基于Mandelbrot集的Julia集分形图案设计
分形之Julia集及其算法实现
如果 ，则在复Z平面上迭代结果 ；那么，零是 的吸引子。复平面上所有与该吸引子相距小于1的点，都产生趋向吸引子的序列。
如果 ，则在复Z平面上迭代结果 ；那么，无穷是 的吸引子。复平面上所有与零点的距离超过1的点，都产生趋向无穷的序列。
如果 ，则 ；那么，产生的序列总出现在上面两个吸引区域之间的边界上。此时，边界恰为复平面上的单位圆周 ，就是Julia集。
pDC->SetPixel(m,n,m_pColor);
wx=x-cx;
wy=y-cy;
if(wx>0)
theta=atan(wy/wx);
if(wx<0)
theta=PI+atan(wy/wx);
if(wx==0)
theta=PI/2;
theta=theta/2;
r=sqrt(wx*wx+wy*wy);
//TODO: add draw code for native data here
float k;
for(i=0;i<32000;i++)
{
m=(int)(2000/15*x+3500/15);
n=(int)(2000/15*y+3000/15);
if(i>10)
//CClientDC pDC(this);
k=0;
loop1:
xk=x0*x0-y0*y0+p;
yk=2*x0*y0+q;
k=k+1;
r=xk*xk+yk*yk;
x0=xk;
y0=yk;
if(r>m)
{
H=k;
基于超越函数的广义Mandelbrot和Julia分形图
Ｘｎ＋ｌ 一 ＋ ６ｘ； ＂
（） １
其 中 ， ∈Ｃ，ＥＣ， ｚ和 Ｃ按 实部 和虚 部展 开 ， ｚ ｃ 将
＋ ２ ＋ １ ｚ，
・
，＾、
ｚ Ｊ
Ｎｉ
收 稿 日期 ：２ ￣ ．３１ ０１ ０ ．３ １ 基盘硬 目：教育部博士学辩点学科专项科研基金资助项 目（０ ０ １５ ２ ； ２ ０ ０４ １） 国家 自然科学 基金赍助项 且（９ ７０ ８ ． ６ ８ ４ ３ ）
作者简介 周福 才（９４ 。 ， １６ 一）男 吉林长春＾ ， 大学 副教授 。 东北 博士研究生 ； 朱伟勇（９８ ， ， １３ 一）男 江苏无锝＾ ． 东北大学教授 ， 博士
在式 （） ， 已知初始 值 ｚ ， 着参 数 ｃ的 １中 若 ０随 变 化 ， 而 生 成 一 系 列 的 由 迭 代 点 构 成 的 集 合 从
越来越 多地 受到人 们 的重 视 ． 分形 的模 拟 与 计 算 机构 造 ， 随着 计 算机科 学的发展 ， 显示 出它 的 巨 也
ｔ ｝产生的ｔ 序列有以下两种情况 ． ， ｚ｝
① 朝着无 穷大 的方 向扩 展 ， 即发散 ． ② 被 限制在复平 面 的一个 有限 区域 ． 通常 以最大 的迭 代 次数 Ｎ 和 收 敛 半径 Ｒ 作 为判断 准则 ， 如果 在未达到最 大迭 代次 数之前 ， 产
大意义 ， 复杂、 优美的分形图不仅仅为人们提供 了 艺 术灵感 ， 还被 用来模 拟 、 释许 多领域 中出现 的 解 复杂 现 象 Ｌ ４． 对 Ｍａｄｌｍｔ 和 Ｊ ｌ． 的 １ ］在 － ｎｅ ． ｂ 集 ｕｉ集 ａ
绝美的分形图案麦田圈？——？Mandelbrot？集合
绝美的分形图案麦田圈？——？Mandelbrot？集合绝美的分形图案麦田圈—— Mandelbrot 集合(2009-06-11 19:10:27)转载▼标签：麦田圈分形数学分类：麦田圈解析揭秘杂谈mandelbrot解密很多人都能认出上面的图形，这就是著名的分形图形——Mandelbrot集合，这个图形最早由Mandelbrot（法国数学家及分形理论家）发现，作为解释混沌理论的数学模型，是数学领域最复杂的概念之一。
分形是电脑产生的图形，同样的基本图样重复出现，且图样的尺寸无止境的不断缩小。
它的几何学概念可以理解为：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义的相似性。
从哲学角度，分形表现出的是复杂与简单的统一。
分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种可能性。
它最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。
其实简单并不简单，它蕴含着复杂。
分形几何中的迭代法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子。
分形高度复杂，又特别简单。
无穷精致的细节和独特的数学特征（没有两个分形是一样的）是分形的复杂性一面。
连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复制及迭代操作生成，又是分形简单的一面。
下面我们来欣赏一组美妙绝伦的Mandelbrot集合分形图案，每一幅下面图片都是上面图片的局部放大：（注：以上图片由网友Matrix67提供，特此感谢。
）1991年8月，麦田圈制造者不满足于只被少数超自然现象研究者关注，决定把主流科学界的学者也拉进圈里来，方法就是给科学社群的重镇——剑桥大学附近送一个完美的且复杂的Mandelbrot集合图形麦田圈，或者另一个用意是为了纪念曾经在这里教过书的Mandelbrot吧？！负责确定该麦田圈精度的当地的农业经济及生物学家Wombwell 仔细研究图样后表示：“麦田圈实在是太精确了，每个圈都很完美，所有麦子都按照一定方向摊平，心形图形的底部缩成只有一根麦秆。
Mandelbrot集和Julia集的分形图之matlab实现
Mandelbrot集和Julia集的分形图之matlab实现基于逃逸时间算法1. Mandelbrot集function Mandelbrot(res,iter,xc,yc,xoom) %Mandelbrot% 党$是目标分辨率，iter是循环次数，(xc,yc)是图像中心，xoom是放大倍数x0=xc-2/xoom;x1=xc+2/xoom;y0=yc-2/xoom;y1=yc+2/xoom;x=linspace(x0,x1,res);y=linspace(y0,y1,res);[xx,yy]=meshgrid(x,y);z=xx+yy*1i;C=z;N=zeros(res,res); %初始化N，最终根据N，对各点进行染色tic %显示tic和toc间的程序运行时间for k=1:iterz = zJ2+C; %对空间上每点都进行迭代N(abs(z)>4)=k; %逃逸半径为4,诺某点逃逸，记录逃逸时间k,未逃逸则时间为0 z(abs(z)>4)=0;C(abs(z)>4)=0;endimshow(N,[]);toc end>>Mandelbrot(512,100,0,0,1)>>Mandelbrot(512,128,-1.478,0,300)2.Julia 集function Julia(c,res,iter,xc,yc,xoom)%Julia>%。
为参数，皿$是目标分辨率，iter是循环次数，(xc,yc)是图像中心，xoom是放大倍数x0=xc-2/xoom;x1=xc+2/xoom;y0=yc-2/xoom;y1=yc+2/xoom;x=linspace(x0,x1,res);y=linspace(y0,y1,res);[xx,yy]=meshgrid(x,y);z=xx+yy*1i;N=zeros(res,res);C=c*ones(res,res); for k=1:iter z=z.A2+C;N(abs(z)>2)=k;C(abs(z)>2)=0;z(abs(z)>2)=0; endcolormap jet ; image(x,y,N); axis square ; end上面两张图很好的反映分形的自相似性，右图是左图关于原点放大2000倍的情况。
计算机图形学--分形图的生成算法的实现
实验六：分形图的生成算法的实现班级08信计2班学号063 姓名李宁分数一、实验目的与要求：1、了解WIN-TC1.72等编程环境中常用控件命令与绘图函数，初步掌握在实验设计集成环境下进行图形处理程序的设计方法。
2、熟练掌握分形图的算法：分形学- Mandelbrot Set (曼德布洛特集)，分形学-Julia Set (茱莉亚集)。
For personal use only in study and research; not for commercial use二、实验内容：1、在WIN-TC1.72环境中设计程序，利用消息处理函数，搭建能运行图形算法程序的平台。
2、根据教材中给定的算法，实现分形图生成算法：分形学- Mandelbrot Set (曼德布洛特集)，分形学- Julia Set (茱莉亚集)For personal use only in study and research; not for commercial use三、实验结果分析：1、实验程序分形学- Mandelbrot Set (曼德布洛特集)程序实现的完整源程序For personal use only in study and research; not for commercial use#include <graphics.h>#include <conio.h>For personal use only in study and research; not for commercial use/////////////////////////////////////////////////// 定义复数及乘、加运算/////////////////////////////////////////////////For personal use only in study and research; not for commercial use// 定义复数struct COMPLEX{double re;double im;};// 定义复数“乘”运算COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b) {COMPLEX c;c.re = a.re * b.re - a.im * b.im;c.im = a.im * b.re + a.re * b.im;return c;}// 定义复数“加”运算COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b) {COMPLEX c;c.re = a.re + b.re;c.im = a.im + b.im;return c;}/////////////////////////////////////////////////// 主函数/////////////////////////////////////////////////void main(){// 初始化绘图窗口initgraph(640, 480);/////////////////////////////////////////////////// 绘制Mandelbrot Set (曼德布洛特集)/////////////////////////////////////////////////COMPLEX z, c;int x, y, k; // 定义循环变量for(x = 0; x < 640; x++){c.re = -2.1 + (1.1 - -2.1) * (x / 640.0);for(y = 0; y < 480; y++){c.im = -1.2 + (1.2 - -1.2) * (y / 480.0);z.re = z.im = 0;for(k = 0; k < 180; k++){if ( z.re * z.re + z.im * z.im > 4.0 ) break;z = z * z + c;}putpixel(x, y, (k >= 180) ? 0 : HSLtoRGB((float)((k << 5) % 360), 1.0, 0.5));}}// 按任意键退出getch();closegraph();}分形学- Julia Set (茱莉亚集)#include <graphics.h>#include <conio.h>/////////////////////////////////////////////////// 定义复数及乘、加运算/////////////////////////////////////////////////// 定义复数struct COMPLEX{double re;double im;};// 定义复数“乘”运算COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re * b.re - a.im * b.im;c.im = a.im * b.re + a.re * b.im;return c;}// 定义复数“加”运算COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re + b.re;c.im = a.im + b.im;return c;}/////////////////////////////////////////////////// 主函数/////////////////////////////////////////////////void main(){// 初始化绘图窗口initgraph(640, 480);/////////////////////////////////////////////////// 绘制Julia Set (茱莉亚集)/////////////////////////////////////////////////COMPLEX z, c;c.re = -0.75, c.im = 0; // 设置迭代初值int x, y, k; // 定义循环变量for(x = 0; x < 640; x++){for(y = 0; y < 480; y++){z.re = -1.6 + 3.2 * (x / 640.0);z.im = -1.2 + 2.4 * (y / 480.0);for(k = 0; k < 180; k++){if ( z.re * z.re + z.im * z.im > 4.0 ) break;z = z * z + c;}putpixel(x, y, (k >= 180) ? 0 : HSLtoRGB((float)((k << 5) % 360), 1.0, 0.5));}}// 按任意键退出getch();closegraph();}2、实验结果分形学- Mandelbrot Set (曼德布洛特集)分形学- Julia Set (茱莉亚集)四、实验结果分析该实验是分形学- Mandelbrot Set (曼德布洛特集)，分形学- Julia Set (茱莉亚集)的基本函数，设计该图像的程序。
分形艺术作品欣赏
（图11）
分形的创始人
——伯诺瓦•曼德布罗特
• 我从拉丁文形容词 fractus（分裂的）造出 了 fractal（分形）这个词。相应的拉丁文 动词fragere 的意义是“使碎裂”：造成不 规则的碎片。……多么符合我们的需要啊！ 这样，除了“分裂的”（像在“分数”或 “折射”中那样），fracus 还应该有“不 规则的”之意，这两个意义都继承保留了 下来。
另一方面，使科学家们惊讶并欢迎的是，分形 几何为研究自然界中形形色色的复杂形状和结 构提供了十分简洁的工具，因而在天文、地学、 物理、化学、生物、医学、材料乃至语言学、 经济学等领域得到了十分广泛的应用。
从80年代中期开始，分形“热”了，成了科 学界叫得最响的名词，吸引了几乎所有领域科 学家和社会工作者的注意。有关分形出版了上 百部专著，在国际期刊上发表了几千篇专业论 文
（1977年）． （6）英文版《大自然的几何学》出版（1982年） 。
• 美国物理学家约翰·惠勒（J.A.Wheeler） 说：“在过去，一个人如果不懂得‘熵’， 就不能说是科学上有教养；在将来，一个 人如果不熟悉分形，他就不能被认为是科 学上的文化人。”
分形艺术作品欣赏
数学家的模式，就像画家与诗人的一样，必须是 美的，数学概念同油彩或语言文字一样，必须非常 协调。美是第一性的，丑陋的数学在数学上不会有 永久的位置。 ——G.H.哈代
• 前面介绍的科赫雪花曲线: 若把初始元(或生 成元)E0“——”改为边长为1的等边三角形， 对它的三边都反复施以同样的变换，直至 无穷，最后所得图形称为科赫雪花曲线 （图10）. 它被用作晶莹剔透的雪花模型.
（图10）
在科赫曲线构造过程的每一步， 每次去掉中间 的1/3，用边长为初 始元E0 的1/3等边三角形的两边来 代替时，如果用掷硬币的方法来决 定新添上的部分位于被去掉部分的 “上边”或“下边”，经过几步后， 会得到一个看起来相当不规则的随 机科赫曲线，用它来模拟海岸线、
基于Mandelbrot集的Julia集分形图案设计
基于Mandelbrot集的Julia集分形图案设计摘要：julia集是分形理论中具有重要地位的集合，主要阐述通过非解析映射的mandelbrot集参数c与相应的充满julia集图形结构的对应关系进行julia集分形图的生成方法，解决了构造julia 集时参数选择的盲目性问题。
关键词：分形；mandelbrot集；julia集中图分类号：tp391.41文献标识码：a文章编号：16727800（2011）012015402基金项目：辽宁省自然科学基金（20082007），辽宁省教育厅基金（l2010448）作者简介：董洁(1969-)，女，广东云浮人，硕士，沈阳建筑大学信息与控制工程学院副教授，研究方向为非线性系统图形化、企业信息系统设计；冯毅宏（1972-），女，辽宁沈阳人，沈阳建筑大学信息与控制工程学院讲师，研究方向为非线性动力系统图形化。
0引言分形理论是20世纪末人类在自然科学领域中取得的重大突破，美国数学家mandelbrot在1975年创立了分形几何，并且科学家们将计算机技术有效地应用于了这一领域，从而为研究和描述这些复杂曲线和图案提供了强有力的工具，并迅速地渗透到计算机科学等相关领域。
在分形几何中，许多重要的分形是由迭代产生的，简单的迭代能够产生出精致复杂而又色彩斑斓的分型图案，mandelbrot集和julia集就是其中常见的两种，并被广泛地应用于纺织印染、广告设计、服装设计、装潢设计以及计算机美术教学等领域。
1构造mandelbrot集通常mandelbrot集（简称m集）指的是二次映射f(z)=z2+c的mandelbrot集，是使临界点(使f’(z)=0的点z，称为f(z)临界点)具有有界轨道的参数c的集合。
临界点z=0在二次复迭代f(z)=z2+c 的mandelbrot集的研究中，起了关健性的作用。
若将指数推广到高次，即复映射f(z)=zm+c，在平面内不是解析函数，可写成如下迭代形式：zn+1=zmn+c其中，zn为第n次迭代后的复数x+yi，c为复数：c=c1+ic2令zn+1=xn+1+iyn+1，zn=xn+iyn，c=c1+ic2。
分形图形中的茹利亚(julia)集
分形图形中茹利亚集（2013-7-17）牛顿分形：在区域[ –2，2]2内确定40000个规则点（初值点），横坐标为实部，纵坐标为虚部，构造40000个复数。
分别以这些复数做迭代初始值，用牛顿迭代法求解方程：。
将收敛到三个根的初值点分别做三种色，称为牛顿分形图；将不收敛的初值点的集合称为Julia 集。
013=−z图1牛顿迭代法收敛域 图2 牛顿迭代法不收敛域在计算过程中使用向量化编程，将这40000个复数做为200阶的复方阵进行数据块迭代。
MATLAB 程序如下(文件名:newtonlab3)r1=1;r2=-(1+i*sqrt(3))/2;r3=conj(r2); %给出方程z 3– 1 = 0的三个根t=linspace(-2,2,200);[x,y]=meshgrid(t); %确定40000个网格点坐标Z=x+i*y;A0=ones(size(x)); %设置迭代初值及不收敛域矩阵A1=zeros(size(x));A2=A1;A3=A1; %设置收敛域矩阵for n=1:8Z=Z-(Z.^3-1)./(3*Z.^2+eps); %实现牛顿迭代endII=find(abs(Z-r1)<=.05);A1(II)=ones(size(Z(II))); %给第一收敛域矩阵赋值 II=find(abs(Z-r2)<=.05);A2(II)=ones(size(Z(II))); %给第二收敛域矩阵赋值 II=find(abs(Z-r3)<=.05);A3(II)=ones(size(Z(II))); %给第三收敛域矩阵赋值 A0=A0-A1-A2-A3;A=A0+2*A1+3*A2+4*A3; %给不收敛域矩阵赋值 figure(1),pcolor(x,y,A0),shading interp %绘Julia 图figure(2),pcolor(x,y,A),shading interp %绘收敛域图另两个图形是与混沌相关的分形图，一是Julia 图，二是Mandelbrot 图图3 Julia 图 图4 Mandelbrot 图 Julia 图的出现是为了研究计算格式的迭代行为，其中，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
研 究 Ｍａ ｄ ｌｒｔ ｎ ｅ ｏ 集分 形 图 的混 沌 轨道 提 供 了 可能 。 ｂ
的 工具 ， 迅 速地 渗 透 到 计 算 机 科 学 等 相 关 领 域 。在 分 形 并 几 何 中 ， 多 重要 的 分 形 是 由 迭 代 产 生 的 ， 单 的 迭 代 能 许 简
够 产 生 出精 致 复 杂 而 又 色 彩 斑 斓 的 分 型 图 案 ，Ｍａ ｄ ｌ ｎ ｅ－ ｂｏ 集 和 Ｊ ｌ ｒｔ ｕｉ 就 是 其 中 常 见 的 两 种 ， 被 广 泛 地 应 用 ａ集 并
０ 引 言
分形理论是 ２ Ｏ世 纪末 人类 在 自然 科 学 领 域 中取 得 的
重 大 突破 ， 国数 学 家 Ｍａ ｄ ｌｒｔ １ ７ 美 ｎ ｅｂ ｏ 在 ９ ５年 创 立 了分 形
较 多 次 的迭 代 到 了无 穷 附 近 。如果 在 计算 机 屏 幕 上将 迭 代
区域 内各 种 不 同点 用 不 同颜 色 表示 出来 就得 到 一 个分 形 图
合 为 Ｊ ｌ 集 ， 同 的复 数 Ｃ 应着 不 同 的 Ｊ ｌ 集 。 ｕｉ ａ 不 对 ｕｉ ａ 复解 析 映 射 － ） ｚ ４ Ｃ Ｍ 集 图像 具 有 ｍ一 １ 厂 一 （ － 的 旋
转对 称 特 性 ， 具 有 旋 转对 称性 质 的参 数 相 应 的 动 力 系 统 与
之 间 的动 力 学 特 性 保 持 旋 转对 称 特 性 ， 此 ， Ｍ 集 的 一 因 在 个 对 称 参 数 区 间上 挑 选 参 数 就 可 以 构 造 出与 该 映 射 相 应
的所 有 不 同动 力 系 统 的充 满 Ｊ ｌ ｕｉ 图案 。这 些充 满 Ｊ ｌ ａ集 ｕｉ ａ
其 中 ， 为 第 次 迭 代后 的 复数 ４ｙ ， ｚ － ｉＣ为 复 数 ：＝ ｃ
４－ｉ ２ ｃ １
集图案 的图形 结构与参数取 自 Ｍ 集 的确切位 置有 关 ， 而
Ｍ 集 上 的 所 有 参 数都 有 序 地 排 列 在 各 种 貌 似 自相 似 的 芽
第 １ Ｒ 第 １期 ０ ２
２ １ １月 ０ｌ年 ２
软 件 导 刊
Ｓ ｔ ａ ｅＧｕｉ ｏｆｗ ｒ ｄｅ
ＶＯ ． ＯＮＯ １ １１ ２
Ｄｅ ． Ｏ１ ｃ２ １
基 于 Ｍａ ｄ ｔ 的 Ｊ 集 分 形 图案 设 计 ｅ ｒ 集 ｎ ｌｏ ｂ ｌ ｕ ｉ ａ
董 洁 ， 毅 宏 冯
（ 阳建筑 大学 信 息与控制 工程 学 院 ， 宁 沈 阳 １ ０ ６ ） 沈 辽 １ １ ８
摘 要 ：ｕｉ Ｊｌ ａ集是 分形理论 中具有重要地位的集合 ， 主要 阐述通过 非解析 映射 的 Ｍａｄ ｌｒｔ ｎ ｅ ｏ 集参数 Ｃ与相应的充满 ｂ
Ｊｌ ｕｉ 图 形 结 构 的 对应 关 系进 行 Ｊ ｌ 分 形 图 的 生 成 方 法 ， 决 了构 造 Ｊｌ ａ集 ｕｉ ａ集 解 ｕｉ 时参 数 选 择 的盲 目性 问题 。 ａ集
， 即 ： 一 ａＦ， ， Ｊ， 。
即 ， 于将 复 映 射 －（ ） ｚ ４ ｃ 此 时 Ｃ为 常 数 ： —ｃ 对 厂ｚ ＝ ， － Ｃ ＋ 在 动力 平 面上 的一 点 进 行 迭 代 ， 足 够 多 次 迭 代 ｃ， 经 后 函数 值 不 发 散 ， 。的前 向轨 道 ｚ ， … ， 点 组 成 的 集 ｚ，
２ Ｍａ ｄ ｌｒ ｔ 与 Ｊ ｌ ｎｅ ｏ 集 ｂ ｕｉ 分 形 图 ａ集
２ １ Ｍａ ｄ ｌｒｔ 和 Ｊ ｌ ． ｎｅ ｏ集 ｂ ｕｉ 的 关 系 ａ集
Ｊｌ ｕｉ 定 义 如 下 ： ．： ａ集 设 厂 ｅ— ｅ是 阶 数 大 于 １的 多 项 式 ， Ｃ中那 些 轨 道 不 趋 于 无 穷 点 的点 的 集 合 ， ： Ｆ表 即 Ｊ Ｆ
像 ， 就是 逃 逸 时 间算 法 的基 本 思 想 。我 们 对 不 同 的 逃 逸 这
时 间着 上不 同的颜 色 ， 形成 不 同层次 的逃逸 区 ， 为更 深 入 地
几何 ， 且 科 学 家 们 将 计 算 机 技 术 有 效 地 应用 于 了这 一 领 并 域 ， 而 为研 究 和描 述 这 些 复 杂 曲线 和 图 案 提供 了强 有 力 从
关键词 ： 分形 ； ｎ ｅ ｒｔ ；ｕｉ Ｍａ ｄｌ ｏ 集 Ｊｌ ｂ ａ集
中 图分 类 号 ： ３ １ ４ ＴＰ ９ ． １
文献标识码 ： Ａ
文 章 编 号 ：６ ２７ ０ （ ０ １ ０ ２０ ５ —２ １ ７ —８ ０ ２ １ ） １ —１ ４０ 代 也 不会 超 出一定 的范 围 ， 另 一 些 点 的轨 迹 经 过 较 少 或 而
一
于纺织印染 、 广告 设 计 、 装 设 计 、 潢 设 计 以及 计算 机 美 服 装 术 教 学 等 领域 。
｛ ∈Ｃ： ｌ （ ） 是 有 界 的 ｝ 称 此 集 为 对 应 于 ｆ的 ｛ ＿ ）１ ｝ 厂 ，
充满的 Ｊｌ ｕｉ ， ａ集 Ｆ，的边 界 称 为 多 项 式 厂的 Ｊ ｌ ｕｉ ａ集 ， 为 汜
ｌ 构 造 Ｍａ ｄ ｌｒｔ ｎ ｅｂ ｏ 集
通 常 Ｍａ ｄ ｌｒ ｔ （ 称 Ｍ 集 ） 的 是 二 次 映 射 厂 ｎ ｅｂ ｏ 集 简 指 （） ２ 一 。 ＋Ｃ的 Ｍａ ｄ ｌｒｔ ， 使 临 界 点 （ ＿ ） ｎ ｅｂｏ 集 是 使 尸（ 一０的 点 ｚ 称 为 ＿ ） 界 点 ） 有 有 界 轨 道 的参 数 Ｃ 的 集 合 。 ， 厂 临 （ 具 临界 点 一０在二 次 复迭 代 ，（ ） ｚ 一ｚ ＋Ｃ的 Ｍａ ｄ ｌｒ ｔ ｎ ｅｂｏ 集 的研 究中 ， 了关 健 性 的作 用 。 起 若 将 指 数 推 广 到 高 次 ， 复 映 射 ，（ ） ｚ 即 ｚ 一 ＋Ｃ 在 平 ， 面 内不 是 解 析 函数 ， 写 成 如 下 迭 代形 式 ： ＋ １ 可 ：ｚ ＋Ｃ