最新精编高中人教A版选修2-2高中数学章末测试第三章数系的扩充与复数的引入a和答案
人教A版数学高二选修2-2 第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试
（2）设 在复平面上的对应点分别为 ，求 的面积．
解：（1）设 ，则 ，
由题意得 且 ，
解得 或 ，
因此 或 ．
（2）当 时， ， ，
所以得 ，
所以 ．
当 时， ， ，
所以得 ，
所以 ．
15．设 为虚数，求证： 为纯虚数的充要条件是： ．
证明： 为虚数， ，
则 为纯虚数
．
高中新课标数学选修（2-2）
Ａ．实数
Ｂ．纯虚数
Ｃ．是虚数但不一定是纯虚数
Ｄ．可以是虚数也可以是实数
答案：Ａ
二、填空题
7．已知 ， ， ，则实数 ．
答案：
8．已知复数 ， ，且 与 共轭复数的积是实数，则实数 的值为．
答案：
9．已知 是实系数一元二次方程 的一个根，则 ， ．
答案：1，
10．利用公式 ，把 分解成一次因式的积为．
第三章 数系的扩充与复数的引入测试题
一、选择题
1．对于实数 ， ，下列结论正确的是（ ）
Ａ． 是实数Ｂ． 是虚数
Ｃ． 是复数Ｄ．
答案：Ｃ
2．下列说法正确的是（ ）
①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集；⑤虚轴上的点表示的数都是纯虚数；⑥实轴上的点表示的数都是实数．
答案：
11．已知 ， ，则 的值是．
答案：
12．对于任意两个复数 ， （ 为实数），定义运算“ ”为： 。设非零复数 在复平面内对应的点分别为 ， ，点 为坐标原点．如果 ，那么在 中， 的大小为．
答案：
三、解答题
13．已知 ， ， ，若 ，求 ， 的值．
解： ， ，
最新人教版高中数学选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》学力测评
学力测评（时间90分钟,满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知i 1i)-(13+=a +3i ,则a 等于( )A.-iB.-5iC.-2-3iD.2-3i答案：C2.复数i 31i2+-的虚部是( )A.-23B.-21C. 23D. 21答案：B3.若复数3+i 和2+3i 在复平面内对应的点分别为P 、Q,则向量对应的复数是…( )A.5+4iB.1-2iC.-1+2iD.1+2i答案：C4.（2005辽宁高考,1）复数z=i 1i1++--1,在复平面内,z 所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B5.设S n =1+i +i 2+…+i n-1,则S 2 005等于( )A.1B.2C.3D.4答案：A6.复数z 为实数的充分而不必要条件是( )A.z 2为实数B.z+z 为实数C.z=zD.|z|=z答案：D7.已知复数(-2)+yi (x 、y ∈R )的模为3,则x y的最大值是( )A.23B.33C.21D.3答案：D8.若复数z=x +yi (x 、y ∈R ),则1z 1z +-是纯虚数的充要条件是( )A.x =1B.x =1且y ≠0C.|z|=1且z≠±1D.|z|=1答案：C9.若复数z 满足|z|=|z+2+2i |,则|z-1+i |的最小值是( )A.22B.2C.2D.4答案：B 10.若(2i 3+)n +i n =0(n ∈N *),则n 的最小值为( ) A.8 B.6 C.3 D.4答案：C二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.若f (z)=1z z 1z z 22+-++,则f (2i 31+-)=____________.答案：012.若复数z 满足方程z i =i -1,则z=____________.答案：1-i13.若α、β是共轭复数,且(α+β)2-3αβi =4-6i ,则α=___________.答案：1±i 或-1±i14.若复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|=1,且z 1+z 2=i ,z 1对应的点在第一象限,则z 1=,z 2=____________. 答案：i 2123+ -i 2123+ 15.已知z=i 1i 1+-,则ω=z 2+z 4+z 6+z 8+z 10的值为. 答案：-1三、解答题（本大题共4小题，每小题10分,共40分）16.若f (z)= z -a , a =1+2i ,z 1=93+4i ,z 2=-2+i ,求f (21z z -).解析:94+i .17.已知A 、B 两点对应的复数分别为3-2i 和4+3i ,试判断A 、B 两点是否在圆|z-(1-i )|=5上.解析:点A 不在圆上,点B 在圆上.18.求同时满足下列条件的所有复数z.①z+z 10∈R 且1<z+z 10≤6;②z 的实部和虚部都是整数.解析:1+3i ,1-3i ,3+i ,3-i .19.已知复数z 1=2+i ,2z 2=11z -1)(2i i z ++.(1)求z 2; (2)若△A B C 三个内角A 、B 、C 依次成等差数列,且μ=cos A +2i cos 2 2C ,求|μ+z 2|的取值范围.解析:(1)z 2=i 2i 21i i 1i -2-1)(2i i]i)[(221-=-=-+=+++.(2)在△A B C 中,∵A 、B 、C 依次成等差数列,∴2B=A +C .∴B=60°,A +C =120°.μ+z 2=cos A +2i cos 22C -i =cos A +i (2cos 22C -1)=cos A +i cos C .∴|μ+z 2|2=cos 2A +cos 2C =2C 2cos 12A 2cos 1+++=1+21(cos2A +cos2C )=1+cos120°cos(A -C )=1-21cos(A -C ).由A +C =120°⇒A -C =120°-2C ,∴-120°<A -C <120°. ∴21≤1-21cos(A -C )<45. 故22≤|μ+z 2|<25.。
高中数学人教A版选修22第三章数系的扩充与复数的引入练习题含答案详解
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2) 建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中：①若∈R，则(＋1)i是纯虚数；②若，∈R且>，则＋>＋；③若(－1)＋(＋3＋2)i是纯虚数，则实数＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A.①B.②C.③D.④2.若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝()A．1＋3i B．3＋3iC．3－i D．33．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（）A．－1 B.1C.i-D.i4.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－15.设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D．126.复数i1＋2i(i是虚数单位)的实部是()A．25B．－25C．15D．－157.若＝(＋m＋1)＋(＋m－4)i，m∈R，＝3－2i，则m＝1是＝的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8.复数z＝1＋i，z－为z的共轭复数，则z z－－z－1＝()A．－2i B．－iC．i D．2i9.已知复数z满足(1＋i)z＝1＋a i(其中i是虚数单位，a∈R)，则复数z对应的点不可能位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10. 设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1i|＜2，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．若复数12iz=-（i为虚数单位），则z z z⋅+= .12.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，OCu u u r＝λOAu u u r＋μOBuuu r(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．13.使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝ .14.如果i(,,0)z a b a b a =+∈≠R 且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z ⋅中是虚数的有_______个，是实数的有 个，相等的有 组 三、解答题（本大题共5个小题，共44分.） 15.（6分） 证明：i i zz+-＝1．16．（6分）若∈R ，试确定是什么实数时，等式32－－1＝(10－－22)i 成立．17.(10分) 已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z +=．18．（10分）设是虚数，zz 1+=ω是实数，且－1<ω<2.(1)求||的值及的实部的取值范围；(2)设z zM +-=11，求证：为纯虚数；（3）求2M -ω的最小值.19.（12分）证明：在复数范围内，方程（i 为虚数单位）无解.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11． 12． 13. 14. 15.三、解答题16.17.18.19.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A 版选修2-2) 答案一、选择题1. D 解析：由复数的有关概念逐个判定．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2.A 解析： (1＋z )·z ＝z ＋＝1＋i ＋＝1＋i ＋2i ＝1＋3i.3.A 解析:由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i)＝－1.4.D 解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.5.A 解析: 法一：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2.法二：因为1＋a i 2－i ＝i (a －i )2－i 为纯虚数，所以a ＝2. 6.A 解析：i 1＋2i ＝2＋i 5，所以实部为25. 7. A 解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件． 8.B 解析：依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.9.B 解析：由(1＋i)z ＝1＋a i 得z ＝＝，设在复平面内z 对应的点的坐标为(，)，则＝，＝.法一：易知－＝1，即复数z 对应的点在直线－＝1上，直线不经过第二象限，故复数z 对应的点不可能位于复平面内的第二象限．法二：若复数z 对应的点在第一象限，则只要 >1，若在第二象限，需要<0，且>0，即 <－1且 >1，无解，故复数z 对应的点不可能在第二象限．10.C 解析：∵ ＝|cos 2－sin 2|＝|cos 2|，且∈R ，∴ ∈[0,1],∴ ＝[0,1]． 在中，∈R 且|－1i|<2，∴ |＋i|<2，∴2＋1<2，解得－1<<1，∴＝(－1,1)．∴ ∩＝[0,1)． 二、填空题11.6-2i 解析：因为12i =+z ,所以1412i ⋅+=++-=z z z 6-2i.12 1 解析：由条件得OC u u u r ＝(3，－4)，OA u u u r ＝(－1,2)，OB uuu r＝(1，－1)，根据OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.13.3 解析：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵2－(2－3m)i ＜( 2－4＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴22210,-3=0,-4+3=0,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩解得10,=0=3,=3=1,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩或或，∴ 3.当＝3时，原不等式成立． 14.4,5,3 解析：2,,,z z z z-=四个为虚数；22,,,,z z z z z z--⋅五个为实数；2,,z z z z z z z =--==⋅=三组相等.三、解答题15.解法一：设z ＝a ＋b i(a , b ∈R )，则i i z z +-=i ii i a b a b +---=(1)i (1)i a b a b +--+-2222(1)(1)a b a b +-+-解法二：∵ i z +=i +z=-i+z ，∴i i z z +- =-i i z z+-=-(i -)i z z -=1.16.解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0，①10－x －2x 2＝0.②由②得x ＝2或x ＝－52，代入①，得a ＝11或a ＝－715. 17. 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ， 由条件知121222z z z z -==，所以以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线， 所以122z z +=．18.（1）解：设＝＋i （，）,.因为ω是实数，0≠b ,所以，即|z |＝1.因为ω＝2，－1<ω<2， 所以.所以的实部的取值范围（－1,21）. （2）证明：zzM +-=11＝.1 ) 1 (2 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 1 22 2 2 + -= + + - - - = - + + + - + - - = + + - - a b ib a b i b a b i a b i a b i a b i a b i a b i a 121< < - a 12 2= + b a) ( ) ( 1 2 2 2 2 iba bb b a a a b i a b i a + - + + + = + ++ = ω 0, ≠ ∈ b R（这里利用了（1）中122=+b a ） 因为 ∈（－1,21），0≠b ，所以M 为纯虚数. （3）解：2M -ω112)1(12)1(22222+--=+-+=++=a a a a a a a b a 3]11)1[(21212-+++=++-=a a a a . 因为∈（－1,21），所以＋1>0，所以2M -ω≥2×2－3＝1.当＋1＝11+a ，即＝0时上式取等号， 所以2M -ω的最小值是1. 19.证明：原方程化简为,设z ＝x ＋y i(x 、y )，代入上述方程得根据上式可得整理得051282=+-x x .方程无实数解.原方程在复数范围内无解.,∴ < - = ∆ 0 16R ∈。
高中数学人教A版选修2-2第三章 数系的扩充和复数的引入 章末质量评估 (1)6
第三章 数系的扩充和复数的引入 章末质量评估(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选 项中只有一项是正确的)1．a ＝0是复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)为纯虚数的( )．A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0.答案 B2．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i. 所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1.答案 D3．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )．A.34B.43 C ．－43 D ．－34解析 z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.因此选A. 答案 A4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )．A ．3＋iB ．3－iC ．1－3iD ．－1＋3i解析 OC →＝OA →＋OB →＝1＋2i －2＋i ＝－1＋3i ，所以C 对应的复数为－1＋3i.答案 D 5．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( )．A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对 解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i.∵z 2为纯虚数，∴⎩⎨⎧x 2－y 2＝0，xy ≠0. ∴y ＝±x (x ≠0)．答案 C6．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x ≥12)，满足|z －1|＝x ，那么z 在复平面上对应的点(x ，y )的轨迹是( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 ∵z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x ≥12)，满足|z －1|＝x ， ∴(x －1)2＋y 2＝x 2，故y 2＝2x －1.答案 D7．当z ＝－1－i 2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )． A ．1 B ．－1C ．iD ．－i解析 ∵z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝－2i 2＝－i. ∴z 100＋z 50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i 50－i 25＋1＝－i.答案 D8．复数z 在复平面内对应的点为A ，将点A 绕坐标原点，按逆时针方向旋转π2，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B 点，此时点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，则复数z 为( )．A ．－1B ．1C ．iD ．－i解析 设z ＝a ＋b i ，B 点对应的复数为z 1，则z 1＝(a ＋b i)i －1－i ＝(－b －1)＋(a －1)i ，∵点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，∴⎩⎨⎧ －b －1＝－a ，a －1＝－b ， ∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0，∴z ＝1. 答案 B9．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋1＋i|的最小值是( )．A ．1 B. 2 C ．2 D. 5 解析 |z ＋i|＋|z －i|＝2，则点Z 在以(0,1)和(0，－1)为端点的线段上，|z ＋1＋i|表示点Z 到(－1，－1)的距离．由图知最小值为1.答案 A10．设z 1，z 2是复数，则下列结论中正确的是( )．A ．若z 21＋z 22>0，则z 21>－z 22B ．|z 1－z 2|＝(z 1＋z 2)2－4z 1z 2C ．z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0D ．|z 21|＝|z －1|2解析 A 错，反例：z 1＝2＋i ，z 2＝2－i ；B 错，反例：z 1＝2＋i ，z 2＝2－i ；C 错，反例：z 1＝1，z 2＝i ；D 正确，z 1＝a ＋b i ，则|z 21|＝a 2＋b 2，|z －1|2＝a 2＋b 2，故|z 21|＝|z －1|2.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确的答案填在题中 横线上)11．在复平面内，已知复数z ＝x －13i 所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵z 对应的点Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－13都在单位圆内， ∴|OZ |<1，即 x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－132<1. ∴x 2＋19<1，∴x 2<89，∴－223<x <223. 答案 －223<x <22312．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝3＋2i 的复数z 等于________．解析 由定义运算，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝2z i －z ＝3＋2i ，则z ＝3＋2i －1＋2i ＝(3＋2i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝15－85i. 答案 15－85i13．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝ ________.解析 x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ⇒x (1＋i )(1－i )(1＋i )＋y (1＋2i )(1＋2i )(1－2i )＝5(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i)＝12(1＋3i)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋15y ＝12，12x ＋2y 5＝32，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝5， 所以x ＋y ＝4.答案 4 14．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝________. 解析 z ＝z 0z 0－3＝3＋2i 2i ＝3i －2－2＝1－32i 答案 1－32i 三、解答题(本题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)若f (z )＝2z ＋z －－3i ，f (z －＋i)＝6－3i ，试求f (－z )．解 f (z )＝2z ＋z －－3i ，∴f (z －＋i)＝2(z －＋i)＋z －＋i 3i＝2z －＋2i ＋z －i －3i＝2z －＋z －2i.又知f (z －＋i)＝6－3i ，∴2z －＋z －2i ＝6－3i ，设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)，则z －＝a －b i ，∴2(a －b i)＋(a ＋b i)－2i ＝6－3i ，即3a －(b ＋2)i ＝6－3i ，由复数相等的定义，得⎩⎨⎧ 3a ＝6，b ＋2＝3. 解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.故f (－z )＝f (－2－i)＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i＝－6－4i.16．(10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值． 解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3(1－i )2＋i＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1.所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.17．(10分)已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.根据条件，可知⎩⎨⎧12＋4a －a 2>08(a －2)>0，解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)．18．(12分)在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →， B C →， A C →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解 (1) AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.B C →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.A C →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)|AB →|＝|1＋i|＝2，|B C →|＝|－3＋i|＝10，|A C →|＝|－2＋2i|＝8.∴|AB →|2＋|A C →|2＝|B C →|2，∴∠A 为直角，△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →||A C →|＝12×2×8＝2. 19．(12分)已知z 1＝x ＋y i ，z －1＝x －y i(x 、y ∈R)且x 2＋y 2＝1，z 2＝(3＋4i)z 1＋(3－4i)z －1.(1)求证：z 2∈R ；(2)求z 2的最大值和最小值．(1)证明 ∵z 1＝x ＋y i ，z －1＝x －y i(x ，y ∈R)，∴z 1＋z －1＝2x ，z 1－z －1＝2y i.∴z 2＝(3＋4i)z 1＋(3－4i) z －1，＝3(z 1＋z －1)＋4i(z 1－z －1)．＝6x ＋8y i 2＝(6x －8y )∈R.(2)解 ∵x 2＋y 2＝1，设u ＝6x －8y ，代入x 2＋y 2＝1消去y 得64x2＋(6x－u)2＝64.∴100x2－12ux＋u2－64＝0.∵x∈R，∴Δ≥0.∴144u2－4×100(u2－64)≥0.∴u2－100≤0.∴－10≤u≤10.∴z2的最大值是10，最小值是－10.。
高中数学人教新课标A版 选修2-2 第三章 数系的扩充与复数的引入
高中数学人教新课标A版选修2-2 第三章数系的扩充与复数的引入一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）若z̅(1+i)=1−i，则z=（）A．1–i B．1+i C．–i D．i2．（2分）（1–i）4=（）A．–4B．4C．–4i D．4i3．（2分）复数11−3i的虚部是（）A．−310B．−110C．110D．3104．（2分）2−i1+2i=（）A．1B．−1C．i D．−i 5．（2分）若z=1+2i+i3，则|z|=（）A．0B．1C．√2D．26．（2分）复数z=−2+ii(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（2分）若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0B．1C．√2D．2 8．（2分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=（）．A．1+2i B．−2+i C．1−2i D．−2−i 9．（2分）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2 10．（2分）下列命题中,正确的命题是（）A．若z、1z2∈C,z1−z2>0，则z1>z2B．若z∈R，则z⋅z̅=|z|2不成立C．z1,z2∈C,z1⋅z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C,z12+z22=0，则z1=0且z2=011．（2分）若复数z满足z(2−i)=18+11i，则|z̅−4i|=（）A．√13B．√15C．13D．1512．（2分）已知a是实数，a+i1−i是实数，则cosaπ3的值为（）A．12B．−12C．0D．√3 2二、多选题(共4题；共12分)13．（3分）设复数z满足z=−1−2i,i为虚数单位,则下列命题正确的是() A．|z|=√5B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为−1+2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y=−2x上14．（3分）已知复数z满足z̅⋅z+2iz̅=3+ai，a∈R，则实数a的值可能是（）A．1B．-4C．0D．515．（3分）已知复数z=a+√3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2则下列结论正确的是（）．A．z3=8B．z的虚部为√3C．z的共轭复数为1+√3i D．z2=416．（3分）已知复数z=i1−2i，则以下说法正确的是（）A．复数z的虚部为i5B．z的共轭复数z̅=25−i5C．|z|=√55D．在复平面内与z对应的点在第二象限三、填空题(共4题；共4分)17．（1分）i是虚数单位，复数8−i2+i=．18．（1分）已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是.19．（1分）设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=√3+i，则|z1−z2|=. 20．（1分）下列命题（i为虚数单位）中：①已知a,b∈R且a=b，则(a−b)+(a+b)i为纯虚数；②当z是非零实数时，|z+1z|≥2恒成立；③复数z=(1−i)3的实部和虚部都是－2；④如果|a+2i|<|−2+i|，则实数a的取值范围是−1<a<1；⑤复数z=1−i，则1z+z=32+12i；其中正确的命题的序号是.四、解答题(共6题；共60分)21．（5分）已知i虚数单位，z1=3−i1+i.（∈）求|z1|；（∈）若复数z2的虚部为2，且z1z2的虚部为0，求z2. 22．（10分）已知复数z满足(1+2i)z=4+3i（i是虚数单位）.求：（1）（5分）z（2）（5分）|z2−z̅|.23．（10分）已知复数z=1−i(i是虚数单位）.（1）（5分）求z2−z；（2）（5分）如图，复数z1，z2在复平面上的对应点分别是A，B，求z1+z2 z.24．（10分）已知复数z=(m2−3m+2)+(m−1)i(i为虚数单位).（1）（5分）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）（5分）在复平面内，若z所对应的点在直线y=2x+1的上方，求实数m的取值范围. 25．（10分）设实部为正数的复数z，满足|z|=√10，且复数(2+i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.（1）（5分）求复数z；（2）（5分）若z̅+m2(−1+i)+4mi(m∈R)为纯虚数，求实数m的值.26．（15分）已知复数z=3a+(3a−2)i，i为虚数单位，a∈R.（1）（5分）若z是实数，求实数a的值；（2）（5分）若|z|=√10，求实数a的值；（3）（5分）若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因为z̅=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，所以z=i.故答案为：D【分析】先利用除法运算求得z̅，再利用共轭复数的概念得到z即可. 2．【答案】A【解析】【解答】(1−i)4=[(1−i)2]2=(1−2i+i2)2=(−2i)2=−4. 故答案为：A.【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可. 3．【答案】D【解析】【解答】因为z=11−3i=1+3i(1−3i)(1+3i)=110+310i，所以复数z=11−3i的虚部为310.故答案为：D.【分析】利用复数的除法运算求出z即可. 4．【答案】D【解析】【解答】2−i1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i故答案为：D【分析】根据复数除法法则进行计算.5．【答案】C【解析】【解答】因为z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，所以|z|=√12+12=√2．故答案为：C．【分析】先根据i2=−1将z化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．6．【答案】A【解析】【解答】∵z=−2+ii=(−2+i)(−i)−i2=1+2i，∴复数z=−2+ii在复平面内对应的点的坐标为(1,2)，在第一象限，故答案为：A.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出z的值，根据复数的几何意义可得结果．7．【答案】D【解析】【解答】由题意可得：z2=(1+i)2=2i，则z2−2z=2i−2(1+i)=−2.故|z2−2z|=|−2|=2.故答案为：D.【分析】由题意首先求得z2−2z的值，然后计算其模即可.8．【答案】B【解析】【解答】由题意得z=1+2i，∴iz=i−2.故答案为：B.【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.9．【答案】C【解析】【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，可得a﹣2＝0，解得a＝2．故答案为：C．【分析】利用复数的虚部为0，求解即可．10．【答案】C【解析】【解答】A．当z1=2+i,z2=1+i时，z1−z2=1>0，此时z1,z2无法比较大小，故错误；B．当z=0时，z̅=z=0，所以z⋅z̅=|z|2=0，所以此时z⋅z̅=|z|2成立，故错误；C．根据复数乘法的运算法则可知：z1=0或z2=0，故正确；D．当z1=i,z2=1时，z12+z22=−1+1=0，此时z1≠0且z2≠0，故错误.故答案为：C.【分析】A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B．根据实数的共轭复数还是其本身判断z⋅z̅=|z|2是否成立；C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D．考虑特殊情况：z1=i,z2=1，由此判断是否正确.11．【答案】C【解析】【解答】解：∵复数z满足z(2−i)=18+11iz=18+11i2−i=(18+11i)(2+i)(2−i)(2+i)=36+40i+11i25=5+8i∴z̅=5−8i，z̅−4i=5−8i−4i=5−12i ∴|z̅−4i|=|5−12i|=√52+(−12)2=13.故答案为：C.【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.12．【答案】A【解析】【解答】解： ∵ a+i 1−i =(a+i)(1+i)(1−i)(1+i)=a−12+a+12i 是实数，∴a+12=0，即 a =−1 ．∴ cosaπ3=cos(−π3)=12． 故答案为：A ．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得 a 值，代入 cos aπ3 得答案． 13．【答案】A,C【解析】【解答】 |z|=√(−1)2+(−2)2=√5 ,A 符合题意;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(−1,−2) ,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为 −1+2i ,C 符合题意;复数z 在复平面内对应的点 (−1,−2) 不在直线 y =−2x 上,D 不正确. 故答案为：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.14．【答案】A,B,C【解析】【解答】设 z =x +yi ，∴x 2+y 2+2i(x −yi)=3+ai ， ∴{x 2+y 2+2y =3,2x =a,⇒y 2+2y +a 24−3=0 ，∴Δ=4−4(a 24−3)≥0 ，解得： −4≤a ≤4 ，∴实数 a 的值可能是 1,−4,0 . 故答案为：ABC.【分析】设 z =x +yi ，从而有 x 2+y 2+2i(x −yi)=3+ai ，利用消元法得到关于 y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.15．【答案】A,B【解析】【解答】解： ∵z =a +√3i ，且 |z|=2 ∴a 2+(√3)2=4 ， a =±1复数 z =a +√3i 在复平面内对应的点位于第二象限 ∴a =−1 A: (−1+√3i)3=(−1)3+3(−1)2√3i +3(−1)(√3i)2+(√3i)3=8 B: z =−1+√3i 的虚部是 √3C: z =−1+√3i 的共轭复数为 z =−1−√3iD: (−1+√3i)2=(−1)2+2(−1)√3i+(√3i)2=−2−2√3i故答案为：AB．【分析】利用复数|z|=2的模长运算及z=a+√3i在复平面内对应的点位于第二象限求出a，再验算每个选项得解.16．【答案】C,D【解析】【解答】∵z=i1−2i=i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−25+15i，∴复数z的虚部为15，z的共轭复数z̅=−25−i5,|z|=√(−25)2+(15)2=√55，复平面内与z对应的点的坐标为(−25,15)，在第二象限.故答案为：CD.【分析】利用复数的乘除运算可得z=−25+15i，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断D. 17．【答案】3-2i【解析】【解答】8−i2+i=(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i5=3−2i.故答案为：3-2i.【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.18．【答案】3【解析】【解答】∵复数z=(1+i)(2−i)∴z=2−i+2i−i2=3+i∴复数的实部为3.故答案为：3.【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.19．【答案】2√3【解析】【解答】∵|z1|=|z2|=2，可设z1=2cosθ+2sinθ⋅i，z2=2cosα+2sinα⋅i，∴z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)⋅i=√3+i，∴{2(cosθ+cosα)=√32(sinθ+sinα)=1，两式平方作和得：4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4，化简得：cosθcosα+sinθsinα=−1 2∴|z1−z2|=|2(cosθ−cosα)+2(sinθ−sinα)⋅i|=√4(cosθ−cosα)2+4(sinθ−sinα)2=√8−8(cosθcosα+sinθsinα)=√8+4=2√3.故答案为：2√3.【分析】令z1=2cosθ+2sinθ⋅i，z2=2cosα+2sinα⋅i，根据复数的相等可求得cosθcosα+ sinθsinα=−12，代入复数模长的公式中即可得到结果.20．【答案】②③④【解析】【解答】对于①，a，b∈R且a=b，若a=b=0时，则(a−b)+(a+b)i不是纯虚数，①错误；对于②，当z是非零实数时，根据基本不等式的性质知|z+1z|⩾2恒成立，②正确；对于③，复数z=(1−i)3=−2−2i，∴z的实部和虚部都是−2，③正确；对于④，如果|a+2i|<|−2+i|，则a2+4<4+1，解得−1<a<1，所以实数a的取值范围是−1<a<1，④正确；对于⑤，复数z=1−i，则1z+z=11−i+(1−i)=32−12i，∴⑤错误．综上，正确的命题的序号是②③④．故答案为：②③④．【分析】①当a=b=0时，(a−b)+(a+b)i=0不是纯虚数；②根据基本不等式的性质知|z+1z|⩾2恒成立；③化简复数z，得z的实部和虚部都是-2；④根据模长公式得关于a的不等式，求解即可；⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可．21．【答案】解：（∈）z1=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1−i)(1+i)=2−4i2=1−2i，所以|z1|=√22+12=√5，（∈）设z2=a+2i(a∈R)，则z1z2=(2+i)(a+2i)=(2a−2)+(a+4)i，因为z1z2的虚部为0，所以，a+4=0，即a=−4.所以z2=−4+2i.【解析】【分析】（∈）利用复数的四则运算求出z1后可求其模.（∈）设z2=a+2i(a∈R)，利用复数的乘法计算出 z 1z 2 后再根据虚部为0求出 a ，从而可得 z 2 .22．【答案】（1）解：由题 z =4+3i 1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i5=2−i .即 z =2−i （2）解：由(1) z =2−i ,故 z 2−z ̅=(2−i)2−(2+i)=1−5i ,故 |z 2−z̅|=√12+(−5)2=√26 .即 |z 2−z̅|=√26【解析】【分析】(1)易得 z =4+3i1+2i,再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得 z 2,z ̅ 再计算 z 2−z̅ 求模长即可. 23．【答案】（1）解： ∵z =1−i ，∴z 2−z =(1−i)2−(1−i)=1−2i +i 2−1+i =−1−i（2）解： ∵z 1=2i ， z 2=2+i ，∴ z 1+z 2z =2i+2+i 1−i =2+3i 1−i =(2+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−12+52i【解析】【分析】（1）把 z =1−i 代入 z 2−z ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得 z 1 ， z 2 ，代入 z 1+z2z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.24．【答案】（1）解： ∵z 是纯虚数， ∴{m 2−3m +2=0m −1≠0， 解得 {m =1或m =2m ≠1， ∴ m =2（2）解：z 所对应的点是 (m 2−3m +2,m −1) ，∵ z 所对应的点在直线 y =2x +1 的上方，即 m −1>2(m 2−3m +2)+1 ， 化简得 2m 2−7m +6<0 ，即 (m −2)(2m −3)<0 ， ∴32<m <2 . 【解析】【分析】（1）由复数的分类求解；（2）写出对应点的坐标，点在直线 y =2x +1 上方，就是点的坐标适合不等式 y >2x +1 代入后不等式可得．25．【答案】（1）解：设 z =a +bi ， a,b ∈R ， a >0 .由题意： a 2+b 2=10 .①(2+i)(a +bi)=2a −b +(a +2b)i ， 得 2a −b +a +2b =0 ， 3a +b =0 ，②①②联立，解得 a =1 ， b =−3 得 z =1−3i .（2）解：由（1）可得z̅=1+3i所以z̅+m2(−1+i)+4mi=(−m2+1)+(m2+4m+3)i由题意可知{−m2+1=0m2+4m+3≠0解得m=±1且m≠−1且m≠−3所以m=1【解析】【分析】（1）设z=a+bi(a，b∈R且a>0)，由条件可得a2+b2=10①，a=−3b②．由①②联立的方程组得a、b的值，即可得到z的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解m．26．【答案】（1）解：由题意3a−2=0，a=2 3；（2）解：由已知|z|=√(3a)2+(3a−2)2=√10，解得a=1或a=−13．（3）解：复数z对应点坐标为(3a，3a−2)，它在第三象限，则{3a<03a−2<0，解得a< 0．∴a的范围是(−∞，0)．【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）由复数模的运算计算；（3）写出对应点坐标，由点所在象限得出不等式，解之可得．。
高中数学选修2-2章末检测3：第三章 数系的扩充与复数的引入
章末检测一、选择题1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈SD.2i∈S 2．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．设z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是( )A ．若z 21＋z 22＞0，则z 21＞－z 22B ．|z 1－z 2|＝(z 1＋z 2)2－4z 1z 2C ．z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0D ．z 1－z 1是纯虚数或零4．已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n i m －n i 等于( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i5．已知a 是实数，a －i1＋i 是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－26．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2iD ．1＋2i7．已知2＋a i ，b ＋i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 的值为( ) A ．p ＝－4，q ＝5 B ．p ＝4，q ＝5 C ．p ＝4，q ＝－5D ．p ＝－4，q ＝－58．i 为虚数单位，设复数z 满足|z |＝1，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2－2z ＋2z －1＋i 的最大值为( ) A.2－1B ．2－2C.2＋1D ．2＋29．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)(其中i 是虚数单位)，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．30B ．15C ．25D ．10010．设复数z 满足|z |＜1且⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝52，则|z |等于( ) A.45 B.34 C.23 D.1211．如果关于x 的方程2x 2＋3ax ＋a 2－a ＝0至少有一个模等于1的根，那么实数a 的值( ) A ．不存在 B ．有一个 C ．有三个 D ．有四个12．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数个二、填空题13．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________．14.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 15．已知|z 1|＝2，|z 2|＝3，|z 1＋z 2|＝4，则z 1z 2＝__________.16．复数|z |＝1，若存在负数a 使得z 2－2az ＋a 2－a ＝0，则a ＝________. 三、解答题17．计算：(1)i 1＋i ÷(1＋3i)2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－3i 3.18．设z 是虚数，m ＝z ＋1z 是实数，且－1＜m ＜2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围．(2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．(3)结合(2)求m －u 2的最小值．[答案]精析1．B2．A [因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．]3．D [举例说明：若z 1＝4＋i ，z 2＝2－2i ，则z 21＝15＋8i ，z 22＝－8i ，z 21＋z 22＞0，但z 21与－z 22都是虚数，不能比较大小，故A 错；因为|z 1－z 2|2不一定等于(z 1－z 2)2，故|z 1－z 2|与(z 1＋z 2)2－4z 1z 2不一定相等，B 错；若z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则z 21＝3＋4i ，z 22＝－3－4i ，z 21＋z 22＝0，但z 1＝z 2＝0不成立，故C 错；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 1＝a －b i ，故z 1－z 1＝2b i ，当b ＝0时是零，当b ≠0时，是纯虚数．故D 正确．]4．D [由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，∴m ＝1且n ＝1.则m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i＝(1＋i )22＝i.]5．A [a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a －1)－(a ＋1)i2是纯虚数，则a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.]6．B [∵(x －i)i ＝y ＋2i ，x i －i 2＝y ＋2i ， ∴y ＝1，x ＝2，∴x ＋y i ＝2＋i.]7．A [由条件知2＋a i ，b ＋i 是共轭复数，则a ＝－1，b ＝2，即实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是2±i ，所以p ＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q ＝(2＋i)(2－i)＝5.]8．C [|z 2－2z ＋2z －1＋i|＝|z －(1＋i)|，故只需求x 2＋y 2＝1上的点到(1,1)的最大距离，其值为1＋ 2.]9．D [由复数相等知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ，则x 2＋y 2＝50－50sin(θ－φ)≤100(其中φ为辅助角)． ∴x 2＋y 2的最大值为100.]10．D [因为⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝|z z ＋1||z |＝52，即|z |2＋1＝52|z |，所以|z |＝12.] 11．C [(1)当根为实数时，将x ＝1代入原方程得a 2＋2a ＋2＝0，此方程无实数解；将x ＝－1代入原方程得a 2－4a ＋2＝0，解得a ＝2±2，都符合要求．(2)当根为虚数时，Δ＝a (a ＋8)＜0，∴－8＜a ＜0.此时有x 1·x 2＝|x 1|2＝|x 2|2＝1＝a 2－a2，所以可得a 2－a －2＝0，解得a ＝－1，或a ＝2(舍去)．故共有三个．] 12．B [f (n )有三个值0,2i ，－2i.] 13．(3,4)[解析] ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.14．1＋2i[解析] 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，即a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 15.16±156i [解析] 由题意，z 1z 1＝4，z 2z 2＝9，(z 1＋z 2)(z 1＋z 2)＝z 1z 1＋z 2z 2＋z 1z 2＋z 2z 1＝4＋9＋9z 1z 2＋4z 2z 1＝16，所以9z 1z 2＋4z 2z 1＝3，令z 1z 2＝t ，则9t ＋4t ＝3，即9t 2－3t ＋4＝0，所以t ＝16±15i 6，即z 1z 2＝16±15i 6. 16.1－52[解析] 由z 2－2az ＋a 2－a ＝0，得(z －a )2＝a . 又a 为负数，所以z －a 为纯虚数．设z －a ＝b i ，则z ＝a ＋b i ，所以(b i)2＝a ，故a ＝－b 2. 又|z |＝1，所以a 2＋b 2＝1，所以a 2－a －1＝0.故a ＝1±52.由a 为负数，所以a ＝1－52.17．解 (1)i1＋i ÷(1＋3i)2＝i (1－i )(1＋i )(1－i )÷[(1＋3i)(1＋3i)] ＝i －i 22÷(1＋3i 2＋23i)＝1＋i 2÷(－2＋23i)＝(1＋i )(－4－43i )(－4＋43i )(－4－43i ) ＝－4－43i －4i －43i 264＝4(－1＋3)－4(1＋3)i 64＝－1＋316－1＋316i.(2)方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－3i 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3i ＋i ＋3i 243＝[(1－3)＋(1＋3)i]343＝ (1－3)3＋3(1－3)2(1＋3)i ＋3(1－3)(1＋3)2i 2＋(1＋3)3i 364＝16－16i 64＝1－i 4.方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1＋i 1－3i 3＝(1＋i )3(1－3i )3＝1＋3i ＋3i 2＋i 31－33i －9＋33i ＝－2＋2i －8＝1－i 4.18．(1)解 ∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， ∴m ＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.∵m 是实数，且y ≠0， ∴y －yx 2＋y2＝0，∴x 2＋y 2＝1，∴|z |＝1，此时m ＝2x . ∵－1＜m ＜2，∴－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1.∴|z |＝1，z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)证明 结合(1)可知u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝－y(1＋x )i. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，y ≠0， ∴－y1＋x≠0，∴u 为纯虚数．(3)解 m －u 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x＝2(x ＋1)＋21＋x－3.∵－12＜x ＜1，∴1＋x ＞0，∴2(x ＋1)＋21＋x－3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x ，即x ＝0(x ＝－2舍去)时，等号成立．故m －u 2的最小值为1，此时z ＝±i.。
高中数学选修2-2（人教A版）第三章数系的扩充与复数的导入3.1知识点总结含同步练习及答案
⾼中数学选修2-2（⼈教A版）第三章数系的扩充与复数的导⼊3.1知识点总结含同步练习及答案描述：⾼中数学选修2-2(⼈教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章数系的扩充与复数的引⼊ 3.1 数系的扩充和复数的概念⼀、学习任务1. 了解数系的扩充过程．2. 理解复数的基本概念、代数表⽰法以及复数相等的充要条件．⼆、知识清单复数的概念复数的⼏何意义三、知识讲解1.复数的概念复数的概念为了把数的范围进⼀步扩充，⼈们引⼊了⼀个新的数，叫虚数单位，且规定：①；②可与实数进⾏四则运算，且原有的加、乘运算律仍成⽴．我们把集合中的数，即形如（，）的数叫做复数（complex number），其中叫做虚数单位（imaginary unit）．全体复数所成的集合叫做复数集（set of complex numbers）．复数通常⽤字母表⽰，即（，），这⼀表⽰形式叫做复数的代数形式（algebraic form of complex number）．对于复数，都有，，其中的与分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）．对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数．复数相等的充要条件在复数集中任取两个数，（，，，），与相等的充要条件是且．复数的分类复数（，）可以分类如下： i =?1i 2 i C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i a b ∈R i C z z =a +b i a b ∈R z =a +b i a b ∈R a b z a +b i b =0 a =b =0 0 b ≠0 a =0 b ≠0 C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i c +d i a b c d ∈R a +b i c +d ia =cb =d z =a +b i a b ∈R 复数a +b i(a ,b ∈R )实数(b =0)虚数(b ≠0){纯虚数(a =0)⾮纯虚数(a ≠0)例题：描述：2.复数的⼏何意义根据复数相等的定义，任何⼀个复数，都可以由⼀个有序实数对唯⼀确定．因为有序实数对与平⾯直⾓坐标系中的点⼀⼀对应，所以复数集与平⾯直⾓坐标系中的点集之间可以建⽴⼀⼀对应．点的横坐标是，纵坐标是，复数可⽤点表⽰，这个建⽴了直⾓坐标系来表⽰复数的平⾯叫做复平⾯，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表⽰实数；除了原点外，虚轴上的点都表⽰纯虚数．设复平⾯内的点表⽰复数，连结，显然向量由点唯⼀确定；反过下列命题中，正确的个数是（）①若，则的充要条件是；②若，则；③若，则，．A． B． C． D．解：A①由于，所以不⼀定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①不正确；②由于两个虚数不能⽐较⼤⼩，所以②不正确；③当，时，成⽴，所以③不正确．x ,y ∈C x +y i =1+i x =y =1a ,b ∈R a +i >b +i +=0x 2y 2x =0y =00123x ,y ∈C x +y i x =1y =i +=0x 2y 2已知，，若，则______．解：根据复数相等的充要条件，得整理得，所以，将其代⼊，得，所以，所以．=?3?4i z 1=(?3m ?1)+(?m ?6)i (m ,n ∈R )z 2n 2n 2=z 1z 2=n m 4{?3m ?1=?3,n 2?m ?6=?4,n 22m =4m =2?3m ?1=?3n 2=4n 2n =±2=(±2=4n m )2实数为何值时，复数分别是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零．解：由题复数可整理为．（1）当时，，即或．（2）当时，是虚数，即且．（3）当时，是纯虚数，解得．（4）当时，，解得．k (1+i)?(3+5i)k ?2(2+3i)k 2z z =(?3k ?4)+(?5k ?6)i k 2k 2?5k ?6=0k 2z ∈R k =6k =?1?5k ?6≠0k 2z k ≠6k ≠?1{?3k ?4=0,k 2?5k ?6≠0,k 2z k =4{?3k ?4=0,k 2?5k ?6=0,k 2z =0k =?1 z =a +b i (a ,b ) (a ,b ) Z a b z =a +b i Z (a ,b ) x y Z z =a +b i OZ OZ ?→Z →OZ说成向量，并且规定，相等的向量表⽰同⼀个复数．。
人教A版选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入综合测试题
人教A 版选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入综合测试题一、单选题1．设复数z 满足关系式||2z z i +=+，那么z 等于（ ）A ．34i -+B ．34i -C ．34i --D ．34i + 2．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．-13．若13z i =-，则z z的虚部为（ ） A ．310 B ．31010i C ．31010- D ．31010i - 4．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ）A 2B ．22C ．2D ．8 5．))552121i i --+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 6．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A 3B 5C ．3D ．57．已知i 为虚数单位，复数12i 1i z +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A 5B ．3 C ．5 D ．29．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]22-,D ．11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 10．设()2211z i i =+++，则||z =（ ）A B ．1 C ．2 D 11．若1m i i+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D 12．若(),a bi a b i +∈R 与()21i +互为共轭复数，则+a b 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．3-D ．3二、填空题13．设复数1z ，2z 满足122z z ==，且12z z +=，其中i 为虚数单位，则12z z -=________.14．在复平面内，复数161i z i i=+-对应的点所在第______象限. 15．已知复数z 满足26i z z +=+，则z =________16．若复数z 满足4z i z i ++-=，则z 在复平面内对应点的轨迹方程是__________（结果要求化简）三、解答题17．（1）若复数11a i z i i-=--+是实数（其中,a R i ∈是虚数单位）,则求a 的值.（2）求曲线y =2y x =-及y 轴所围成的封闭图形的面积.18．若复数z =2223(34)()m m m m i m R .（1）若z 为纯虚数，求m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求m 的取值范围.19．已知复数()z a i a R =-∈，且()1z i +是纯虚数.（Ⅰ）求复数z 及z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数()2()z mi m R -∈对应点在第二象限，求实数m 的取值范围.20．已知复数z=()2(1i)31i 2i -++-. (1)求复数z.(2)若z 2+az+b=1-i,求实数a,b 的值.21．已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=.（1）求14z i +-的最小值与最大值；（2）若4z z+为实数，求z 的值.22．已知复数2z i =-(i 为虚数单位).（1）求复数z 的模z ；（2）求复数z 的共轭复数；（3）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.参考答案1．D【解析】 试题分析：设，， 所以 ，解得，，所以，故选D. 考点：复数的代数运算2．B【解析】 由得12a =或，且101a a -≠≠得，2a ∴=．3．A【分析】 由已知先求出z z的值，可得虚部的值. 【详解】 解：由10310,10z z ==310， 故选：A.【点睛】本题主要考查虚数的概念与四则运算，考查基础的知识与运算，属于基础题.4．B【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模.【详解】由图象可知1z i =，22z i =-，则1222z z i -=-+， 故2212|22|(2)222z z i -=-+=-+=故选:B .5．D【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--，)()51711+=--+=-，∴))55121-+=--， 故选：D.6．D【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅．【详解】 由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．7．C【分析】利用复数的除法法则化简z ，再求z 的共轭复数，即可得出结果.【详解】 因为212(12)(1)11i i i z i i+++==-- 1322i =-+， 所以1322z i =--，所以复数z 在复平面上的对应点13(,)22--位于第三象限，故选：C.8．A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a +【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a i i a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =- 则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a +故选：A9．B【分析】设1z a bi =+，由2111z z z =+是实数可得221a b +=，即得22z a =，由此可求出1122a -≤≤. 【详解】设1z a bi =+，0b ≠， 则21222222111a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 2z 是实数，220b b a b∴-=+，则221a b +=， 22z a ∴=，则121a -≤≤，解得1122a -≤≤， 故1z 的实部取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.10．D【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ．【详解】 因为()()()()2221211211211111i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z =故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．11．C【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解.【详解】 由题1m i i+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1.故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.12．A【分析】把两个复数都化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数定义求得,a b ，从而得结论．【详解】因为()2i a bi a bi b ai i i ++==-，()212i i +=，又1a bi +与()21i -互为共轭复数，所以0b =，2a =.则2a b +=.故选：A ．13．【分析】令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=++++，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=，2ac bd ∴+=-，12()()z z a c b d i ∴-=-+-====.故答案为：14．一【分析】直接根据复数的除法及乘方运算得122i z =+，即可得解. 【详解】复数1644(1)11()11(1)(122=)2i i i i i z i i i i i +-=++=+=+--+. 对应的点为11(,)22位于第一象限.故答案为：一.15．2i -【分析】设(),z a bi a b R =+∈，根据题意，利用复数的运算法则、复数相等即可得出结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，∵复数z 满足26z z i +=+，即()26a bi a bi i ++-=+，∴36a bi i -=+，可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =-，即2z i =-，故答案为：2i -.16．22143y x += 【分析】设复数z 对应的点为Z ，由4z i z i ++-=，知点Z 到点A （0，1）、点B （0，-1）的距离和大于|AB |，由此可得结论，求出方程即可．【详解】设复数z 对应的点为Z ， 则z i -表示点Z 到点A （0，1）的距离，z i +表示点Z 到点B (0,1)-的距离， 又|AB |=2， 由4z i z i ++-=知点Z 到点A 、B 的距离和大于|AB |，z在复平面内对应点的轨迹为椭圆，所以a =4，c =1，则b =椭圆的焦点就是A ，B ，所以z 在复平面内对应的点的轨迹方程是：22143y x +=， 故答案为：22143y x += 【点睛】本题主要考查了复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属于中档题．17．（1）1a = ；（2）163 . 【分析】（1）先化简复数z 再令虚部为0，求解即可．（2）利用微积分基本定理即可求出．【详解】（1）因为()()()()11111111122a i i a i a a z i i i i i i -----⎛⎫=--=--=-+ ⎪++-⎝⎭是实数, 所以102a -=，所以1a =. (2)由2y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得4,2x y ==，故面积为)432420021622|323x x dx x x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭⎰. 【点睛】（1）本题考查复数的运算和基本概念，考查计算能力；（2）考查微积分基本定理求解区域面积，均属于基础题．18．（1）m =3（2）-1<m <3【分析】（1）根据纯虚数的定义可知，实部为零，虚部不为零，即可列式求解；（2）根据复数的几何意义可知，复数z 对应的点在第三象限，即实部，虚部都小于零，列出不等式组，即可解出．【详解】（1）由题可知：22230,340m m m m ，则m =3；（2）由题可知：22230340m m m m ⎧--<⎨--<⎩，所以-1<m <3. 【定睛】本题主要考查复数的有关概念以及复数几何意义的理解和应用，属于容易题．19．（Ⅰ）1i --；（Ⅱ）()0,∞+.【分析】（Ⅰ）把()z a i a R =-∈代入()1z i +，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解a 值，则z 可求，再由复数模的计算公式求z ；（Ⅱ）把()z a i a R =-∈代入()2()z mi m R -∈，展开后由实部小于0且虚部大于0列不等式组求解.【详解】（Ⅰ）∵()z a i a R =-∈，且()1z i +是纯虚数，∴()()()()111a i i a a i -+=++-是纯虚数， 则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，即1a =-.∴1i z =--，||z ==（Ⅱ）()()()()222111121z mi m i m m i ⎡⎤-=--+=-+++⎣⎦，由题意可得21(1)02(1)0m m ⎧-+<⎨+>⎩，解得0m >.∴实数m 的取值范围是()0,∞+.【点睛】本题考查对复数的乘法运算和对复数概念及几何意义的理解，属于基础题.20．（1）1+i ;（2）a 3,b 4.=-⎧⎨=⎩. 【解析】 试题分析：（1）由复数的运算法则，把复数2(1)3(1)2i i z i-+-=-等价转化为1z i =+，能够得到复数z 的实部和虚部．（2）把1z i =+代入21z az b i ++=-，得()(2)1a b a i i +++=-，由复数相等的充要条件，能够求出实数,a b 的值．试题解析： (1)z=2i 33i 2i -++-=3i 2i +-=()()3i 2i 5++=1+i. (2)把z=1+i 代入z 2+az+b=1-i,得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i,整理得a+b+(2+a)i=1-i,所以1,21,a b a +=⎧⎨+=-⎩ 解得3,4.a b =-⎧⎨=⎩点睛：本题主要考查了复数的几何意义及复数的表示，解答中根据复数的表示和和复数的四则运算化简为复数的形式，再利用复数相等的坐标间的关系，得到方程，求解,a b 的值即可，其中熟练掌握复数的运算、表示和复数相等的条件是解答的关键．21．（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析【分析】（1）根据题意22z -=，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，14z i +-表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据4z z +为实数，列出等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设z x yi =+，根据22z -=，所以有22(2)4x y -+=，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以14(1)(4)z i x y i +-=++-=其表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离减半径，27=23=；（2）222222444()44()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x y x y x y-+=++=++=++-++++，因为4z z+为实数，所以2240y y x y -=+， 即224(1)0y x y-=+，所以0y =或224x y +=， 又因为22(2)4x y -+=，所以00x y =⎧⎨=⎩（舍去），40x y =⎧⎨=⎩，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以4z =或1z =或1z =-.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.22．（1（2）2z i =+；（3）4m =.【分析】（1）直接根据模长的定义求解即可；（2）实部相等，虚部相反即可；（3）推导出()()22250i i m ---+=，由此能求出实数m 的值.【详解】（1）因为复数2z i =-； 故z == （2）2z i =+；（3）∵z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，故()()()()222508240i m i m m i ---+=⇒-+-=；因为m 为实数，所以4m =.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的模长、共轭复数的定义、复数方程的根，考查了计算能力，属于基础题．。
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第三章测评A
(基础过关卷)
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．i 是虚数单位，则i 1＋i
的虚部是( ) A ．12i B ．－12i C ．12 D ．－12
3．设O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为1－2i ，－4＋3i ，那么向量BA 对应的复数是( )
A ．－5＋5i
B ．－5－5i
C ．5＋5i
D ．5－5i
4．复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
5．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且12z z ⋅是实数，则实数t 等于( ) A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－34
6．复数z 满足(z －i)(2－i)＝5，则z ＝( )
A ．－2－2i
B ．－2＋2i
C ．2－2i
D ．2＋2i
7．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2
是实数，则a 等于( ) A ．12 B ．1 C ．32
D ．2 8．已知z
1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i
C ．3＋i
D ．3－i
9．使不等式m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 为( )
A ．1
B ．0
C ．3
D ．复数无法比较大小
10．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈Z )，则集合{f (n )|n ∈Z }中元素有( ) A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．无数个
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________．
12．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________.
13．设z ∈C ，且(1－i)z ＝2i(i 是虚数单位)，则z ＝__________，|z |＝__________.
14．复数z 1＝1＋3i ，z 2＝2－i ，则复数z 1z 2
的虚部是________． 15．数列{a n }满足a 1＝2i ，(1＋i)a n ＋1＝(1－i)a n ，则a 10＝__________.
三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题6分)复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是3＋i，向量AC对应的复数是－2－4i，向量BC对应的复数是－4－i，求B点对应的复数．17．(本小题6分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
18．(本小题6分)设复数z＝(1＋i)2＋3(1－i)
2＋i
，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，
b的值．
19．(本小题7分)已知z是复数，z＋2i，z
2－i
均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
参考答案
一、1．解析：由已知，得z 1－z 2＝3－4i －(－2＋3i)＝5－7i ，
则z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)，故选D ．
答案：D
2．解析：i 1＋i ＝i(1－i)2＝1＋i 2，虚部为12
. 答案：C
3．解析：BA 对应的复数为1－2i －(－4＋3i)＝5－5i ，故选D ． 答案：D
4．解析：⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 2
2＝－i ＝a ＋b i.所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1.
答案：A
5．解析：12z z ⋅＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.
因为12z z ⋅是实数，所以4t －3＝0，
所以t ＝34
.因此选A ． 答案：A 6．解析：因为z －i ＝52－i ＝5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝5(2＋i)5
＝2＋i ，所以z ＝2＋i ＋i ＝2＋2i.
答案：D
7．解析：a
1＋i ＋1＋i 2＝a (1－i)2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2
i ， 由题意可知1－a 2
＝0， 即a ＝1.
答案：B
8．解析：∵z
1＋i ＝2＋i ， ∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，
∴z ＝1－3i.
答案：B
9．解析：∵m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10，且虚数不能比较大小， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2<10，
m 2－3m ＝0，
m 2－4m ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ |m |<10，m ＝0或m ＝3，
m ＝3或m ＝1，∴m ＝3.
当m ＝3时，原不等式成立．故选C ．
答案：C
10．解析：f (n )＝i n ＋(－i)n ，i n 和(－i)n (n ∈Z )的最小正周期均为4，n 取特殊值1,2,3,4，可得相应的值f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2.故选C ．
答案：C
二、11．解析：复数z 对应的点的坐标为(m －1，m ＋2)，又该点在直线y ＝2x 上，故m ＋2＝2(m －1)，解得m ＝4.
答案：4
12．解析：因为z ＝1－2i ，所以z ·z ＝|z |2＝5，
所以z ·z ＋z ＝6－2i.
答案：6－2i
13．解析：由题意得，z ＝2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)
＝－1＋i ， 所以|z |＝(－1)2＋12＝ 2.
答案：－1＋i 2
14．解析：z 1z 2＝1＋3i 2－i ＝(1＋3i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－15＋75
i ， 所以复数z 1z 2的虚部是75
. 答案：75
15．解析：由(1＋i)a n ＋1＝(1－i)a n ，
得a n ＋1a n ＝1－i 1＋i
＝－i ， 所以数列{a n }是等比数列，
于是a 10＝a 1·(－i)9＝2i·(－i)9＝2.
答案：2
三、16．解：因为向量AC 对应的复数是－2－4i ，向量BC 对应的复数是－4－i ，所以AB 表示的复数是(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i ，故OB ＝OA ＋AB 对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i ，所以B 点对应的复数为5－2i.
17．解：∵z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)
＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i
＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，
∴(1)由m 2－3m ＋2＝0，得m ＝1或m ＝2，
即m ＝1或2时，z 为实数．
(2)由m 2－3m ＋2≠0，得m ≠1且m ≠2，
即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．
(3)由⎩⎪⎨⎪⎧
2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数． 18．解：z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3(1－i)2＋i
＝3－i 2＋i ＝(3－i)(2－i)(2＋i)(2－i)
＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得 (1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， (a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝4.
19．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，
z 2－i ＝x
＋y i 2－i ＝15(x ＋y i)(2＋i)
＝15(2x －y )＋15(2y ＋x )i.
由题意知⎩⎨⎧ y ＋2＝0，
15(2y ＋x )＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－2，
∴z ＝4－2i.
∵(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2
＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0， ∴2＜a ＜6.
∴实数a 的取值范围是(2,6)．。