相似三角形,一元二次方程,三角函数
二次函数与相似三角形问题(含答案完美打印版)
综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
yxEQ PC B OA 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形并证明你的结论；（3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式．练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过5330P E ⎫⎪⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为225333y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系为什么练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。
高一数学知识点全部总结
高一数学知识点全部总结一、代数1.1 一元二次方程一元二次方程是高一数学的重点内容之一，一元二次方程的定义是形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a≠0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、公式法等。
1.2 不等式高一数学的不等式内容主要包括一元一次不等式、一元二次不等式以及一元三次不等式的求解方法，包括图像法、取值范围法、代数法等。
1.3 二次函数二次函数是高一数学代数部分的重点内容，涉及了函数的定义、性质、图像、极值、单调性、解析式等多个方面的内容。
1.4 基本初等函数高一数学还包括了基本初等函数的概念和性质，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、性质及其在实际问题中的应用。
1.5 绝对值函数绝对值函数也是高一数学中的一个重要内容，主要包括了绝对值函数的性质、图像及其在实际问题中的应用。
1.6 平面直角坐标系中的直线和圆平面直角坐标系中的直线和圆也是高一数学的重要内容，主要包括了直线的方程、性质、圆的方程、性质及其在实际问题中的应用。
1.7 数列数列也是高一数学的一个重要内容，包括等差数列、等比数列、递推数列等的概念、性质、求和公式及其在实际问题中的应用。
1.8 集合与函数高一数学的内容还包括了集合的基本概念、基本运算、集合的关系和函数的概念、性质、运算、基本初等函数的图像等内容。
1.9 二项式定理二项式定理是高一数学中的一个重要概念，包括二项式的展开式、二项式系数、二项式定理的应用等方面的内容。
1.10 逻辑与命题关系逻辑与命题关系也是高一数学的一个知识点，主要包括了命题、充分必要条件、等价命题、逻辑联结词、命题公式等内容。
二、几何2.1 几何图形的性质高一数学的几何内容主要包括了基本的几何图形的性质，包括直线、角、三角形、四边形、圆等的基本性质、判定方法和应用题。
2.2 相似三角形相似三角形是高一数学中的重点内容，主要包括了相似三角形的性质、判定方法及其在实际问题中的应用。
相似三角形的特殊性质
相似三角形的特殊性质相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
它们具有许多特殊性质，本文将探讨其中的一些重要性质。
一、比例关系相似三角形的重要性质之一是对应边的比例关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
根据相似三角形的定义，可以得出以下比例关系:1. 边长比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
即相似三角形的对应边长之间具有相等的比例关系。
2. 周长比例：如果两个三角形相似，则它们的周长之比等于任意一条对应边的比值。
即ABC和DEF的周长之比等于AB/DE = BC/EF = AC/DF。
二、高线的性质在相似三角形中，高线（从顶点到底边上的垂线）之间也存在比例关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，以及高线AD和DF，它们之间的比值等于与它们相对的底边比值，即AD/DF = AB/DE = AC/DF。
三、面积的性质相似三角形的面积也具有特殊的性质。
假设有两个相似三角形ABC 和DEF，它们的对应边长比为k，则它们的面积比为k^2，即S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2。
这意味着当两个三角形相似时，它们的面积之比等于对应边长之比的平方。
四、角平分线的性质在相似三角形中，角平分线（从顶点分别到对边上的等角点的直线）之间也存在比例关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，以及角平分线AE和DF，它们之间的比值等于与它们相对的底边比值，即AE/DF = AB/DE = AC/DF。
五、逆三角函数的性质在相似三角形中，对应角的正弦、余弦和正切值相等。
设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
则sinA/sinD = sinB/sinE = sinC/sinF，cosA/cosD =cosB/cosE = cosC/cosF，tanA/tanD = tanB/tanE = tanC/tanF。
初中数学二次函数,三角函数,相似的总结
二次函数的有关知识：1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向 对称轴顶点坐标 2ax y =当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下0=x （y 轴） （0,0） k ax y +=20=x （y 轴）(0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2 ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法5. （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ). （2）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔(0>∆)⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(0=∆)⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔(0<∆)⇔抛物线与x 轴相离. （3）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（4）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，则12AB x x =-锐角三角函数：①设∠A 是Rt △ABC 的任一锐角，则∠A 的正弦：sin A ＝，∠A 的余弦：cos A＝-，∠A 的正切：tan A ＝．并且sin 2A ＋cos 2A ＝1．0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0．∠A 越大，∠A 的正弦和正切值越大，余弦值反而越小． ②余角公式：sin (90º－A )＝cos A ，cos (90º－A )＝sin A ． ③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝，sin45º＝cos45º＝，sin60º＝cos30º＝， tan30º＝，tan45º＝1，tan60º＝．④斜坡的坡度：i ＝铅垂高度水平宽度＝．设坡角为α，则i ＝tan α＝．相似三角形一、基本知识及需要说明的问题: (一)比例的性质1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔=此性质非常重要,要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法.2.合、分比性质:ddc b b ad c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.如:已知d c cb a a dc b a +=+=:,求证证明:∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴dc cb a a +=+3.等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n mf e d c b a 则b a n f d b m ec a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++. 4.比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. (二)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l 1∥l 2∥l 3,A D l 1B E l 2C F l 3hlα可得EFBC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的．．．．三边．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. AD E B C说明:①此定理和平行线分线段成比例定理的异同 相同点:都是平行线不同点:平行线分线段成比例定理的推论是两条平行线截其它两边所成的对应线段成比例,即AD 与AE,DB 与EC,AB 与AC 这六条线段,而此定理是三角形的三边对应成比例.即ACAEAB AD BC DE AC AE BC DE AB AD ===或或，只要有图形中的BC DE ,它一定是△ADE 的三边与△ABC 的三边对应成比例.②注意:条件(平行线的应用)在作图中,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.如:如图（1），已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FCAF A A F F E EG EB DC BD C B D G C 图（1） 图（2） 图（3） 辅助线当然是添加平行线。
相似三角形的应用
相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。
本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。
一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。
例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。
类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。
2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。
当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。
3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。
通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。
二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。
通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。
2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。
例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。
相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。
3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。
根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。
总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。
通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。
高中数学所有公式大总结
高中数学所有公式大总结高中数学是一门重要的学科，其中涉及了许多公式和定理。
这些公式和定理帮助学生解决各种数学问题，以及在日常生活中应用数学知识的能力。
一、代数公式：1. 一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其求根公式为 x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)。
2. 因式分解公式：将一个多项式进行因式分解，以简化计算或解决方程的过程。
3. 比例与相似性公式：包括比例的定义、比例的性质以及相似三角形的性质和判定方法。
4. 二项式定理：展开一个二项式的幂，即(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n。
二、几何公式：1. 直角三角形的勾股定理：对于直角三角形，满足a^2 + b^2 = c^2，其中a和b是直角边，c是斜边。
2. 三角函数的基本关系：包括正弦定理、余弦定理和正切定理，用于解决三角形的边长和角度之间的关系。
3. 圆的面积和周长公式：圆的面积公式为A = πr^2，圆的周长公式为C = 2πr，其中r是圆的半径。
4. 三角形的面积公式：三角形的面积公式为A = 1/2 * b * h，其中b是底边长，h是对应的高。
三、微积分与导数：1. 导数的定义与性质：导数表示函数在某一点的变化率，可以用于求函数的极值、曲线的切线等问题。
2. 基本导数公式：例如常数函数的导数为0，幂函数的导数为n * x^(n-1)，指数函数的导数为e^x。
3. 导数的四则运算法则：包括求和、差、乘积和商的导数法则，用于求复合函数的导数。
四、概率与统计公式：1. 排列组合公式：包括排列数公式P(n,r) = n! / (n-r)!和组合数公式C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)，用于计算事件的可能性。
2. 期望与方差公式：期望表示随机变量的平均值，方差表示随机变量的离散程度，用于描述随机事件的分布情况。
相似三角形与三角函数的关系探究
相似三角形与三角函数的关系探究相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的两个三角形。
它们之间存在着一种有趣的关系，与三角函数密切相关。
本文将探究相似三角形与三角函数之间的关系。
1. 引言相似三角形与三角函数是高中数学中的重要概念，它们的关系不容忽视。
相似三角形是几何学中的基础概念，而三角函数则是在解析几何和三角学中广泛应用的数学工具。
通过研究它们之间的关系，我们可以更深入地理解三角函数的性质和相似三角形的性质。
2. 相似三角形的定义与性质相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。
在相似三角形中，我们可以通过关联两个三角形的对应边，建立起三角函数与相似三角形之间的联系。
3. 三角函数与相似三角形的关系在相似三角形中，我们可以利用三角函数来研究各个角的关系。
以正弦函数为例，我们知道在一个直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。
在相似三角形中，如果两个三角形的某个角相等，那么这两个三角形的对边与斜边的比例也相等。
因此，我们可以利用相似三角形的性质，将三角函数的定义推广到非直角三角形上。
4. 应用举例：利用三角函数求解相似三角形的边长比例在解决实际问题时，我们经常会遇到需要求解相似三角形边长比例的情况。
通过建立适当的三角函数关系，我们可以利用已知条件来求解未知边长的比例。
这种方法在测量不便或无法直接测量的情况下非常有用，例如建筑物高度的测量、地理测量等。
5. 三角函数与角度的关系除了与相似三角形相关联之外，三角函数还与角度的概念息息相关。
我们知道，三角函数的定义依赖于角度的概念。
在相似三角形中，对应角相等的两个三角形中，角的度数也是相等的。
因此，我们可以通过相似三角形的性质进一步研究三角函数与角度的关系。
6. 三角函数的周期性三角函数的周期性是它们独特的性质之一。
在相似三角形中，如果两个角的度数相等，那么这两个角的三角函数值也是相等的。
这意味着在一个周期内，三角函数的值会重复出现。
相似三角形的证明方法
相似三角形的证明方法相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何推导和实际问题中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍相似三角形的定义，并详细讨论几种证明相似三角形的方法。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们是相似的。
换句话说，若两个三角形的对应角度分别相等，则它们是相似的。
二、数学证明法1. AA相似定理相似三角形的AA相似定理指的是，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。
具体而言，当两个三角形的两个对应角相等时，它们一定是相似的。
证明方法：首先，我们选取两个相似三角形的两个对应角，设为∠A1和∠A2，∠B1和∠B2。
然后，利用已知信息，通过角度相等的性质进行证明。
最后，根据相似三角形的定义，我们得出结论：∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，所以两个三角形是相似的。
2. AAA相似定理AAA相似定理是指如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们是相似的。
具体来说，当两个三角形的三个对应角都相等时，它们是相似的。
证明方法：假设有两个相似三角形，其三个对应角分别为∠A1、∠B1、∠C1，∠A2、∠B2、∠C2。
根据已知信息，我们进行角度的对应比较。
通过比较∠A1和∠A2、∠B1和∠B2、∠C1和∠C2，我们可以得出结论：两个三角形的三个对应角分别相等，因此它们是相似的。
三、几何证明法1. 边长比较法边长比较法是指通过比较两个三角形的对应边长之间的比值来证明相似。
具体而言，当两个三角形的三个对应边长比值相等时，它们是相似的。
证明方法：假设有两个相似三角形，分别为△ABC和△DEF。
我们可以比较边长AB与DE、BC与EF、AC与DF之间的比值。
如果这三组比值相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么我们可以得出结论：两个三角形是相似的。
2. 三角函数关系法三角函数关系法是通过利用正弦定理、余弦定理等三角函数的性质来证明相似三角形。
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相似三角形，一元二次方程，三角函数13. 如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60㎝，小孔O到像CD的距离是30㎝，若物体AB的长为16㎝，则像 CD的长是㎝15. 如图，正方形OABC 与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为 2：3 ，点A 的坐标为（ 0， 2 ），则点E的坐标是21. （8分）如图，△ABC中，AB=8，AC=6（1）请用尺规作图的方法在AB 上找点D ，使得△ACD ∽△ABC （保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求 AD的长22. （10分）某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件.（1）若想要这种童装销售利润每天达到 1200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？24. （12分）如图①，四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，点E，G分别在边 CD，CB上，点F 在AC上，AB=3 ，BC=4（1）求AFBG的值；（2）把矩形CEFG绕点C 顺时针旋转到图②的位置，P为AF，BG的交点，连接CP（Ⅰ）求AFBG的值（Ⅱ）判断 CP与AF的位置关系，并说明理由.22．（10分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．(1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；(2)求∠BAC的度数．23.(本题满分10分)小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一.由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录.(1)请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；(直接写出答案)(2)按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼(只卖活鱼)，且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由.17.(本题共8分)求证:关于x 的一元二次方程()0332=++-m x m x 总有两个实数根.18.(本题共8分)已知:，022=--a a 求代数式112+∙⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a a a a 的值.19.(本题共8分)如图,在△ABC 中,AB=AC ∠BAC=108°,点D 、E 分别在边BC 、边AB 上,且∠ADE=36°.求证:△ADC ∽△DEB22.(本题共10分)已知关于x 的函数，x xy +=1下表是y 与x 的几组对应值：如图,在平面直角坐标系xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点画出了此函数的图象请你根据学习函数的经验,根据画出的函数图象特征,对该函数的图象与性质进行探究:(1)该函数的图像关于______对称；(2)在y 轴右侧,函数变化规律是当，＜＜10x y 随x 的增大而减小；当，＞1x y 随x 的增大而增大。
在y 轴左侧,函数变化规律是______________________.(3)函数()01＞x x x y +=当1=x 时,y 有最小值为2；函数()01＞x x xy +=当x ______时,y 有最_____值为__________.(4)若方程m x x=+1有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是____________.23.(本题共10分)元旦期间,某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲。
如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用。
(1)若房价定为200元时,求宾馆每天的利润；(2)房价定为多少时,宾馆每天的利润最大?最大利润是多少?17(1)计算：（）﹣2+（2016﹣）0﹣tan60°19已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．21如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）若点C的坐标为（2，4），则点A′的坐标为，点C′的坐标为，S△A′B′C′：S△ABC= ．22商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 节日期间商场决定采取降价促销. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价元.（1）商场日销售量增加_____件，每件商品盈利_____元（用含的代数式表示）；（2）为尽量减少库存，当每件商品降价多少元时，商场日盈利为2100元？25如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．（1）几秒后P、Q两点相距25cm？（2）几秒后△PCQ与△ABC相似？（3）设△CPQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．1. (9分)如图所示，以△OAB的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，A 、B 的坐标分别为A （－2，－3）、B （2，－1），在网格图中将△OAB 作下列变换，画出相应的图形．．．．．．．，并写出三个对应顶点的坐标： （1）将△OAB 向上平移5个单位，得△O 1A 1B 1；（2）以点O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的2倍，得△OA 2B 2．2. (9分)如图，已知直线AB ：43y x b =+交x轴于点A （－3， 0），交y 轴于点B ，过点B 作BC ⊥AB 交x 轴于点C .（1）试证明：△ABC ∽△AOB ；（2）求△ABC 的周长.3. (12分)如图，已知直线l ：212y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 在线段OB 上运动（不与O 、B 重合），连结AC ，作CD ⊥AC ，交线段AB 于点D ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）当点D 的纵坐标为8时，求点C 的坐标；（3）过点B 作直线BP ⊥y 轴，交CD 的延长线于点P ，设OC=m ，BP=n ，试求n 与m 的函数关系式，并直接写出m 、n 的取值范围．4. (14分)如图，已知△ABC 中，AB=AC=a ，BC=10，动点P 沿CA 方向从点C 向点A运动，同时，动点Q 沿CB 方向从点C 向点B 运动，速度都为每秒1个单位长度，P 、Q 中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动．过点P 作PD ∥BC ，交AB 边于点D ，连结DQ ．设P 、Q 的运动时间为t ．（1）直接写出BD 的长；（用含t 的代数式表示）（2）若15a =，求当t 为何值时，△ADP 与△BDQ 相似；（3）是否存在某个a 的值，使P 、Q 在运动过程中，存在::1:4:4BDQ ADP CPDQ S S S ∆∆=梯形的时刻，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．22、甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．23、如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q 分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为 12cm2？24、如图，点A 的坐标为（1，1），点C 是线段OA 上的一个动点（不运动至O ，A 两点），过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF ．连接AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ，连接OF ，若以B ，E ，F 为顶点的三角形与△OFE 相似，B 点的坐标是20．已知：关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +m 2+m ﹣2=0． 求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．(8分)24．(8分)如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ．（1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）当AD = ，12DE EC 时，求AF 的长．23、（9分）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADB ＋∠EDC ＝120°． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）若BD ＝3，CE ＝2，求△ABC 的边长．21、(9分)如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F ． 求证：△ABE ∽△DF A ；A D CB EFA B C D25、（13分）某书店要经营一种新上市的中考数学复习资料,进价为每本20元,试营销阶段发现每天的销售量y(本)与单价x(元/本)之间满足如表:22．（8分）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．23．（8分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．19、（6分）如图，图中小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′ B′ C′是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上．(1)画出位似中心点O；(2)△ABC与△A′B′C′的位似比为 .21．（9分）如图，在等边．．三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且13ADAC＝，12AEAB＝．试说明：△ADE∽△CDB22．（9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△ABC作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．CABD EF25．（12分）如图，已知//AD BC ，点E 在AC 上且3AE EC =，连结DE 并延长它，交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G . （1）试说明：△ADE ∽△CFE ； （2）当2EF =时，①求ADCF的值和DE 的长； ②当点F 恰好是BC 的中点时，求GF 的长； （3）当CF BF 的值为多少时，9GDGF=.请简单说明理由.24、(9分) 已知如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，E 为AC 中点， 连结ED 并延长交CB 的延长线于F （1）求证：△CDF ∽△DBF ； （2）若AC=4,BC=3,求BD 及CFDF；22、（8分）已知：如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，BD 平分∠ABC ． （1）求证：BD=CD（2）试说明AB •BC=AC •CD ．。