2019届苏教版(理科数学) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 单元测试
2019届高考(文)《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》专题达标试卷(含答案)
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(三十四)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共48分)1.(2014·昆明模拟)已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围为( )A.(-24,7)B.(-7,24)C.(-∞,-7)∪(24,+∞)D.(-∞,-24)∪(7,+∞)2.(2018·武汉模拟)若函数y=f(x)图象上的任意一点P的坐标(x,y)满足条件|x|≥|y|,则称函数f(x)具有性质S,那么下列函数中具有性质S的是( )A.f(x)=e x-1B.f(x)=ln(x+1)C.f(x)=sinxD.f(x)=tanx3.某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场,现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配.每辆甲型货车的运输费用是400元,可装空调20台,每辆乙型货车的运输费用是300元,可装空调10台,若每辆车至多运一次,则企业所花的最少运费为( )A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元4.(2018·荆州模拟)已知平面向量a=(1,2),b=(2,1),c=(x,y),且满足x≥0,y≥0.若a·c≥1,b·c≥1,z=-(a+b)·c,则( )A.z有最大值-2B.z有最小值-2C.z有最大值-3D.z有最小值-35.(2018·天门模拟)若变量x,y满足则点P(2x-y,x+y)表示区域的面积为( )A. B. C. D.16.在如图所示的平面区域内(阴影部分且包括边界),若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则的最大值是( )A. B. C. D.7.(2018·宜昌模拟)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数y=ax2的图象过区域M 的a的取值范围是( )A. B.C.(-∞,9)D.8.(能力挑战题)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为( )A.4 650元B.4 700元C.4 900元D.5 000元二、填空题(每小题6分,共24分)9.(2018·安徽高考)若非负数变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为.10.(2018·新课标全国卷Ⅰ)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为.11.(2018·临沂模拟)已知实数x,y满足不等式组若目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围为.12.(2018·郑州模拟)已知O为坐标原点,A(1,2),点P的坐标(x,y)满足约束条件则z=·的最大值为.三、解答题(每小题14分,共28分)13.已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示.(1)写出表示区域D的不等式组.(2)设点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.14.(能力挑战题)某公司计划2019年在A,B两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.A,B两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定A,B两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在两个电视台做广告的时间,才能使公司的收益最大?最大收益是多少万元?答案解析1.【解析】选B.根据题意知(-9+2-a)(12+12-a)<0,即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24.2.【解析】选C.|x|≥|y|表示的区域为阴影所示,[:A选项y=x是f(x)=e x-1的切线,f(x)=e x-1经过原点,经过B区域;B选项f(x)=ln(x+1)经过原点,经过B区域,y=x 也是其切线;C选项,f(x)=sinx在y=x和y=-x之间,所以其只经过A区域;D选项,f(x)=tanx经过B区域.3.【解析】选B.设需甲、乙型货车各x,y辆,由题意有:令w=400x+300y,作出可行域如图.由线性规划知识易知当x=4,y=2时,w min=2200.4.【解析】选A.由a·c≥1,b·c≥1知画出平面区域如图所示.由题意知z=-(a+b)·c=-3(x+y)在点M处取最大值-2.5.【解析】选D.由得代入x,y的关系式得可行域如图,易得阴影区域面积S=×2×1=1.6.【解析】选B.目标函数z=x+ay可化为y=-x+z.由题意a<0且当直线y=-x+z与直线AC重合时符合题意,此时k AC=1=-,所以a=-1,的几何意义是区域内动点与P(-1,0)连线的斜率,显然k PC=最大.7.【解析】选D.题中可行域M如图所示,y=ax2经过可行域M,则a>0,分别计算出经过(3,8),(1,9)点时a的值,则a1=,a2=,所以a的取值范围为.8.【解析】选C.设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,获得的利润为m元,m=450x+350y,由题意,x,y满足关系式作出可行域,如图.m=450x+350y=50(9x+7y),在由确定的交点(7,5)处取得最大值4900元.【易错提醒】求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件,并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号.(2)注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数x,y的取值范围,特别注意分析x,y是否是整数、是否是非负数等.(3)正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式.9.【解析】由⇒即点A,同理可得点B(4,0),可行域如图阴影部分所示,由图可知当直线x+y=k经过(4,0)时得所求的最大值是4.答案:410.【思路点拨】画出x,y满足约束条件的可行域,平移目标函数,确定目标函数取得最大值的位置,求出点的坐标,将该点坐标代入目标函数中求解.【解析】画出可行域如图所示,当目标函数z=2x-y过点A(3,3)时,取得最大值,z max=2×3-3=3.答案:311.【解析】作出如图可行域,由z=y-ax得y=ax+z可知,直线在y轴上的截距最大时,z最大,结合图象可知,在A(1,3)处取得最大值,需a>1. 答案:a>112.【解析】作可行域如图,z=·=x+2y,显然在B(0,1)处z max=2.[:答案:213.【解析】(1)直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.原点(0,0)在区域D内,故表示区域D的不等式组为:(2)根据题意有[4×(-1)-3×(-6)-a][4×(-3)-3×2-a]<0,即(14-a)(-18-a)<0,得a的取值范围是-18<a<14.故a的取值范围是(-18,14).14.【思路点拨】设公司在A和B电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,由题意列出x,y的约束条件和目标函数,然后利用线性规划的知识求解.【解析】设公司在A和B电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得目标函数z=3000x+2000y.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分.作直线l:3000x+2000y=0,即3x+2y=0,平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.联立解得所以点M的坐标为(100,200),所以z max=3000×100+2000×200=700000,即该公司在A电视台做100分钟广告,在B电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.【方法技巧】常见的线性规划应用题的类型(1)给定一定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收益最大.(2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小. [:关闭Word文档返回原板块。
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第七章 第三节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
一、填空题1．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________．解析：根据约束条件画出可行域，如图所示，可求得 A (2,2)，B (12，12)，C (2，－1)．作出目标函数直线y ＝2x －z ，当直线经过点C (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝5. 答案：52．在约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤22y －x ≥1下，(x －1)2＋y 2的最小值为________．解析：画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分)，所求的(x －1)2＋y 2的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的点之间的距离，其最小值为点(1,0)到直线x －2y ＋1＝0的距离，可求得(x －1)2＋y 2的最小值为 |1－2×0＋1|12＋(－2)2＝255.答案：2553．若x 、y 满足 ⎩⎨⎧x ＋y ≥6x ≤4y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率．由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3.答案：34．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：画出约束条件对应的可行域，如图，∵|PO |表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO |取得最小值的最优解为点A (1,1)；使|PO |取得最大值的最优解为点B (1,3)． ∴|PO |min ＝2， |PO |max ＝10. 答案：2105．现要挑选x 名女同学，y 名男同学参加某项游戏活动，其中x 和y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥4，x ＋4≥y ，x ≤4，则挑选出男女同学总数和的最大值为________．解析：画图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(4,0)，(4,8)，(0,4)，把此三点坐标代入z ＝x ＋y ，知点在(4,8)时，z ＝x ＋y 的最大值是4＋8＝12，应填12. 答案：126．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 是常数)所表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为________．解析：由题易知当a ≤－2时，不等式组表示的平面区域不存在；当a >－2时，不等式组表示的平面区域为三角形ABC ，如图所示，分别求出三条直线的交点坐标：A (a ，a ＋4)，B (a ，－a )，C (－2, 2)，故|AB |＝a ＋4－(－a )＝2a ＋4，点C 到直线AB 的距离为d ＝a －(－2)＝a ＋2，所以三角形ABC 的面积S ＝12(2a ＋4)·(a ＋2)＝9，解得a ＝1或a ＝－5(舍去)． 答案：17．不等式⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，y ≤－kx ＋4k(k >1)所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则kSk －1的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，易知M 的面积S ＝12×4×4k ＝8k . ∵k >1，∴k －1>0.于是，kS k －1＝8k 2k －1＝8(k －1)＋8k －1＋16≥32，当且仅当8(k －1)＝8k －1，即k ＝2时取等号． 答案：328．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是________． 解析：作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示．由⎩⎨⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点 A (2,9)．对y ＝a x 的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上． 当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3. 答案：1<a ≤39．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数变形为y ＝x －z ，当z 最小时就是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎨⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎨⎧y ＝x ＋2，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8.故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，所以目标函数的最大值的取值范围是[3,6]． 答案：[3,6] 二、解答题10．若{(x ，y )|⎩⎨⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，求实数m 的范围．解析：设A ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以坐标原点为圆心，m 为半径的圆及其内部，由A ⊆B 得，m ≥|PO |，由 ⎩⎨⎧x －2y ＋5＝03－x ＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝4，即P (3,4)，∴|PO |＝5，即m ≥5.11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的一个零点为x ＝1，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率． (1)求a ＋b ＋c ；(2)求ba 的取值范围．解析：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝－1.(2)由c ＝－1－a －b ，∴f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1－a －b ＝(x －1)[x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1]，从而另两个零点为方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，且一根大于1，一根小于1而大于零，设g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，由根的分布知识画图可得⎩⎨⎧ g (0)>0g (1)<0，即⎩⎨⎧a ＋b ＋1>02a ＋b ＋3<0，作出可行域如图所示．而b a ＝b －0a －0表示可行域中的点(a ，b )与原点连线的斜率k ，直线OA 的斜率k 1＝－12，直线2a ＋b ＋3＝0的斜率k 2＝－2，∴k ∈(－2，－12)，即b a ∈(－2，－12)．12．某公司仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？ 解析：将已知数据列成下表：设仓库A 则仓库A 运给丙商店的货物为(12－x －y )吨，从而仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x )吨、(8－y )吨、[5－(12－x －y )]＝(x ＋y －7)吨，于是总运费为z ＝8x ＋6y ＋9(12－x －y )＋3(7－x )＋4(8－y )＋5(x ＋y －7)＝x －2y＋126.∴线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12－x －y ≥07－x ≥08－y ≥0x ＋y －7≥0x ≥0，y ≥0，即⎩⎨⎧x ＋y ≤120≤x ≤70≤y ≤8x ＋y ≥7，目标函数为z ＝x －2y ＋126.作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．作出直线l ：x －2y ＝0，把直线l 平行移动，显然当直线l 移动到过点(0,8)时，在可行域内z ＝x －2y ＋126取得最小值z min ＝0－2×8＋126＝110，则x ＝0， y ＝8时总运费最小．安排的调运方案如下：仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．。
2018-2019届高三数学(理)复习(江苏专用)课件：第七章第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
则目
解析：不等式组表示的平面区域 是如图所示的阴影部分，结合图 形，可知当直线3x－2y＝z平移 到过点(0,2)时，z＝3x－2y的值 最小，最小值为－4. 答案：－4
2．在平面直角坐标系xOy中，若不等式组 y≥0， y≤2x， y≤kx－1－1
表示一个三角形区域，则实数k的取值
范围是________．
解析：直线 y＝k(x－ 1)－ 1 过定点(1，－1)，当这条直线的斜率 为负值时， 该直线与 y 轴的交点必须在坐标原点上方， 即直线的 斜率 k∈ (－∞，－1)时，可构成三角形区域如图(1)所示；当这 条直线的斜率为正值时，y≤ k(x－1)－1 所表示的是直线 y＝ k(x － 1)－ 1 及其下方的平面，这个区域和已知区域的交集是一个无 界区域如图(2)所示，不能构成三角形；当直线的斜率为 0 时， 构不成平面区域．因此 k 的取值范围是(－∞，－ 1)． 答案：(－∞，－ 1)
解析：不等式组表示的平面区域如图为 三角形AOB对应的区域，平行移动直线 2x＋y＝0，显然当直线经过点B时2x＋y
最大，而B点坐标为
7 7 ， ，所以所求 2 2
7 7 21 的最大值为2× ＋ ＝ . 2 2 2 21 答案： 2
2．(2016· 南京师大附中检测)已知实数x，y满足约束条件 x＋y＋5≥0， x－y≤0， y≤0，
x－y≥0， 2．(易错题)若满足条件 x＋y－2≤0， y≥a
的整点(x，y)恰
有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整 数a的值为________．
解析：不等式组所表示的平面区 域如图中阴影部分，当a＝0时， 只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)， (2,0)；当a＝－1时，正好增加(－ 1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个 整点，所以a＝－1. 答案：－1
2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第7章第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考点1二元一次不等式(组)与平面区域1.下列二元一次不等式组可以表示图中阴影部分的是( )A. B . {y ≥-1,2x -y +2≥0{y ≥-1,2x -y +4≤0B.C . D .{x ≤0,y ≥-2,2x -y +2≥0{x ≤0,y ≥-2,2x -y +4≤0考点2简单的线性规划问题2.若变量x ,y 满足约束条件且有无穷多个点(x ,y )使得目标函数z=λx+2y 取得最大{y ≤x2+1,y ≥x ,x ≥-3,值,则实数λ的值为( )A.-1B.-2C.0D.23.[2013湖北,9,5分]某旅行社租用A ,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A ,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆.则租金最少为( )A.31 200元B.36 000元C.36 800元D.38 400元4.[2017全国卷Ⅰ,14,5分][理]设x ,y 满足约束条件则z=3x-2y 的最小值为 {x +2y ≤1,2x +y ≥-1,x -y ≤0,.5.[2016全国卷Ⅲ,13,5分][理]若x ,y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为 {x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,.6.已知x ,y 满足约束条件则z=|x+y+2|的最大值是 .{x -y ≤0,x +y -1≥0,x -2y +2≥0,答案1.C 将原点坐标(0,0)代入2x-y+2,得2>0,于是2x-y+2≥0所表示的平面区域在直线2x-y+2=0的右下方,结合所给图形可知C 正确.2.A 可行域如图中阴影部分所示.目标函数z=λx+2y 可化为y=-x+,因为有无穷多个点(x ,y )λ2z2使得直线y=-x+在y轴上的截距取得最大值,由图可得,y=-x+与直线y=+1重合时满足λ2z 2λ2z2x 2题意,所以-=,解得λ=-1,故选A .λ2123.C 设租A 型车x 辆,B 型车y 辆,租金为z ,则画出可行域如图中阴影部分的整点,则目标函{36x +60y ≥900,y -x ≤7,y +x ≤21,x ,y ∈N ,数z=1 600x+2 400y 在点N (5,12)处取得最小值36 800,故选C .4.-5 画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所{x +2y ≤1,2x +y ≥-1,x -y ≤0示,由可行域知,当直线y=x-过点A 时,在y 轴上的截距最大,此时z 最小,32z2由解得故zmin =-5.{x +2y =1,2x +y =-1,{x =-1,y =1.5. 约束条件对应的平面区域是以点(1,),(0,1)和(-2,-1)为顶点的三角形,当目标函数y=-x+z3212经过点(1,)时,z取得最大值.12326.6 解法一 画出可行域如图中阴影部分所示,则A (0,1),B (2,2),C (,),则可行域在直线l :x+y+2=0的右上方,且在直线l 的右上方区1212域内z=|x+y+2|=x+y+2,故当直线z=x+y+2过点B 时,z 取得最大值6.解法二 画出可行域如图中阴影部分所示,则A (0,1),B (2,2),C (,),记直线l :x+y+2=0,则1212z=|x+y+2|=·≤·d (d 为点B 到直线l 的距离),而d=3,故z=|x+y+2|≤6,所以2|x +y +2|222z=|x+y+2|的最大值是6.。
高一 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识点+例题+练习 含答案
1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有①当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； ②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) (4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ )1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________．答案 ③解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为③. 3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是________． 答案 2解析 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故AB ＝2，AC ＝22， 其面积为12×AB ×AC ＝2.4．(2015·北京改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 2解析 可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的________．(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．答案 (1)③ (2)43解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有③符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.命题点2 含参数的平面区域问题 例2 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是____________________________________________________________． 答案 73解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________． (2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为________．答案 (1)[3，＋∞) (2)1解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．题型二 求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝________. 答案 6解析 画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 命题点2 求非线性目标函数的最值 例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)， ∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)， ∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，∴z 的取值范围是(1,5]． 引申探究1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率．∴z 的取值范围是(－∞，0)．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方，(PQ 2)max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2， (PQ 2)min ＝(|1－1＋1|12＋(－1)2)2＝12，∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求线性规划的参数例5 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．(1)(2015·无锡一模)在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为________．(2)(2014·安徽改编)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________． 答案 (1)1 (2)2或－1 解析 (1)不等式组⎩⎨⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.题型三 线性规划的实际应用例6 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．(2015·陕西改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128答案 18解析 设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．8．含参数的线性规划问题的易错点典例 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.易错分析 题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x ＋y ＝m 和直线y ＝－x 平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点．解析 显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值， 最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.答案 5温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来． (2)应注意直线y ＝x －z 经过的特殊点．[方法与技巧]1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题． [失误与防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案 1解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．2．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________． 答案 m >1解析 由2m ＋3－5>0，得m >1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3.4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________． 答案 (0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 解析 不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元． 答案 2 800解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．6．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________． 答案 1解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.7．(2015·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是________． 答案 1解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x 的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是__________．答案 [－53，5)解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)． 答案 15解析 设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)， 画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15. 10．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________． 答案2513解析 因为a >0，b >0， 所以由可行域得，如图，当目标函数过点(4,6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10.a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是2513.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (－103，－2)解析 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解． 令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)>0，f (1)>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2.12．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为________． 答案55解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →， 则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →| ＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55.13．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x )≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________． 答案 π2解析 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ≥0，y －1x ≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心， 以1为半径的圆及圆的内部， 作出它们表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形． 由于圆和曲线y ＝1x 关于直线y ＝x 对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2.14．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．答案 37解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1. 显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.16．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案 6解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．。
2019高中数学高考真题分类：考点28-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
温馨提示：此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。
考点28 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.(2018·新课标全国Ⅱ高考理科·T9)已知a>0,x,y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩若z=2x+y 的最小值为1,则a= ( ) A.14 B. 12C.1D.2 【解题指南】结合线性约束条件,画出可行域,由目标函数取得最小值1,结合图形可求得a. 【解析】选B.画出不等式组表示的平面区域如图所示:当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时,z 取得最小值,而点A 的坐标为(1,-2a),所以2-2a=1,解得a=1,2,故选B. 2.（2018·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ3）设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）A.7-B.6-C.5-D.3-【解题指南】结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移得最小值. 【解析】选B.由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233zy x =-。
作出可行域如图,平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-，选B.3. （2018·陕西高考文科·Ｔ7）若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 ( ) A. －6B .－2C. 0D. 2【解题指南】画出直线围成的封闭区域，把求2x-y 最小值转化为求y=2x-z 所表示直线的截距的最大值，通过平移可求解.【解析】选A.2||==y x y 与的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 在封闭区域内平移直线y=2x ，在点(-2,2)时，2x – y = - 6取最小值.4. （2018·山东高考理科·Ｔ6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组：2x y 20x 2y 103x y 80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为 （ ） A.2 B.1 C.13-D. 12- 【解题指南】本题可先根据题意画出平面区域，然后利用数形结合找出斜率的最值. 【解析】选C. 作出可行域如图由图象可知当M 位于点D 处时，OM 的斜率最小.由210380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，即(3,1)D -,此时OM 的斜率为1133-=-. 5.（2018·北京高考理科·Ｔ8）设关于x,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是（ ） A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解题指南】作出平面区域，则区域的边界点中有一个在x 0－2y 0=2的上方，一个在下方。
2019届苏教版(理科数学) 不等式的解法 单元测试
1．不等式－x 2－x ＋2<0的解集为________________．2．不等式22x x －＜4的解集为________．3．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <14，则ab ＝________.4．(2018·南通模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )<x 2的解集是________________．5．若函数f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是________________．6．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为____________．7．若对任意实数x ∈[－1,1]，不等式x2＋ax －3a <0恒成立，则实数a 的取值范围是________．8．已知当a ∈[－1,1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为________________．9．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝________.10．(2018·南京调研)已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝－x ＋2，则不等式f (x )－x 2≥0的解集为________________．11．设定义域为R 的函数f (x )满足下列条件：①对任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0；②对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，且f (－1)＝－1. 若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是________________．12．设关于x 的不等式|x 2－2x ＋3m －1|≤2x ＋3的解集为A ，且－1∉A,1∈A ，则实数m 的取值范围是________．13．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，若对于任意x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，则t 的取值范围为____________．14．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，f ⎝⎛⎭⎫x m －4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案精析1．{x |x <－2或x >1} 2.{x |－1＜x ＜2} 3.28 4.(－∞，0]∪(2，＋∞) 5.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 6.[－1,4]7.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 8.(－∞，1)∪(3，＋∞) 9.2∶1∶3 10．[－1,1]解析 当x ≥0时，由－x ＋2－x 2≥0，解得0≤x ≤1；当x ＜0时，由x ＋2－x 2≥0，解得－1≤x ＜0，所以－1≤x ≤1.11．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)解析 由题设条件知f (x )是奇函数，在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以在[－1,1]上，f (x )max ＝f (1)＝－f (－1)＝1.f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，即t 2－2at ≥0恒成立．设g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥0，g (－1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. 12.⎝⎛⎦⎤－13，73 解析 由－1∉A ，得|(－1)2－2×(－1)＋3m －1|>2×(－1)＋3，即|3m ＋2|>1，解得m <－1或m >－13.① 由1∈A ，得|12－2×1＋3m －1|≤2×1＋3，即|3m －2|≤5，解得－1≤m ≤73.② 故由①②得实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－13，73. 13．(－∞，－10]解析 2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实根是x 1＝0，x 2＝5，所以c ＝0，b ＝－10，不等式2x 2－10x ＋t ≤2对任意x ∈[－1,1]恒成立，即2x 2－10x ＋t －2≤0，又f (x )＝2x 2－10x 在⎝⎛⎭⎫－∞，52上为单调函数， 当x ∈[－1,1]时，有⎩⎪⎨⎪⎧2×(－1)2－10×(－1)＋t －2≤0，2×12－10×1＋t －2≤0， 解得t ≤－10.14.⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析 由题意得x 2m2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x＋1在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32.。
第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1. 在直角坐标系内,下图中的阴影部分表示的不等式（组）是……………………（ ）A 00x y x y +≥⎧⎨-≥⎩. B. 00x y x y +≤⎧⎨-≥⎩ C. x 2-y 2≤0 D. x 2-y 2≥02. 如果点(5，b)在两条平行直线6x-8y ＋1＝0和3x-4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 63. 设x,y 满足约束条件260,260,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数z=x+y 的最大值是……………………（ ）A. 3B. 4C. 6D. 84. 已知正数x 、y 满足20,350,x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩则z=11((42x y 的最小值为…………………………（ ）116 D. 132 5. 已知x,y 满足约束条件0,344,0,x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩,则x 2+y 2+2x 的最小值是…………………………（ ） A. 251 C. 2425 D. 1 6. 不等式组260,30,2,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域的面积为 .7. 若点P （m ，3）到直线4x-3y+1=0的距离为4，且点P 在不等式2x+y ＜3表示的平面区域内，则m= .8. 若A 为不等式组0,0,2,x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A 中的那部分区域的面积为 .9. 已知变量x,y 满足约束条件1≤x+y ≤4,-2≤x-y ≤2.若目标函数z=ax+y （其中a ＞0）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 .10. 已知b ≥0，函数f(x)=(3a-1)x+b-a ，x ∈［0,1］，若函数f(x)≤1对x ∈［0,1］恒成立，求以a,b为坐标，点P(a,b)所形成的平面区域的面积.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(三十三） 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 [练基础小题——强化运算能力]
1．不等式组 x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于________． 解析：平面区域如图中阴影部分所示．
解 x＋3y＝4，3x＋y＝4得A(1,1)，易得B(0,4)，C0，43，|BC|＝4－43＝83.∴S△ABC＝12×83×1＝43. 答案：43
2．若x，y满足 x－y≤0，x＋y≤1，x≥0，则z＝x＋2y的最大值为________． 解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x＋2y＝0并上下平移，易知当直线过点A(0,1)时，z＝x＋2y取最大值，即zmax
＝0＋2×1＝2.
答案：2
3．若x，y满足约束条件 x－y＋2≥0，y＋2≥0，x＋y＋2≥0，则(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为________． 解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P(－2，－3)到直线x＋y＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以
(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为322＝92. 答案：92
4．设变量x，y满足约束条件 x≥1，x＋y－4≤0，x－3y＋4≤0，则目标函数z＝3x－y的最大值为________． 解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax ＝3×2－2＝4. 答案：4
5．(2018·常州月考)已知实数x，y满足条件 x－y≥0，x＋y≥0，x≤1，则y－12x的最大值为________． 解析：令z＝y－12x，作出不等式组对应的区域，作出指数函数y＝12x，平移函数y＝12x的图象，可知当函数y＝12x＋z的图象经过点A时z取最大值．由 x－y＝0，x＝1，得A(1,1)，所以x＝y＝1时，y－12x取最大值12. 答案：12 [练常考题点——检验高考能力] 一、填空题
1．(2018·东台中学月考)在平面直角坐标系中，若不等式组 x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a＝________. 解析：
不等式组 x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0，所围成的区域如图所示． 则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)，且a＞－1， ∵ S△ABC＝2，∴ 12(1＋a)×1＝2，解得a＝3. 答案：3 2．(2018·江苏八市高三质检)已知x，y满足约束条件 x≥2，x＋y≤4，－2x＋y＋c≥0，目标函数z＝6x＋2y的最小值是10，则z的最大值是________． 解析：
由z＝6x＋2y，得y＝－3x＋z2，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y＝－3x＋z2经过点C时，直线的纵截距最小，即z＝6x＋2y取得最小值10，由 6x＋2y＝10，x＝2，解得 x＝2，y＝－1，即C(2，－1)，将其代入直线方程－2x＋y＋c＝0，得c＝5，即直线方程为－2x＋y＋5＝0，平移直线3x＋y＝0，当直线经过点D时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由 －2x＋y＋5＝0，x＋y＝4，得 x＝3，y＝1，即D(3,1)，将点D的坐标代入目标函数z＝6x＋2y，得zmax＝6×3＋2＝20. 答案：20
3．(2017·浙江高考)若x，y满足约束条件 x≥0，x＋y－3≥0，x－2y≤0，则z＝x＋2y的取值范围是________． 解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所
示，由z＝x＋2y，得y＝－12x＋z2，
∴z2是直线y＝－12x＋z2在y轴上的截距，根据图形知，当直线y＝－12x＋z2过A点时，z2取得最小值．由 x－2y＝0，x＋y－3＝0，得x＝2，y＝1，即A(2,1)，此时，z＝4，∴z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)． 答案：[4，＋∞) 4．(2018·安徽江南十校联考)若x，y满足约束条件 3x－y≥0，x＋y－4≤0，y≥12x2，则z＝y－x的取值范围为________． 解析：
作出可行域如图所示，设直线l：y＝x＋z，平移直线l，易知当l过直线3x－y＝0与x＋y－4＝0的交点(1,3)时，z取得最大值2；当l与抛物线y＝12x2相切时，z取得最小值，由
z＝y－x，y＝12x2，消去y得x2－2x－2z＝0，由Δ＝4＋8z＝0，得z＝－12，故－12≤z≤2.
答案：－12，2 5．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
x－2≤0，x＋y≥0，x－3y＋4≥0中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝________.
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边
形ABDC为矩形，由 x＝2，x＋y＝0得C(2，－2)．由 x－3y＋4＝0，x＋y＝0得D(－1,1)．所以|AB|＝|CD|＝2＋12＋－2－12＝32. 答案：32
6．若x，y满足约束条件 x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a的取值范围是________． 解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a＝0时，显然成立． 当a＞0时，直线ax＋2y－z＝0的斜率k＝－a2＞kAC＝－1，a＜2. 当a＜0时，k＝－a2＜kAB＝2，∴ a＞－4.综上可得－4＜a＜2. 答案：(－4,2)
7．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件 x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为________． 解析：约束条件 x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的虚线位置时，m取最大值．解方程组 x＋y－3＝0，y＝2x得A点坐标为(1,2)，∴m的最大值是1. 答案：1
8．(2018·如东中学月考)当实数x，y满足 x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：作出不等式组 x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1所表示的区域如图所示，由1≤ax＋y≤4得，a≥0，且在(1,0)点取得最小值，在(2,1)取得最大值，故a≥1,2a＋1≤4，故a取值范围为1，32. 答案：1，32
9．已知x，y满足 y－2≤0，x＋3≥0，x－y－1≤0，则x＋y－6x－4的取值范围是________．
解析：不等式组 y－2≤0，x＋3≥0，x－y－1≤0表示的平面区域如图所示，因为x＋y－6x－4＝x－4＋y－2x－4＝1＋y－2x－4，而y－2x－4表示平面区域内的点与点A(4,2)连线的斜率，由图
知斜率的最小值为0，最大值为kAB＝－4－2－3－4＝67，所以1＋y－2x－4的取值范围是1，137，即x＋y－6x－4的取值范围是1，137.
答案：1，137
10．实数x，y满足不等式组 x－y＋2≥0，2x－y－5≤0，x＋y－4≥0，则z＝|x＋2y－4|的最大值为________． 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示． z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的5倍． 由 x－y＋2＝0，2x－y－5＝0，得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21. 答案：21 二、解答题
11．若x，y满足约束条件 x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2. (1)求目标函数z＝12x－y＋12的最值； (2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线12x－y＋12＝0，可知z＝12x－y＋12过A(3,4)时取最小值－2，过C(1,0)时取最大值1. 所以z的最大值为1，最小值为－2. (2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1
＜－a2＜2，解得－4＜a＜2. 故所求a的取值范围为(－4,2)． 12．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． (1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
70x＋60y≤600，5x＋5y≥30，x≤2y，x≥0，y≥0，即 7x＋6y≤60，x＋y≥6，x－2y≤0，x≥0，y≥0，
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y. 考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－125x＋z25，这是斜率为－125，随z变化的一族平行
直线.z25为直线在y轴上的截距，当z25取得最大值时，z的值最大． 又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距z25最大，即z最大．
解方程组 7x＋6y＝60，x－2y＝0，得点M的坐标为(6,3)． 所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．