2017年北京市高考数学试卷理科真题详细解析
2017北京高考真题数学理(含解析)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1．复数（）．A．B．C．D．2．若，满足，则的最大值为（）．A．B．C．D．3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）．A．B．C．D．4．设，两个不同的平面，是直线且，“”是“”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）．A．B．C．D．6．设是等差数列，下列结论中正确的是（）．A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7．如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是（）．A．B．C．D．8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）．A．消耗升汽油，乙车最多可行驶千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油D．某城市机动车最高限速千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）10．已知双曲线的一条渐近线为，则__________．11．在极坐标中，点到直线的距离为__________．12．在中，，，，则__________．13．在中，点，满足，．若,则__________．__________．14．设函数①若，则的最小值为__________．②若恰有个零点，则实数的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最小值．16．（本小题满分13分），两组各有位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：，，，，，，组：，，，，，，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于天的概率；（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若平面，求的值．18．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时,；（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．19．（本小题满分14分）已知椭圆：（）的离心率为，点，和点都在椭圆上，直线交轴于点．．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得若存在，求点的坐标；若不不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）已知数列{}满足，，且．记集合．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一个元素是的倍数，证明：的所有元素都是的倍数；（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学答案（理工类）一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案A D B B C C C D二、填空题题号9 10 11 12 13 14 答案三、解答题15．解：（Ⅰ）周期．（Ⅱ），，，，最小值为．16．解：（Ⅰ）记甲康复时间不小于天为事件．则，答：甲康复时间不小于天的概率为．（Ⅱ）记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件．基本事件空间如下表乙甲短短短长长长长短短短短长长长短短短短短长长短短短短短短长短短短短短短短短短短短短短短短短短短短短短所以．（Ⅲ）或，由于组为公差为的等差数列，所以当或时组也为公差为的等差数列，所以方差一定相等，而方差相等的方程是关于的一个一元二次方程，故最多有两个解，所以只有或两个值．17．（Ⅰ）证明：为等边三角形，为中点，又平面平面，平面平面，平面，．（Ⅱ）以为原点建立如图坐标系，，，，平面的法向量；设平面的法向量，则取又二面角为钝角，二面角的余弦值为．（Ⅲ）平面，，，，解得（舍）或．18．解：（Ⅰ)所以又所以切线方程为，即．（Ⅱ）又因为，所以所以在上是增函数又，故所以．（Ⅲ），设，，，，函数是单调递增，显然成立当时，令，得极值，显然不成立，由此可知最大值为．19．解：（Ⅰ）由题意知，，又，解得，，所以的方程为．的斜率，所以方程，令，解得所以．（Ⅱ），同（I）可得，，，因为所以，设则即，又在椭圆上，所以，即，所以，故存在使得．20．解：（Ⅰ），，．（Ⅱ）若存在是的倍数，设，当时，，也是的倍数；当时，，也是的倍数．综上，是的倍数，依次类推，当时，是的倍数；若存在是的倍数，设，当时，，因为，所以也是的倍数；当时，，因为，所以也是的倍数；．综上，是的倍数，依次类推，当时，是的倍数；所以原结论成立．（Ⅲ）当时，将代入，依次得到，，，，，，，，所以当时，，此时，共个元素．由题意，可取的值有，，，共个元素，显然，不论为何值，必为的倍数，所以，①当时，，此时最多有个元素；②当时，，此时最多有个元素；③当时，，此时最多有个元素；所以集合的元素个数的最大值为．2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）选填解析一、选择题1．【答案】A【解析】解：．故选A．2．【答案】D【解析】解：如图，当，．故选D．3．【答案】B【解析】解：结束，输出．故选B．4．【答案】B【解析】解：不能推出，而，，“”是“”的必要不充分条件．故选B．5．【答案】C【解析】解：由三视图知，面ABC，，,，，,．故选C．6．【答案】C【解析】解：，，所以，．故答案为C．7．【答案】C【解析】解：由题可知：，当时，．时，单调递减，单调递增，当时，，的解集为．故答案选C．8．【答案】D【解析】由图可知，对乙车存在一个速度，使燃油效率高于，A错；由图知，当以的速度行驶时，甲车燃油效率最高，行驶相同路程时，耗油最少，B错；甲车以行驶小时耗油升，故C错在限速，相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油．故答案选D．二、填空题9．【答案】【解析】解：，当时，系数为．故答案为．10．【答案】【解析】解：令，所以．故答案为．11．【答案】【解析】直线方程为，点为，所以点到直线方程的距离为．故答案为．12．【答案】【解析】解：．故答案为13．【答案】，【解析】解：，所以,．故答案为，．14．【答案】，【解析】解：①当时，，时，，时，，所以；②（I）当时，没有两个零点，（Ⅱ）当时，时，，有一个零点；时，；当，即时，恰有两个零点，所以当时，恰有两个零点；（Ⅲ）当时，时，，有一个零点；时，，，有两个零点，此时有三个零点；（Ⅳ）当时，时，无零点；时，有两个零点，此时有两个零点．综上所述．故答案为，．。
2017年高考北京卷理数试题解析(解析版)
绝密★本科目考试启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A ={x |–2<x <1}，B ={x |x <–1或x >3}，则A I B =（A ）{x |–2<x <–1} （B ）{x |–2<x <3} （C ）{x |–1<x <1}（D ）{x |1<x <3}【答案】A 【解析】试题分析：利用数轴可知{}21A B x x =-<<-I ，故选A. 【考点】集合的运算【点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.（2）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(–∞，1) （B ）(–∞，–1) （C ）(1，+∞) （D ）(–1，+∞) 【答案】B【解析】 由()()()()1i i i i 111i a a a a a -+=+-+=++-，则1010a a +<⎧⎨->⎩，即1a <-.故选B【考点】复数的运算【点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量u u u rOZ . （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2（B ）32（C ）53（D ）85【答案】C【解析】当0k =时，03<，执行程序1k =，2s =，13<成立，执行程序2k =，32s =，23<，执行程序3k =，53s =，33>，否输出53s =.故选C.【考点】循环结构【点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.（4）若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则x + 2y 的最大值为（A ）1（B ）3 （C ）5 （D ）9【答案】D【解析】如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y =+过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.【考点】线性规划【点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y xb b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如 ()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型：形如y b z x a-=-，而本题属于截距形式. （5）已知函数1()3()3xx f x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】()()113333xx xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 【考点】函数的性质【点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.（6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 若0λ∃<，使λ=m n ，即两向量方向相反，夹角为180o ，若0⋅<m n ，也可能夹角为(90,180⎤⎦oo，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.【考点】向量，充分必要条件【点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若p q ⇔，那么p ，q 互为充要条件；若,p q q p ≠>≠>，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知:,p x A ∈:q x B ∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若A B =，那么p ，q 互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断. （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）2 （B ）3（C ）2（D ）2【答案】B【解析】 几何体四棱锥如图所示，最长棱为正方体的体对角线，即22222223l =++=. 故选B.【考点】三视图【点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 【答案】D【解析】 设36181010M x N ==，两边取对数36180lg lg 3lg10361lg 380x =-=-，即93.28x =，所以接近9310.故选D.【考点】对数运算【点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2017年高考真题——数学(理)(北京卷)+Word版含解析(参考版)
y2 = 1 的离心率为 3 m
则实数 m=_________.
1+ m = 3⇒m=2 1
10 若等差数列 {an } 和等比数列 {bn } 满足 a1=b1=–1
a4=b4=8
则
a2 =_______. b2
答案
解析
1
−1 + 3d = − q 3 = 8 ⇒ d = 3, q = −2 ⇒
a2 −1 + 3 = =1 b2 −1× (−2)
解得
因为对
的点在第二象限
所
a + 1 < 0 1 − a > 0
a < −1
故选 B. 输出的 s 值为
3 执行如 所示的程序框
-1-
A 2 答案 C 解析
B
3 2
C
5 3
D
8 5
k = 0 时 0 < 3 成立 第一次进入循环 k = 1, s =
入循环 k = 2, s =
2 +1 3 = 2 2
点 P 的坐标为 1,0
11 在极坐标系中 点 A 在圆 ρ 2 − 2 ρ cos θ − 4 ρ sin θ + 4 = 0 则|AP|的最小值为__________ห้องสมุดไป่ตู้. 答案 1 解 析
C : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 4 = 0 ⇒ ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 1
B {x|–2 D {x|1
A I B = { x −2 < x < −1}
故选 A.
2 若复数 1–i A C –∞ 1 1 +∞
a+i 在复 面内对 的点在第二象限 则实数 a 的取值范围是 B D –∞ –1 –1 +∞
2017年高考真题答案及解析：理科数学(北京卷)
2017年普通高等学校招生全国考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{}21A x x =-<<，{}13B x x x =<->或，则A B =（ ）。
（A ）{}21x x -<<- （B ）{}23x x -<< （C ）{}11x x -<< （D ）{}13x x <<【答案】A【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（2）若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）。
（A ）(),1-∞i （B ）(),1-∞-（C ）()1,+∞（D ）(1,)-+∞【答案】B【难度】容易【点评】本题在高二数学（理）下学期课程讲座 第四章《复数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）。
（A）2（B）3 2（C）5 3（D）8 5【答案】C【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十三章《算法与统计》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（4）若,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y+的最大值为（）。
（A）1（B）3（C）5（D）9 【答案】D【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（5）已知函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）。
（A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【难度】中等【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章《函数的性质及其应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
2017年高考北京卷理数试题解析(精编版)(原卷版)
（5）已知函数
f (x) 3x
1 x () 3
f (x)
，则 （B）是偶函数，且在 R 上是增函数 （D）是偶函数，且在 R 上是减函数
（A）是奇函数，且在 R 上是增函数 （C）是奇函数，且在 R 上是减函数
（6）设 m,n 为非零向量，则“存在负数 ，使得
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题 13 分） 在△ABC 中， A =60° ，c= a. （Ⅰ）求 sinC 的值； （Ⅱ）若 a=7，求△ABC 的面积. （16）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD⊥平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD//平 面 MAC，PA=PD= 6 ，AB=4． （I）求证：M 为 PB 的中点； （II）求二面角 B-PD-A 的大小； （III）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值．
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
m n
m n < 0
”是“ ”的 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A）3 2
（B）2 3
（C）2 2
（D）2
（8）根据有关资料，学*科网围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总 数 N 约为 1080.则下列各数中与 （参考数据：lg3≈0.48） （A）1033 （C）1073 （B）1053 （D）1093 M N 最接近的是
第二部分（非选择题
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）若双曲线
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(北京卷,附解析)
绝密★本科目考试启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）【试卷点评】2017年北京高考数学试卷，试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础知识、基本技能以及数学思想方法的考查。
我先说一说2017年总体试卷的难度，2017年文科也好、理科也好，整个试卷难度较2015、2016年比较平稳，北京高考应该是从2014年以前和2014年以后，2015、2016年卷子难度都比较低，今年延续了前两年，整体难度比较低。
今天我说卷子简单在于第8题和第14题，难度下降了，相比2014、2015、2016，整体都下降了。
1.体现新课标理念，实现平稳过渡。
试卷紧扣北京考试大纲，新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大。
对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新，符合北京一贯的风格。
2.关注通性通法，试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，题目没有偏怪题，以能力考查为目的的命题要求。
3.体现数学应用，联系实际，例如理科第17 题考查了样本型的概率问题，第三问要求不必证明、直接给出结论（已经连续6年），需注重理解概念的本质原理，第8 题本着创新题的风格，结合生活中的实际模型进行考查，像14 年的成绩评定、15 年的汽车燃油问题，都是由生活中的实际模型转化来的，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。
【试卷解析】本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A={x|–2<x<1}，B={x|x<–1或x>3}，则A B=（A）{x|–2<x<–1} （B）{x|–2<x<3}（C）{x|–1<x<1} （D）{x|1<x<3}【解析】试题分析：利用数轴可知{}21A B x x =-<<-，故选A.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.（2）若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 （A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞） 【答案】B【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53（D ）85【考点】循环结构【名师点睛】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.（4）若x，y满足32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y=+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C时，目标函数取得最大值max3239z=+⨯=，故选D.【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+- ；（3）斜率型：形如y b z x a-=-，而本题属于截距形式. （5）已知函数1()3()3xx f x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】试题分析：()()113333xx x x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据奇偶性的定义()f x -与()f x 的关系就可以判断函数的奇偶性，判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性. （6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要 ，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断. （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）（B ）（C ） （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，l == B. 【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073（D ）1093【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D. 【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2017年北京市高考数学试卷(理科)
2017年北京市高考数学试卷(理科)2017年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题.（每小题5分）1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．95．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3B．2C．2D．28．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．1093二、填空题（每小题5分）9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m= ．10．（5分）若等差数列{an }和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则= ．11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P 的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）= ．13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai 的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．（1）记Qi 为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是．（2）记pi 为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是．三、解答题15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．19．（13分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．20．（13分）设{an }和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣an n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．（1）若an =n，bn=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得cm ，cm+1，cm+2，…是等差数列．2017年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题.（每小题5分）1．（5分）（2017•北京）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A ∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}故选：A2．（5分）（2017•北京）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．3．（5分）（2017•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．4．（5分）（2017•北京）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．5．（5分）（2017•北京）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数，故选：A．6．（5分）（2017•北京）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）（2017•北京）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3B．2C．2D．2【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，故选：B．8．（5分）（2017•北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．1093【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈=1093，故本题选：D．二、填空题（每小题5分）9．（5分）（2017•北京）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m= 2 ．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．10．（5分）（2017•北京）若等差数列{an }和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则= 1 ．【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．【解答】解：等差数列{an }和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．故答案为：1．11．（5分）（2017•北京）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为 1 ．【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min =|CP|﹣rC=2﹣1=1，故答案为：1．12．（5分）（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）= ﹣．【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1=﹣1=﹣方法二：∵sinα=，当α在第一象限时，cosα=，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=，co sβ=﹣cosα=﹣，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣：∵sinα=，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣综上所述cos（α﹣β）=﹣，故答案为：﹣13．（5分）（2017•北京）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为﹣1，﹣2，﹣3 ．【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a ＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣314．（5分）（2017•北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．（1）记Qi 为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是Q1．（2）记pi 为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是p2．【分析】（1）若Qi 为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi=Ai的综坐标+Bi的综坐标；进而得到答案．（2）若pi 为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi为AiBi中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【解答】解：（1）若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1=A1的综坐标+B1的综坐标；Q2=A2的综坐标+B2的综坐标，Q3=A3的综坐标+B3的综坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，（2）若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi 为AiBi中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为：Q1，p2三、解答题15．（13分）（2017•北京）在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案，（2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，∴S=acsinB=×7×3×=6．△ABC16．（14分）（2017•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；（2）解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），，．设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z=，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；（3）解：，平面PAD的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=．17．（13分）（2017•北京）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）【分析】（1）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【解答】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p==．（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列如下：ξ 0 1 2PE（ξ）==1．（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．18．（14分）（2017•北京）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；（2）设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到x1+x2=，x1x2=，根据中点的定义即可证明．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（13分）（2017•北京）已知函数f （x ）=e x cosx ﹣x ．（1）求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（1）求出f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f （x ）的导数，再令g （x ）=f′（x ），求出g （x ）的导数，可得g （x ）在区间[0，]的单调性，即可得到f （x ）的单调性，进而得到f （x ）的最值．【解答】解：（1）函数f （x ）=e x cosx ﹣x 的导数为f′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）﹣1，可得曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为k=e 0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e 0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y=1；（2）函数f （x ）=e x cosx ﹣x 的导数为f′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）﹣1， 令g （x ）=e x （cosx ﹣sinx ）﹣1，则g （x ）的导数为g′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x •sinx，当x ∈[0，]，可得g′（x ）=﹣2e x •sinx≤0，即有g （x ）在[0，]递减，可得g （x ）≤g （0）=0，则f （x ）在[0，]递减，即有函数f （x ）在区间[0，]上的最大值为f （0）=e 0cos0﹣0=1；最小值为f （）=e cos ﹣=﹣．20．（13分）（2017•北京）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max{b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．（1）若an =n，bn=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得cm ，cm+1，cm+2，…是等差数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c 2，c3；由（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak，则cn=b1﹣na1=1﹣n，cn+1﹣cn=﹣1对∀n∈N*均成立；（2）由bi ﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得cm ，cm+1，cm+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有cn =b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（bk ﹣nak）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（bk ﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak，因此，对∀n∈N*，且n≥2，cn =b1﹣na1=1﹣n，cn+1﹣cn=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴cn+1﹣cn=﹣1对∀n∈N*均成立，∴数列{cn}是等差数列；（2）证明：设数列{an }和{bn}的公差分别为d1，d2，下面考虑的cn取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann，考虑其中任意bi ﹣ain，（i∈N*，且1≤i≤n），则bi ﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则bi﹣ain═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，cn =b1﹣a1n，此时cn+1﹣cn=﹣a1，∴数列{cn}是等差数列；当d1＞0，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，cn =bn﹣ann=bn﹣a1n，此时cn+1﹣cn=d2﹣a1，∴数列{cn}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（bi ﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，cn =b1﹣a1n，此时cn+1﹣cn=﹣a1，故数列{cn}从第m项开始为等差数列，命题成立；③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（bi ﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此，当n≥s时，cn =bn﹣ann，此时==﹣an+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．参与本试卷答题和审题的老师有：豫汝王世崇；沂蒙松；qiss；whgcn；于东；sxs123；zlzhan；双曲线；铭灏2016（排名不分先后）菁优网2017年6月11日。
2017年高考真题——数学(理)(北京卷) Word版含解析
绝密★本科目考试启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A ={x |–2x 1}，B={x |x –1或x 3}，则A B =（A ）{x |–2x –1} （B ）{x |–2x 3} （C ）{x |–1x 1} （D ）{x |1x 3} 【答案】A 【解析】试题分析：{}21A B x x =-<<- ，故选A.（2）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞） 【答案】B（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A）2 （B）32（C）53（D）85【答案】C（4）若x，y满足32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A（6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-< T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A. （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）（B）（C）（D）2【答案】B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，l==故选B.（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093【答案】D【解析】 试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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2017年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题.（每小题5分）1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．95．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3 B．2 C．2 D．28．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．1093二、填空题（每小题5分）9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=．10．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=．11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=．13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．（1）记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是．（2）记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是．三、解答题15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．19．（13分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．20．（13分）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．2017年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题.（每小题5分）1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3}【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}故选：A．【点评】本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3 B．2 C．2 D．2【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，故选：B．【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．1093【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈=1093，故选：D．【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．二、填空题（每小题5分）9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=2．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．10．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=1．【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．故答案为：1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为1．【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min=|CP|﹣r C=2﹣1=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=﹣．【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1=﹣1=﹣方法二：∵sinα=，当α在第一象限时，cosα=，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣：∵sinα=，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣综上所述cos（α﹣β）=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为﹣1，﹣2，﹣3．【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b ＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．（1）记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是Q1．（2）记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是p2．【分析】（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i=A i的综坐标+B i的纵坐标；进而得到答案．（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【解答】解：（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为：Q1，p2【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i和p i的几何意义，是解答的关键．三、解答题15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案，（2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，=acsinB=×7×3×=6．∴S△ABC【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；（2）解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），，．设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z=，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；（3）解：，平面BDP的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=．【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）【分析】（1）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【解答】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p==．（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列如下：ξ012PE（ξ）==1．（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；（2）设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到x1+x2=，x1x2=，根据中点的定义即可证明．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．19．（13分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；最小值为f（）=e cos﹣=﹣．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．20．（13分）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；﹣n，c n+1（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，∴c n+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，此时c n﹣c n=d2﹣a1，+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；此时c n+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．。