运筹学12-2对策论

3.矩阵对策的混合策略(续)
-- 优超原则：当局中人甲方的策略t被其它 策略所优超时，可在其赢得矩阵A中划去第t 行（同理，当局中人乙方的策略t被其它策 略所优超时，可在矩阵A中划去第t列）。 如此得到阶数较小的赢得矩阵A’，其对
应的矩阵对策
G’= { S1,S2,A’}与 G ={ S1,S2,A } 等价，即解相同。
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再讨论“齐王赛马”
• “齐王赛马”的赢得矩阵A有 max min aij＝－1 min max aij＝3
i j j i
故需求混合策略，由于A中有非正元素， 可选k＝2，令矩阵中每一元素加上k得到新的 正矩阵A’：
5 3 3 1 3 3 3 5 1 3 3 3 3 3 5 3 3 1 3 3 3 5 1 3 1 3 3 3 5 3 3 1 3 3 3 5
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再讨论“齐王赛马”(续)
• 求乙方(田忌)最优策略的线性规划模型：
min Y1+Y2 +Y3 +Y4 +Y5 +Y6 s.t. 5Y1+3Y2 +3Y3 +3Y4 + Y5 +3Y6 1 3Y1+5Y2 +3Y3 +3Y4 +3Y5 + Y6 1 3Y1+ Y2 +5Y3 +3Y4 +3Y5 +3Y6 1 Y1+3Y2 +3Y3 +5Y4 +3Y5 +3Y6 1 3Y1+3Y2 +3Y3 + Y4 +5Y5 +3Y6 1 3Y1+3Y2 + Y3 +3Y4 +3Y5 +5Y6 1 Y1，Y2，Y3，Y4，Y5，Y6 0 可得两组解：(1/9,0,0,1/9,1/9,0)T, (1/18,1/18,1/18,1/18,1/18,1/18)T ,V’=3 于是，Y’＝(1/3,0,0,1/3,1/3,0)T, Y’＝(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)T V = V’-2 = 1 即田忌的最优混合策略值是输1千金
20
3.矩阵对策的混合策略(续)
• 优超原则： 假设矩阵对策 G ={ S1,S2,A } 甲方赢得矩阵 A=[aij]mn
-- 若存在两行，s 行的各元素均优于 t 行的 元素，即 asjatj j=1,2…n 称甲方策略s优超于t -- 若存在两列，s 列的各元素均优于 t 列的 元素，即 ais ait i=1,2,…,m 称乙方策略 s优超于t 21
–利用有超原则化简赢得矩阵时，有可能将原对 策问题的解也划去一些（多解情况）； –线性规划求解时有可能是多解问题。 25 决策分析
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• 求解方法：线性规划法 • （其他方法：图解法，迭代法，线性方程 法等略） • 例： 5 9 设在最坏的情况下， • A= 甲赢得的平均值为V. • 8 6 （未知）
• STEP 1
• 1)设甲使用策略1的概率为X1′ X1′+X2′=1 设甲使用策略2的概率为X2′ X1′,X2′0
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2)无论乙取何策略，甲的平均赢得应不少 于V: • 对乙取1：5X1’+ 8X2’V • 对乙取2：9X1’+ 6X2’V • 注意 V>0,因为A各元素为正。 STEP 2 作变换： X1= X1’/V ; X2= X2’/V • 得到上述关系式变为： X1+ X2=1/V (V愈大愈好）待定 5X1+ 8X21 9X1+ 6X21 X1, X20
8 策略1
11
• 矛盾：甲取2 ，乙取时1，甲实际赢得 8比预期多2（乙就少2）这对乙讲是不满 意的，考虑这一点，乙采取策略2，若甲 分析到这一点，取策略1，则赢得更多 为9… • 此时，甲，乙芳没有一个双方均可接受 的平衡局势。 • 一个思路：对甲（乙）给出一个选取不 同策略的概率分布，以使甲（乙）在各 种情况下的平均赢得（损失）最多（最 少）。-----即混合策略
• 甲采取策略2 不管乙采取如何策略，都至 少得益。 • 乙采取策略3 不管甲采取如何策略， 都至少可以得益。（最多损失0） 分别称甲，乙公司的最优策略，由唯一性又 称最优纯策略。 存在前提：
max min aij = min max aij = v
i j j i
又称（ 2 ，3 ）为对策G={s1,s2,A} 的鞍点。值V为G的值。
§12.2矩阵对策
“齐王赛马”齐王在各局势中的 益损值表（单位：千金）
2
• 齐王的策略集: S1={1, 2, 3, 4, 5, 6} • 田忌的策略集： S2={1, 2, 3, 4, 5, 6} 齐王的赢得矩阵：
3 1 1 -1 1 1 1 3 -1 1 1 1 1 1 3 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 3 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 1 3
• “齐王赛马”即是一个矩阵策略.
5
二、矩阵对策的最优纯策略
• 在甲方赢得矩阵： A=[aij]m*n • i行代表甲方策略i i=1,2…m
• j行代表乙方策略j j=1,2…n
• aij代表甲方取策略i,乙方取策略j,这一 局势下甲方的益损值，此时乙方的益损值 为-aij（零和性质）。 • 在讨论各方采用的策略是必须注意一个前 提就是对方是理智的。这就是要从最有把 握取得的益损值情况考虑。
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甲： 取大则取2 采取1至少得益–3(损失 3） max min aij= 0 2 0 i j 3 -4(损失 4） • -3 0 -2 0 1 • A= 2 3 0 1 2 • -2 -4 -1 3 3 乙： 1 2 3 4 采取1甲最多得益2(乙得益-2） 2 3（乙得益-3） 取小则取3 3 0（乙得益 0） min max aij= 0 i j 4 3（乙得益-3） 8
22
3.矩阵。
3 5 7 4 6 7 4 6 2 0 3 6 0 3 6 0 0 2 9 8 8 9 8 8 3 0 5 9 5 9 7 5.5 8 3 5 9 7 5.5 8 3
被第3、4行所优超 被第3行所优超
A=
得到
被第1列所优超
被第2列所优超
6
二、矩阵对策的最优纯策略
• 例：有交易双方公司甲和乙，甲有三个 策略1，2，3；乙有四个策略1，2， 3，4，根据获利情况建立甲方的益损 值 赢得矩阵。 • -3 0 -2 0 1 • A= 2 3 0 1 2 • -2 -4 -1 3 3 1 2 3 4 • 问：甲公司应采取什么策略比较适合？
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• 建立线性模型： min X1+X2 s.t. 5X1+8X21 9X1+6X21 X1, X20
X1= 1/21 X2= 2/21 1/V= X1+X2=1/7 所以：V=7 返回原问题： X1’= X1V= 1/3 X2’= X2V= 2/3 于是甲的最优混合策略为： 以1/3的概率选1；以2/3的概率选2 最优值V=7.
9
三、矩阵对策的混合策略
• 设矩阵对策 G ={S1,S2,A} • 当 max min aij min max aij时，
i j j i
不存在最优纯策略 求解混合策略。
10
3.矩阵对策的混合策略
例：设一个赢得矩阵如下:
5
A = 8 max 8 6 9 6 min
j
9
min 5 max
i
6 策略2
A1=
23
3.矩阵对策的混合策略(续)
• 续例
A2=
得到
3 9 6 5.5 0 3
3 9
7 4 6
7
被第1行所优超 被第1列所优超
得到
A3=
4
6
5.5 7 3
4 6
24
最终得到 A4=
3.矩阵对策的混合策略(续)
• 对A4计算，用线性规划方法得到： （注意：余下的策略为3，4，1，2） 甲： X* = (0，0，1/15，2/15，0)T V=5 X*’= (0，0，1/3 ，2/3 ，0)T 乙： Y* = (1/10，1/10，0，0，0)T V=5 Y*’= (1/2 ，1/2 ，0，0，0)T • 注：
3
A=
一、二人零和对策的模型
二人有限零和对策(又称矩阵对策)： 局中人为2； 每局中人的策略集只含有限个策略； 每一局势的对策均有确定的损益值， 并且对同一局势的两个局中人的益损 值之和为零。
4
一、二人零和对策的模型
• 记矩阵对策为:
• •
•
G = {S1,
S 2,
A}
•
甲的策略集 甲的赢得矩阵 乙的策略集
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A’ =
再讨论“齐王赛马”(续)
• 求甲方(齐王)最优策略的线性规划模型：
min X1+X2 +X3 +X4 +X5 +X6 s.t. 5X1+3X2 +3X3 + X4 +3X5 +3X6 1 3X1+5X2 + X3 +3X4 +3X5 +3X6 1 3X1+3X2 +5X3 +3X4 +3X5 + X6 1 3X1+3X2 +3X3 +5X4 + X5 +3X6 1 X1+3X2 +3X3 +3X4 +5X5 +3X6 1 3X1+ X2 +3X3 +3X4 +3X5 +5X6 1 X1，X2，X3，X4，X5，X6 0 可得两组解：(0,1/9,1/9,0,0,1/9)T, (1/18,1/18,1/18,1/18,1/18,1/18)T ,V’=3 于是，X’＝(0,1/3,1/3,0,0,1/3)T, X’＝(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)T V = V’-2 = 1 即齐王的最优混合策略值是赢1千金