第9章 时间序列分析
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9第九章 多维时间序列分析
DF检验假设了所检验的模型的随机扰动 项不存在自相关。对有自相关的模型， 需用ADF检验。 ADF检验：将DF检验的右边扩展为包含Yt 的滞后变量，其余同于DF检验。
构造统计量 查表、判断。
单位根检验： 单位根检验：ADF检验的方程式 检验的方程式
∆Yt= β0＋β1t＋δYt-1+αΣ ∆Yt-i + µt 其中i从1到m。 这一模型称为扩充的迪基－富勒检验。 因为ADF检验统计量和DF统计量有同样 的渐进分布，所以可以使用同样的临界 值。
模型形式
自回归条件异方差性模型 （Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model, ARCH） 简单形式
σt2 =α0 +α1εt2 1 −
即，εt的方差依赖于前一期误差的平方， 或者说，εt存在着以εt－1的变化信息为条件的 异方差。记成ARCH(1)
随机游走的比喻
一个醉汉的游走。醉汉离开酒吧后在时 刻t移动一个随机的距离ut，如果他无限 地继续游走下去，他将最终漂移到离酒 吧越来越远的地方。 股票的价格也是这样，今天的股价等于 昨天的股价加上一个随机冲击。
随机游走的表达式 Yt=ρYt-1+ µt (1) 等价于： Yt -Yt-1 =ρYt-1 -Yt-1 + µt 等价于： Yt -Yt-1 =(ρ-1)Yt-1 + µt 等价于： ∆Yt=δ Yt-1+ µt (2) “有单位根”＝“ρ=1”＝“δ=0”
1 Yt＝ 1 +(a11Yt−1 +⋯ 1mY −1) +⋯ (a11Yt−p +⋯ 1p Y −p ) +u1t c a1 mt + p1 a m mt 1 1
时间序列分析
第九章 时间序列分析第三节 趋势变动分析一、时间序列构成要素与模型时间序列的形成是各种不同的因素对事物的发展变化共同起作用的结果。
这些因素概括起来可以归纳为四类：长期趋势因素、季节变动因素、循环变动因素和不规则变动因素。
由此造成客观事物的变动呈现出四种不同的状态：第一，长期趋势变动。
长期趋势因素是在事物的发展过程中起着主要的、决定性作用的因素，这类因素使得事物的发展水平长期沿着一定的方向发展，使事物的变化呈现出某种长期的变化趋势。
例如，中国改革开放以来，经济是持续增长的，表现为国内生产总值逐年增长的态势。
第二，季节变动。
季节变动或称季节波动，是指某些现象由于受自然条件和经济条件的变动影响，而形成在一年中随季节变动而发生的有规律的变动。
如羽绒服装的销售量由于季节的影响而呈现出淡、旺交替变化的周期性变动；某些农产品加工企业，由于受原材料生长季节的影响，其生产也出现周期性变动等等。
第三，循环变动。
循环变动是指一年以上的周期性变化，其波动是从低到高再从高到低的周而复始的一种有规律的变动。
循环波动不同于趋势变动，它不是沿着单一的方向持续运动，而是升降相间、涨落交替的变动；它也不同于季节变动，季节变动有比较固定的规律，且变动周期长度在一年以内，而循环变动则无固定规律，变动周期多在一年以上，且周期长短不一。
第四，不规则变动。
不规则变动也有人称之为随机漂移，属于序列中无法确切解释、往往也无须解释的那些剩余波动。
引起事物发生不规则变动的因素多是一些偶然因素，由于它们的影响使事物的发展变化呈现出无规律的、不规则的状态。
时间序列构成分析就是要观察现象在一个相当长的时期内，由于各个影响因素的影响，使事物发展变化中出现的长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。
形成时间序列变动的四类构成因素，按照它们的影响方式不同，可以设定为不同的组合模型。
其中，最常用的有乘法模型和加法模型。
乘法模型：Y = T·S·C·I （9-20）加法模型：Y = T+S+C+I （9-21）式中：Y：时间序列的指标数值T：长期趋势成分S：季节变动成分C：循环变动成分I：不规则变动成分乘法模型是假定四个因素对现象的发展的影响是相互作用的，以长期趋势成分的绝对量为基础，其余量均以比率表示。
统计学第9章(时间序列)
时间数列、相对数时间数列和平均数时间数列。
(一)绝对数时间数列 ：是由一系列绝对数指标，即总
量指标，按时间顺序排列而成的数列。它是时间数列
中最基本的表现形式，用以反映事物在不同时间上所 达到的绝对水平。
1．时期数列：反映现象在各段时期内发展过程的总量
2．时点数列：反映现象在各时点所达到的水平
(二) 相对数时间数列：是由一系列相对数指标按时间 顺序排列而成的数列 。反映现象之间相互关系的
发展变化过程。
1. 静态相对数时间数列是由两个指标相应时期的水 平值对比计算形成的；如，人均国内生产总值。 2. 动态相对数时间数列是由同一指标不同时期水平 值对比计算形成的；如，国内生产总值发展速。
(三) 平均数时间数列：是由一系列平均数按时间顺序
排列而成的数列 。它反映现象一般水平的发展过
程和发展趋势。
2、编制时间数列的作用
1）描述事物的发展状况和结果。
2）研究事物的发展趋势和发展速度。
3）探索事物发展变化的特点和规律。
4）建立数学模型，对事物发展的未来状况
进行科学的预测。
时间序列的分析目的
分析目的
分析过去
描述动态变化
认识规律
揭示变化规律
预测未来
未来的数量趋势
二、时间数列的种类
按指标表现形式的不同，时间数列可分为绝对数
第九章
时间序列分析
第一节 时间序列的编制
一、时间序列的概念和作用 1 、定义：通常把反映某种事物在时间上变 化的统计数据，按照时间顺序排列起来得 到的序列称为时间序列，也称动态序列。 时间序列的两个基本要素：一个是被研究 现象所属时间，另一个是该现象在一定时 间条件下的统计指标数值。
我国人口和生产总值时间数列
统计学 第9章时间 序列分析
492 505.375 529.25
592 671.75 706.75 697.83 664.06 631.9075 652.605 719.65 764.92
应用移动平均数应注意的问题：
1.移动平均的项数越多，修匀效果越好； 2.移动平均所取项数，应考虑研究对象的周期； 3.如采用偶数项移动平均，需进行两次移动平均； 4.移动平均所取项数越多，所得新数列项数则越少
2、时间序列中指标出现0或负数时，不宜计算速度
第二节 长期趋势的测定
一、时间数列的分解
1、社会经济指标的时间数列包含以下四种变动因素：
（1）长期趋势（Trend） （2）季节变动（Seasonal）
可解释的变动
（3）循环变动（Cyclical）
（4）不规则变动（Irregular） ——不规则的不可解释的变动
t2
t
Y
1992 -4
29 -116
1993 -3
32 -96
1994 -2
36 -72
1995 -1
40 -40
1996 0
例：年末总人口数
相对数时间序列： 由一系列相对数按照时间顺序排列而成的数列
例：性别比 平均数时间序列： 由一系列平均数按照时间顺序排列而成的数列
例：职工平均工资
二、时间序列的分析指标
绝对数分析指标 发展水平， 增长量
相对数分析指标 发展速度 ， 增长速度
平均数分析指标 平均发展水平 ，平均增长量 平均发展速度 ，平均增长速度
时间 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45
产量 逐期增 ty t2 Y 长量
29
--
29
32
3
64
36
统计学习题答案 第9章 时间序列分析
第9章 时间序列分析——练习题●1. 某汽车制造厂2003年产量为30万辆。
（1）若规定2004—2006年年递增率不低于6%，其后年递增率不低于5%，2008年该厂汽车产量将达到多少？（2）若规定2013年汽车产量在2003年的基础上翻一番，而2004年的增长速度可望达到7.8%，问以后9年应以怎样的速度增长才能达到预定目标？（3）若规定2013年汽车产量在2003年的基础上翻一番，并要求每年保持7.4%的增长速度，问能提前多少时间达到预定目标？解：设i 年的环比发展水平为x i ，则由已知得：x 2003＝30， （1）又知：320042005200620032004200516%x x x x x x ≥+（），2200720082006200715%x x x x ≥+（），求x 2008由上得32200820072008200320032007(16%)(15%)x x x x x x =≥++ 即为3220081.061.0530x ≥，从而2008年该厂汽车产量将达到 得 x 2008≥30× 31.06×21.05= 30×1.3131 = 39.393（万辆） 从而按假定计算，2008年该厂汽车产量将达到39.393万辆以上。
（2）规定201320032x x ＝，20042003x x ＝1+7.8％由上得＝107.11%==可知，2004年以后9年应以7.11％的速度增长，才能达到2013年汽车产量在2003年的基础上翻一番的目标。
（3）设：按每年7.4%的增长速度n 年可翻一番， 则有 201320031.0742na a == 所以 1.074log 20.30103log 29.70939log1.0740.031004n ====（年）可知，按每年保持7.4%的增长速度，约9.71年汽车产量可达到在2003年基础上翻一番的预定目标。
原规定翻一番的时间从2003年到2013年为10年，故按每年保持7.4%的增长速度，能提前0.29年即3个月另14天达到翻一番的预定目标。
第九章 时间序列分析
3.由总量指标时间序列计算序时平均数 由时期序列计算序时平均数
a1 a 2 a3 a n a a n n
例：季度（或年）平均销售量的计算
由时点序列计算序时平均数 由连续时点序列计算平均发展水平
a a
n
或
af a f
例：某企业2012年1月份在册职工人数变动资料如表4-2所示，试计算1月份 平均在册职工人数。 表4-2 某企业2012年1月份职工在册人数情况 单位:人
a (35 37 38 42 45 54) / 6 c 0.0998 万元 人 b (395 / 2 405 405 415 425 440 455 / 2) /(7 1)
（三）增长量 1.概念
增长量是报告期水平与基期水平之差,也称为增减量或
由间断时点序列计算平均发展水平
第一种：由间隔相等的间断时点序列计算平均发展水平。 第一步，用期初和期末时点值求其平均值作为该时期的代表值，即
a n 1 a n a1 a 2 a 2 a3 a3 a 4 , , ,, 2 2 2 2
第二步：将这些代表值加以简单平均，即
a n1 a n a1 an a1 a 2 a 2 a3 a3 a 4 a 2 a3 2 2 2 2 a 2 2 n 1 n 1
解:表中职工人数时间序列属于间隔相等的间断时点序列，其计算 方法如下： 521 485 544 571 599 604 717 640 603 2 2 4781 597 .63(万人) a 9 1 8
第二种：由间隔不等的间隔时点序列计算平均发展水平
a 2 a3 a n 1 a n a1 a 2 f1 f2 f n 1 2 2 2 a f 式中f代表时间间隔
本科“统计学”——第九章 时间序列分析
1989
58.35
1998
163.00
2 - 20 6
移动平均法 (趋势图)
200
汽 150 车 产 100 量 （万辆）50
产量
五项移动平均趋势值 三项移动平均趋势值
0 1981
1985
图11-1
2 - 21 6
1993 1997 （年份） 汽车产量移动平均趋势图
1989
移动平均法 (应注意的问题)
2 - 26 6
3-3 指数平滑法
因此，F4是前三个时间序列数值的加权平均数。 Y1，Y2和Y3的系数或权数之和等于1。 由此可以得到一个结论，即任何预测值Ft+1是以 前所有时间序列数值的加权平均数。
2 - 27 6
3-4 指数平滑法
指数平滑法提供的预测值是以前所 有预测值的加权平均数，但所有过 去资料未必都需要保留，以用来计 算下一个时期的预测值。
1.
测定长期趋势的一种较简单的常用方法
通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间 隔长度逐期移动，计算出一系列移动平均数 由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列 的波动起到修匀作用，从而呈现出现象发展的变 动趋势
2.
移动步长为K(1<K<n)的移动平均序列为
Yi Yi 1 Yi K 1 Yi 1 K
一、利用平滑法进行预测
本节我们讨论三种预测方法：移动平均法、加权移动平 均法和指数平滑法。因为每一种方法的都是要“消除” 由时间序列的不规则成分所引起的随机波动，所以它们
被称为平滑方法。 三 种 平 滑 方 法
2 - 18 6
移动平均法 加权移动平均法 指数平滑法
1、移动平均法 (Moving Average Method)
统计学第9篇(时间序列)
3. 不同方法计算的平均速度指标的比较 几何平均法（水平法） 方程式法（累计法）
计算简单
求解方程难
与中间水平无关，只与期 与各水平值有关，关注 初、期末水平有关，关注 各期水平的累计 期末水平
适用于发展比较平衡的数 适用于侧重于观察全期
列
累计总量指标平均发展
速度的计发展速度的计算
2．方程式法（累计法）
基本思路：假定现象从最初水平a0出发，每期按 平均速度发展，计算的各期水平之和等于实际各 期水平之和，即：
a 0 x a 0 x 2 a 0 x 3 a 0 x n a 1 a 2 a n
xx2x3 xnai a0
解这个高次方程式比较麻烦，在实际工作中，通 常是通过查《平均增长速度查对表》来求平均发 展速度。
环 比 发 展发速展 度速 是 报度告报基 期告期 水期平水水 与平平 前 一 期 水 平 之 比 ， 说 明现象逐期发展程度
定基发展速度是报告期aa1 0水,aa平1 2 ,与a a2 3某, 一,固aan定n1时期水平之 比，说明现象在较长一段时期内总的发展程度
a1 , a2 , a3 ,, an
三、时间数列的编制原则
1．时间数列中的各个指标所属时间长短应前后一致。 2．时间数列中各指标所反映现象的总体范围应一致。 3．时间数列中各指标的经济内容应一致。 4．时间数列中各指标的计算口径应该相同。计算口径
主要是指计算方法、计算价格和计量单位等。
第二节 时间数列的基本分析指标
动态分析：现象发展的水平分析、现象发展的速度分析。 水平分析是速度分析的基础，速度分析是水平分析的深入
3
3
一般计算公式为 (首末折半法)
an i 1 1ai 2ai1a 21a2a3 an1a 2n
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xf x f
75 7+62 10+68 19+56 23 63.14 (千元) 7+10+19+23
连续时点数列序时平均-补充例题8
(变动登记) • 某农场生猪存栏数纪录为：1月1日的存量200头，2月 13日出栏减少为188头，3月31日新增为225头，计算第一 季度的生猪平均存栏数。 • 分析：由于日生猪存栏数不可加——此为时点数列；已知 数据为发生变动时方才登记——变动登记 (变动前的各日 记录等于变动前一记录)，此数列应为持续时段不等的连续 时点数列。其平均公式可变形为加权算术平均公式。 • 解：因为日存栏200头持续了43天，日存栏188头持续了 46天，日存栏225头持续了1天，得第一季度的生猪平均存 栏数：
时点序列
相对数或平均数数列 序时平均数
a c b
⑴绝对数时间数列的序时平均(补充)
• 1.时期数列：
⑴时期数列的三个特征： ①反映现象在一段时间内发展过程的总量； ②彼此相连时期的指标值可以加总为更长时期的指标 值； ③指标值的大小与所包括时期长短有直接关系，时期 长，指标数值大；时期短，指标数值小。 ⑵时期数列的序时平均公式为简单算术平均公式：
(亿美元)
求年均国内生产总值。 • 解：由于国内生产总值为时期总量，上已知数列为时期数 列，故其年均计算应使用简单算术平均公式， 由已知合计得2000～2005年的国内生产总值累计为 807225亿元， 即得年均国内生产总值 x 807225 134537.5(亿元) x n 6
绝对数时间数列的序时平均(续)
2001 2661.55 106.80 144.88 6.80 44.88
2002 3255.96 122.33 177.23 22.33 77.23
12个动态分析指标(补充.续4)
• 三、水平分析与速度分析相结合的指标
• ⒓增长百分之一的绝对值=上期水平/100
增长百分之一的绝对值-补充例题3
连续时点数列序时平均-补充例题5
(连续登记) • 某商场一仓库的日存货额纪录为：星期一75千元，星期 二62千元，星期三68千元，星期四56千元，星期五34千 元，星期六22千元。试计算一周平均日存货额。 • 分析：由于日存货额不可加——此为时点数列；已知数据 为一周内每天纪录数——此为逐日登记、逐日排列的连续 时点数列。其平均公式应为简单算术平均公式。 • 解：一周平均日存货额为：
xf x f
75 7+62 7+68 7+56 7+34 7+22 7 52.83 (千元) 67
也可约去相同权数，为
x 75+62+68+56+34+22 52.83 x
n 6
(千元)
连续时点数列序时平均-补充例题7
(连续登记、纪录持续时段不等) • 某商场一仓库的存货额纪录为：1月1日至1月7日每天75 千元， 1月8日至1月17日每天62千元， 1月18日至2月5日 每天68千元， 2月6日至2月28日每天56千元，试计算1，2 两月的平均存货额。 • 分析：由于日存货额不可加——此为时点数列；已知数据 为两月内每天纪录数——此为逐日登记、逐日排列的连续 时点数列。由于各时段不相等——此为各纪录持续时段不 等的连续时点数列。其平均公式应为加权算术平均公式。 • 解：两月平均日存货额为：
年份 出口商品总额 (亿美元) 环比发展速度(%) 定基发展速度(%) 环比增长速度(%) 定基增长速度(%) k xk xk÷xk-1 xk÷x0 Gk－1 xk÷x0－1
1998 1837.09 — — — —
1999 1949.31 106.11 106.11 6.11 6.11
2000 2492.03 127.84 135.65 27.84 35.65
x 75+62+68+56+34+22 52.83 x
n 6
(千元)
连续时点数列序时平均-补充例题6
(连续登记、纪录持续时段相等)
• 某商场一仓库的各周每天的存货额纪录为：第一周75千元，第二周 62千元，第三周68千元，第四周56千元，第五周34千元，第六周22千 元。试计算六周平均存货额。 • 分析：由于日存货额不可加——此为时点数列；已知数据为一周内每 天纪录数——此为逐日登记、逐日排列的连续时点数列。由于各周均 为7天——此为各纪录持续时段相等的连续时点数列。其平均公式应为 简单算术平均公式，也可简化为加权算术平均公式。 • 解：一周平均日存货额为：
• 2.时点数列：
⑴时点数列的三个特征： ①反映现象在某一时刻状况的总量； ②各个指标值不具可加性，其和本身无意义； ③指标值的大小与其时间间隔长短没有直接联系。 n ⑵时点数列的序时平均公式： ai ①连续时点数列：简单算术平均 x i 1
n
②间断时点数列：基本平均公式
x
xi 1 xi 2 fi i 1
• 2.平均发展水平： 由于时间序列的多种类型，平均发展水平有不同的计算方法。将在下 面作专门分析。 • 二、速度分析指标 • ㈠增长量：(绝对速度指标) 基本公式：增长量=报告期水平－基期水平 • 3.逐期增长量=报告期水平－上一期水平= xk － xk-1， • 4.累积增长量=报告期水平－最初水平= xk － x0， 逐期增长量与累积增长量的关系
时点数列的序时平均(补充)
• 时点数列序时平均的基本思想： 1.找到每天的纪录xk， 若为间断纪录，则介于相邻两纪录xi-1至xi之间的某天 记录可近似为
xi 1 xi x 2
2.计算每天纪录xk的简单算术平均。 时点数列序时平均的基本方法是应用基本公式。 由于基本公式的复杂性，在序时平均的实际计算中， 可根据时点数列的不同状态对公式作一定的简化，得到不 同的公式形式。
12个动态分析指标(补充)
• 一、水平分析指标： • 1.发展水平：动态数列中的每一项具体指标数值。 常表示为：x0，x1， x2 ， … ，xn-1，xn。 其中： x0称为最初水平， xn称为最末水平， xk作为研究分析的对象时，称为报告期 水平， xk作为对比的水平时，称为基期水平。
12个动态分析指标(补充.续1)
①累积增长量=各逐期增长量之和：xn－x0= ∑(xk－xk-1) ②逐期增长量=相邻两累积增长量之差：xn－xn-1=(xn－x0)－(xn-1 － x0) • 5.平均增长量=累积增长量/增长期数
增长量-补充例题1
• 取自P301[例9.2]已知1998～2002年中国海关出口商品总额如下表：
• 取自P301[例9.2]已知1998～2002年中国海关出口商品总额如下表：
年份 1998 1837.09 1999 1949.31 2000 2492.03 2001 2661.55 2002 3255.96
出口商品总额
(亿美元)
求各年的增长百分之一的绝对值。 解：按增长百分之一的绝对值的计算公式计算得：
12个动态分析指标(补充.续3)
• ㈢增长速度：(相对速度指标)(P301) 基本公式：增长速度=发展速度－1=报告期水平÷基期水 平－1 • ⒐环比增长速度=环比发展速度－1= xk ÷ xk-1 －1 ， • ⒑定基增长速度=定基发展速度－1 = xk ÷ x0 －1 ， 环比增长速度与定基增长速度不存在类似于环比发展速 度与定基发展速度的关系。 • ⒒平均增长速度：(P302) 平均增长速度=平均发展速度－1 。
平均发展水平——序时平均数
绝 序 对 时 数 平 数 均 列 数 的
时期数列
x1 x2 xn x x n n
n xi 1 xi x0 x1 xn1 xn x1 x2 fi f1 f 2 fn 2 2 2 x 2 i 1 n n fi fi i 1 i 1
年份
1998 1837.09
1999 1949.31
2000 2492.03
2001 2661.55
2002 3255.96
出口商品总额 (亿美元)
求各年的逐期增长量和累积增长量。 解：按逐期增长量和累积增长量的计算公式计算得：
年份
出口商品总额 (亿美元)
k
xk xk－xk-1 xk－x0
1998
1837.09 — —
时间序列的类型
时间序列的类型
相对数 时间序列
绝对数 时间序列
均值 时间序列
时期序列
时点序列
时间序列的类型(补充)
• 1.绝对数时间序列：时间序列中的数值属于总量指标(数量 指标、绝对数——由加总而来)。又分为两种类型： ⑴时期数列——反映现象在一段时间内发展过程的总量； 彼此相连时期的指标值可以加总为更长时期的指标值；指 标值的大小与所包括时期长短有直接关系，时期长，指标 数值大；时期短，指标数值小。 ⑵时点数列——反映现象在某一时刻状况的总量；各个指 标值不具可加性，其和本身无意义；指标值的大小与其时 间间隔长短没有直接联系。 • 2.相对数时间序列或均值时间序列：时间序列中的数值属 于相对数或均值(由比较而来)。
环比发展速度与定基发展速度的关系
①定基发展速度=环比发展速度之积：xn ÷ x0= ∏ (xk ÷ xk-1) ②环比发展速度=相邻两定基发展速度之商：xk ÷ xk-1=(xk ÷ x0) ÷(xk-1 ÷x0) • 8.平均发展速度：(P302) 由于时间序列的多种类型，平均发展速度有不同的计算方法。将在下 面作专门分析。
年份 出口商品总额 (亿美元) 增长百分之一的绝 对值(亿美元) k xk xk-1/100
1998 1837.09 —
1999
2000
2001 2661.55 24.9203
2002 3255.96 26.6155