较复杂的相遇问题
列方程解决稍复杂的相遇问题-课件
2x＝29－17
4x＝127－91
x＝12÷2
x＝36÷4
x＝6 解： 6×4
9x＝2.5＋2
3x＝2.4＋0.9
x＝4.5÷9
x＝3.3÷3
x＝0.5
x＝1.1
4. 甲、乙两艘轮船沿同一航线同时从上海开往青岛。 经过18小时后，甲船落在乙船后面57.6千米。甲 船平均每小时行32.5千米，乙船平均每小时行多 少千米？
480米
你了解了哪些数学信息 解：设乙队每天需要完成x米。
和要解决什么问题
7×32＋32x＝480
224 ＋ 32x＝480
32x＝480－224
x＝256÷32
x＝8
答：乙队每天需要完成8米。
练一练
1. 每袋大米重50千克，每袋面粉重25千克。这辆车 上已装了48袋大米，还能装多少袋面粉？ 解：设还能装x袋面粉。 3吨＝3000千克 50×48＋25x＝3000 25x＝3000－2400 x＝600÷25 x＝24 答：还能装24袋面粉。
列方程解决稍复杂 的相遇问题
相遇问题中有哪些等量关系 ? 速度和×相遇时间＝总路程
速度和=路程÷时间 甲行的路程＋乙行的路程＝总路程
甲速=路程÷时间－乙速
甲、乙两列火车分别同时从北京和上海开出， 相向而行。经过7小时相遇。甲车平均每小时行多 少千米？
你了解了哪些数学信息和 要解决什么问题？
找出等量关系，再试着 列方程解答。
答：甲车平均每小时行122千米。
我找的等量关系是：
（甲车速度+乙车速度）×7=1463千米
解：设甲车平均每小时行x千米。
（x+87）×7＝1463 x+87＝1463÷7 x+87＝209
稍复杂的相遇问题
稍复杂的相遇问题解题策略：①要正确的解答相关行程问题应用题，必须要弄清运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（直线，环形路线），运动的结果（相遇、相距多少、交错而过、追上）等情况。
②解答行程问题一定要养成画线段图的习惯，这是分析行程问题数量关系的基础。
例题精炼：例1、甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次相遇在离A地40千米的地方，两人仍以原速度前进，各自到达终点后立即返回，又在离B地20千米处相遇，问A、B 两地的距离是多少千米？例2、已知等边三角形ABC的周长为360米，甲从A点出发，按逆时针方向前进，每分钟走55米。
乙从BC边上D点（距C点30米）出发，按顺时针方向前进，每分钟走50米。
两人同时出发，几分钟相遇？当乙到达A点时，甲在哪条边上，离C地多远？A 甲 B基础练习：1、甲骑自行车，乙骑摩托车同时从甲乙两地相向出发，3小时后在途中相遇，自行车比摩托车少走了120千米，已知摩托车每小时行50千米。
甲乙两地相距多少千米？2、两城市相距328千米，甲乙两人骑自行车同时从两城市出发，相向而行。
甲每小时行28千米，乙每小时行22千米。
乙在中途修车耽误1小时，然后继续行驶，与甲相遇。
求出发到相遇经过多少时间？3、甲乙两辆汽车早上8点分别从A、B两地同时相向出发，到10点时两车相距112.5千米；继续行驶到下午1时，两车相距还是112.5千米。
问A、B两地的距离是多少千米？4、甲、乙两辆汽车分别以不同的速度同时从A、B两地相对而行，途中相遇，相遇点距A地60千米。
相遇后两车以原速前进，到底目的地后，两车立即返回，在途中又第二次相遇，这时距A地40千米。
问第一次相遇点距B地多少千米？5、甲、乙两人分别从两地同时相向而行，8小时后可以相遇。
如果每小时都少行1.5千米，那么10小时后相遇，问两地相距多少千米？6、甲、乙两地相距260千米，客车和货车分别从甲、乙两地同时相向而行，在距乙地95千米处相遇，相遇后两车又继续前进，客车到乙地，货车到甲地后，都立即返回，两车又在距甲地多少千米处相遇？拓展提高：1、丁丁和玲玲同时从家里出发相向而行，丁丁每分钟走52米，玲玲每分钟走70米，两人在途中A点相遇。
四奥第11讲稍复杂的相遇和追及问题
第十一讲稍复杂的相遇和追及问题知识要点行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型（计算、数论、几何、行程）之一，在历年各类小学奥数竞赛试题中都占有很大的比重，具体题型变化多样，形成十多种题型，都有各自相对独特的解题方法。
同时也是小学奥数专题中的难点，较复杂的行程问题经常作为试卷中的压轴难题出现。
行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题”，所有行程问题都是围绕“路程=速度×时间”这一基本关系式展开的。
本讲主要涉及两大典型行程题——相遇问题和追及问题，在学习时需多注意从“简单”到“复杂”的推导过程，重在理解，在理解的基础上形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用。
教学课时：两课时教学目标：1.使学生掌握通过画线段图分析二次相遇问题的整体数量关系2.使学生学会读题，能够透过现象看到条件的本质，找到个体的对应三个量之间的关系。
3、培养学生主动挖掘条件本质的能力，提高解决实际问题的信心。
教学重难点：通过审题，能够从整体找出所有运动人三量之间的关系，同时从局部找到每一个运动人自己三两之间的关系。
教具准备：动画展示。
本周通知：教学过程：1、故事导入师：相信“龟兔赛跑”的故事同学们都听过吧！最终谁是获胜者？生：乌龟~~~（这里老师也可以请一位同学来将这个故事，作为引入）师：据了解兔子每分钟大约能跑400米，乌龟每分钟大约只能跑5米。
被公认为赛跑高手的兔子怎么会输给乌龟的呢？生：因为兔子在比赛过程中睡着了~O(∩_∩)O哈哈~师：没错~~根据老师的调查，途中乌龟和兔子相遇了一次，兔子正呼呼大睡，乌龟见了差点笑出声来，不过它还是忍住了，否则，惊醒了兔子，相信结果就不会是这样的了！最终，乌龟比兔子早2分钟行完了2000米的全程，获得了胜利。
兔子先生特别懊恼，关在家里不停地计算自己到底睡了多长时间，可是始终没有答案。
在座的各位同学，你们能不能帮帮他？生：想要帮助他，但是。
我也不会计算。
小学相遇问题归纳总结题型
小学相遇问题归纳总结题型相遇问题是小学数学中的一个重要题型，要求学生根据给定的条件计算出两个物体相遇的时间或位置。
这种问题涉及到速度、时间、距离等概念，需要学生进行逻辑推理和数学计算。
下面对小学相遇问题进行归纳总结。
一、同向问题同向问题是最简单的相遇问题类型。
当两个物体以相同的速度、方向运动时，它们将永远保持相对位置不变，不会相遇。
因此，同向问题的答案常常为“永不相遇”。
二、背靠背问题背靠背问题是一种特殊的同向问题，在这种情况下，两个物体以相同的速度沿相反的方向运动。
对于背靠背问题，我们可以使用以下公式求解：相遇时间 = 总距离 / （速度1 + 速度2）此公式得出的结果即为两个物体相遇的时间。
三、反向问题反向问题是相遇问题中常见的一种类型。
在这种情况下，两个物体分别以不同的速度往相反方向移动，我们需要确定它们相遇的时间或位置。
对于反向问题，我们可以使用以下公式求解：相遇时间 = 总距离 / （速度1 + 速度2）相遇位置 = 速度1 ×相遇时间四、追及问题追及问题是相遇问题中较为复杂的一种类型。
在这种情况下，一个物体追逐另一个物体，它们的速度不同。
通常我们需要计算追及者追上被追者的时间或位置。
对于追及问题，我们可以使用以下公式求解：相遇时间 = 距离差 / 速度差相遇位置 = 追及者的速度 ×相遇时间总结：小学相遇问题归纳总结题型主要包括同向问题、背靠背问题、反向问题和追及问题。
其中同向问题的答案常为“永不相遇”，背靠背问题的相遇时间可由相遇公式计算得出，反向问题的相遇时间和位置也可通过相遇公式求解，追及问题则需要使用距离差和速度差来计算相遇时间和位置。
掌握这些相遇问题的求解方法，可以帮助小学生更好地理解速度、时间和距离的关系，培养逻辑思维和数学计算能力。
较复杂的相遇问题
相遇问题2一．课堂衔接：二．教学课程（一）复习旧知：1、南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？（求时间）2．甲、乙两车从相距280千米的两地同时出发，相向而行，经过4小时两车相遇。
甲车每小时行30千米，乙车每小时行多少千米？（求其中一个速度）3.一列客车和一列货车同时从两个车站相对开出，货车每小时行35千米，客车每小时行45千米，2.5小时相遇，两车站相距多少千米？（求路程）4、甲、乙两站相距480千米，两列火车同时从两站相对开出，5小时相遇。
第一列火车与第二列火车的速度比是3:2，两列火车每小时的速度各是多少？（二）新课讲解例1 东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。
乙车每小时行多少千米？分析:从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。
解：（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时）（2）甲车一共行多少千米路程？25×4.5=112.5（千米）（3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）（4）乙车每小时行多少千米？(105-15)÷3=30（千米）答：乙车每小时行30千米。
【边学边练】AB两地间有一条公路长2800米，甲车从A地出发5分钟后，乙车从B地出发，又经过10分钟两车相遇。
已知乙车每分钟行100米，甲车每分钟行多少米？例2 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米分析:从图中可知：快车3小时行的路程40×3=120千米，比全程的一半多12千米，全程的一半是120-12=108千米。
而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千米，所以慢车3小时行的路程是108-12=96千米，由此可以求出慢车的速度。
较复杂的相遇问题
较复杂得相遇问题研究时间，速度与路程这三者关系得问题统称为行程问题。
而相遇问题又就是研究几个物体同时从不同地方相向运动情况得,就是一种特殊得行程问题.在相遇问题中，我们主要考察多个物体运动得地点，方向及运动结果得不同情况。
相遇问题中路程与（差)、速度与(差)、相遇时间有如下关系：速度与×相遇时间=路程与速度差×相遇时间＝路程差路程与÷速度与=相遇时间路程差÷速度差=相遇时间路程与÷相遇时间=速度与路程差÷相遇时间＝速度差相遇问题得解题关键就是学会将复杂得数量关系转化为典型得相遇问题.必要时可根据题意画出线段图帮助分析,从而突破难点.例1 两列货车分别同时从甲乙两地同时出发，相向而行。
快车得速度就是68km/h,慢车得速度就是5４kｍ/h，相遇时快车比慢车多行21ｋm.求甲、乙两地间得距离。
〖分析与解〗根据路程=速度与×相遇时间，要求距离必须求出相遇时间。
由于快车每小时比慢车多行（68—54=）4km,而相遇时快车比慢车多行了21kｍ,根据这种关系我们可以求出相遇时间为（21÷14=)１、5h,然后可利用公式求出距离.（1)两车相遇得时间（2）甲、乙两地间得距离２1÷(６8-5４） (６8＋54)×1、5 =2１÷１4 =124×1、5 =1、5(h) =１86（km）答：两地相距１86km。
·请您试一试·1.甲车与乙车同时同地反向而行,甲车比乙车每小时快12km，4h后两车相距388ｋm.求两车得速度。
例２两辆汽车分别同时从A、Ｂ两地出发，相向而行。
4ｈ后，两车还相距171kｍ;又过了3h，两车又相距1７1km。
求A、B两地相距多少ｋm?〖分析与解〗题目中出现了两次相距１71kｍ。
很显然，第一次相距171ｋm，就是在相遇前两车之间得距离,第二次相距1７1ｋm就是在相遇之后又行驶得距离，两辆汽车在3h得时间里由相距171km到相遇再到又相距171km,这段时间内正好行了2个171km.这样我们可求出这两辆汽车得速度之与,从而可求出Ａ、B 两地间得距离。
小学相遇问题大全(例题解析11道练习题21道)
相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。
这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】相遇时间＝总路程÷〔甲速＋乙速〕总路程＝〔甲速＋乙速〕×相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1、甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，两人几小时后相遇？分析：相遇时间=路程和÷速度和=20÷〔6+4〕=2小时例2、甲乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行48千米，乙每小时行42千米，两车在离中点18千米处相遇，求AB两地间的间隔分析：“两车在离中点18千米处相遇〞，由于甲的速度更快，说明他们相遇时，甲过了中点18千米，而乙离中点18千米，那甲比乙多走了18+18=36千米，一小时甲比乙多走48-42=6千米，我们就可以算出相遇时间：36÷6=6小时，再依公式路程和=速度和×相遇时间=〔48+42〕×6=540千米例3、甲乙两人同时从A到B地，甲每分钟行250米，乙每分钟行90米，甲到达B地后立即返回A地，在离B地1200米处与乙相遇，A、B两地相距多少千米？分析：画图，从图中我们可以知道，甲比乙多走了2个1200，甲每分钟比乙多走250-90=160米，我们就可以求出总共走了多少时间：2×1200÷160=15分钟，那么A、B两地相距：250×15-1200=2550米例4、甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地60千米处第一次相遇，各自到达对方出发点后立即返回，途中又在距A地40千米处相遇，A、B两地相距多少千米？分析：第一次相遇时，两车合走了一个全程，此时甲走了60千米第二次相遇时，两车合走了三个全程，甲应走了60×3=180千米，这时甲离A地还有40千米，加上这40千米，甲正好走了两个全程，所以一个全程应为：〔180+40〕÷2=110千米。
相遇问题(二)
相遇问题（二）引言相遇问题是组合数学中一类经典的问题，涉及到在一定条件下，两个或多个物体在时间和空间中的相对位置。
之前的文章中，我们已经讨论了相遇问题的基本概念和一些简单情况的求解方法。
在本文中，我们将继续深入探讨相遇问题，重点解决一些更复杂的情况。
问题背景相遇问题可以被抽象为在一个坐标系中，有两个或多个点在不同的初始位置上，以不同的速度朝着某个方向移动。
我们的目标是找出它们是否会在某个时刻相遇。
这个问题可以在许多实际的场景中找到应用。
例如，在交通规划中，需要确定某两辆车在某个十字路口是否会相遇；在物流配送中，需要确定两个快递员在某个地点是否会相遇。
解决方法在解决相遇问题时，我们需要根据给定的条件和限制，使用数学方法进行推断和计算。
下面将介绍两种常见的解决方法：代数法和几何法。
1. 代数法代数法是相遇问题中的一种常用解决方法，它通过建立方程来描述物体的运动，然后求解方程得到相遇的条件和时刻。
以两个物体在一维空间中运动为例，设物体A的初始位置为x a，速度为v a，物体B的初始位置为x b，速度为v b。
我们可以建立如下方程来描述物体A和物体B的位置关系：$$x_a + v_a \\cdot t = x_b + v_b \\cdot t$$上述方程中的t表示时间变量，通过求解这个方程，我们可以得到物体A和物体B相遇的条件和相遇的具体时刻。
2. 几何法几何法是相遇问题中的另一种解决方法，它通过对物体的运动轨迹进行分析，判断它们是否会在某个时刻相遇。
依然以两个物体在一维空间中运动为例，假设物体A的初始位置为x a，速度为v a，物体B的初始位置为x b，速度为v b。
我们可以通过绘制物体A和物体B的运动轨迹，看是否会有交点出现。
如果运动轨迹无交点，则表示它们不会相遇；如果运动轨迹有交点，则表示它们会在某个时刻相遇。
在实际问题中，运用几何法计算相遇的条件比较直观和简单。
但是需要注意的是，几何法只适用于一些简单的情况，对于复杂的问题可能不适用。
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较复杂的相遇问题
研究时间，速度与路程这三者关系的问题统称为行程问题。
而相遇问题又是研究几个物体同时从不同地方相向运动情况的，是一种特殊的行程问题。
在相遇问题中，我们主要考察多个物体运动的地点，方向及运动结果的不同情况。
相遇问题中路程和（差）、速度和（差）、相遇时间有如下关系：
速度和×相遇时间=路程和速度差×相遇时间=路程差
路程和÷速度和=相遇时间路程差÷速度差=相遇时间
路程和÷相遇时间=速度和路程差÷相遇时间=速度差相遇问题的解题关键是学会将复杂的数量关系转化为典型的相遇问题。
必要时可根据题意画出线段图帮助分析，从而突破难点。
例1 两列货车分别同时从甲乙两地同时出发，相向而行。
快车的速度是68km/h，慢车的速度是54km/h，相遇时快车比慢车多行21km。
求甲、乙两地间的距离。
〖分析与解〗根据路程=速度和×相遇时间，要求距离必须求出相遇时间。
由于快车每小时比慢车多行（68－54=）4km，而相遇时快车比慢车多行了21km，根据这种关系我们可以求出相遇时间为（21÷14=）1.5h，然后可利用公式求出距离。
（1）两车相遇的时间（2）甲、乙两地间的距离
21÷（68－54）（68+54）×1.5
=21÷14 =124×1.5
=1.5（h）=186（km）
答：两地相距186km。
·请你试一试·
1．甲车和乙车同时同地反向而行，甲车比乙车每小时快12km，4h后两车相距388km。
求两车的速度。
例2 两辆汽车分别同时从A、B两地出发，相向而行。
4h后，两车还相距171km；又过了3h，两车又相距171km。
求A、B两地相距多少km?
〖分析与解〗题目中出现了两次相距171km。
很显然，第一次相距171km，是在相遇前两车之间的距离，第二次相距171km是在相遇之后又行驶的距离，两辆汽车在3h的时间里由相距171km到相遇再到又相距171km，这段时间内正好行了2个171km。
这样我们可求出这两辆汽车的速度之和，从而可求出A、B两地间的距离。
（1）两辆汽车的速度和（2）A、B两地的距离
171×2÷3 114×4+171
=342÷3 =456+171
=114（km/h）=627（km）
答：A、B两地相距627km。
·请你试一试·
2．A、B两地相距156km。
甲、乙两车在8h20min分别从A、B出发，相向而行。
甲车每小时行驶44km，乙车每小时行驶36km。
在什么时候，两车之间的距离恰好是12km？
例3 甲、乙两辆客车分别从A、B两城同时开出，相向而行。
甲车每小时行40km，乙车每小时行45km。
两车相遇后都继续往前行驶。
甲到B城、乙到A城后，都立刻按原速原路返回再次相遇。
两车从出发到第二次相遇共用了6h。
求A、B两城之间的路程。
〖分析与解〗作出两车运动情况示意图。
A B
甲乙
乙甲
由上图中可看出，在6h内，两车共行的路程恰是A、B间路程的3倍。
所以：A、B间的路程是
（40+45）×6÷3
=85×2
=170（km）
答：A、B两城之间的路程是170km。
·请你试一试·
3．甲、乙两人从东村，丙从西村同时出发相向而行，甲步行的速度为70m/min，乙步行的速度为85m/min，丙骑自行车的速度为180m/min，丙遇到乙后3min又遇到甲。
求东西两村的距离。
例4 小明从甲地到乙地，每小时走5km，小华从乙地到甲地，每小时走4km。
两人同时出发，在离甲、乙两地中点1km处相遇。
求甲、乙两地间的路程。
〖分析与解〗按题意作示意图。
甲1km 乙
小明小华
由上图中可看出，从出发到相遇，小明比小华多走（1×2=）2km。
由此，可以求出从出发到相遇所需的时间是[2÷（5－4）=]2h，所以，甲、乙两地间的路程
是[（5+4）×2=]18km。
1×2÷（5－4）×（5+4）
=2÷1×9
=2×9
=18（km）
答：甲、乙两地间的路程是18km。
·请你试一试·
4．小张和小林分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1.25h后，小张走了两村间距离的一半还多0.75km时与小林相遇。
已知小林每小时走3.7km，那么，小张每小时走多少km?
例5 甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在离A地52km处相遇，到达对方出发地点后，立即以原速沿原路返回，又在离A地44km处相遇。
那么，A、B两地相距多少km？
〖分析与解〗根据题意，画出如下线段图。
甲
A B
M 乙
N
图中M为第一次相遇点，N为第二次相遇点。
从图中看出，两人第二次相遇，共走了三段AB路程，甲、乙共同走完一段AB路程，甲走了52km。
那么，甲、乙共同走完三段AB路程，甲所走的路
程为52km的3倍，即
52×3=156（km）
甲还差44km就走了两个全程：
156+44=200（km）
所以，A、B两地相距
44+56=100（km）
·请你试一试·
5．甲、乙两车同时从A、B两站出发相对而行，在距A站72km处相遇。
它们各自到达对方站后，立即返回，途中又在距B站58km处相遇。
求两次相遇地点间的距离。
练习
1.A、B两地相距480km。
上午8：00有一辆货车从甲地开往乙地，1.5h后，
有一辆客车从乙地开往甲地，中午12：OO两车相遇。
已知货车每小时行80km，客车每小时行多少km?
2.东、西两镇相距540km。
甲车以每小时48km的速度从东镇开往西镇，1h后，
乙车以每小时34km的速度从西镇开往东镇。
乙车开出后几小时与甲车相遇?
3.兄弟两人同时从家里出发步行去学校。
兄每分钟走75m，弟每分钟走55m，
哥哥到达学校后，发现忘带文具盒，立即返回去取，返回时与弟弟相遇，这时离学校的距离恰好是200m。
他们家离学校有多远?
4.客车和货车从相距520km的两地同时出发，相向而行，4h相遇，已知客车
速度是货车的1.5倍。
求两车的速度。
5.小红和小华分别同时从相距36km的A、B两地同时出发，1.8h后在途中相
遇。
相遇后，小红立即以原速返回A地，小华仍按原速前进，当小红到达A 地时，小华离A地还有3.6km。
求小红、小华两人的速度各为多少?
6.客车和货车同时从相距900km甲、乙两地相对而行，客车每小时行80km，
货车每小时行40km，货车因卸货在途中停了1.5h。
求两车从出发到相遇经过了几h?
7.小明家距小华家7.5km。
8h40min小明从家出发骑车去小华家，每分钟行驶
230m。
小华同时从家出发，沿同一路线步行去小明家，每分钟走70m。
他们在途中相遇时是几h几min?
8.甲、乙二人相距17km，他们相向而行。
甲每小时走4.8km，乙每小时走4.2km。
甲先走25min后乙才出发。
乙出发后多少min两人才相遇?
9.甲、乙两只轮船同时从相距654km的两码头相向开出，8h后两船还相距
390km。
已知甲船每小行行驶15km。
问：乙船每小时行驶多少km?
10.甲、乙二人都骑自行车从两地同时出发，相向而行。
甲每小时行驶12km，
乙每小时行驶10km。
两人在距两城中点3km处相遇。
求两地之间的距离。
11.甲每分钟走38m，乙每分钟走50m，丙每分钟走70m。
甲、乙两人从A地，丙从B地同时
出发相向而行，丙遇到乙后1min遇到甲。
求A、B两地相距多少米?
12.两辆汽车同时从东西两站相对开出，第一次离东站80km处相遇，各车到站后立即返回，
又在离西站50km处第二次相遇。
求东、西两站的距离。