高等数学下第八章
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
高等数学第八章知识点总结
高等数学第八章知识点总结第八章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
本文将对数列和级数的基本概念、极限、收敛性以及常见的数列和级数进行总结和归纳。
1. 数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列可以有界，也可以无界。
数列的性质包括有界性、单调性和有界单调性。
1.1 有界性：如果存在一个正数M，对于数列的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么称数列是有界的。
1.2 单调性：如果对于数列的每一项a_n，都有a_n≤a_(n+1)（或a_n≥a_(n+1)），那么称数列是递增的（或递减的）。
1.3 有界单调性：如果数列既是递增的又是有界的，那么称数列是有界递增的；如果数列既是递减的又是有界的，那么称数列是有界递减的。
2. 数列的极限数列的极限是数列中的数值趋于无穷时的极限值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无限的。
2.1 数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|a_n-a|<ε，那么称数列{a_n}收敛于a。
反之，如果不存在这样的实数a，则称数列{a_n}发散。
2.2 数列的极限存在唯一性：如果数列{a_n}收敛于a，并且又收敛于b，那么a=b。
3. 数列的运算数列的运算包括数列的加法、数列的乘法和数列的数乘。
3.1 数列的加法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n + b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的和。
3.2 数列的乘法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n * b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的乘积。
3.3 数列的数乘：若{a_n}是一个数列，k是一个实数，定义数列{b_n} = {k * a_n}，则称{b_n}为{a_n}的数乘。
4. 级数的概念和性质级数是数列的和，级数的性质包括收敛性、发散性和级数的收敛域。
高数下册知识点
高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若 为常数：
若 、 为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi
高等数学(第八章)向量代数与空间解析几何(全)
若向量a = x1i y1 j z1k，b = x2i y2 j z2k，由数量积的运算性质得
a b = x1x2 y1 y2 z1z2.
设非零向量a = x1, y1, z1，b = x2, y2, z2，则
(1) | a | a a x12 y12 z12；
(2) cos a, b a b
2
向量代数与空间解析几何
空间直角坐标系
一、空间直角坐标系 空间两点间的距离
向量的概念---大小,方向,相等,向径,坐标等.
二、向量代数 向量的运算---加减,数乘,点乘,叉乘,混合积.
❖ 向量位置关系的刻画 ---平行,垂直,夹角. ❖ 向量的方向角、方向余弦.
平面的方程
三、空间的平面 两平面的位置关系
五、 向量的坐标
空间直角坐标系Oxyz 中，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位 向量，以此记作i，j，k，把它们称为基本单位向量或基向量.任一向量都可以 唯一地表示为i，j，k 数乘之积.
设M (x, y, z)是空间任意一点，记OM r，则r xi yj zk，我们把上式称为 向量r 的坐标分解式，xi，yj 和zk 称为向量r 沿3 个坐标轴方向的分向量，i，j，
d (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 .
11
二、 空间两点间的距离 例 1 在z轴上求与点A(3,5, 2)和B(4,1,5)等距离的点M .
解 由于所求的点M 在z 轴上，因此M 点的坐标可设为(0, 0, z)，又由于
MA MB ，
由空间两点间的距离公式，得
(3)结合律：(a) b = (a b) a (b)；
(4)a a = a 2 ； (5)a b = 0 a b； (6) | a b || a | | b | . 特别地，有
高等数学-第8章-空间解析几何与向量代数
-。
b与a的差b a．向量加法的性质〔运算律〕②结合律+的模一般地不等于a的模加b的模，而有a b a ba b+≤+，即三角形两边之和大于等于第三向量与数的乘法Array、向量的定义：向量a与数m的乘积是一个向量，它的模等于m a，方向与a相同〔假设反〔假设m<0〕。
、向量与数量乘法的性质(运算律)②分配律≠，则向量b平行于a得充分必要条件是：存在唯一实数λ，使b=λa。
a0在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量〔以后简称向量〕，即只考虑向量的大小和方向，而不管它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时〔例如，谈到某一质点的运动速度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量〕，可在一般原则下作特别处理。
上的射影。
投影向量的定义：AB 的始点A B ''就定义AB 在轴u 上的投影向量。
向量在轴上的投影：向量A B ''在轴AB 在轴u 上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1〔投影定理〕AB =cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。
性质2：Prj(12a a +)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质2可推广到有限个向量的情形。
性质3：Prj u λa =λPrj u a 。
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标：向量a 在坐标轴上的投影向量,,y z i a j a k 称为向量在坐标轴上的分向量。
向量a 在三条坐标轴上的投影,y z a a 叫做向量的坐标，记为：a ={,,x y a a 由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a a ，由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：a ={,x y a a ，{,,}x y zb b b b =利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y z z a b a b b a b +=+++{x a b a b -=-{,}x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
高等数学第八章课件.ppt
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
高等数学第八章知识点总结
高等数学第八章知识点总结1.常微分方程：常微分方程是指只涉及一个自变量的微分方程。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和二阶常微分方程两种。
2. 一阶常微分方程：一阶常微分方程的一般形式为dy/d某 =f(某,y)，其中f(某,y)是已知函数。
可以通过分离变量、变量代换和齐次方程等方法求解。
一阶线性常微分方程的一般形式为dy/d某 + P(某)y = Q(某)，可以用积分因子法求解。
3.二阶常微分方程：二阶常微分方程的一般形式为y''+P(某)y'+Q(某)y=f(某)，其中P(某)、Q(某)和f(某)是已知函数。
可以通过齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加得到二阶常微分方程的通解。
常见的二阶线性常微分方程有齐次线性方程、非齐次线性方程和欧拉方程。
4.偏微分方程：偏微分方程是指涉及多个自变量的微分方程。
偏微分方程的求解方法与常微分方程有所不同。
常见的分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程。
5. 二阶线性偏微分方程：二阶线性偏微分方程的一般形式为Au_某某 + 2Bu_某y + Cu_yy + Du_某 + Eu_y + Fu = 0，其中A、B、C、D、E和F为已知函数。
可以通过分离变量、变量代换和变系数法等方法求解。
6.泊松方程和拉普拉斯方程：泊松方程的一般形式为△u=f(某,y,z)，拉普拉斯方程是泊松方程的特例，即泊松方程中f(某,y,z)为零。
泊松方程和拉普拉斯方程在物理学中有广泛应用。
7.边值问题和初值问题：求解偏微分方程时，通常需要给出边界条件或初值条件。
边值问题是指在一定边界上给出方程的解，初值问题是指在某一初始时刻给出方程的解。
8.分离变量法和变量代换法：分离变量法将偏微分方程中的变量分离出来，变成常微分方程来求解；变量代换法通过适当的变量代换，将偏微分方程转化为常微分方程来求解。
总的来说，高等数学第八章主要讲述了常微分方程和偏微分方程的求解方法和应用，为后续学习微分方程的相关内容打下基础。
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一、单项选择题 1.设(,)f x y 是连续函数，则交换累次积分21 11 d (,)d xx f x y y -⎰⎰后,得到（ ）(A) 2 111d (,)d yy f x y x -⎰⎰； (B)10 d (,)d y f x y x ⎰⎰；(C) 11d (,)d y f x y x -⎰⎰； (D)1d (,)d y f x y x ⎰⎰.2.设(,)f x y 是连续函数，则交换累次积分 11 0 0d (,)d xx f x y y -⎰⎰后,得到（ ） (A) 11 0 0d (,)d yy f x y x -⎰⎰； (B) 110 0d (,)d y f x y x ⎰⎰；(C)110 0d (,)d y y f x y x -⎰⎰； (D)1d (,)d y y f x y x ⎰⎰.3.设(,)f x y 是连续函数，则交换累次积分 110 d (,)d xx f x y y ⎰⎰后,得到（ ） (A) 110 0d (,)d y f x y x ⎰⎰； (B)11d (,)d yy f x y x ⎰⎰；(C)11d (,)d yy f x y x ⎰⎰； (D)1d (,)d yy f x y x ⎰⎰.4.设(,)f x y 是连续函数，则交换累次积分 22d (,)d y y y f x y x ⎰⎰后,得到（ ） (A) 12 2 20 1d (,)d d (,)d xx xx f x y y x f x y y +⎰⎰⎰⎰； (B)22d (,)d xx f x y y ⎰⎰；(C) 12 0 2 12d (,)d d (,)d xxxx f x y y x f x y y +⎰⎰⎰⎰； (D)22 0d (,)d xxx f x y y ⎰⎰.5.设(,)f x y 是连续函数，则交换累次积分 22 0 d (,)d xxx f x y y ⎰⎰后,得到（ ） (A)24 2 0222d (,)d d (,)d y y y y f x y x y f x y x +⎰⎰⎰⎰； (B) 4 02d (,)d yy y f x y x ⎰⎰；(C)242 0222d (,)d d (,)d yy y y f x y x y f x y x +⎰⎰⎰⎰； (D) 4 22d (,)d y y f x y x ⎰⎰.6.设(,)f x y 是连续函数，则交换累次积分 1 0 d (,)d yy f x y x ⎰⎰后,得到（ ）(A) 2 111 d (,)d x x f x y y -⎰⎰； (B)2 1d (,)d x x x f x y y ⎰⎰；(C) 2 11d (,)d x xx f x y y -⎰⎰； (D)2 1d (,)d xxx f x y y ⎰⎰.7.设(,)f x y 是连续函数，则交换累次积分 1 1 0d (,)d xx f x y y -⎰⎰后,得到（ ） (A) 11 0 0d (,)d xy f x y x -⎰⎰； (B) 1 10 0d (,)d xy f x y x -⎰⎰；(C)11 0 0d (,)d yy f x y x -⎰⎰； (D)11 00d (,)d y f x y x ⎰⎰.8.{}22(,)|4D x y x y =+≤，则二重积分22)(d d Dy x x y +=⎰⎰（ ） (A) 2π； (B) 4π； (C) 8π； (D) 6π. 9.D 为圆环域2214x y ≤+≤,则d d Dx y =⎰⎰（ ） (A)π； (B)2π； (C)3π； (D)4π. 10.设(,)f x y 是连续函数，则交换累次积分220 0d (,)d x x f x y y ⎰⎰后,得到（ ）(A) 420d (,)d y f x y x ⎰； (B) 4 0 0d (,)d y f x y x ⎰⎰；(C)2 42d (,)d xy f x y x ⎰⎰； (D) 4 02d (,)d y f x y x ⎰⎰.11.设(,)f x y 是连续函数，则交换累次积分21 0 d (,)d xxx f x y y ⎰⎰后,得到（ ）(A)2 11d (,)d y y f x y x ⎰⎰； (B)1d (,)d yy f x y x ⎰⎰；(C) 1d (,)d yy f x y x ⎰； (D)1 0d (,)d y f x y x ⎰⎰.12.设(,)f x y 是连续函数，则交换积分 10 d (,)d yy f x y x ⎰⎰的积分次序后,得（ ） (A) 2 1d (,)d xxx f x y y ⎰⎰； (B)()21d ,d xx y f x y x ⎰⎰；(C)1d (,)d xx f x y y ⎰⎰； (D)21d (,)d x x f x y y ⎰⎰.13.设二重积分的积分区域D 是2214x y ≤+≤ ，则d d Dx y ⎰⎰ = （ ）(A) π (B) 4π (C) 3π (D) 15π 14.已知2d d DI y x x y =-⎰⎰，其中{(,)|11,01}=-≤≤≤≤D x y x y ，则=I （ ）(A) 112-1 0d ()d -⎰⎰y x y x ； (B)22 11122 -1-1d ()d d ()d -+-⎰⎰⎰⎰x xx y x y x x y y(C)112-1d ()d -⎰⎰x y x y ； (D) 22 11122 -1-1d ()d d ()d -+-⎰⎰⎰⎰x xx x y y x y x y .二、填空题1.设{(,)|03,01}D x y x y =≤≤≤≤,则22d Dx y σ⎰⎰=____________. 2.设22{(,)|1}=+≤D x y x y ,则22d x y Deσ--⎰⎰=____________.3.设22{(,)|2}D x y x y x =+≤,则d d Dx y ⎰⎰=____________.4.设22{(,)|4}D x y x y =+≤,则22(1)d Dx y σ--⎰⎰=____________.5.设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤,则26d D xy σ⎰⎰=____________ 6.设22{(,)|4}D x y x y =+≤, 则22d x y De σ+⎰⎰=____________.7.设}20,10),{(π≤≤≤≤=y x y x D , 则22sin d Dx y σ⎰⎰=____________.8.2d (3)d xy x e x y +⎰⎰=____________.9.设{(,)|12,01}D x y y x =≤≤≤≤,则d Dxyσ⎰⎰=____________. 10.设222{(,)|}D x y x y a =+≤,则22(+)d Dx y σ⎰⎰=____________. 11.设}20,10),{(π≤≤≤≤=y x y x D , 则sin d x De y σ⎰⎰=____________.12.d (sin 3)d xx y x y π+⎰⎰=___________.13.设{(,)|01,12}D x y x y =≤≤≤≤,则2d D xy σ⎰⎰=____________.14.设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤,则d x y De σ+⎰⎰=____________15.设1Id (,)d yy f x y x =⎰⎰，交换积分次序后 I =16.设 1I d (,)d yy f x y x =⎰⎰，交换积分次序后I = .17.设22{(,)|4}D x y x y =+≤,则22d x y De σ+⎰⎰=____________.18.设22{(,)|1}D x y x y =+≤，则22d x y De σ--=⎰⎰ .19.设{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤,则(2)d Dx y σ+⎰⎰=____________.20.设22{(,)|1}=+≤D x y x y ,则22()d Dx y σ+⎰⎰=____________. 21.设{(,)|03,02}D x y x y =≤≤≤≤,则2()d Dxy σ+⎰⎰=____________.22.设22{(,)|14}D x y x y =≤+≤,则Dσ=____________.23.二次积分d Rx y ⎰⎰=___________.24.设{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤,则23d Dx y σ⎰⎰=____________.25.交换二次积分() ln 1d ,d exx f x y y ⎰⎰的积分次序为____________.26.在圆形闭区域22:1D x y +≤下的二重积分22d x y De σ+=⎰⎰____________.27.设{(,)|01,01}=≤≤≤≤D x y x y ,则()d σ+⎰⎰Dx y =____________.28.积分2d y x ⎰⎰=____________.29.设{(,)|01,01}=≤≤≤≤D x y x y ,则2d Dx σ⎰⎰=____________. 30.积分1d x y ⎰⎰=____________.三、计算题 1.求(2)d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴和直线2x y +=所围成的闭区域.2.求(34)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴和直线1x y +=所围成的闭区域.3.求2()d d ,D y x x y -⎰⎰其中D 是由抛物线2y x=及直线1y =所围成的闭区域.4.求22()d Dx y σ+⎰⎰，其中D 表示圆环区域}21),{(22≤+≤y x y x . 5.求d Dxy σ⎰⎰，其中D 是直线 2 , 1x y ==及y x =所围成的闭区域.6.求22()d Dxy xy σ++⎰⎰，其中D 是由直线2,,2y y x y x ===所围成的闭区域.7.(34)d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴和直线2x y +=所围成的闭区域.8.求二重积分3d d Dx yex y -⎰⎰，D 是以(00)(11)(10)，，，，，为顶点的三角形区域。
9.计算二重积分2d d y Dex y -⎰⎰，D 是以(00)(11)(10)，，，，，为顶点的三角形区域.10.计算二重积分2d Dxy σ⎰⎰，其中D 是直线1y =，2x =及y x =所围成的闭区域.11.计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由2y x =和y x =所围成的闭区域. 12.计算二重积分2d ,Dxy σ⎰⎰其中区域D 是由直线,1y x y ==与2x =所围成的三角形区域.13.求()22d Dxy y σ+-⎰⎰，其中D 是由直线,2,2y x y x y ===所围的闭区域.14.2sin d σ⎰⎰Dy ，其中D 是由y 轴和直线,1==y x y 所围成的闭区域.15.cos d Dy σ⎰⎰，其中D 是由直线,,0y x y x π===所围成的闭区域.。