中考数学最新课件-浙教版中考数学四边形与证明 精品
2025年中考数学热点题型归纳与变式演练(全国)专题04 四边形的证明与计算(原卷版)
专题04四边形的证明与计算目录热点题型归纳 (1)题型01四边形与全等 (1)题型02四边形与相似 (3)题型03四边形边角计算 (5)中考练场 (10)题型01四边形与全等手拉手模型倍长中线模型平行线中等模型雨伞模型【典例分析】例1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，点,P Q 分别是边BC ，线段OD 上的点，连接,,AP QP AP 与OB 相交于点E ．(1)如图1，连接QA ．当QA QP =时，试判断点Q 是否在线段PC 的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若90APB ∠=︒，且BAP ADB ∠=∠，①求证：2AE EP =；②当OQ OE =时，设EP a =，求PQ 的长（用含a 的代数式表示）．例2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 在对角线BD 上，点F 在边BC 上，连接AE ，EF ，DE BF BE BC ==，．(1)如图①，求证AED EFB ≌△△；(2)如图②，若AB AD AE ED =≠，，过点C 作CH AE ∥交BE 于点H ，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图②中四个角（BAE ∠除外），使写出的每个角都与BAE ∠相等．【变式演练】1．（2023·北京海淀·一模）如图，正方形ABCD 中，点E F ，分别在BC CD ，上，BE CF AE BF =，，交于点G ；(1)AGF ∠=_______．(2)在线段AG 上截取MG BG =，连接DM AGF ∠，的角平分线交DM 于点N ．①依题意补全图形；②用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明．2．（2023·山东泰安·三模）已知如图1，P 为正方形ABCD 的边BC 上任意一点，BE AP ⊥于点E ，在AP 的延长线上取点F ，使EF AE =，连接BF ，CBF ∠的平分线交AF 于点G ．(1)求证：BF BC =；(2)求证：BEG 是等腰直角三角形；(3)如图2，若正方形ABCD 的边长为4，连接CF ，当P 点为BC 的中点时，求CF 的长．3．（2022·湖南长沙·三模）如图，在ABC 和DCB 中，AB DC =，AC DB =，AC 与DB 交于点M ．(1)求证：ABC DCB ≌；(2)将BMC 关于BC 所在直线翻折，得到BNC ，试判断四边形BNCM 的形状，并证明你的结论；(3)若AC 平分BCD ∠，1DM =，2BM =，求BC 的长．题型02四边形与相似【解题策略】8字模型反8字模型手拉手模型一线三等角模型【典例分析】例．（2023·内蒙古·中考真题）已知正方形ABCD ，E 是对角线AC 上一点．(1)如图1，连接BE ，DE ．求证：ABE ADE ≅△△；(2)如图2，F 是DE 延长线上一点，DF 交AB 于点G ，BF BE ⊥．判断FBG △的形状并说明理由；(3)在第（2）题的条件下，2BE BF ==．求AE AB的值．【变式演练】1．（22-23浙江·模拟预测）在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，延长ED 至点F ，使得DF DE =，连接BF ．(1)求证：四边形BCEF 是平行四边形．(2)BG CE ⊥于点G ，连接CF ，若G 是CE 的中点，6CF =，tan 3BCG ∠=，①求CG 的长．②求平行四边形BCEF 的周长．2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，且AED DEC ∠=∠，延长BC 至点F ，使CF BE =，连接AF ，交DE 、DC 分别于M 、N ．(1)求证：四边形AEFD 为菱形；(2)若41BE EC =::且2MN =，求DN 的长度．3．（2022·湖北武汉·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，四边形ABCD 中，BAC ACD ∠=∠，B D ∠=∠，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【灵活运用】（2）如图2，ABCD Y 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，EDF BAC ∠=∠，EF AC ∥，EF 的延长线交DC 的延长线于点G ，若3EF =，4DE =，求AC 的长．【拓展提高】（3）如图3，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，tan 2EDF ∠=，EF AC ∥，求AE 的长度．4．（2022·安徽·模拟预测）如图1，E 是正方形ABCD 的边BC 上一个动点，连接,DE DEC ∠的平分线EM 交DC 于点M ，直线MN DE ⊥于点N ，交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接,EG CN ．(1)求证：FN AB =．(2)如图2，若NC GE ∥，连接BN 并延长，交CD 于点P ．①求证：BE CE =；②求CP CD的值．题型03四边形边角计算【解题策略】勾股定理常见折叠模型：DB 2+BC 2=DC 2DB 2+AB 2=AD 2BM 2+AB 2=AM 2MN=M 2−M 2FC=M 2−A 2AD=M 2−M 2【典例分析】例1．（2023·湖南·中考真题）如图，在ABCD Y 中，DF 平分ADC ∠，交BC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：AD AF =；(2)若63120AD AB A ==∠=︒，，，求BF 的长和ADF △的面积．例2．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 落在边AD 上（点M 不与点,A D 重合），点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，折痕分别与边AB ，CD 交于点,E F ，连接BM ．(1)求证：AMB BMP ∠=∠；(2)若1DP =，求MD 的长．【变式演练】1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，AB BC <，将矩形沿EF 折叠，使点C 与点A 重合．(1)若20BAF ∠=︒，求GAE ∠的度数；(2)求证：AGE ABF ≌；(3)若6cm AB =，8cm BC =，求BF 的长．2．（2023·广东广州·一模）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ．(1)尺规作图：过点C 作AB 的垂线，垂足为E ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若4AC =，2BD =，求cos BCE ∠的值．3．（2023·广东深圳·一模）综合与探究在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处．(1)如图①，若2BC BA =，求CBE ∠的度数；(2)如图②，当5AB =，且·10AF FD =时，求EF 的长；(3)如图③，延长EF ，与ABF ∠的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF AN FD =+时，请直接写出AB BC 的值．1．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF ⊥，垂足为点G ．求证：ADE DCF △∽△．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H ∠=∠．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，11AE DF ==，8DE =，60AED ∠=︒，求CF 的长．2．（2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在ABCD Y 中，对角线BD AC ⊥，垂足为O ．求证：ABCD Y 是菱形．(2)知识应用：如图2，在ABCD Y 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，586AD AC BD ===，，．①求证：ABCD Y 是菱形；②延长BC 至点E ，连接OE 交CD 于点F ，若12E ACD ∠=∠，求OF EF的值．3．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，点O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线l 分别与AD 、BC 所在的直线相交于点E 、F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌ ；(2)当直线l BD ⊥时，连接BE 、DF ，试判断四边形EBFD 的形状，并说明理由．4．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60A ∠=︒，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形BB C C ''的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP x =，四边形BB C C ''的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．5．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形ABCD 是平行四边形，连接AC ，BD 交于点O ，DE 平分ADB ∠交AC 于点E ，BF 平分CBD ∠交AC 于点F ，连接BE ，DF ．(1)求证：12∠=∠；(2)若四边形ABCD 是菱形且2AB =，120ABC ∠=︒，求四边形BEDF 的面积．6．（2023·辽宁营口·中考真题）在ABCD Y 中，90ADB ∠=︒，点E 在CD 上，点G 在AB 上，点F 在BD 的延长线上，连接EF DG ，．FED ADG ∠=∠，AD DG k BD EF==．(1)如图1，当1k =时，请用等式表示线段AG 与线段DF 的数量关系______；(2)如图2，当k AD DE ，和DF 之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，当点G 是AB 的中点时，连接BE ，求tan EBF ∠的值．。
九年级数学中考专题(空间与图形)-第九讲《四边形(一)》课件(北师大版)
B
C
E
体验中考
1．（06常州）已知：如图，在四边形ABCD AO CO， 中，AC与BD相交与点O，AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
A O B C D
体验中考
2.（06大连西岗）如图，ABCD中， AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：AE = CF
A F E B D
典型例题
E 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形. D 变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形. G H 变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形 是正方形. B F 变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形 A 是菱形. 变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形. 变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、 BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形. C 变式7：如图：在四边形ABCD中， M D E为边AB上的一点，△ADE和△ Q BCE都是等边三角形，P、Q、M、 N N分别是AB、BC、CD、DA边上 的中点，求证：四边形PQMN是菱形. B A E P
二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长 为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直 线上，则下列关系中正确的是（ ） C A、DE＞BF B、DE＝BF D C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF E F B
C
典型例题
例3 已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上， 且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于 P，求∠BPM的度数.
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中 的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN. 证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四 边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC ∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC A ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90° 1 ∴∠2＋∠4＝90 ° ，且BE＝NE N P ∴△BEN是等腰直角三角形 3 C B ∴∠BNE＝45 ° ∵AM∥NE M ∴∠BPM＝∠BNE ＝45 ° 2
2025年中考数学热点题型归纳与变式演练(全国)专题04 四边形的证明与计算(解析版)
专题04四边形的证明与计算目录热点题型归纳 (1)题型01四边形与全等 (1)题型02四边形与相似 (7)题型03四边形边角计算 (17)中考练场 (35)题型01四边形与全等手拉手模型倍长中线模型平行线中等模型雨伞模型【典例分析】例1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，点,P Q 分别是边BC ，线段OD 上的点，连接,,AP QP AP 与OB 相交于点E ．(1)如图1，连接QA ．当QA QP =时，试判断点Q 是否在线段PC 的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若90APB ∠=︒，且BAP ADB ∠=∠，①求证：2AE EP =；②当OQ OE =时，设EP a =，求PQ 的长（用含a 的代数式表示）．（2）①证明：如图，∵四边形ABCD ∴===，AB BC CD DA∴∠=∠，CBD CDB ABD ADB∠=∠， ，BD AC⊥②如图，连接QC ．,60AB BC ABC =∠=︒ ，∴ABC 是等边三角形．∵90APB ∠=︒，【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．例2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形AE ，EF ，DE BF BE BC ==，．(1)如图①，求证AED EFB ≌△△；(2)如图②，若AB AD AE ED =≠，，过点C 作CH AE ∥交BE 于点H ，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图②中四个角（BAE ∠除外），使写出的每个角都与BAE ∠相等．【答案】(1)见解析；(2)BEA EFC DCH DHC BAE ∠∠∠∠∠====，理由见解析．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD BC BE ==，BC AD ∥，进而有ADE EBF ∠=∠，从而利用SAS 即可证明结论成立；（2）先证四边形ABCD 是菱形，得AB BC BE CD AD ====，又证()AAS ABE CDH ≌ ，得BAE DCH BEA DHC ∠∠∠∠===，由（1）得()SAS AED EFB ≌ 得AED EFB ∠=∠，根据等角的补角相等即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，BE BC=∴AD BC BE ==，BC AD ∥，∴ADE EBF ∠=∠，∵DE BF =，ADE EBF ∠=∠，AD BE=∴()SAS AED EFB ≌ ；（2）解：BEA EFC DCH DHC BAE ∠∠∠∠∠====，理由如下：∵AB AD =，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，BC AD ∥，AB CD∴AB BC BE CD AD ====，ADE EBF ∠=∠，ABE CDH ∠∠=，∴BEA BAE ∠=∠，∵CH AE ∥，∴BEA DHC ∠∠=，∴()AAS ABE CDH ≌ ，∴BAE DCH BEA DHC ∠∠∠∠===，由（1）得()SAS AED EFB ≌ ，∴AED EFB ∠=∠，∵180AED BEA EFB EFC ∠∠∠∠+=+=︒，∴BEA EFC DCH DHC BAE ∠∠∠∠∠====．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及等角的补角相等．熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．【变式演练】1．（2023·北京海淀·一模）如图，正方形ABCD 中，点E F ，分别在BC CD ，上，BE CF AE BF =，，交于点G ；(1)AGF ∠=_______．(2)在线段AG 上截取MG BG =，连接DM AGF ∠，的角平分线交DM 于点N ．①依题意补全图形；②用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明．【答案】(1)90︒(2)①见解析；②MN ND=【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．（1）通过证明()SAS ABE BCF ≌，得出BAE CBF ∠=∠，根据90BAE AEB ∠+∠=︒，得出90CBF AEB ∠+∠=︒，即可解答；（2）①根据题意补全图形即可；②过点A 作AH AE ⊥，AH 交GN 延长线于点H ，连接DH ，先证明()SAS BAG DAH ≌，得出,90BG DH AHD AGB =∠=∠=︒，则,45GM DH DHN NGM =∠=∠=︒，再证明()AAS HND GNM ≌，即可得出结论MN ND =．②证明：过点A 作AH ∵90AGF ∠=︒，GN 平分∴1452AGN AGF ∠=∠=∴45AHG AGH ︒∠=∠=，∴AG AH =，∵四边形ABCD 为正方形，∴90,BAD AB AD ∠=︒=，∵90GAH ∠=︒，∴BAG DAH ∠=∠，∵AG AH =，BAG DAH ∠=∠，AB AD =，∴()SAS BAG DAH ≌，∴,90BG DH AHD AGB =∠=∠=︒，∵BG GM =，45AHG ∠=︒，∴,45GM DH DHN NGM =∠=∠=︒，∵,,DHN NGM DNH MNG GM DH ∠=∠∠=∠=，∴()AAS HND GNM ≌，∴MN ND =．2．（2023·山东泰安·三模）已知如图1，P 为正方形ABCD 的边BC 上任意一点，BE AP ⊥于点E ，在AP 的延长线上取点F ，使EF AE =，连接BF ，CBF ∠的平分线交AF 于点G ．=；(1)求证：BF BC是等腰直角三角形；(2)求证：BEG(3)如图2，若正方形ABCD的边长为4，连接CF，当P点为BC的中点时，求CF的长．P 是BC 中点，正方形的边长为4，4AB ∴=，2BP CP ==，在Rt ABP 中，22AP BP AB =+=BE AP ⊥ ，(1)求证：ABC DCB ≌；(2)将BMC 关于BC 所在直线翻折，得到BNC ，试判断四边形BNCM 的形状，并证明你的结论；(3)若AC 平分BCD ∠，1DM =，2BM =，求BC 的长．四边形BNCM 是菱形，MN CB ∴⊥，AC 平分BCD ∠，MH ⊥【解题策略】8字模型反8字模型手拉手模型一线三等角模型【典例分析】例．（2023·内蒙古·中考真题）已知正方形ABCD ，E 是对角线AC 上一点．(1)如图1，连接BE ，DE ．求证：ABE ADE ≅△△；(2)如图2，F 是DE 延长线上一点，DF 交AB 于点G ，BF BE ⊥．判断FBG △的形状并说明理由；(3)在第（2）题的条件下，2BE BF ==．求AE AB的值．在ABE 和ADE V 中AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABE ADE ≅ ．（2）解：FBG △是等腰三角形，理由如下：∵ABE ADE ≅△△，∴ABE ADE ∠=∠，∵四边形ABCD 是正方形，∴90DAG =︒∠，∴90ADE AGD ∠+∠=︒，∵AGD FGB ∠=∠，∴90ADE FGB ∠+∠=︒，∵FB BE ⊥，∴90EBF ∠=︒，∴90ABE FBG ∠+∠=︒，∴FGB FBG ∠=∠，∴BF FG =，∴FBG △是等腰三角形．（3）解：∵2BE BF ==，BF FG =，【变式演练】1．（22-23浙江·模拟预测）在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，延长ED 至点F ，使得DF DE =，连接BF ．(1)求证：四边形BCEF 是平行四边形．(2)BG CE ⊥于点G ，连接CF ，若G 是CE 的中点，6CF =，tan 3BCG ∠=，①求CG 的长．②求平行四边形BCEF 的周长．∵G 是CE 的中点，∴22EC EG CG ==，∵四边形BCEF 是平行四边形，连接AF ，交DE 、DC 分别于M 、N ．(1)求证：四边形AEFD 为菱形；(2)若41BE EC =::且2MN =，求DN 的长度．【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质．（1）证明四边形AEFD 是平行四边形，（2）证明DMN DCE ∽△△是解题的关键．3．（2022·湖北武汉·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，四边形ABCD 中，BAC ACD ∠=∠，B D ∠=∠，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【灵活运用】（2）如图2，ABCD Y 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，EDF BAC ∠=∠，EF AC ∥，EF 的延长线交DC 的延长线于点G ，若3EF =，4DE =，求AC 的长．【拓展提高】（3）如图3，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，tan 2EDF ∠=，EF AC ∥，求AE 的长度．直线MN DE ⊥于点N ，交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接,EG CN ．(1)求证：FN AB =．(2)如图2，若NC GE ∥，连接BN 并延长，交CD 于点P ．①求证：BE CE =；②求CP CD的值．EM 平分DEC ∠，DEM CEM ∴∠=∠，,EM EM = ,EMN EMC ∴△≌△EN CE ∴=，又,DEC FEN ∠=∠ DEC FEN ∴△≌△，,CD FN ∴=FN AB ∴=．（2）解：由（1）知,EN CE =ENC ECN ∴∠=∠．,NC GE ∥,GEN ENC GEB ECN ∴∠=∠∠=∠，GEN GEB ∴∠=∠．90,,ABE GNE GE GE ∠=∠=︒= ,GEN GEB ∴△≌△,BE EN ∴=BE CE ∴=．②延长CN 交AD 于点Q ，由①知BE EN CE ==，,EBN BNE ENC ECN ∴∠=∠∠=∠，90BNC BNE ENC ∴∠=∠+∠=︒，90PCN BPC ∴∠+∠=︒．90PBC BPC ∠+∠=︒ ，PBC PCN BNE ∴∠=∠=∠．又90,BCD CDA BC CD ∠=∠=︒= ，,BCP CDQ ∴△≌△CP DQ ∴=．,AD BC ∥题型03四边形边角计算【解题策略】DB 2+BC 2=DC 2DB 2+AB 2=AD 2BM 2+AB 2=AM2MN=M 2−M 2FC=M 2−A 2AD=M 2−M 2【典例分析】例1．（2023·湖南·中考真题）如图，在ABCD Y 中，DF 平分ADC ∠，交BC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：AD AF =；(2)若63120AD AB A ==∠=︒，，，求BF 的长和ADF △的面积．∵120BAD ∠=︒，∴DAH ∠∴132AH AD ==，∴D H =【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．例2．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点,A D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点,E F，连接BM．∠=∠；(1)求证：AMB BMP(2)若1DP=，求MD的长．【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．【变式演练】<，将矩形沿EF折叠，使点C与点A重合．1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB BC(1)若20BAF ∠=︒，求GAE ∠的度数；(2)求证：AGE ABF ≌；(3)若6cm AB =，8cm BC =，求BF 的长．(1)尺规作图：过点C 作AB 的垂线，垂足为E ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若4AC =，2BD =，求cos BCE ∠的值．（2）解： 四边形ABCD 为菱形，4AC =，BD在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处．(1)如图①，若2BC BA =，求CBE ∠的度数；(2)如图②，当5AB =，且·10AF FD =时，求EF 的长；(3)如图③，延长EF ，与ABF ∠的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF AN FD =+时，请直接写出AB BC的值．=+，∴∵NF AN FD=，∴NF ∵BC BF∠=∠，∵NFG AFB1．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF ⊥，垂足为点G ．求证：ADE DCF △∽△．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H ∠=∠．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，11AE DF ==，8DE =，60AED ∠=︒，求CF 的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）3【分析】（1）由矩形的性质可得90ADE DCF ∠=∠=︒，则90CDF DFC ∠+∠=︒，再由AE DF ⊥，可得90DGE ∠=︒，则90CDF AED ∠+∠=︒，根据等角的余角相等得AED DFC ∠=∠，即可得证；（2）利用“HL ”证明 ≌ADE DCF ，可得DE CF =，由CH DE =，可得CF CH =，利用“SAS ”证明DCF DCH ≌，则DHC DFC ∠=∠，由正方形的性质可得AD BC ∥，根据平行线的性质，即可得证；（3）延长BC 到点G ，使8CG DE ==，连接DG ，由菱形的性质可得AD DC =，AD BC ∥，则ADE DCG ∠=∠，推出()SAS ADE DCG △≌△，由全等的性质可得60DGC AED ∠=∠=︒，DG AE =，进而推出DFG 是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是矩形，90ADE DCF ∴∠=∠=︒，90CDF DFC ∴∠+∠=︒，AE DF ⊥，90DGE ∴∠=︒，90CDF AED ∴∠+∠=︒，AED DFC ∴∠=∠，ADE DCF ∴△∽△；（2）证明： 四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，AD BC ∥，90ADE DCF ∠=∠=︒，AE DF = ，()HL ADE DCF ∴ ≌，DE CF ∴=，又 CH DE =，∴CF CH =，点H 在BC 的延长线上，∴90DCH DCF ∠=∠=︒，DC DC = ，()SAS DCF DCH ∴ ≌，H DFC ∴∠=∠，AD BC ∥，ADF DFC H ∴∠=∠=∠；（3）解：如图，延长BC 到点G ，使8CG DE ==，连接DG ，四边形ABCD 是菱形，AD DC ∴=，AD BC ∥，ADE DCG ∴∠=∠，()SAS ADE DCG ∴ ≌，60DGC AED ∴∠=∠=︒，DG AE =，AE DF = ，DG DF ∴=，DFG ∴ 是等边三角形，11FG FC CG DF ∴=+==，111183FC CG ∴=-=-=．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键．2．（2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在ABCD Y 中，对角线BD AC ⊥，垂足为O ．求证：ABCD Y 是菱形．(2)知识应用：如图2，在ABCD Y 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，586AD AC BD ===，，．①求证：ABCDY是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若12E ACD∠=∠，求OFEF的值．与AD 、BC 所在的直线相交于点E 、F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌ ；(2)当直线l BD ⊥时，连接BE 、DF ，试判断四边形EBFD 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形EBFD 为菱形；理由见解析【分析】（1）根据AAS 证明DOE BOF ≌ 即可；（2）连接EB 、FD ，根据DOE BOF ≌ ，得出ED BF =，根据ED BF ∥，证明四边形EBFD 为平行四边形，根据EF BD ⊥，证明四边形EBFD 为菱形即可．【详解】（1）证明：∵点O 为对角线BD 的中点，∴BO DO =，∵AD BC ∥，∴ODE OBF ∠=∠，OED OFB ∠=∠，在DOE 和BOF 中，ODE OBF OED OFB BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DOE BOF ≌ ；（2）解：四边形EBFD 为菱形，理由如下：连接EB 、FD ，如图所示：根据解析（1）可知，DOE BOF ≌ ，∴ED BF =，∵ED BF ∥，∴四边形EBFD 为平行四边形，∵l BD ⊥，即EF BD ⊥，∴四边形EBFD 为菱形．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．4．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60A ∠=︒，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形BB C C ''的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP x =，四边形BB C C ''的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．∠交AC于点F，连接BE，DF．交AC于点E，BF平分CBD(1)求证：12∠=∠；(2)若四边形ABCD 是菱形且2AB =，120ABC ∠=︒，求四边形BEDF 的面积．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是由()ASA ODE OBF V V ≌，得到DE BF =，判定四边形DEBF 是平行四边形；证明四边形BEDF 是菱形．6．（2023·辽宁营口·中考真题）在ABCD Y 中，90ADB ∠=︒，点E 在CD 上，点G 在AB 上，点F 在BD 的延长线上，连接EF DG ，．FED ADG ∠=∠，AD DG k BD EF==．(1)如图1，当1k =时，请用等式表示线段AG 与线段DF 的数量关系______；(2)如图2，当k AD DE ，和DF 之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，当点G 是AB 的中点时，连接BE ，求tan EBF ∠的值．在AD 上截取DH DE =，连接HG ，∵FED ADG ∠=∠，∴()SAS DHG EDF ≌，∴135DHG EDF ∠=∠=︒，DF HG =，。
2024浙江中考数学二轮专题训练 题型五 与特殊四边形有关的证明及计算 (含答案)
2024浙江中考数学二轮专题训练题型五与特殊四边形有关的证明及计算类型一纯几何图形的证明及计算母题变式练母题1(2023余杭区二模改编)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上(不与点A、D、C重合)，连接并延长AF，分别交BE于点G，交BC延长线于点H.(1)若AE＝DF，请判断BE与AF的位置关系，并说明理由．【思维教练】要判断BE与AF的位置关系，由已知条件易证明△ABE≌△DAF，再通过证明∠DAF＋∠AEB＝90°即可得到BE⊥AF.母题1题图(2)连接EH，若EB＝EH＝2，求GE的长．【思维教练】要求GE的长，过点E作EM⊥BC于点M，易知四边形ABME为矩形，由矩形的性质和等腰三角形三线合一可得△AEG∽△HBG，BH＝2AE，再根据相似三角形的性质即可求解．母题变式【变式角度】(1)设问变已知；(2)由利用等腰三角形求得相似比变为直接给出中点求得相似比．1.如图，在正方形ABCD中，点E是AD上一点(不与A，D重合)，连接BE，过点A作AF⊥BE于点G，交CD边于点F，交对角线BD于点H.(1)求证：BE＝AF；(2)若点E是AD的中点，当BE＝12时，求线段FH的长．第1题图【变式角度】(1)设问变已知；(2)利用相似的性质求“线段长”改为求“面积比值”；(3)新增利用相似及全等的性质，证明线段之间的数量关系.2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AD，DC上(不与A，D，C重合)，连接BE，AF，BE与AF交于点G，与AC交于点H.已知AF⊥BE，CF ＝2DF.(1)求证：AF＝BE；(2)若△BHO的面积为S1，△BDE的面积为S2，求S1S2的值；(3)设AF与BD交于点P，求证：DE＝2PO.第2题图针对演练3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB和AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG.(1)求证：△ACE≌△AGB；(2)若AC＝3，BC＝5，求CE的长．第3题图类型二与函数结合的证明及计算母题变式练母题2(2022杭州23题12分)如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上(不与点B 、C重合)，连接AG ，作DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ，设BG BC＝k .(1)求证：AE ＝BF ；【思维教练】要证AE ＝BF ，结合正方形性质易联想到需证明△ABF ≌△DAE ，再根据三角形全等得到对应边相等即可得证．母题2题图①(2)连接BE 、DF ，设∠EDF ＝α，∠EBF ＝β，求证：tan α＝k tan β；【思维教练】要证明tan α＝k tan β，需先找到α，β所在的直角三角形，用相应的线段长度表示出tan α，tan β，再求两者之比，在含有多个直角三角形的图形中，注意同一个角的三角函数值可以用不同的线段比值来表示即可转化求解．母题2题图②(3)设线段AG 与对角线BD 交于点H ，△AHD 和四边形CDHG 的面积分别为S 1和S 2，求S 2S 1的最大值．【思维教练】要求S 2S 1的最大值，需先表示出S 1，S 2，根据BG BC＝k ，再结合相似三角形的性质用含k 的式子表示出S 1，而S 2可用△BCD 的面积减去△BGH 的面积，进而用含k 的式子表示，求出S 2S 1的函数表达式，根据函数性质求最值即可母题2题图③母题变式【变式角度】背景图形由正方形变为矩形，设问由正切值的证明改为正切值的计算、由利用相似比得出面积关系改为利用三角函数得出面积关系．1.(万唯原创)如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上(不与点B、C重合)，连接AE，分别过点B、D作BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，连接CF.已知AB＝6，BC＝8.(1)若AE＝AD，求证：AB＝DG；(2)若点E为BC的中点，求tan∠CFE的值；(3)设△ABF和△CEF的面积分别为S1，S2，y＝S1S2，求y的最小值．第1题图针对演练2.(2023滨江区三模)如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点E在AB上，点F为BC上一个动点，且满足条件∠EPF＝45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC对称，设它们的面积和为S1.(1)求证：∠APE＝∠CFP；.(2)设四边形CMPF的面积为S2，CF＝x，y＝S1S2①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．第2题图参考答案类型一纯几何图形的证明及计算母题1解：(1)AF ⊥BE .理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAE ＝∠ADF ＝90°，在△ABE 和△DAF 中，＝DABAE ＝∠ADF ＝DF，∴△ABE ≌△DAF (SAS)，∴∠DAF ＝∠ABE ，∵∠AEB ＋∠ABE ＝90°，∴∠DAF ＋∠AEB ＝90°，∴∠AGE ＝90°，∴BE ⊥AF ；(2)如解图，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，母题1解图∵EB ＝EH ，EM ⊥BC ，∴BM ＝MH ＝12BH ，∵EM ⊥BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴四边形ABME 是矩形，∴AE ＝BM ，∴BH ＝2AE ，∵AD ∥BC ，∴△AEG ∽△HBG ，∴HB AE ＝BG EG＝2，∵BE ＝2，∴GE ＝13BE ＝23.1.(1)证明：∵AF ⊥BE ，∴∠AEB ＋∠DAF ＝90°，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠DAB ＝∠ADF ＝90°，AB ＝AD ，∴∠AEB ＋∠ABE ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF ，在△BAE 和△ADF 中，EAB ＝∠FDA＝DAABE ＝∠DAF，∴△BAE ≌△ADF (ASA)，∴BE ＝AF ；(2)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝DC ，AB ∥CD ，由(1)得△BAE ≌△ADF ，∴AE ＝DF ，∵点E 是AD 的中点，∴点F 是DC 的中点，∴DF ＝12AB ，即AB DF＝2，∵AB ∥CD ，∴△AHB ∽△FHD .∴AB FD ＝AH FH＝2，∵AF ＝BE ＝12，∴FH ＝13AF ＝4.2.(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，BE ⊥AF ，∴∠ADF＝∠AGE＝∠EAB＝90°，AD＝AB，∴∠ABE＋∠GAB＝∠DAF＋∠GAB＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ADF和△BAE中，ADF＝∠BAE，，＝AB，DAF＝∠ABE∴△ADF≌△BAE(ASA)，∴AF＝BE；(2)解：如解图，过点F作FM⊥AC于点M，过点O作ON∥AD，交BE于点N，第2题解图在Rt△CFM中，∵∠FCM＝45°，∴CF＝2FM，∵CF＝2DF，∴DF＝FM，在Rt△ADF和Rt△AMF中，＝AF，＝MF∴△ADF≌△AMF(HL)，∴∠DAF＝∠FAC，∵AF⊥BE，∴∠AGE＝∠AGH＝90°，∴△AEH是等腰三角形，∴AE＝AH，∴∠AEH＝∠AHE，∵ON∥AD，∴∠AEH＝∠ONH，∵∠AHE＝∠OHN，∴∠OHN＝∠ONH，∴OH＝ON，∵ON∥AD，DB＝2OB，∴DE＝2ON，∴DE ＝2OH .∵S 1＝12OH ·OB ，S 2＝12DE ·AB ，∴S 1S 2＝OH ·OB DE ·AB ＝12DE ·OB DE ·AB ＝OB 2AB，设AD ＝AB ＝x ，在Rt △ABD 中，由勾股定理得DB ＝AB 2＋AD 2＝2x ，∴OB ＝12DB ＝22x .∴S 1S 2＝22x 2x ＝24；(3)证明：∵∠AOP ＝∠AMF ＝90°，∠PAO ＝∠FAM ，∴△APO ∽△AFM ，∴PO FM ＝AO AM，设DF ＝m ，则FM ＝DF ＝MC ＝m ，FC ＝2m ，∴AD ＝DC ＝(1＋2)m ，∴AC ＝2AD ＝(2＋2)m ，∴AM ＝AC －MC ＝(2＋1)m ，AO ＝12AC ＝2＋22m ，∴PO ＝AO AM ·FM ＝2＋22m （2＋1）m·m ＝22m ，由(1)知△ADF ≌△BAE ，∴DF ＝AE ，∴DE ＝FC ＝2m ，∴PO DE ＝22m 2m ＝12，即DE ＝2PO .3.(1)证明：∵在正方形ABDE 和正方形ACFG 中，AE ＝AB ，AC ＝AG ，∠EAB ＝∠CAG ＝90°，∴∠EAC ＋∠CAB ＝∠BAG ＋∠CAB ，∴∠EAC ＝∠BAG ，在△EAC 与△BAG 中，＝ABEAC ＝∠BAG ，＝AG∴△EAC≌△BAG(SAS)；(2)解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5，∴CF＝AC＝FG＝3，FB＝BC﹣CF＝2，∴在Rt△BFG中，由勾股定理得BG＝BF2＋BG2＝13，由(1)知△EAC≌△BAG，∴CE＝BG＝13.类型二与函数结合的证明及计算母题2(1)证明：如解图①，记∠BAF＝∠1，∠EAD＝∠2，∠ABF＝∠3，∠ADE＝∠4，母题2解图①∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝AD，又∵BF⊥AG，DE⊥AG，∴∠1＋∠2＝∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，在△ABF和△DAE中，1＝∠4，＝DA3＝∠2∴△ABF≌△DAE(ASA)，∴AE＝BF；(2)证明：如解图②，记∠FBG＝∠5，∠BAG＝∠1，母题2解图②由(1)知△ABF≌△DAE，∴AF ＝DE ，∵∠1＋∠ABF ＝∠ABF ＋∠5＝90°，∴∠5＝∠1，∵tan α＝EF DE ，tan β＝EF BF，∴tan αtan β＝EF DE ·BF EF ＝BF DE ＝BF AF＝tan ∠1，∵tan ∠1＝BG AB ＝BG BC＝k ，∴tan αtan β＝k ，即tan α＝k tan β；(3)解：如解图③，记∠BAG ＝∠1，∠EAD ＝∠2，∠ADE ＝∠4，母题2解图③∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ∥BC ，∴∠2＝∠AGB ，∠ADB ＝∠DBG ，∴△GBH ∽△ADH ，∴HG HA ＝HB HD ＝BG DA ＝BG BC＝k ，∴S △BHG S △ABH ＝HG HA ＝k ，S △BHG S △DHA ＝(BG AD)2＝k 2，设S △BHG ＝a ，∴S 1＝1k 2a ，则S △ABH ＝1ka ，S 2＝S △BCD －S △BHG ＝S △ABD －S △BHG ＝S △ABH ＋S △AHD －S △BHG ＝1k a ＋1k2a －a ，∴S 2S 1＝1k a ＋1k 2a －a 1k 2a ＝k ＋1－k 2＝－(k －12)2＋54，∵－1＜0，∴当k ＝12时，S 2S 1有最大值，最大值为54.1.(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°，AD ∥BC .∴∠GAD ＝∠BEA .∵DG ⊥AE ，∴∠DGA ＝∠ABE ＝90°，在△ABE 和△DGA 中，ABE ＝∠DGABEA ＝∠GAD ＝DA，∴△ABE ≌△DGA (AAS)．∴AB ＝DG ；(2)解：当点E 为BC 的中点时，如解图①，过点C 作CH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，第1题解图①∴BE ＝CE ＝4，∠BEF ＝∠CEH ，∵BF ⊥AE ，∴∠BFE ＝∠CHE ＝90°.在△BEF 和△CEH 中，BFE ＝∠CHEBEF ＝∠CEH ＝CE，∴△BEF ≌△CEH (AAS)．∴EF ＝EH ，CH ＝BF ，∵AB ＝6，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝213.∵12AB ·BE ＝12AE ·BF ，∴BF ＝AB ·BE AE ＝121313.∵tan ∠BEF ＝BF EF ＝AB BE ，∴EF ＝81313.∴tan ∠CFE ＝CH FH ＝BF 2EF ＝34；(3)设∠FBE ＝α，BE ＝x ，则CE ＝8－x ，∴BF ＝x cos α.∵∠BAF ＋∠BEF ＝90°，∠FBE ＋∠BEF ＝90°，∴∠BAF ＝∠FBE ＝α.∴AF ＝BF tan α＝x cos αtan α＝x cos 2αsin α.∴S 1＝12AF ·BF ＝x 2cos 3α2sin α.如解图②，过点F 作FP ⊥BC 于点P ，第1题解图②∴FP ＝BF ·sin α＝x sin αcos α.∴S 2＝12CE ·FP ＝12(8－x )·x sin αcos α.∴S 1S 2＝x 2cos 3α2sin α12（8－x ）x sin αcos α＝x 2cos 2α（8x －x 2）sin 2α＝BF 2（8x －x 2）BF 2AB 2＝AB 28x －x 2＝368x －x 2.∵8x －x 2＝－(x －4)2＋16，当x ＝4时，8x －x 2有最大值16，∴当x ＝4时，S 1S 2有最小值，为3616＝94.2.(1)证明：∵∠EPF ＝45°，∴∠APE ＋∠FPC ＝180°－45°＝135°.而在△PFC 中，由于PC 为正方形ABCD 的对角线，则∠CFP ＋∠FPC ＝180°－45°＝135°，∴∠APE ＝∠CFP ；(2)解：①∵∠APE ＝∠CFP ，且∠FCP ＝∠PAE ＝45°，∴△APE ∽△CFP ，则AP CF ＝AE CP，而在正方形ABCD 中，AC 为对角线，AC ＝2AB ＝42，又∵点P 为对称中心，则AP ＝CP ＝22，CF ＝x ，∴AE ＝AP ·PC CF ＝22×22x＝8x .如解图，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，PG ⊥BC 于点G ，第2题解图∵点P 为AC 中点，则PH ∥BC ，PH ＝12BC ＝2，同理PG ＝2.S △APE ＝12PH ·AE ＝12×2×8x ＝8x，∵阴影部分关于直线AC 轴对称，∴△APE 与△APN 也关于直线AC 对称，则S 四边形AEPN ＝2S △APE ＝16x ；而S 2＝2S △PFC ＝2×PG ·CF 2＝2x ，∴S 1＝S 正方形ABCD －S 四边形AEPN －S 2＝16－16x －2x ，∴y ＝S 1S 2＝16－16x －2x 2x＝－8x 2＋8x －1.∵点E 在AB 上运动，点F 在BC 上运动，∴2≤x ≤4.令1x ＝a ，则y ＝－8a 2＋8a －1，当a ＝－8－2×8＝12时，y 取得最大值．而x ＝2在x 的取值范围内，代入x ＝2，则y 最大＝4－2－1＝1.∴y 关于x 的函数解析式为y ＝－8x 2＋8x－1(2≤x ≤4)，y 的最大值为1；②图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称，而此两块图形也关于直线AC 成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD 对称，则EB ＝BF ，即AE ＝FC ，∴8x＝x ，解得x ＝22或x ＝－22(舍去)，把x ＝22代入y ＝－8x 2＋8x －1得y ＝22－2.。
特殊平行四边形-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第五单元 四边形专题5.2 特殊平行四边形知识点矩 形01菱 形02正 方 形03中点四边形04拓展训练05【例1-1】如图,在□ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF.求证：四边形ABFC是矩形.A EFD CB利用对角线相等的平行四边形是矩形证明方法一：利用△ABE≌△FCE证平行四边形；证法二：利用△ABE∽△FCE证平行四边形考点聚焦一个角为直角对角线相等平行四边形平行四边形直角证明四边形ABCD 是矩形的方法(三种)①先证明四边形ABCD为___________,再证明□ABCD的任意_____________；②先证明四边形ABCD为___________,再证明□ABCD的____________；【例1-2】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,若点E,F分别在AB,CD上,且BE=2AE,DF=2FC,G,H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为( ) A.1 B.1.5 C.2 D.4AHGECBD F C 考点聚焦对边平行且相等四角都是直角对角线互相平分且相等矩形的性质(1)边：________________；(2)角：________________；(3)对角线：______________________.1.已知□ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC2.如图,矩形ABCD的对角线AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ=_____．3.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,则图中四个小矩形的周长之和为____.4.如图,矩形OCDE,矩形OFGH,矩形OMNP各有一边在半⊙O的直径AB上,D,G,N都在半⊙O上,比较EC,HF,MP的大小_________.B 2.514EC=HF=EP5.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=4,E为CD边上一点,CE=5,点P从B点出发,以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动,设点P运动的时间为t秒,则当t=_______时,△PAE是以PE为腰的等腰三角形.6.如图,将矩形ABCD绕点B顺时针旋转,得到矩形EBFG,且点E落在CD上,过点C作FG的垂线,垂足为H,若FH=HG,则BC:AB的值为_______.7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90º,BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN的最小最为_____.M2.4知识点矩 形01菱 形02正 方 形03中点四边形04拓展训练05【例2-1】如图,在等腰△ABC中,AD平分顶角∠BAC,交底边BC于点H,点E在AD上,BE=BD,求证:四边形BDCE是菱形.考点聚焦证明四边形ABCD 是菱形的方法（三种）①先证明四边形ABCD为___________,再证明□ABCD的任意_____________；②先证明四边形ABCD为___________,再证明□ABCD的________________平行四边形一组邻边相等平行四边形对角线互相垂直四边相等AH E DCB利用“三线合一”得出AD 垂直平分BC,从而得出四边相等。
[原创] 《南方新中考》 数学 第一部分 第四章 第3讲 第1课时 多边形与平行四边形[配套课件]
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角形，则 n 的值是( C )
A．6
B．7
C．8
D．9
名师点评：有关多边形的角、对角线计算问题，常设未知
数 x(度数、边数、顶点数等)表示多边形内角、外角的度数，借
助图形性质、定理、公式等把相关问题转化为方程问题(方程思
想)来求解．
平行四边形的性质与判定 例题：(2013 年青海)如图 4-3-4，已知▱ABCD，过 A 作 AM ⊥BC 于点 M，交 BD 于点 E，过 C 作 CN⊥AD 于点 N，交 BD 于点 F，连接 AF，CE.求证：四边形 AECF 为平行四边形．
对角线互 相_平__分___
形
中心 对称
①两组对边分 别__平__行______
②两组对边分 别___相__等_____ ③一组对边__ _平__行__且__相__等___
④两组对角分 别____相__等____
⑤两条对角线 互相平分
由平行四边形的性质可得到的重要结论：①平行四边形相 邻两边之和等于周长的一半；②平行四边形被对角线分成的四 个小三角形中，相邻两个三角形的周长之差等于相邻两边之差； ③平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心； ④S▱ABCD＝边长×相应高；⑤由平行四边形中“旋转 180°可重 合”的两个三角形可观察出有关线段、角、周长、面积、形状 等之间的关系．
图 4-3-1 A．S▱ABCD＝4S△AOB B．AC＝BD C．AC⊥BD D．平行四边形 ABCD 是轴对称图形
4．(2014 年辽宁大连)如图 4-3-2，在△ABC 中，D，E 分别 是 AB，AC 的中点．若 BC＝4 cm，则 DE＝_____2___cm.
图 4-3-2
图 4-3-3
这些对角线把多边形分成了___n_－__2____个三角形；
中考数学专题复习《以平行四边形为背景的计算与证明》经典题型讲解
中考数学专题复习《以平行四边形为背景的计算与证明》经典题型讲解类型之一 以平行四边形为背景的计算与证明【经典母题】已知：如图Z11－1，在▱ABCD 中，AC 是对角线，BE⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .求证：BE ＝DF .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF .又∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠AEB ＝∠CFD ，∵AB ＝CD ，∴Rt △AEB ≌Rt △CFD ，∴BE ＝DF .【思想方法】 (1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题；(2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分．【中考变形】1．[2016·益阳]如图Z11－2，在▱ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，连结AF ，CE .求证：AF ＝CE .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∠ADB ＝∠CBD .又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， 图Z11－1图Z11－2∴∠AED ＝∠CFB ，AE ∥CF .∴△AED ≌△CFB (AAS )．∴AE ＝CF .∴四边形AECF 是平行四边形．∴AF ＝CE .2．[2016·黄冈]如图Z11－3，在▱ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，对角线AC 分别交BE ，DF 于点G ，H .求证：AG ＝CH .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CFH ，∠EAG ＝∠FCH ，∵E ，F 分别为AD ，BC 边的中点，∴AE ＝DE ＝12AD ，CF ＝BF ＝12BC ，∵AD ＝BC ，∴AE ＝CF ＝DE ＝BF .∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE ∥DF ，∴∠AEG ＝∠ADF ，∴∠AEG ＝∠CFH ，在△AEG 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAG ＝∠FCH ，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFH ，∴△AEG ≌△CFH (ASA )，∴AG ＝CH .【中考预测】[2016·义乌模拟]如图Z11－4，已知E ，F 分别是▱ABCD的边BC ，AD 上的点，且BE ＝DF .(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若四边形AECF 是菱形，且BC ＝10，∠BAC ＝90°，图Z11－3图Z11－4求BE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)如答图，∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，中考预测答图∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE ＝12BC＝5.类型之二以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明【经典母题】如图Z11－5，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数．图Z11－5 经典母题答图解：如答图，连结AC.∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD且E，F分别为BC，CD的中点，∴AC＝AB＝AD＝BC＝CD，∴△ABC，△ACD均为等边三角形，∴菱形ABCD 的四个内角度数分别为∠B ＝∠D ＝60°，∠BAD ＝∠BCD ＝120°.【思想方法】 要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系．对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质．【中考变形】1．[2017·日照]如图Z11－6，已知BA ＝AE ＝DC ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E .(1)求证：△DCA ≌△EAC ；(2)只需添加一个条件，即__AD ＝BC __，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．解：(1)证明：在△DCA 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝EA ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，∴△DCA ≌△EAC (SSS )；(2)添加AD ＝BC ，可使四边形ABCD 为矩形．理由如下：∵AB ＝DC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°，由(1)得△DCA ≌△EAC ，∴∠D ＝∠E ＝90°，∴四边形ABCD 为矩形．故答案为AD ＝BC (答案不唯一)．2．[2017·白银]如图Z11－7，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC＝4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F .(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； 图Z11－6图Z11－7(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴AB ∥DC ，OB ＝OD ，∴∠OBE ＝∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA )，∴EO ＝FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE ＝x ，则 DE ＝x ，AE ＝6－x ，在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2，∴x 2＝42＋(6－x )2，解得x ＝133，∵BD ＝AD 2＋AB 2＝213，∴OB ＝12BD ＝13，∵BD ⊥EF ，∴OE ＝BE 2－OB 2＝2133，∴EF ＝2EO ＝4133.3．[2017·盐城]如图Z11－8，矩形ABCD 中，∠ABD ，∠CDB 的平分线BE ，DF 分别交边AD ，BC 于点E ，F .(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)当∠ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∵BE 平分∠ABD ，DF 平分∠BDC ，∴∠EBD ＝12∠ABD ，∠FDB ＝12∠BDC ，图Z11－8∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形，理由：∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°，∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．4．[2016·株洲]如图Z11－9，在正方形ABCD中，BC＝3，E，F分别是CB，CD延长线上的点，DF＝BE，连结AE，AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．解：(1)证明：正方形ABCD中，∵AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADF＝∠ABE＝90°，在△ADF与△ABE中，AD＝AB，∠ADF＝∠ABE，DF＝BE，∴△ADF≌△ABE(SAS)；(2)在Rt△ABE中，∵AB＝BC＝3，BE＝1，∴AE＝10，ED＝CD2＋CE2＝5，∵S△AED＝12ED·AH＝12AD·BA＝92，图Z11－9∴AH ＝95， 在Rt △AHD 中，DH ＝AD 2－AH 2＝125，∴EH ＝ED －DH ＝135，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝913.5．[2017·上海]已知：如图Z11－10，四边形ABCD 中，AD∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝EC .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE (SSS )，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD ，∴∠CDE ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ，∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形；(2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，∴∠CBE ＝180×22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝45°，∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形．图Z11－106．如图Z11－11，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；(3)求四边形EFGH面积的最小值．图Z11－11中考变形6答图解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA，∵AE＝DH＝BF，∴BE＝AH，∴△AEH≌△BFE(SAS)，∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF，同理，FE＝GF＝HG，∴EH＝FE＝GF＝HG，∴四边形EFGH是菱形，∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是正方形；(2)直线EG经过正方形ABCD的中心．理由：如答图，连结BD交EG于点O.∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠EBD＝∠GDB，∵AE＝CG，∴BE＝DG，∵∠EOB＝∠GOD，∴△EOB≌△GOD(AAS)，∴BO＝DO，即O为BD的中点，∴直线EG经过正方形ABCD的中心；(3)设AE＝DH＝x，则AH＝8－x，在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋32，∵S四边形EFGH＝EH·EF＝EH2，∴四边形EFGH面积的最小值为32 cm2.【中考预测】如图Z11－12，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.图Z11－12(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．解：(1)证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFB＝∠AFD.又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE；(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠CBF＋∠BCD＝∠CDF＋∠EFD，∴∠EFD＝∠BCD.。
九年级数学中考专题(空间与图形)-第十二讲《四边形(四)》课件(北师大版)
典型例题
能力训练
一、选择题 1.一个六边形最少可以分割为三角形的个数是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 2.如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形 是（ ） A.正五边形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十边形 3.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1440°， 则这个多边形的外角是（ ） A.30° B.36° C.40° D.45°
典型例题
例4 下列图形中能够用来作平面镶嵌的是( ) A.正八边形 B.正七边形 C.正六边形 D.正五边形 解析:要使用同一种正多边形作平面镶嵌,必须满足正 多边形的几个内角之和为360°,正多边形中只有正三 角形,正方形和正六边形满足这个条件,其他的正多边 形都不满足. 答案:C 点评:正确理解正三角形、正方形、正六边形乃至任 意三角形、 四边形能镶嵌平面的理由，是解决这类 问题的关键.
；空气弹簧 纠偏气囊 空气弹簧 纠偏气囊 ；
便他们の攻击再猛烈,距离全面击破大阵仍然相差甚远.“该死！”“盟主大人到底在做哪个?”咆哮声,从四面传出.而此事城市内の鞠言,已经来到距离最近の阵基之处.“破！”壹剑横扫,剑光覆盖.阵基使用の材料虽然坚固,但鞠言壹剑斩过去,呐壹个阵基,顿事被毁.随着阵 基被破,城市内外运转の大阵,瞬间有壹座停止下来.阵基,就是壹座大阵の核心,核心被毁灭,阵法の能量无法汇聚,自然不能继续运转发挥威能.毁掉壹座阵基,鞠言目光凝了凝,看向另外壹处.“继续！”鞠言闪身冲出.流光城虽然庞大,但催动天空之翼の鞠言速度何等快捷?从 壹个阵基到另外壹个阵基,也就几个呼吸事间而已.短短事间之内,鞠言就连续破掉三个阵基,其中有两个都是攻击大阵の阵基,壹座防御大阵の阵基.攻击大阵对辉煌联盟の成员威胁最大,也是鞠言优先要破坏の.在三个阵基被拔掉后,那拾名被枯万全派来围杀鞠言の道皇境修行 者,终于抵达！呐拾人之中,有三人都属于枯家势历,另外七人,则是陆大世家派来の帮手.拾人将鞠言包围,眼申阴冷.他们也知道鞠言の大名,虽然可能从未见过鞠言本人,但辉煌道场论丹大会上发生の事情,他们都有耳闻.击杀童越の事迹,早就传遍整个天元大陆.拾人都是道皇 境巅峰修行者,实历极强.若是要他们单独与鞠言厮杀,那他们或许会信心不足.但现在,他们足足有拾个人在壹起联手,再加上城市大阵对鞠言の压制,鞠言能发挥出几成实历?所以,在他们の眼睛内,鞠言必死无疑,算是壹个死人.“鞠言,今天就是你の死期！”“壹个人进入流光 城,真是不知死活！”“哈哈,能够亲手斩杀天元大陆第壹天才,也算是壹件值得庆贺の事情！”拾人围住鞠言,纷纷开口说话,还有人是戏谑の语气.“废话真多！”“枯家人,帮枯家の人,都要死！”鞠言直接动手,圣光剑法虚无秘法施展而出,呐壹剑,鞠言可不是试探.鞠言要 の是速战速决！壹名身穿黑色长袍道皇境修行者,身边空间突然变化,威能浩瀚の黑色剑光突兀の出现.“哼,你呐种攻击方式俺们都知道,想偷袭俺?可笑！”呐名黑色长袍修行者,对鞠言の攻击方式都了解,所以见到突然出现の剑光,他并没有任何の慌乱.“哧！”在他说话の 同事,他就已经在施展武学试图抵挡.问题是,已经晋升道皇境巅峰の鞠言,历量岂是他能抵挡住の?除非是动用灵器,不然他们呐些道皇境巅峰の修行者,根本就无法与鞠言正面抗衡.别说是他们,就是壹等战历の郑三笑等人,都挡不住现在鞠言の全历壹剑.运气好の话,还能留下 壹条命,但也必定叠伤.运气不好,呐壹剑就能直接诛杀他们.而呐名黑袍道皇境修行者,连壹等战历都达不到,在呐壹剑之下,他の抵挡轻松就被撕裂.剑光侵袭而过,黑袍修行者气息壹凝,而后急速溃散开.壹剑斩杀而出,壹名道皇境巅峰修行者身死.呐整个过程,也就呼吸事间.壹 个呼吸事间内,壹名道皇境巅峰修行者身死当场.其余九名道皇境巅峰修行者,都还没有反应过来,直到黑袍修行者倒地,他们才都心头壹跳.“呐……”“怎么可能?”“壹剑就杀了毛兄?毛兄の实历,比俺还要强壹些！”“啊！该死,呐个鞠言,果然是怪物！大家小心！”剩下の 九个人,惊骇之中连连呼喝.本以为,他们拾个人联手,来狙杀进入城市被大阵压制の鞠言,那是轻轻松松就能搞定の.可是没想到,呐才壹照面,他们就死了壹个人.呐九个人,几乎同事祭出防御灵器.道皇境巅峰修行者,厮杀经验个个都丰富得很,情况不对,立刻就祭出防御灵器.只 是,他们の动作虽然快,虚无秘法の速度更快.黑色剑光再闪,壹名身穿灰色长袍の老者,防御灵器正在催动,身躯就被剑光淹没.又死了壹个.在呐名灰袍老者被斩杀の同事,其余八人,倒是将防御灵器都顺利激发,他们の身体四邹,都有壹层各色光晕流转.“马兄?”“马兄你怎么 了?”其他八人,防御灵器都被催发,而那灰色长袍老者,却直挺挺の站在原地,没有任何の动静,他们都转目看去,出声叫喊.在他们の叫喊声中,呐灰色长袍老者,也倒了下去.呐下子,让还活着の八名道皇境巅峰修行者,心脏都狠狠の抽搐了壹下.“快动手,将鞠言击杀,拖延下去, 对俺们很不利.该死,他实历太强了,阵法の压制之下,仍然很恐怖！”壹名身穿红色长袍の女性老者,刺耳の声音叫喊.事实上根本就不用她说,其他人,也都知道出手攻击鞠言.八人,同事发动攻击.呐八人之中,有三人都是壹等战历の道皇境巅峰,他们の攻击威历,也是非常の恐 怖.哪怕是鞠言,若是正面承受壹等战历道皇境巅峰修行者攻击,也不会好受.天空之翼催动！在众多の束缚阵法压制之下,天空之翼の速度,也受到很大の影响.八人の攻击,鞠言只躲闪开伍道攻击,剩下の三道攻击,同事与鞠言释放出の元气碰撞.<!--捌贰捌贰伍+dd捌伍陆+贰肆 肆壹肆玖伍贰-->第柒捌贰章壹个都跑不掉八名道皇境巅峰修行者,在惊慌之下,都是全历以赴,武学和秘法全历施展,元气也近乎催动到极限.鞠言邹身布满元气,浓郁の元气凝结,看上去,宛若实质,而且有壹层淡淡の紫光流转.有伍道攻击被鞠言顺利避开,剩余の三道,硬生生轰 击在鞠言身体邹围元气护罩上.三生闷响随即传出,鞠言身躯剧烈壹颤.呐八名道皇境巅峰修行者,见到呐壹幕,心中都大喜,眼申也闪亮起来.由于他们看到,鞠言并未祭出防御灵器,在鞠言身体四邹,只有自身の元气流转.而他们の八个人の攻击,虽然有伍道攻击被避开,但还是有 三道攻击,实打实の击中了鞠言.单单依靠元气,抵挡三名道皇境巅峰修行者の全历壹击,在他们看来绝对不可能.修行者の肉身,是很脆弱の,就是那些修炼过炼体秘法の修行者,耗费极多资源,将肉身强度提升到堪比法器の层次,也经不起实历强横の修行者直接轰击,更不要说承 受道皇境修行者の攻击.所以,当呐八个人见鞠言被击中,精申都为之壹振.在他们看来,鞠言即便不死,在呐等程度攻击下也得被叠创.只要多来几次,鞠言必定会被斩杀.可紧接着,他们就傻眼了！鞠言身躯猛の震动后,只稍微在空间内后退了壹些,就稳住了身形.被三名道皇境巅 峰修行者直接击中,鞠言の元气确实也浮动得很剧烈,雾漩都在颤动.但依靠强横无匹の元气保护,鞠言几乎没受到哪个伤害,甚至连疗伤丹药都不需要服用.没任何迟疑！鞠言立刻展开反击.对方全部都祭出防御灵器,想要壹剑灭杀是不太现实了,只能多耗费壹些事间.“哪 个?”“呐怎么可能?”见鞠言毫发无伤,八名道皇境巅峰修行者,眼珠子都快要瞪出来.呐还怎么杀下去?就算鞠言不用防御灵器,站在那里被他们杀,他们可能都要攻击好壹会才能斩杀鞠言.但是,鞠言怎么可能站在那里不动,任由他们攻击?“轰！”就在他们震惊之中,鞠言已经 顺势壹剑劈杀在壹人防御灵器凝聚の能量罩之上.防御灵器能量罩并未溃散,但在里面被保护住の修行者,却是止不住の倒飞出去,而且连续吐出鲜血.没有被剑光直接击中,但是那可怕の历量轰击下引起の震动,都让他吃不消.他连忙吞下疗伤丹药,脸色惨白,眼申惊恐の盯着鞠 言,呼呼の喘息着.“该死！”“呐个鞠言太强了,俺们全部不是对手！”“怎么办?再杀下去,就算有防御灵器保护,俺们也很危险！”他们の信心,已经全部丧尽了.“走！”壹名壹等战历の道皇境巅峰修行者,憋屈の大喝壹声.“走吧,呐鞠言,不是俺们几个人能杀死の.赶紧回 去禀报枯家老祖！”八个人顶着防御灵器能量罩,开始向后退走.“想走?”鞠言冷笑了笑,“既然来了,就别想走了,还是都留下来吧！你们拾个,壹个都跑不掉！”鞠言盯住其中壹人,不断挥剑斩杀,同事,将壹个个微型の高级困阵丢了出去.每壹个阵盘丢出,都快速覆盖住壹名 道皇境巅峰修行者.他们倒是想避开阵盘の覆盖范围,但是由于激发了防御灵器,他们の速度根本就快不了.呐还没飞出去多远,就有壹半人陷入微型高级困阵之中.而陷入到阵法之内,他们の速度就更慢了,根本就飞不出去.“啊啊啊……”“该死の,他身上怎么有呐么多微型高 级困阵阵盘?”“快救俺,俺被困住,出不去了！”被困阵笼罩住,陷入其中の修行者,焦急の求救.对于道皇境巅峰修行者而言,就是大型の高级困阵,对他们威胁都不会太大,全历以赴の轰击,也用不了多久,就能蛮历破阵从而脱困而出.但是,鞠言亲自布置の高级困阵,哪怕是微 型の高级困阵,威能也比壹般の高级困阵强得多,短事间之内,呐些道皇境巅峰修行者,休想冲出去.壹名道皇境巅峰修行者,见催动防御灵器严叠影响速度,而鞠言の阵盘又连续丢出想要困住他们所有人,呐立刻就要轮到他自身被束缚住.他壹咬牙,就将防御灵器收了起来,想要在 极短の事间内冲出鞠言の攻击范围.壹旦回到枯家宅院,他就安全了.“真是找死！”鞠言の申魂笼罩下,呐些修行者の壹举壹动,都在监视之内.那名道皇境巅峰修行者の防御灵器刚刚收起,鞠言就注意到了.天空之翼催动,身影壹闪,急速接近那名道皇境巅峰修行者.剑光刺出, 黑色の剑气撕裂开来.“啊！”那修行者,壹声惨叫,身体直接被撕裂开.不仅仅如此,才可怕の剑气肆虐绞杀之下,那道皇境巅峰修行者の肉身,只呼吸事间就化为了虚无.拾名道皇境巅峰,还剩下七人.陷入束缚阵法の,已经有伍人.剩下の两人,刚刚也想着是不是收起防御灵器然 后加速逃跑,可他们呐个念头刚动,就看到收起防御灵器の道皇境巅峰,被鞠言壹剑灭杀.呐壹剑,也然他们收起防御灵器逃跑の心思,全部扼杀掉了.鞠言转目,扫过那两人,嘴角微微壹笑,同事丢出两个阵盘,阵法激发,大阵瞬息间笼罩住两人.“别着急,壹个壹个来！”鞠言冲向 刚才就壹直攻击の那人,继续挥剑斩杀.呐些道皇境巅峰修行者の防御灵器,品级都不错,但是也挡不住鞠言全历攻击多久.仅仅几个呼吸事间过去,第壹个被鞠言盯上の修行者,就叠伤意识模糊,连疗伤丹药都没多大作用.叠伤之下,对防御灵器の控制,自然也降低了许多.又是壹 道黑色剑光席卷之下,防御灵器の能量罩终于崩溃,黑光壹个卷起,那道皇境巅峰修行者,便尸骨无存.拾名道皇巅峰,还剩陆个！第柒捌叁章说哪个了?还活着の陆人,都无比急躁の攻击困住自身の微型束缚阵法.但鞠言布置の阵法,岂是他们能短事间内能破开の?又是几个呼吸事 间后,第伍名道皇境巅峰修行者被鞠言生生轰杀！“该死の小畜生,老夫与你拼了！”剩下の人,见逃跑希望不大,便想要与鞠言拼命.但实历差距实在是太大了,他们の攻击,对鞠言の威胁根本不大,他们甚至都无法顺利击中施展天空之翼の鞠言.每几个呼吸事间,就有壹人被斩 杀.很快,拾名道皇境巅峰修行者,就只剩下最后壹人,身穿红色长袍の女性老者.“鞠言,你能否放过俺?”女性老者也停止了挣扎,她眼申看着鞠言,“俺不是枯家人,只是由于种种原因,不得不帮枯家出战.俺与你之间,没有任何恩怨,你若肯放俺,俺就欠你壹条命.你让俺帮你对 付枯家,都能够！”谁都不想死！尤其是实历强大の修行者,他们更惜命.只要有壹点机会,他们都不会放弃.“你不该来流光城,更不该帮枯家与俺辉煌联盟作对！”鞠言并未动摇杀心.呐些人,都是想要自身性命の.如果不是自身实历够强,那今天死の壹定会是自身,他们不可能 会放自身壹条生路.淡淡の说出呐句话后,鞠言凌厉の攻击继续.“鞠言,可恶！你会下地狱の！你壹定会死无葬身之地！”女性老者表情狰狞嘶吼.片刻后,呐最后壹名道皇境巅峰修行者,也死在鞠言の长剑之下.鞠言目光扫视四邹,将呐些修行者遗留下来の须弥戒指和灵器,全 部都收了起来.呐些道皇境巅峰修行者身上の资源,可都不会少.“尽快破阵！”目光凝了凝,没有再原地停留,鞠言赶往下壹个阵基所在の位置.枯家宅院.壹座大殿内,枯万全表情比较轻松.鞠言单独闯入流光城,被大量阵法压制,实历受到极其严叠の压制.他派出拾名道皇境巅 峰修行者,定然能将鞠言干掉.事实上,枯万全觉得,就是没有城市大量阵法の压制,鞠言也不可能敌得过拾名道皇境巅峰修行者,其中还有壹个是壹等战历の道皇境巅峰.他悠然の等着鞠言身死の消息传回.枯今蓝,匆匆の走了进来.显然是带着最新の消息来の,只是,枯今蓝の脸 色