦距为2c （0c >）．因为右顶点()0A a ，在圆C 上，右准线2a x c=与圆C ：()2231x y -+=相切．所以()22230131a a c ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，， 解得 21a c =⎧⎨=⎩，．于是2223b a c =-=，所以椭圆方程为：22143y x +=． ……4分 （2）法1：设()()N N M M N x y M x y ，，，， 显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()2y k x =-．由方程组 ()222143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，()2222431616120k x k x k +-+-=．所以221612243N k x k -⋅=+，解得228643N k x k -=+． ……6分 由方程组()()22231y k x x y =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，消去y 得，()()2222146480k x k x k +-+++=， 所以224+821M k x k ⋅=+，解得222+41M k x k =+． ……8分 因为127AN AM =，所以()12227N M x x -=-． ……10分 即22121227431k k =⋅++，解得 1k =±， ……12分所以直线l 的方程为20x y --=或 20x y +-=． ……14分法2：设()()N N M M N x y M x y ，，，，当直线l 与x 轴重合时，不符题意．设直线l 的方程为：()20x ty t =+≠． 由方程组222143x ty y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()2234120tx ty ++=，所以21234N t y t -=+ ． ……6分由方程组 ()22231x ty x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 得， ()22120t x ty +-=， 所以221M t y t =+ ． ……8分 因为127AN AM =，所以127N M y y =-． ……10分即22121227341t t t t -=-⋅++，解得 1t =±， ……12分 所以直线l 的方程为20x y --=或 20x y +-=． ……14分18．（本题满分16分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE 将△ABC 分成面积之比为2：1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）．设AD ＝x ，DE ＝1y ，AM ＝2y （单位：百米）．（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．解：（1）因为23ADE ABC S S =△△，△ABC 是边长为3的等边三角形，又AD = x ，所以()2121sin =3sin 23323AD AE ππ⋅⋅⨯⨯，所以6AE x =． ……2分由03603AD x AE x <=⎧⎪⎨<=⎪⎩≤，≤，得23x ≤≤． ……4分 法1：在ADE △中，由余弦定理，得22222362cos 63DE AD AE AD AE x x π=+-⋅⋅=+-． 所以，直道DE 长度y 1关于x的函数关系式为[]123y x ∈，．……6分在ADM △和AEM △中，由余弦定理，得2222cos AD DM AM DM AM AMD =+-⋅⋅∠ ①()2222cos AE EM AM EM AM AMD =+-⋅⋅π-∠ ② …8分 因为M 为DE 的中点，所以12DM EM DE ==．由①+②，得22222221222AD AE DM EM AM DE AM +=++=+，所以()()222226136622x x AMxx +=+-+， 所以2229342x AM x =++． 所以，直道AM 长度y 2关于x 的函数关系式为[]223y x =∈，． ……10分法2：因为在ADE △中，DE AE AD =-，所以()2222222663622cos 63DE AE AE AD AD x x x xx xπ=-⋅+=-⋅+=+-． 所以，直道DE 长度y 1关于x 的函数关系式为[]123y x x ∈，．……6分在△ADE 中，因为M 为DE 的中点，所以()12AM AD AE =+． …8分所以()()2222211362644AM AD AE AD AE x x =++⋅=++． 所以，直道AM 长度y 2关于x 的函数关系式为[]223y x =∈，．……10分（2）由（1）得，两条直道的长度之和为12+DE AM y y =+=……12分=（当且仅当22223694x x x x⎧=⎪⎨⎪=⎩，即x =时取=“”）． …14分 答：当AD 百米．16分19．（本题满分16分）若函数()f x 在0x 处有极值，且00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“F 点”． （1）设函数2()2ln f x kx x =-(k ∈R)．①当k ＝1时，求函数()f x 的极值；②若函数()f x 存在“F 点”，求k 的值；（2）已知函数32()g x ax bx cx =++(a ，b ，c ∈R ，a ≠0)存在两个不相等的“F 点”1x ，2x ，且12()()1g x g x -≥，求a 的取值范围．解：（1）① 当k = 1时，f ( x ) = x 2- 2 ln x( k ∈R )，所以()()()()2110x x f x x x-+'=>，令()0f x '=，得x = 1， ……2分列表如下：所以函数()f x 在x = 1处取得极小值，极小值为1，无极大值． ……4分 ② 设x 0是函数()f x 的一个“F 点”()00x >．因为()()()2210kx f x x x-'=>,所以x 0是函数()f x '的零点．所以0k >，由()00f x '=，得201kx x ==， 由00()f x x =，得2002ln kx x x -=，即00+2ln 10x x -=． ……6分 设()+2ln 1x x x ϕ=-，则()21+0x xϕ'=>，所以函数()+2ln 1x x x ϕ=-在()0+∞，上单调增，注意到()10ϕ=， 所以方程00+2ln 10x x -=存在唯一实根1，所以0=1x =，得1k =，根据①知，1k =时，1x =是函数()f x 的极小值点， 所以1是函数()f x 的“F 点”．综上，得实数k 的值为1． ……9分 （2）因为g (x ) = ax 3+ bx 2+ cx ( a ，b ，c ∈ R ，a ≠ 0 ) 所以()()2320g x ax bx c a '=++≠．又因为函数g (x ) 存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，所以x 1，x 2是关于x 的方程()232=00ax bx c a ++≠的两个相异实数根． 所以21212412023.3b ac b x x a c x x a⎧=->⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩△，，又g (x 1) = ax 13 + bx 12 + cx 1 = x 1，g (x 2) = ax 23 + bx 22+ cx 2 = x 2，所以g (x 1) - g (x 2) = x 1- x 2，即(a x 13 + bx 12 + cx 1)- (ax 23 + bx 22+ cx 2) = x 1- x 2， 从而( x 1- x 2) [a (x 12+ x 1x 2 +x 22)+ b (x 1+ x 2 )+ c ]= x 1- x 2．因为12x x ≠，所以()()21212121a x x x x b x x c ⎡⎤+-+++=⎣⎦，即()()2221333bc b a b c aa a⎡⎤--+-+=⎢⎥⎣⎦．所以()2239ac b a -=． ………13分 因为| g (x 1) - g (x 2) | ≥ 1， 所以()()1212g x g x x x -=-=1.=解得20a -<≤．所以，实数a 的取值范围为)20-⎡⎣，． ……16分 （2）（解法2） 因为g (x ) = ax 3+ bx 2+ cx ( a ，b ，c ∈ R ，a ≠ 0 ) 所以()()2320g x ax bx c a '=++≠．又因为函数g (x ) 存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，所以x 1，x 2是关于x 的方程组23232=0ax bx c ax bx cx x⎧++⎪⎨++=⎪⎩，的两个相异实数根． 由32ax bx cx x ++=得2010x ax bx c =++-=，． ……11分 （2．1）当0x =是函数g (x ) 一个“F 点”时，0c =且23b x a =-．所以()()2221033bb a b aa-+--=，即292a b =-．又()()12122013b g x g x x x a-=-=--≥，所以2249b a ≥，所以()2929a a -≤． 又a ≠ 0，所以20a -<≤．…13分 （2．2）当0x =不是函数g (x ) 一个“F 点”时，则x 1，x 2是关于x 的方程2232=010ax bx c ax bx c ⎧++⎪⎨++-=⎪⎩，的两个相异实数根． 又a ≠0，所以2313b b c c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，，得032b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，. 所以212ax =-，得12x =， 所以()()12121g x g x x x -=-=，得20a -<≤．综合（2．1）（2．2），实数a 的取值范围为)20-⎡⎣，． ……16分20．（本题满分16分）在等比数列{}n a 中，已知11a =，418a =．设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b =-，112n n n a b S -+=-(n ≥2，n N *∈)．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （3）是否存在等差数列{}n c ，使得对任意n N *∈，都有n n n S c a ≤≤?若存在，求出所有符合题意的等差数列{}n c ；若不存在，请说明理由．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =，418a =，所以318q =，解得12q =．所以数列{}n a 的通项公式为：()112n n a -=． ……3分（2）由（1）得，当2n n *∈N ，≥时，()111122n nn b S --+=-， ①所以，()11122nn n bS ++=-， ②②－① 得，()11122nn n b b +-=， ……………5分所以，()()1111122n nnn b b +--=，即111n nn nb b a a ++-=，2n n *∈N ，≥． 因为11b =-，由① 得，20b =，所以()2121011b b a a -=--=， 所以111=-++nnn n a b a b ，n *∈N ． 所以数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1为公差的等差数列． ……8分（3）由（2）得b n a n=n －2，所以b n =n －22n -1，S n =－2(a n +1+b n +1)=－2(12n +n －12n )=－n2n -1.假设存在等差数列{c n }，其通项c n =dn +c ， 使得对任意*∈N n ，都有S n ≤c n ≤a n ，即对任意*∈N n ，都有－n 2n -1≤dn +c ≤12n -1. ③ ……10分首先证明满足③的d =0. 若不然，d ≠0，则d ＞0，或d ＜0. (i) 若d ＞0，则当n ＞1－c d ，*∈N n 时，c n =dn +c ＞1≥12n -1= a n ，这与c n ≤a n 矛盾.(ii) 若0<d ，则当n ＞－1+cd，*∈N n 时，c n =dn +c ＜－1.而S n +1－S n =－n +12n+n 2n -1=n －12n≥0，S 1= S 2＜S 3＜……,所以S n ≥S 1=－1.故c n =dn +c ＜－1≤S n ，这与S n ≤c n 矛盾. 所以d =0. ………12分 其次证明：当x ≥7时，f (x )=(x －1)ln2－2ln x ＞0.因为f ′(x )=ln2－1x ＞ln2－17＞0，所以f (x )在[7，+∞)上单调递增，所以，当x ≥7时，f (x )≥f (7) =6ln2－2ln7= ln 6449＞0.所以当n ≥7，*∈N n 时，2n -1＞n 2. ……14分 再次证明c =0.(iii)若c ＜0时，则当n ≥7，n ＞－1c ，n ∈N*，S n =－n 2n -1＞－1n ＞c ，这与③矛盾.(iv)若c ＞0时，同(i)可得矛盾.所以c =0. 当0n c =时，因为1012n n n S --=≤，()1102n n a -=>，所以对任意*∈N n ，都有S n ≤c n ≤a n ．所以0n c n *=∈N ，．综上，存在唯一的等差数列{ c n }，其通项公式为0n c n *=∈N ，满足题设．…16分江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试数学附加题21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝0 1 0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵10 2A 0b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．若曲线C 1：2214x y +=在矩阵A 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求曲线C 2的方程．解：因为1-=AA E ，所以010*******a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即0100201b a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 所以121b a =⎧⎨=⎩，，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，.所以01102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ． ……4分设()P x y ''，为曲线C 1任一点，则2214x y ''+=，又设()P x y ''，在矩阵A 变换作用得到点()Q x y ，， 则01102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2y x x y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥='⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以2y x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，，即2x y y x '=⎧⎨'=⎩，. 代入2214x y ''+=，得221y x +=，所以曲线C 2的方程为221x y +=． ……10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C 的方程为r ρ= (r ＞0)，直线l 的方程为cos()4πρθ+=l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB＝r 的值．解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，于是曲线C ：(0)r r ρ=>的直角坐标方程为222x y r +=，表示以原点为圆心，半径为r 的圆． ……3分由直线l 的方程()cos 4ρθπ+=cos cos sin sin 44ρθρθππ-，所以直线l 的直角坐标方程方程为20x y --=． …………6分 记圆心到直线l 的距离为d，则d ==又()2222ABr d =+，即2279r=+=，所以3r =． ……10分C ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足2222222111x y z x y z ++=+++，证明：222111x y z x y z ++≤+++． 解：因为2222222111x y z x y z ++=+++， 所以2222222221111111111111x y z x y z x y z ++=-+-+-=++++++． ……5分 由柯西不等式得，()()()2222222222222111111111111x y z x y zx y z x y z x y z +++++++++++++++≥．所以()22222111x y zx y z +++++≤ ．所以222111x y zx y z +++++ ……10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天， 每名员工休假的概率都是12，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业．（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：（1）记2家小店分别为A B ，，A 店有i 人休假记为事件()012i A i =，，，B 店有i 人，休假记为事件()012i B i =，，，发生调剂现象的概率为P ． 则()()()2000211C 24P A P B ===， ()()()2111211C 22P A P B ===， ()()()2222211C 24P A P B ===．所以()()02201111144448P P A B P A B =+=⨯+⨯=．答：发生调剂现象的概率为18． ……4分（2）依题意，X 的所有可能取值为012，，． 则()()2211104416P X P A B ===⨯=，()()()122111111142244P X P A B P A B ==+=⨯+⨯=，()()()11112101116416P X P X P X ==-=-==--=． ……8分所以X 的分布表为：所以()111113210164168E X =⨯+⨯+⨯=． ……10分23．（本小题满分10分）我们称n (n N *∈)元有序实数组(1x ，2x ，…，n x )为n 维向量，1nii x=∑为该向量的范数．已知n 维向量a ＝(1x ，2x ，…，n x )，其中i x ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，…，n ．记范数为奇数的n 维向量a 的个数为A n ，这A n 个向量的范数之和为B n ．（1）求A 2和B 2的值；（2）当n 为偶数时，求A n ，B n （用n 表示）．解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：()10-，，()01-，，()01，，()10，， 它们的范数依次为1111，，，，故2244A B ==，． ……3分 （2）当n 为偶数时，在向量()123n x x x x =，，，a 的n 个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：131n -，，，进行讨论：a 的n 个坐标中含1个0，其余坐标为1或1-，共有11C 2n n -⋅个，每个a 的范数为1n -； a 的n 个坐标中含3个0，其余坐标为1或1-，共有33C 2n n -⋅个，每个a 的范数为3n -；… a 的n 个坐标中含1n -个0，其余坐标为1或1-，共有1C 2n n -⋅个，每个a 的范数为1；所以11331C 2C 2C 2n n n n n n n A ---=⋅+⋅++⋅，()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅． ……6分因为()0112221C 2C 2C 2C nn n n nn n n n --+=⋅+⋅+⋅++， ①()0112221C 2C 2C 2(1)C nn n n n n n n n n ---=⋅-⋅+⋅-+-，②2-①②得，113331C 2C 22nn n n n ---⋅+⋅+=，所以312n n A -=． ……8分 解法1：因为()()()()()11!!C C !!!1!k k n n n n n k n k n n k n k k n k ---=-⋅=⋅=---， 所以()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅．()11331111C 2C 2C 2n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅()123411112C 2C 2C n n n n n n n ------=⋅+⋅++()()11312312n n n n ---=⋅=⋅-． ……10分 解法2：2+①②得，022C 2C 2n n n n -⋅+⋅+=312n+． 又因为()()()()111!!C C !!1!!k k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---，所以 ()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅．()()()1133111331C 2C 2C 2C 23C 21C 2n n n n n n n n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅-⋅+⋅⋅++-⋅⋅()01232111C 2C 2C 2n n n n n n n nA n ------=-⋅+⋅++⋅()()1131313122n n n n n ---+=⋅-=⋅-． ……………10分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C. (选修 45：不等式选讲) 已知实数 x，y，z 满足1＋x2x2＋1＋y2y2＋1＋z2z2＝2，求证：1＋x x2＋1＋y y2＋1＋z z2≤ 2.
·5·
【必做题】 第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤．
yN＝3－t2＋124t .(6
分)
由方程组
x＝ty＋2， 消去 x，得(t2＋1)y2－2ty＝0，所以
（x－3）2＋y2＝1，
yM＝t2＋2t 1.(8
分)
因为 AN＝12AM，所以 yN＝－12yM.(10 分)
7
7
即3－t2＋124t ＝－172·t2＋2t 1，解得 t＝±1.(12 分)
4
4
于是 sin α－cos α＝sin(α＋π)cos α－cos(α＋π)sin α，
4
4
从而 2sin(α－π)＝sin π，即 sin(α－π)＝1.(12 分)
4
4
42
因为 0＜α＜π，所以－π＜α－π＜π，于是α－π＝π，即α＝5π.(14 分)
2
4
44
46
12
16. 证明：(1) 取 AB 的中点 D，连结 PD，CD. 在△ABB1 中，因为点 P，D 分别为 AB1，AB 中点， 所以 PD∥BB1，且 PD＝1BB1.
4
4
＜α＜π. 2
(1) 求(b－a)·a 的值；
(2) 若 c＝(1，1)，且(b＋c)∥a，求α的值．
16.(本小题满分 14 分) 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA＝CB，点 P，Q 分别为 AB1，CC1 的中点．求证： (1) PQ∥平面 ABC； (2) PQ⊥平面 ABB1A1.
·3·
20. (本小题满分 16 分)
在等比数列{an}中，已知 a1＝1，a4＝1.设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且 b1＝－1，an＋bn＝－1Sn
8
2
－1(n≥2，n∈N*)．
(1) 求数列{an}的通项公式；
bn (2) 求证：数列 an 是等差数列； (3) 是否存在等差数列{cn}，使得对任意 n∈N*，都有 Sn≤cn≤an？若存在，求出所有符合题意的
·2·
17. (本小题满分 14 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：(x－3)2＋y2＝1，椭圆 E：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)的右 顶点 A 在圆 C 上，右准线与圆 C 相切． (1) 求椭圆 E 的方程； (2) 设过点 A 的直线 l 与圆 C 相交于另一点 M，与椭圆 E 相交于另 一点 N.当 AN＝12AM 时，求直线 l 的方程．
01
02
已知矩阵 A＝ a 0 的逆矩阵 A－1＝ b 0 .若曲线 C1：x2＋y2＝1 在矩阵 A 对应的变换作用下得
4
到另一曲线 C2，求曲线 C2 的方程．
B. (选修 44：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，已知曲线 C 的方程为ρ＝r(r＞0)，直线 l 的方程为ρcos(θ＋π)＝ 2.设直线 l 与曲
13. 如图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的 (如图(2))，其中 OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则A→6A7·A→7A8的值是________．
|log2x－a|，0＜x≤4，
14. 设函数 f(x)＝
若存在实数 m，使得关于 x 的方程 f(x)＝m 有 4 个不相
所以 PQ⊥平面 ABB1A1.(14 分)
17. 解：(1) 记椭圆 E 的焦距为 2c(c＞0)．
因为右顶点 A(a，0)在圆 C 上，右准线 x＝a2与圆 C：(x－3)2＋y2＝1 相切， c
（a－3）2＋02＝1，
| | 所以 a2－3 c ＝1，
a＝2，
解得
于是 b2＝a2－c2＝3，
c＝1.
·6·
2020 届高三模拟考试试卷(七市联考) 数学参考答案及评分标准
1. 9 2. 5 3. 10 4. 5 5. 2 6. π 7. －15 8. 1 9. 2 10. 13 11. 8 12. ln 6
2Hale Waihona Puke 6313. 42 14. (－∞，1) 7
15. 解：(1) 因为向量 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos(α＋π)，sin(α＋π))，
所以椭圆 E 的方程为x2＋y2＝1.(4 分) 43
(2) (解法 1)设 N(xN，yN)，M(xM，yM)，
显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝k(x－2)．
y＝k（x－2）， 由方程组 x2＋y2＝1， 消去 y，得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
43 所以 xN·2＝146kk22－ ＋132，解得 xN＝84kk22－ ＋63.(6 分)
23.我们称 n(n∈N*)元有序实数组(x1，x2，…，xn)为 n 维向量，
为该向量的范数．已
知 n 维向量 a＝(x1，x2，…，xn)，其中 xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，…，n.记范数为奇数的 n 维向量 a 的个数为 An，这 An 个向量的范数之和为 Bn.
(1) 求 A2 和 B2 的值； (2) 当 n 为偶数时，求 An，Bn(用 n 表示)．
i 3. 在一块土地上种植某种农作物，连续 5 年的产量(单位：吨)分别为 9.4， 9.7，9.8，10.3，10.8，则该农作物的年平均产量是________吨． 4. 如图是一个算法流程图，则输出 S 的值是________． 5. “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪 子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪 子克布，布克石头，甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是________． (第 4 题) 6. 在△ABC 中，已知 B＝2A，AC＝ 3BC，则 A 的值是________． 7. 在等差数列{an}(n∈N*)中，若 a1＝a2＋a4，a8＝－3，则 a20 的值是________． 8. 如图，在体积为 V 的圆柱 O1O2 中，以线段 O1O2 上的点 O 为顶点，上下 底面为底面的两个圆锥的体积分别为 V1，V2，则V1＋V2的值是________．
y＝k（x－2），
由方程组
消去 y，得(k2＋1)x2－(4k2＋6)x＋4k2＋8＝0，
（x－3）2＋y2＝1，
所以 xM·2＝4kk22＋＋18，解得 xM＝2kk22＋＋14.(8 分)
因为 AN＝12AM，所以 2－xN＝12(xM－2)，(10 分)
7
7
即4k12＋2 3＝172·1＋2k2，解得 k＝±1.(12 分)
江苏省七市 2020 届高三第二次调研考试 数学
(满分 160 分，考试时间 120 分钟) 2020．4
参考公式： 柱体的体积公式：V 柱体＝Sh，其中 S 为柱体的底面积，h 为高． 锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为高． 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1. 已知集合 A＝{1，4}，B＝{a－5，7}．若 A∩B＝{4}，则实数 a 的值是________． 2. 若复数 z 满足z＝2＋i，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是________．
2 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC1∥BB1，CC1＝BB1.
·7·
因为点 Q 为棱 CC1 的中点，所以 CQ∥BB1，且 CQ＝1BB1.(3 分) 2
于是 PD∥CQ，PD＝CQ. 所以四边形 PDCQ 为平行四边形，从而 PQ∥CD.(5 分)
因为 CD⊂平面 ABC，PQ⊄平面 ABC，所以 PQ∥平面 ABC.(7 分)
4
4
所以(b－a)·a＝a·b－a2(2 分)
＝cos αcos(α＋π)＋sin αsin(α＋π)－(cos2α＋sin2α)(4 分)
4
4
＝cos(－π)－1＝ 2－1.(6 分)
4
2
(2) 因为 c＝(1，1)，所以 b＋c＝(cos(α＋π)＋1，sin(α＋π)＋1)．
4
4
因为(b＋c)∥a，所以[cos(α＋π)＋1]sin α－[sin(α＋π)＋1]cos α＝0.(9 分)
22. 小丽在同一城市开的 2 家店铺各有 2 名员工．节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都 是1，且是否休假互不影响．若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂 1 人到该店铺
2 维持营业，否则该店就停业．
(1) 求发生调剂现象的概率； (2) 设营业店铺数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
(2) 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB1⊥平面 ABC.
又 CD⊂平面 ABC，所以 BB1⊥CD.
因为 CA＝CB，点 D 为 AB 中点，所以 CD⊥AB.(10 分)
由(1)知 CD∥PQ，所以 BB1⊥PQ，AB⊥PQ.(12 分)
因为 AB∩BB1＝B，AB⊂平面 ABB1A1，BB1⊂平面 ABB1A1，
19. (本小题满分 16 分) 若函数 f(x)在 x0 处有极值，且 f(x0)＝x0，则称 x0 为函数 f(x)的“F 点”． (1) 设函数 f(x)＝kx2－2ln x(k∈R)． ① 当 k＝1 时，求函数 f(x)的极值； ② 若函数 f(x)存在“F 点”，求 k 的值； (2) 已知函数 g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0)存在两个不相等的“F 点”x1，x2，且|g(x1) －g(x2)|≥1，求 a 的取值范围．