22.3实际问题与一元二次方程2
人教版初中数学22.3 实际问题与二次函数(第2课时) 课件
22.3 实际问题与二次函数/
22.3 实际问题与二次函数 （第2课时）
导入新知
22.3 实际问题与二次函数/
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际 问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
【思考】如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商 场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
素养考点 2 限定取值范围中如何确定最大利润
例3 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段
时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销
售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每 月的总利润最多是多少元？
即定价65元时，最大利润是6250元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？ 降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）， （2）由题意得： y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10（x﹣55）2+2250.
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
数学：22.3实际问题与一元二次方程课件2(人教新课标九年级上)
1、审：弄清题意，找出题中的等量关系; 2、设：用字母表示题中的所求量; 3、列：根据等量关系列出方程; 4、解：解出方程，并根本实际意义进行检验; 5、答：回答题中所问;
在长方形钢片上冲去一个长 方形，制成一个四周宽相等的长方 形框。已知长方形钢片的长为30cm， 宽为20cm,要使制成的长方形框的面 2 积为400cm ，求这个长方形框的框边 宽。
一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急 刹 车后汽车又滑行25m后停车．（3）刹车后汽车滑行到15m时约 用了多少时间（精确到0.1s）?
分析：（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs．• 由于 平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15 米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再 根据：路程=速度×时间，便可求出x的值． 解： （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时 车速为（20-8x）m/s,则这段路程内的平均车速为 〔20+(20-8x)〕÷2=（20-4x）m/s, 所以x（20-4x）=15 整理得：4x2-20x+15=0 解方程：得x= 5 10
分析：
主要相等关系是: 每台冰箱的销售利润 平均每天销售冰箱的数量 5000元.
(2900 x)元 如果设每台冰箱降价x元, 那么每台冰箱的定价就是 _______
x 2500)元.平均每天销售冰箱的 每台冰箱的销售利润为(2900 ____________ x (8 4 ) 台. 数量为_____________ 50
解 : 设每台冰箱降价x元, 根据题意, 得 x (2900 x 2500)(8 4 ) 5000. 50 整理得 : x 2 300 x 22500 0. 解这个方程, 得 x1 x2 150.
22.3实际问题与一元二次方程(利润)沈贵芬
2012-10-10
22.3实际问题与一元二次方程 --利润问题
列一元二次方程解应用题的一般步骤： 第一步：审题，明确已知和未知； 第二步：设出未知数； 第三步：找相等关系； 第四步：列方程； 第五步：解方程； 第六步：检验方程的根是否符合题意；
第七步：作答。
利润问题
例题： 某水果批发商场经销一种高档水果, 如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经 市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千 克涨价1元,日销售量减少20千克,现该商场要 保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实 惠,那么每千克应涨价多少元?
解：⑴设每件衬衫应降价x元 根据题意得： （40-x）（20+2x）=1200 解得：x1=10, x2=20 而商场为了尽快减少库存 答：每件应降价20元 ∴ x2-30x+200=0 ∴ x取20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、一个菱形的两条对角线的和是10cm， 面积是12cm2，求菱形的周长。（精确到 0.1cm ）
分析：个利润×销售量=总利润
解:设每千克水果应涨价x元,
依题意得: (500-20x)(10+x)=6000
整理得: x2-15x+50=0 解这个方程得:x1=5 x2=10 （舍去）
要使顾客得到实惠应取x=5
答:每千克水果应涨价 5元.
练习：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天 可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销 售，商场决定采取适当的降价措施。经调 查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平 均每天可多售出2件。若商场平均每天销售 这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫 应降价多少元
22.3 实际问题与一元二次方程 说课
22.3实际问题与一元二次方程2009-10-12 20:35:45| 分类：说课材料| 标签：|字号大中小订阅说课流程：一、教材分析二、学情分析三、说教法和学法四、说教学过程五、几点说明一、教材分析1、教材的地位和作用数学是一门来源于生活，又应用于生活的学科。
生活中不少实际问题的解决都要用到方程的知识。
本节内容是运用一元二次方程分析解决生活中的两个实际问题-—流感问题和利润率问题。
一元二次方程是应用广泛的数学工具，是中学数学的主要内容之一，在义务教育阶段的数学课程中占重要地位。
从知识发展上看，通过本节课的学习，可以对一元二次方程的解法加以巩固，也是列一元一次方程解决实际问题的深化和提高，同时本节课的学习又是后面继续学习列方程解决实际问题、用二次函数解决实际问题的基础。
因此，它有着承上启下的作用。
从知识的纵向联系上看，本节课的学习对其它学科又有着中重要意义。
比如在物理学中，利用一元二次方程等有关知识来研究物理极值、变速运动、能量守恒等问题。
2、教学目标在素质教育背景下的数学教学应该以学生的发展为本，学生的能力培养为重，尤其是创新、创造能力，以及培养学生良好的个性品质等。
根据以上指导思想，同时参照义务教育阶段《数学课程标准》的要求，确定本节课的教学目标如下：知识和技能目标：（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
（3）掌握列方程解应用题的一般步骤。
过程和方法目标：（1）经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对其进行描述。
（2）通过解决“流感”问题和“利润率”问题，学会将实际问题转化为数学问题，发展实践应用意识。
态度和价值观目标：（1）通过列方程解决实际问题，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的工具，培养数学观。
（2）在学习过程中学会自主学习与合作学习，发展个性特征。
22.3 实际问题与一元二次方程(2)
设长方形框的边宽为xcm,依题意 得 依题意,得 解:设长方形框的边宽为 设长方形框的边宽为 依题意 X
上一节，我们学习了解决“平均增 上一节，我们学习了解决“平均增 下降)率问题 长(下降 率问题”，现在，我们要 下降 率问题” 现在， 学习解决“面积、体积问题。 学习解决“面积、体积问题。
探究3 探究
在长方形钢片上冲去一个长方形， 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四 周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽 周宽相等的长方形框。 2 为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ，求这个 长方形框的框边宽。 长方形框的框边宽。 分析: 分析 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 本题关键是如何用 的代数式表示这个长方形框的面积 X X X X
1 解: (1) 方案 ：长为9 米，宽为 米; 方案1： 宽为7米 7
∴ b2 − 4ac = (−16)2 − 4 × 1 × 65 = −4 < 0
方案2：长为 米 宽为4米 方案3： 方案 ：长为16米，宽为 米; 方案 ：长=宽=8米; 宽 米 注：本题方案有无数种 （2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花 ）在长方形花圃周长不变的情况下， 圃面积不能增加2平方米 平方米. 圃面积不能增加 平方米 由题意得长方形长与宽的和为16米 设长方形花圃 由题意得长方形长与宽的和为 米.设长方形花圃 的长为x米 则宽为（16-x） 的长为x米，则宽为（16-x）米. x(16-x)=63+2， ， x2-16x+65=0， ， ∴此方程无解. 此方程无解 在周长不变的情况下， ∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能 增加2平方米 增加 平方米
223实际问题与一元二次方程辅导资料(含答案)
22.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。
在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．主要学习下列两个内容：1. 列一元二次方程解决实际问题。
一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键. 主要设置了【典例引路】中的例1、例2、例4.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.2. 一元二次方程根与系数的关系。
一般地，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是1x 和2x ，那么ac x x a b x x =•,=+2121-．主要设置了【典例引路】中的例3.【当堂检测】中的第4题，【课时作业】中的第6、7题.点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接).(3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程.(4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.(5)验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去.(6)答：即写出答案，不要忘记单位名称.总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.针对练习1: 某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（ ）A ．300(1＋x )=363B ．300(1＋x )2=363C ．300(1＋2x )=363D ．363(1－x )2=300【解析】B 设平均增长百分率为x ，由题意知基数为300公顷，则到2004年底的绿化面积为：300+300x =300（1+x ）（公顷）；到2008年底的绿化面积为：300（1+x ）+300（1+x ）x =300（1+x ）2公顷，而到2008年底绿化面积为363公顷，所以300(1＋x )2=363． 点击二：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系。
22.3实际问题与一元二次方程(销售问题)
2
x 30 0 .5
x 1 0 .5 = 2 7 5 0 .5
整理得： 2 x 1 1 x 5 = 0 解得：
x1 = 5 ， x 2 = 0 .5
答：当每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元时，该公司的年收益为 275 万元.
解：设每件应涨价 x 元，依题意得
5 500 - 10 x =8000
x 40x 300= 0
x1 = 1 0 ， x2 = 30
当x=10时，进货量为： 5 0 0 -1 0 x = 5 0 0 -1 0 1 0 = 4 0 0（个） 当x=30时，进货量为： 500-10x= 500 -1 0 30 = 20 0（个）
40 - x 20 2 x =1200
整理得： 解得：
x 30x 200= 0
x1 = 1 0 ， x2 = 20
2
为了减少库存，则降价越大，售出越多，库存就越少.故应降价20元.
答：要盈利1200元的利润，每件应降价20元.
练习 2
某公司投资新建了一商场，共有商铺 30 间．据预测，当每间 的年租金定为 10 万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000 元，少租出商铺 1 间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元． (1)当每间商铺的年租金定为 13 万元时，能租出多少间？ (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为 275 万元？ (收益＝租金－各种费用) 解：（1）5000元=0.5万元 少租的间数为：（13-10）÷0.5=6（间） 租出的间数为： 30-6=24（间） （2）设每间的年租金增加 x 万元，依题意得
九年级上数学《22.3 实际问题与一元二次方程2》课件
整理得：4x2-20x+15=0
x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s）
5 10 解方程：得x= 2
答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．
例：如图，ΔABC中，∠B=90º ，点P从点A开始 沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点 B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动. （1）如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经 过几秒钟，ΔPBQ的面积等于8cm2？
a(1 x) A
n
其中增长取“+”,降低取“－”
例：某商场销售一批名牌衬衫，平均 每天可售出20件，每件盈利40元，为 了扩大销售，增加盈利，尽快减少库 存，商场决定采取适当的降价措施， 经调查发现，如果每件衬衫降价1元， 商场平均每天可多售出2件，若商场平 均每天要盈利1200元，每件衬衫应降 价多少元？
利润问题主要用×总件数
分析：如果设每件衬衫降价x元，则每件衬衫盈利 （40-x）元，根据每降价1元就多售出2件，即降价x 元则多售出2x件，即降价后每天可卖出（20+2x)件， 由总利润=每件利润×售出商品的总量可以列出方程 解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
2001年
2002 年
2003年
180
180(1+x)
2
180(1 x) 2
解:这两年的平均增长率为x,依题有
180(1 x) 304.2
（以下大家完成）
类似地 这种增长率的问题在 实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或 降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则 它们的数量关系可表示为
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探究 一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路 讨论发言 面有情况,紧急 刹车后汽车又滑行25m后停车． 新知
分析：（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs．• 于 由 平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到 15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度， 再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值． 解： （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车 速为（20-8x）m/s,则这段路程内的平均车速为〔20+(208x)〕÷2=（20-4x）m/s, 所以x（20-4x）=15
100 6 解这个方程，得：x1=200≈118.4 3 100 6 x2=200+ （不合题意，舍去） 3
所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里．
本节课应掌握： 运用路程＝速度×时间，建立一元 二次方程的数学模型，并解决一些实 际问题．
1 ∴CD= AC=100 2 海里 2
DF=CF， 2 DF=CD
2 2 ∴DF=CF= CD= ×100 2 =100（海里） 2 2
所以，小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里．
（2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DE=x 海里，AB+BE=2x 海里， EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2=1002+（300-2x）2 整理，得 3x2-1200x+100000=0
段路程内的平均速度为〔5+(5-2x)〕÷2=（5-x）m/s, 所以x（5-x） =5
5 5 解方程：得x= 2 x1≈3.6（不合，舍去），x2≈1.4（s）
整理得：x2-5x+5=0
答：刹车后汽车行驶到5m时约用1.4s．
练习:
如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目 标B，• B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC 在 的中点，岛上有一补给码头：• 岛F位于BC上且恰好处于小岛D的 小 正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同 时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军 舰．(1）小岛D和小岛F相距多少海里? （2）已知军舰的速度是补给船的2倍， 军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E 处，• 么相遇时补给船航行了多少海 那 里?（结果精确到0.1海里）
一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发 现前方路面有情况，• 急 刹车后汽 紧 车又滑行25m后停车． （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
探究 讨论发言 新知
分析：（2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车 车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20， 是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以 从刹车到停车的时间即可． 解：（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是 20÷2.5=8（m/s）
练习:
1．一个小球以5m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减 速，滚动10m后小球停下来．（1）小球滚动了多少时间?（2） 平均每秒小球的运动速度减少多少?（3）小球滚动到5m时约用 了多少时间（精确到0.1s）? 解:（1）小球滚动的平均速度=(5+0)÷2=2.5（m/s） ∴ 小球滚动的时间：10÷2.5=4（s） (2)平均每秒小球的运动速度减少为(5－0)÷2.5=2（m/s） （3）设小球滚动到5m时约用了xs，这时速度为（5-2x）m/s,则这
分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也 是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求 DF的长．（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求， 因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．
解： （1）连结 DF，则 DF⊥BC ∵AB⊥BC，AB=BC=200 海里． ∴AC= 2 AB=200 2 海里，∠C=45°
复习 讨论发言 引入
路程、速度和时间三者的关系是 什么？ 路程＝速度×时间 我们这一节课就是要利用同学们刚 才所回答的“路程＝速度×时间”来建 立一元二次方程的数学模型，并且解决 一些实际问题．
探究 一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发 讨论发言 紧 新知 现前方路面有情况，• 急 刹车后汽
车又滑行25m后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精 确到0.1s）?
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间 （精确到0.15=0
解方程：得x=
x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s）
5 10 2
答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．
（1）同上题，求刹车后汽车行驶10m时约用了多 少时间．（精确到0.1s） （2）刹车后汽车行驶到20m时约用了多少时 间．（精确到0.1s）
（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少， 分析： 停车时时速为0．• 为刹车以后，其速度的减少都是受摩 因 擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速 度为=(20+0)÷2=10m/s，那么根据：路程=速度×时间， 便可求出所求的时间． 解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m； 从刹车到停车的平均车速是=(20+0)÷2=10（m/s） 那么从刹车到停车所用的时间是25÷10=2.5（s）