具视觉美学形态的Mandelbrot集合分形图案

具视觉美学形态的Mandelbrot集合分形图案作者：蔡宗文林建德温国勋来源：《海峡科学》2012年第08期[摘要] 分形图案具有极高的视觉美学形态。

该文介绍了Mandelbrot集合分形图案的生成方法，根据复数平面逃逸时间算法生成分形图案，程序设计以Visual Basic 2008程序语言及开发整合环境为发展工具，建立一个具有图案信息显示的工作系统。

应用所发展的程序，分析不同幕次Mandelbrot集合所生成分形图案的形态，并据此提出色差控制与大色差控制两种分形图案的色差控制方法，产生具有极高视觉美学形态的分形图案。

[关键词] 分形图案 Mandelbrot集合视觉美学0 引言分形几何（Fractal Geometry）起源于19世纪，一些著名数学家对连续不可微曲线进行了研究，发现了存在一类结构及形态，与传统几何曲线有所不同的“病态”曲线，诸如Cantor集合、Koch曲线、Peano曲线及Sierpinski集合[1, 2]。

到了20世纪70年代，Mandelbrot[1,2]透过对复数平面(Complex Plane)的一个简单函数的迭代研究，得到了令人赞叹的复杂平面图案，称为Mandelbrot集合。

该图案集合的边界具有复杂而精细的结构，在电脑的计算精度容许下，对其边界进行任意放大时，可以得到的局部图案与整体图案具有自相似性（Self-Similar），亦即分形集合（Fractal Sets）的自相似性结构[1,2]。

1982年，Mandelbrot在其著作《自然界中的分形几何》中，将这类数学问题称为分形几何，而这些分形几何集合则称为分形艺术图案或分形图案（Fractal Art Pattern or Fractal Pattern）[1-6]。

分形艺术图案在装饰艺术设计、广告设计、服装设计、陶瓷设计等设计领域中已有部份应用[7-14]。

应用分形几何理论于艺术图案与纺织纹样设计，可以得到一些具有特殊的线条、图案与色彩的分形艺术图案。

1 复数平面上的Mandelbrot集合在众多的分形模型中，复数平面分形系统所生成的分形图案具有令人心动的视觉美学形态。

图1为由Mandelbrot集合进行迭代计算后所产生的图案，图案的形态表现出无限细分、重复对称与自相似的分形性质，具有极高的视觉美学形态。

图1 Mandelbrot集合分形图案1.1 二次Mandelbrot集合Mandelbrot集合的二次复数函数的数学表达式为，变量与都是复数形式，分别为与。

其迭代过程写成，其中，为第次迭代后的复数值；为定常复数，即及，整理后可得及。

Mandelbrot集合中，复数的值是控制复数函数在复数平面上迭代值，亦即在平面上以点为函数的搜寻迭代点序列。

因此，Mandelbrot集合的生成，是在迭代过程中给定初值后，在复数平面上依复数的实部与虚部相对应取值，范围分别为：（实部）及（虚部）；再由及得到。

Mandelbrot集合的迭代过程实际上是观察在复数平面上，定常复数的对应原点（初值）是否会远离原点与远离原点的速度，可以用迭代点与原点的模（距离）表示，即。

反复上述过程，可以得到一系列数集合，称为Mandelbrot集合。

以上说明了Mandelbrot集合的数集合产生过程，以不同的定常复数进行迭代时，迭代点序列可能发生两种情况：(1) 迭代点序列自由地朝向无穷远的方向发散；(2) 迭代点序列收敛到复数平面上一定的区域内。

将这些数集合以电脑绘图案式显示，并以不同的色彩对应不同类型数集合的点，则可以得到Mandelbrot集合图案，称为逃逸时间演算法（Escape Time Algorithm）。

1.2 高次Mandelbrot集合对于高次（如三、四至次）复数函数的Mandelbrot集合可表示如下：三次Mandelbrot集合为，则在Mandelbrot集合的逃逸时间演算法中迭代式分别为及。

四次Mandelbrot集合为，则在Mandelbrot集合的逃逸时间演算法中迭代式分别为及。

次Mandelbrot集合为，即。

显然，此式是一种复数的迭代乘积，可以用一迭代演算法取代。

2 Mandelbrot集合分形图案生成的程序设计根据上述Mandelbrot集合的迭代过程，本文发展Mandelbrot集合的逃逸时间算法的视窗程序。

程序设计以Visual Basic 2008程序语言及开发整合环境为发展工具，建立一个具有图案信息显示的工作系统。

图2所示为视窗程序的Mandelbrot集合分形图案生成环境，设置集合控制参数的输入项目及三个按钮项目：(1)色差绘图；(2)大色差绘图；(3)结束程序。

图2 Mandelbrot集合分形图案生成程序界面在色彩控制上采用色差控制和大色差控制两种方法。

色彩控制实际上是依据逃逸时间算法的基本原理，由逃逸时间算法的结果决定绘图点的色彩。

若以 , 及分别表示电脑色彩中的红、绿及蓝三主色彩的值（0～255），则 , 及将是逃逸时间算法的最终迭代次数的函数；当不同时，绘图点的色彩也不相同。

本文提出色差控制方法，将不同逃逸时间的绘图点进行色彩差异增大。

以 , 及分别表示电脑色彩中的红、绿及蓝三主色彩的色差控制参数，则 , 及的色差控制分别为 , ，。

大色差控制方法以 , 及分别表示电脑色彩中的红、绿及蓝三主色彩的色差控制参数，则 , 及的大色差控制分别为 , ，。

图3所示为在大色差控制方法调节时，当 , 及时所产生的Mandelbrot集合分形图案，明显地，发散区域中不同的逃逸时间的绘图点显示出清晰的不同色彩层次，具有极高的视觉美学形态。

图3 大色差控制方法调节Mandelbrot集合分形图案生成程序界面表1为复数平面上不同幂次的Mandelbrot集合的分形图案生成，分别以色差控制与大色差控制进行图案生成。

由表1可知，不同幂次Mandelbrot集合所生的分形图案明显具有不同的构造，幂次数目与图案的对称角成正比，具有极高的视觉美学形态。

3 结论自相似性是分形理论的重要特征，分形图案的生成就是因为具有自相似性的特征，而分形图案的自相似性就是指图案的局部与整体间，具有规则的几何相似性，或者是不规则的统计自相似性，图案的局部中有其局部，整体与局部间结构不断重复与相似，在视觉表现上成为了无限精细的结构。

因此，分形图案产生强烈的视觉艺术性，特别是经由Mandelbrot集合所生成的分形图案，形成一种新颖的艺术风格，又与传统艺术风格一样具有和谐与对称的美学特征，其对称更是在传统艺术仅有的上、下、左、右及中心对称之外，揭示另一种相似性的对称表现。

本文结果说明了分形图案不但具有艺术美学性质，其自相似的视觉特征与表现，可以作为实际图案设计的应用。

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