2005-2010北京高考数学(理)试题汇编
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(16计数原理、二项式定理)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（16计数原理、二项式定理）一、选择题：1. (2005北京文)五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（A ）1444C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44C 种 （D ）44A 种 【答案】B【详解】分两个步骤进行。
第一步：先考虑安排甲工程队承建的项目，有C 14种方法；第二步：其余的4个队任意安排，有44A 种方法。
故，不同的承建方案共有1444C A 种。
【名师指津】排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.2．(2005北京理)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ）A ．484121214C C CB ．484121214A A CC ．33484121214A C C C D ．33484121214A C C C【答案】A【详解】本题可以先从14人中选出12人即1214C ,然后从这12人中再选出4人做为早班即412C ,最后再从剩余的8人选出4人安排为中班即48C ,剩下的4个安排为晚班,以上为分步事件应用乘法原理可得不同的排法为：124414128C C C .【名师指津】 排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.3．(2005福建文、理)从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种 解：分三种情况：情况一,不选甲、乙两个去游览:则有44P 种选择方案,情况二:甲、乙中有一人去游览：有11332343C C C P 种选择方案;情况三：甲、乙两人都去游览,有22132433C C C P 种选择方案,综上不同的选择方案共有44P +11332343C C C P +22132433C C C P =240,选(B)4．(2005湖北文)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 解：本题主要关键是抓连续编号的2张电影票的情况,可分四种情况：情况一：连续的编号的电影票为1,2;3,4;5,6,这时分法种数为222432C P P情况二：连续的编号的电影票为1,2；4,5,这时分法种数为222422C P P 情况三：连续的编号的电影票为2,3;4,5;这时分法种数为222422C P P 情况四：连续的编号的电影票为2,3;5,6,这时分法种数为222422C P P综上, 把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张,且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是222432C P P +3222422C P P =144(种)5．(2005湖南文)设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ） A ．20 B ．19 C ．18D ．16[评析]:本题考查直线方程和排列组合知识交汇问题. 【思路点拨】本题涉及直线的位置关系与排列组合知识.【正确解答】[解法一]:从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数的排列有25A 种其中取1,2和2,4或2,1和4,2表示相同直线.所以所得不同直线条数为:。
2005年高考.北京卷.理科数学试题精析详解
【名师指津】
对二倍角余弦公式及两个变式的的正用逆用应熟练,对处理绝对值问题的基本思路是用 分类
讨论的思想去掉绝对值然后再研究问题,正切函数的单调区间.
第Ⅱ卷（共 110 分）
注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.
第 4页 （共 19页）
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上.
【答案】15 【详解】
. （用数字作答）
对于 Tr1
C6r
x
6r
(1)(x
1 2
)r
C6r
(1)4
x
(6
3 2
r
)
当r
4 时第
5
项为常数项,即
T5 C64 (1)4 15 .
【名师指津】
二项式定理第 r 1 项的通项公式 Tr1 Cn4a nrbr 的运用在往年高考中经常遇到.
12．过原点作曲线 y e x 的切线，则切点的坐标为
9．若 z1
a 2i, z2
3 4i,且
z1 z2
为纯虚数，则实数 a 的值为
.
【答案】 8 3
【详解】 z1 a 2i (a 2i)(3 4i) (3a 8) (4a 6)i 为纯虚数
z2 3 4i (3 4i)(3 4i)
25
3a 8 0 且 4a 6 0 a 8.
2005 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数 学（理工农医类）
YCY 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分
钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题 共 40 分）
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学北京卷(理工农医类)
2005年 普通高等学校招生全国统一考试数学北京卷(理工农医类)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）一. 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设全集U R =，集合M x x =>{|}1，P x x =>{|}21，则下列关系中正确的是 A. M P =B. P M ⊂≠C. M P ⊂≠D. C U M P =∅（2）“m =12”是“直线()m x my +++=2310与直线()()m x m y -++-=2230相互垂直”的 A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件（3）若||||a b c a b ===+12，，，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 A. 30︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒（4）从原点向圆x y y 2212270+-+=作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 A. πB. 2πC. 4πD. 6π（5）对任意的锐角αβ，，下列不等关系中正确的是 A. sin()sin sin αβαβ+>+ B. sin()cos cos αβαβ+>+ C. cos()sin sin αβαβ+<+D. cos()cos cos αβαβ+<+（6）在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 A. BC //平面PDFB. DF ⊥平面PAEC. 平面PDF ⊥平面ABCD. 平面PAE ⊥平面ABC（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作。
若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 A. C C C 141212484B. C A A141212484C. C C C A 14121248433D. C C C A 14121248433（8）函数f x xx()cos cos =-12A. 在［0，π2），（π2，π］上递增，在［π，32π），（32π，2π］上递减B. 在［0，π2），［π，32π）上递增，在（π2，π］，（32π，2π］上递减C. 在（π2，π］，（32π，2π］上递增，在［0，π2），［π，32π）上递减D. 在［π，32π），（32π，2π］上递增，在［0，π2），（π2，π］上递减第II 卷（共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2005年高考试题——数学理(必修+选修I)
2005年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修I ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么P(A²B)=P(A)²P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题1．设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是（ ） A ． I S I ∩（S 2∪S 3）= B ．S 1⊆（ I S 2∩ I S 3）C ． I S I ∩ I S 2 ∩ I S 3=D ．S 1⊆（ I S 2∪ I S 3）2．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 （ ）A ．8π2B ．8πC ．4π2D ．4π3．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）A ．32 B ．33 C ．34 D ．235．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．23B ．23 C ．26 D ．332 6．当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．43 7．)21(22≤≤-=x x x y 的反函数是（ ）A ．)11(112≤≤--+=x x yB ．)10(112≤≤-+=x x yC ．)11(112≤≤---=x x yD ．)10(112≤≤--=x x y8．设x x f a a x f a x x a 的则使函数0)(),22(log )(,102<--=<<的取值范围是 （ ）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a9．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1||3,1x y x y 所表示的平面区域面积为 （ ）A ．2B ．23 C ．223 D ．210．在△ABC 中，已知C BA sin 2tan =+,给出以下四个论断 （ ）①tanA ²cotB=1 ②0<sinA+sinB ≤2 ③sin 2A+cos 2B=1④cosA 2+cos 2B=sin 2CA ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的（ ）A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点12．设直线l 过点（－2，0），且与圆x 2+y 2=1相切，则l 的斜率是（ ）A ．±1B ．±21 C ．±33 D ．±3第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷)(解析版)
绝密 使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共140分）【名师简评】2010年北京市的高考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在保持2009年特点的同时，又力争创新与变化；试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。
从考生角度来说，试卷总体难度“没有想象的那么难”。
试题有较好的梯度，注重认知能力和数学运用能力的考查，稳中求新。
1. 忠实地遵循了《普通高中新课程标准教学要求》和2010年《考试说明》。
2. 题型稳定，突出对基本知识但考查，全卷没有一道偏题、怪题。
全卷结构、题型包括难度基本稳定。
填空题比较基础，平和。
不需要太繁的计算，考生感觉顺手。
许多试题源于课本，略高于课本。
3. 把关题与往年相似，多题把关，有和好的区分度。
如填空题第14题，第19题的第二问，和第20题，更能有效区分不同能力层次的考生群体。
4. 深化能力立意。
知识与能力并重。
全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学基本能力。
许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题。
5. 关注联系，有效考查数学思想方法。
（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线⊥”是“函数f（x）=（xa+b） （xb-a）为一次函数”的（6）a、b为非零向量。
2010年高考《数学(理科)》试题及参考答案(北京卷)
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合=-====-P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{( )A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( )A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则( )A ．π1213B ．π127 C ．π125 D ．－π1254．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是( ) A ．54 B ．45 C ．43 D ．345．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+>+b a byax y b x a 与的曲线大致是( )正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径xyxy xyxyOOOOABCD6．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是( )A ．C A sin sin <B ．C A cos cos <C ．tgC tgA <D ．ctgC ctgA <7．椭圆ϕϕϕ(sin 3,cos 54⎩⎨⎧=+=y x 为参数）的焦点坐标为( ) A ．（0，0），（0，－8） B ．（0，0），（－8，0）C ．（0，0），（0，8）D ．（0，0），（8，0）8．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度 数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．0°9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A ．42B ．30C ．20D ．1210．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在11．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于( )A ．8B ．2C ．－4D ．－812．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为3032,0,0=+==y x y x ，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是( ) A ．95B ．91C ．88D ．752003年普通高等学校春季招生考试A B CDEFG H JL数 学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 题 号 二 三总 分 17 18 19 20 21 22 分 数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水 面高度恰好升高r ，则=rR14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压 结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据 的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）8815．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by ax 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是16．若存在常数0>p ，使得函数 =)()(px f x f 满足)(),)(2(x f R x p px f 则∈-的一个正周期为三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解不等式：.1)1(log)2(log 21221-->--x x x18．（本小题满分12分）rr↑↓（1）（2）xyOPF 1F已知函数)(,2cos 4sin 5cos6)(24x f xx x x f 求-+=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点， EF ∩BD=G .（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； （Ⅱ）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （Ⅲ）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V .ABCD EFGB 1C 1D 1A 120．（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.ABCO 1O 222．（本小题满分13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线1l相切，点C在l上.x:-=（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A，B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．332 14．（140）（85） 15．32 16．2p 注：填2p 的正整数倍中的任何一个都正确.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式变形为)22(log)2(log21221->--x x x .所以，原不等式3230,203,01,0)1)(2(22201,02222<<⇔⎩⎨⎧<<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x .故原不等式的解集为}32|{<<x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得.所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin 5)(cos 6)(24x x x x f ---+-=-)(),(2cos 4sin 5cos624x f x f xx x 所以=-+=是偶函数.当xx x x f Z k k x 2cos 4sin 5cos6)(,,4224-+=∈+≠时ππ1c o s 32c o s )1c o s 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）证法一： 连结AC.∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形，∴AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，故EF ∥AC ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 证法二：∵BE=BF ，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF ⊥BD. 又 EF ⊥D 1D∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. （Ⅱ）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H.∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ，∴点D 1到平面B 1EF 的距离d=D 1H.解法一：在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H. ∵422221111=⋅==B A B D ，,174144sin sin 2211111=+==∠=∠GB B B GB B H B D∴.17171617441=⋅==H D d 解法二：∵△D 1HB 1～△B 1BG ， ∴GB B D BB H D 11111=，∴.1717161442221211=+===GB B B H D d解法三：连结D 1G ，则三角形D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1面积的一半， 即21112121B B H D G B =⋅⋅， .1717161211===∴GB BB H D d（Ⅲ）EF B EF B D EFD B S d V V V 1111131∆--⋅⋅===.31617221171631=⋅⋅⋅⋅=20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为50503000)150)(503000100()(⨯-----=x x x x f ，整理得307050)4050(5012100016250)(22+--=-+-=x x xx f BO n-1O nACABCDEFG B 1C 1D 1A 1B 1BG DD 1HB 1BG DD 1H所以，当x =4050时，)(x f 最大，最大值为307050)4050(=f ，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分. （Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，则,633021l tg l r =︒=.2130sin 11=︒=+---nn n n r r r r所以,12),2(3122111lra n r r n n ππ==≥=-于是91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列.（Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为x y 42=.（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=xy x y x y 4)1(3)1(32由消y 得.3,31,03103212===+-x x x x 解得所以A 点坐标为)332,31(，B 点坐标为（3，32-），.3162||21=++=x x AB假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131(,)316()32()13(y y 由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y.9314-=y 解得但9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.① ② )332,31()32,3(-xy 42=l32-332xyA OB P(1,0)-1因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形， 由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得， 即当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，故32≠y . 又2222334928)332()311(||y y y AC +-=-+--=，22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB .当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ，即CAB y ∠>,392时为钝角.当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即CBA y ∠-<时3310为钝角.又222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y ++++->，即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二：以AB 为直径的圆的方程为222)38()332()35(=++-y x . 圆心)332,35(-到直线1:-=x l 的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G )332,1(--.当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G点不重合，且A ，B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 过点A 且与AB 垂直的直线方程为9321).31(33332=-=-=-y x x y 得令.过点B 且与AB 垂直的直线方程为)3(3332-=+x y . 令33101-=-=y x 得.又由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 解得，所以，当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是).32(9323310≠>-<y y y 或。
2010北京高考理科数学试题及答案
。
（ 12 ） 如 图 ， e O 的 弦 ED ， CB 的 延 长 线 交 于 点 A 。 若 BD ⊥ AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则 DE＝ （ 13 ） 已 知 双 曲 线 ；CE＝ 。
x2 y 2 − = 1的 离 心 率 为 2 ， 焦 点 与 椭 圆 a 2 b2
χ2 γ2 + = 1 的 焦 点相同， 那么双曲 线的 焦 点坐标为 25 9
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（C）一个圆和一条射线
（D）一条直线和一条射线
( xb − a ) 为一次函数”的 （6）a、b 为非零向量。“ a ⊥ b ”是“函数 f ( x ) = ( xa + b )g
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 （B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
所以 CF g BE = 0 − 1 + 1 = 0 , CF gDE = − 1 + 0 + 1 = 0 所以 CF ⊥ BE , CF ⊥ DE . 所以 CF ⊥ BDE. (III) 由（II）知， CF = (
uuu r uuu r
uuu r
2 2 , ,1) 是平面 BDE 的一个法向量. 2 2 uuu r uuu r
三、 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明 过程。
（15）（本小题共 13 分） 已知函数 f (x) = 2 cos 2 x + sin 2 x − 4 cos x 。 （Ⅰ）求 f = ( ) 的值； （Ⅱ）求 f (x) 的最大值和最小值。
π 3
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2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03函数的性质及其应用)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（03函数的性质及其应用）一、选择题1、(2005春招北京文)函数()|1|f x x =-的图象是（ B ）2、(2005春招北京理)函数y=|log 2x|的图象是（ A ）3. (2005春招上海)设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；（2）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数()f x 的最大值；（3）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数()f x 的最大值. 这些命题中，真命题的个数是（A ）0个. （B ）1个. （C ）2个. （D ）3个.[答] ( )4. (2005北京文)为了得到函数321x y -=-的图象，只需把函数2xy =上所有点 （A ）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 （B ）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 （C ）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 （D ）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 【详解】把函数2x y =图像上所有点向右平移3个单位长度就得到函数3x 2y -=的图像；再把函数3x 2y -=的图像向下平移1个单位长度，即得到函数321x y -=-的图象。
【答案】A 【名师指津】要牢记图像的平移规律：（对x 来说）正左移，负右移；（对y 来说）正上移，负下移；平移规律可用简单的口诀来记忆：左右，上下，加减。
5．(2005福建文、理)函数bx a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><<b a D ．0,10<<<b axxA. B .C.D.解：从曲线走向可知0<a<1,从曲线位置看,是由y=a x (0<a<1)向 左平移|-b|个单位而得到,故-b>0,即b<0,选(D)6．(2005福建文、理))(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2解：由题意至少可得f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在区间（0，6）内f(x)=0的解的个数的最小值是5,选(D)7. (2005广东)在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图像 关于直线x y =对称．现将)(x g y =图像沿x 轴向左平移２个单位， 再沿y 轴向上平移１个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线 （如图２所示），则函数)(x f 的表达式为（ A ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x xx x x fB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=0,221,22)(x xx x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x xx x x f D ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=42,3221,62)(x xx x x f解：将图象沿y 轴向下平移１个单位，再沿x 轴向右平移２个单位得下图A ，从而可以得到)(x g 的图象，故⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=32,4220,12)(x x x xx g ，∵函数)(x f y =和)(x g y =的图像关于直线x y =对称，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x f ，故选A ．(8．(2005湖北文、理)函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是 （ ）解：|1|||ln --=x e y x =111,1101,x x x x x x-+=≥⎧⎪⎨-+<<⎪⎩选(D)图A 图29．(2005湖北文、理)在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：∵当1021<<<x x 时,121222log log 22x x x x++>>即当1021<<<x x 时,使log 2x,2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立,其它3个函数都可以举出反例当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+不成立(这里略),选(B)10．(2005湖南文\理)函数f (x )＝x 21-的定义域是 （ ） A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．（－∞，0） D ．（－∞，＋∞） [评述]：本题考查函数的定义域，指数函数的性质等到知识点。
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解答题
15.10 （本小题共13分）
已知函数(x)f 2
2cos 2sin 4cos x x x =+-。
（Ⅰ）求()3
f π
=的值；
（Ⅱ）求(x)f 的最大值和最小值。
15.9．（本小题共13分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c B π
=，4
cos ,35
A b =
=。
（I ）求sin C 的值；
（Ⅱ）求ABC ∆的面积。
15.8．（本小题共13分） 已知函数2
π
()sin 3sin sin 2
f x x x x ωωω⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
15.7．（本小题共13分）
数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不
为1的等比数列．
（1）求c 的值； （2）求{}n a 的通项公式．
15.6．（本小题共12分）
已知函数12sin(2)
4()cos x f x x
π
--=
， （Ⅰ）求()f x 的定义域；
（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4
tan 3
α=-
，求()f α的值.
15.5．（本小题共13分）
已知函数f (x )=－x 3
＋3x 2
＋9x ＋a , （1）求f (x )的单调递减区间；
（2）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
16.10（本小题共14分）
如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，C E ⊥AC,EF ∥AC,AB=2，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ； （Ⅲ）求二面角A-BE-D 的大小。
16.9．（本小题共14分） 如图，在三
棱锥
P ABC
-中，
PA ⊥
底面
,,60,A B C P A
A B A B C
B C A
︒︒
=∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC
（I ）求证：BC ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说 明理由。
16.8．（本小题共14分）
如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ，AP BP AB ==，PC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．
16.7．（本小题共14分） 如图，在Rt AOB △中，π
6
OAB ∠=
，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；
（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小； （3）求CD 与平面AOB 所成角的最大值．
A
C
B
P
O
C A
D
B
16.6．（本小题共13分）
已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数
'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：
（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值.
15.10. （15）（共13分） 解：（I ）2239
()2cos
sin 4cos 13
33344
f π
πππ=+-=-+=- （II ）22
()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+-- =2
2
7
3(cos )3
3x --
,x R ∈ 因为cos x ∈[1,1]-， 所以，当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2
c
o s 3
x =时，()f x 取最小值7
3
-
15.9．（本小题共13分） （Ⅰ）231343sin sin cos sin 32
210C A A A π+⎛⎫
=-=+=
⎪⎝⎭. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3343
sin ,sin 510
A C +=
=， △ABC 的面积1163433693
sin 32251050
S ab C ++=
=⨯⨯⨯=
. 15.8．（共13分）解：（Ⅰ）1ω=．（Ⅱ）()f x 的取值范围为302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，． 15.7．（共13分）解：（1）2c =．（2）2
2(12)n a n n n =-+= ，，．
15.6．（共12分）（Ⅰ）f (x)的定义域为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
∈+
≠Z k k x ,2π
π（Ⅱ）=)(a f 514
15.5．共13分）
解：（I ）函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）． （2） 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．。