三角函数和相似三角形综合题
苏科版九年级数学下册：《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练
《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练1、下列两个图形:①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形. 其中一定相似的有( ) A.2组 B.3组 C.4组 D.5组2、（1）如果234x y z==，求3x y z y -+=_____________ （2）已知x ：y =3：5，y ：z =2：3，则zy x zy x +-++2的值为3、应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m 2，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于( )A.一个篮球场的面积B.一张乒乓球台台面的面积C.《陕西日报》的一个版面的面积D.《数学》课本封面的面积4、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( ) A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm 5、 如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADEDBCE SS :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ）A ．1 : 9B ．1 : 3C ．1 : 8D ．1 : 26、如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA 的值为 ．7、在Rt △ABC 中，∠C =90º，AB =10，AC =8，则sin A 的值是（ ） A ．45B ．35C ．34 D ．43． 8、若3tan （a+10°）=1，则锐角a 的读数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°9、如果△ABC 中，sinA=cosB=2，则下列最确切的结论是（ ） A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形 D. △ABC 是锐角三角形10、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）11、 如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接,,BG DE DE 和FG 相交于点O ，设,()AB a CG b a b ==>.下列结论:①BCG DCE ∆≅∆；②BG DE ⊥；③DG GOGC CE=；④22()EFO DGO a b S b S ∆∆-⋅=⋅.其中结论正确的个数是( ) A. 4 B.3 C.2 D. 112、水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC ,其中AB 为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则α的余弦值为 .13、在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m ，塔影长DE=18m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ） A ．24m B ．22m C ．20m D ．18m14、如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，4）、B （-3，1）、C （-1，1），以坐标原点O 为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC 放大，放大后得到△A ′B ′C ′． （1）画出放大后的△A ′B ′C ′，并写出点A ′、B ′、C ′的坐标．（点A 、B 、C 的对应点为A ′、B ′、C ′）（2）求△A ′B ′C ′的面积．15、一块直角三角形木板，一直角边是1.5米，另一直角边长是2米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如左图和右图所示，请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.16、如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高2.0米，且AC =2.17米，设太阳光线与水平地面的夹角为α.当︒=60α时，测得楼房在地面上的影长AE =10米，现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳.（3取73.1）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当︒=45α时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.17、图①是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算:① ② ③如图②，AB BC ⊥，垂足为点B ，EA AB ⊥垂足为点A ，//CD AB ，10CD =cm ， 120DE =cm ，FG DE ⊥，垂足为点G .(1)若3750'θ∠=︒，则AB 的长约为 cm.(参考数据: sin3750'0.61︒≈，cos3750'0.79︒≈，tan3750'0.78︒≈)(2)若30FG =cm ，60θ∠=︒，求CF 的长.18、如图，在直角坐标系中，Rt △OAB 的直角顶点A 在x 轴上，OA =4，AB =3．动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；同时点N 从点O 出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB 向终点B 移动．当两个动点运动了x 秒（0＜x ＜4）时，解答下列问题： （1）求点N 的坐标（用含x 的代数式表示）；（2）设△OMN 的面积是S ，求S 与x 之间的函数表达式；（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．19、阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点D 旋转，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q,易说明△APD ∽△CDQ．猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF （其中∠EDF=30°）的锐角顶点D 与等腰三角形ABC （其中∠ABC = 120°）的底边中点O 重合，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q ．写出图中的相似三角形 （直接填在横线上）；验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF 旋转至两边分别与线段AB 的延长线、边BC 相交于点P 、Q ．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形,并说明理由．连结PQ ，△APD 与△DPQ 是否相似？为什么?探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）20、从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线． （2）在△ABC 中，∠A=48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数． （3）如图2，△ABC 中，AC=2，BC=，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．ＢＥ Ｐ ＡＣ Ｑ Ｆ Ｄ(O)图1图2Ｄ(O) B CFE P Q A 图3AC B21、如图（1），点C 将线段AB 分成两部分，如果AC ：AB=BC ：AC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点。
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相像三角形、解直角三角形及二次函数的综合种类一：圆与相像三角形的综合1．如图， BC 是⊙ A 的直径，△ DBE的各个极点均在⊙ A 上， BF⊥ DE于点 F.求证： BD·BE＝ BC·BF.2．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，以 AC为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E.(1)求证：点 E 是边 BC的中点；求证：2＝BD·BA；(2)BC(3)当以点 O， D， E，C 为极点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1) 连接 OD，∵ DE为切线，∴∠ EDC＋∠ ODC＝90° .∵∠ ACB＝90°，∴∠ ECD＋∠ OCD＝ 90° .又∵ OD＝ OC，∴∠ ODC＝∠ OCD，∴∠ EDC＝∠ ECD，∴ ED＝ EC.∵AC 为直径，∴∠ADC＝ 90°，∴∠ BDE＋∠ EDC＝ 90°，∠ B＋∠ECD＝ 90°，∴∠ B＝∠ BDE，∴ ED＝ EB，∴ EB＝EC，即点 E 为边 BC的中点(2)∵ AC为直径，∴∠ ADC＝∠ ACB＝90° .又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABC∽△ CBD，∴ABBC＝ BCBD，∴B C2＝ BDBA(3)当四边形 ODEC为正方形时，∠ OCD＝ 45° .∵AC 为直径，∴∠ ADC＝ 90°，∴∠ CAD＝90°－∠ OCD＝ 90°－ 45°＝ 45°，∴ Rt△ ABC 为等腰直角三角形种类二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ ABC中，以 AC 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC 的中点，DE⊥ AB，垂足为点 E，交 AC 的延伸线于点 F.(1)求证：直线EF是⊙ O 的切线；(2)已知 CF＝ 5， cosA＝25，求 BE 的长．解： (1)连接 OD.∵ CD＝DB，CO＝ OA，∴ OD 是△ ABC的中位线，∴OD∥ AB， AB＝2OD.∵ DE⊥ AB，∴ DE⊥OD，即 OD⊥ EF，∴直线 EF是⊙ O 的切线(2)∵ OD∥ AB，∴∠ COD＝∠ A，∴ cos∠ COD＝ cosA＝ 25.在 Rt△ DOF中，∵∠ ODF＝ 90°，∴ cos∠ FOD＝ ODOF＝ 25.设⊙ O 的半径为 r，则 rr ＋ 5＝ 25，解得 r＝ 103，∴ AB＝ 2OD＝ AC＝ 203.在 Rt△ AEF中，∵∠ AEF＝ 90°，∴ cosA＝ AEAF＝AE5＋ 203＝25，∴ AE＝ 143，∴ BE＝AB－ AE＝203－ 143＝ 24．(2015 ·资阳 )如图，在△ ABC中， BC是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，且⊙ O 与 AC 订交于点D， E 为 BC 的中点，连接 DE.(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)连接 AE，若∠ C＝ 45°，求 sin∠ CAE的值．解： (1)连接 OD，BD，∵ OD＝ OB，∴∠ ODB＝∠ OBD.∵ AB 是直径，∴∠ ADB＝ 90°，∴∠ CDB＝ 90° .∵ E为 BC的中点，∴ DE＝BE，∴∠ EDB＝∠ EBD，∴∠ ODB＋∠ EDB＝∠ OBD＋∠ EBD，即∠ EDO＝∠ EBO.∵ BC 是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，∴ AB⊥ BC，∴∠ EBO＝90°，∴∠ ODE＝ 90°，∴ DE 是⊙ O 的切线(2)过点 E 作 EF⊥ CD于点 F，设 EF＝ x，∵∠ C＝45°，∴△ CEF，△ABC 都是等腰直角三角形，∴CF＝ EF＝ x，∴ BE＝ CE＝ 2x，∴AB＝ BC＝ 22x.在 Rt△ ABE中， AE＝ AB2＋ BE2＝ 10x，∴ sin∠ CAE＝ EFAE＝ 10105．如图，△ ABC 内接于⊙ O，直径 BD 交 AC 于点 E，过点 O 作 FG⊥ AB，交 AC 于点 F，交 AB 于点 H，交⊙ O 于点 G.(1)求证： OF·DE＝ OE·2OH；(2)若⊙ O 的半径为12，且 OE∶OF∶ OD＝ 2∶3∶ 6，求暗影部分的面积． (结果保存根号 )解： (1)∵ BD 是直径，∴∠ DAB＝ 90° .∵ FG⊥ AB，∴ DA∥ FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OFDE＝OEAD.∵O 是BD 的中点， DA∥ OH，∴ AD＝ 2OH，∴ OFDE＝ OE2OH(2)∵⊙ O 的半径为12，且 OE∶ OF∶ OD＝2∶ 3∶ 6，∴ OE＝ 4， ED＝8，OF＝ 6，∴ OH＝ 6.在 Rt△OBH 中，OB＝ 2OH，∴∠ OBH＝ 30°，∴∠ BOH＝ 60°，∴ BH＝ BOsin60°＝ 12× 32＝ 63，∴ S 暗影＝ S 扇形 GOB－S△OHB＝60×π× 122360－ 12× 6×63＝ 24π－ 183种类三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(－ 4，0)， B(1，0)，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C(0，2)，过点 C作圆的切线交 x 轴于点 D.(1)求过 A，B， C 三点的抛物线的分析式；(2)求点 D 的坐标；(3)设平行于 x 轴的直线交抛物线于E，F 两点，问：能否存在以线段EF为直径的圆，恰巧与x轴相切若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明原因．解： (1)y＝－ 12x2－ 32x＋2(2)以 AB 为直径的圆的圆心坐标为O′ (－32，0)，∴O′ C＝ 52， O′ O＝ 32.∵ CD为圆 O′的切线，∴O′ C⊥ CD，∴∠ O′CO＋∠ DCO＝ 90° .又∵∠CO′ O＋∠ O′ CO＝90°，∴∠ CO′ O＝∠DCO，∴△ O′ CO∽△ CDO，∴ O′ OOC＝ OCOD，∴322＝ 2OD，∴ OD＝ 83，∴点 D 的坐标为 (83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－ 32，设满足条件的圆的半径为|r| ，则点 E 的坐标为 (－ 32＋ r， r)或 F(－ 32－r ， r)，而点 E 在抛物线y ＝－ 12x2－ 32x＋2 上，∴ r＝－ 12(－ 32＋ |r|)2 － 32(－ 32＋ |r|) ＋ 2，∴ r1＝－ 1＋ 292， r2＝－1－ 292(舍去 )．故存在以线段EF 为直径的圆，恰巧与x 轴相切，该圆的半径为－1＋ 2927．如图，抛物线y＝ax2＋ bx－ 3 与 x 轴交于 A， B 两点，与y 轴交于点C，经过 A，B， C 三点的圆的圆心抛物线的极点为M(1 ，m)恰幸亏此抛物线的对称轴上，E.⊙ M的半径为.设⊙ M与y 轴交于点D，(1)求 m 的值及抛物线的分析式；(2)设∠ DBC＝α，∠ CBE＝β，求 sin( α－β)的值；(3)研究坐标轴上能否存在点 P，使得以 P， A， C 为极点的三角形与△ BCE相像若存在，请指出点 P 的地点，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．解： (1)由题意，可知 C(0，－ 3)，－ b2a＝1，∴抛物线的分析式为 y＝ ax2－ 2ax－ 3(a＞ 0)．过点 M 作 MN ⊥y 轴于点 N，连接 CM，则 MN ＝ 1， CM＝ 5，∴ CN＝ 2，于是 m＝－ 1.同理，可求得 B(3，0)，∴ a× 32－ 2a× 3－ 3＝0，解得 a＝ 1. ∴抛物线的分析式为 y＝ x2－ 2x－3(2)由 (1)得， A(－1 ，0)， E(1，－ 4)， D(0， 1)，∴△ BCE为直角三角形， BC＝32， CE＝ 2，∴OBOD＝31＝ 3， BCCE＝ 322＝3，∴ OBOD＝ BCCE，即 OBBC＝ ODCE，∴ Rt△BOD∽ Rt△BCE，得∠ CBE＝∠ OBD＝β，所以 sin(α－β )＝sin(∠ DBC－∠ OBD)＝ sin∠ OBC＝ COBC＝ 22(3)明显 Rt△ COA∽ Rt△ BCE，此时点 O(0， 0)．过点 A 作 AP2⊥ AC 交 y 轴的正半轴于点 P2，由 Rt△ CAP2∽Rt△ BCE，得 P2(0，13)．过点 C 作 CP3⊥ AC交 x 轴的正半轴于点 P3，由 Rt△P3CA∽ Rt△ BCE，得 P3(9，0)．故在座标轴上存在三个点 P1(0， 0)，P2(0， 13)，P3(9， 0)，使得以 P， A， C为极点的三角形与△ BCE相像。
相似三角形练习含答案
相似三角形1、（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米．考点：相似三角形的应用．分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=1.5m．故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．2、（2013•黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．考点：相似三角形的判定与性质．分析：由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案．解答：解：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵在Rt△ACB中∠B=45°，∴AB=AC，∵在RtACD中，∠D=30°，∴CD==AC，∴==．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3、（2013台湾、33）如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（）A．甲＞乙，乙＞丙B．甲＞乙，乙＜丙C．甲＜乙，乙＞丙D．甲＜乙，乙＜丙考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先过点B作BH⊥GF于点H，则S乙=AB•AC，易证得△ABC∽△DBE，△GBH∽△BCA，可求得GF，DB，DE，DF的长，继而求得答案．解答：解：如图：过点B作BH⊥GF于点H，则S乙=AB•AC，∵AC∥DE，∴△ABC∽△DBE，∴，∵BC=7，CE=3，∴DE=AC，DB=AB，∴AD=BD﹣BA=AB，∴S丙=（AC+DE）•AD=AB•AC，∵A∥GF，BH⊥GF，AC⊥AB，∴BH∥AC，∴四边形BDFH是矩形，∴BH=DF，FH=BD=AB，∴△GBH∽△BCA，∴，∵GB=2，BC=7，∴GH=AB，BH AC，∴DF=AC，GF=GH+FH=AB，∴S甲=（BD+GF）•DF=AB•AC，∴甲＜乙，乙＜丙．故选D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．4、（13年北京4分5）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。
初中数学几何图形综合题
初中数学几何图形综合题必胜中学2018-01-30 15:15:15题型专项几何图形综合题【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.类型1操作探究题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F.(1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；(2)若∠DAF＝∠DBA.①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.解：(1)证明：由旋转得，∠BAC＝∠BAD，∵DF⊥AC，∴∠CAD＝90°.∴∠BAC＝∠BAD＝45°.∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°.∴AC＝BC.(2)①AF＝BE.理由：由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADB.∴AF∥BD.∴∠BAC＝∠ABD.∵∠ABD＝∠FAD，由旋转得∠BAC＝∠BAD.∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝1/3×180°＝60°.由旋转得，AB＝AD.∴△ABD是等边三角形．∴AD＝BD.在△AFD和△BED中：1.∠F=.∠BED=90°；2.AD＝BD； 3.∠FAD＝∠EBD，∴△AFD≌△BED(AAS)．∴AF＝BE.②如图由旋转得∠BAC＝∠BAD.∵∠ABD＝∠FAD＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝2∠BAD.∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°.∴∠BAD＝36°.设BD＝a，作BG平分∠ABD，∴∠BAD＝∠GBD＝36°.∴AG＝BG＝BD＝a.∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD.∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB.∴BD/AD＝DG/DB.∴BD/AD＝(AD－BD)/BD∴AD/BD＝（1+根号5）/2。
北师大版九年级数学上册 第四章 相似三角形培优专题 (含答案)
北师大版九年级上册 第四章 相似三角形培优专题 （含答案）一、单选题1．如图，过点0(0,1)A 作y 轴的垂线交直线:3l y x =于点1A ，过点1A 作直线l 的垂线，交y 轴于点2A ，过点2A 作y 轴的垂线交直线l 于点3A ，…，这样依次下去，得到012A A A ∆，234A A A ∆，4564A A ∆，…，其面积分别记为1S ，2 S ，3 S ，…，则100S （ ）A ．1002⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．100C ．1994D ．39522．如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2A D B D=，6BC =，则线段CD 的长为（ ）A．B ．C ．D ．53．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ．使得15CDE ︒∠=，连接BE 并延长BE 到F ，使CF CB =，BF 与CD 相交于点H ，若1AB =，有下列结论：①BE DE =；②CE DE EF +=；③1412DEC S ∆=-；④1DH HC =-．则其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④4．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，若点E ，F 分别在AB,CD 上，且BE=2AE ，DF=2FC ，G ，H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．45．如图，在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC ∆的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）A ．20B ．22C ．24D ．266．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，:AD AB =，将ABD △沿BD 折叠，点A 的对应点为F ，连接AF 交BC 于点G ，且2BG =，在AD 边上有一点H ，使得BH EH +的值最小，此时BH CF=（ ）A ．2B ．3C ．2D ．327．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，BD ，AE 交于点O ，若随机向平行四边形ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．116B ．112C ．18D ．168．如图，在平面直角坐标系中，已知()()()3,2,0,-2,3,0,A B C M ---是线段AB 上的一个动点，连接CM ，过点M 作MN MC ⊥交y 轴于点N ，若点M N 、在直线y kx b =+上，则b 的最大值是（ ）A ．78-B ．34-C ．1-D ．09．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，P 是对角线BD 上任意一点，过点P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F .设BP ＝x ，EF ＝y ，则能大致表示y 与x 之间关系的图象为( )A ．B ．C ．D ．10．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上的一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则下列结论中:①4ABM FDM S S =；②PN =；③tan ∠EAF=34；④.PMN DPE ∽正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④11．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线,AC BD 的交点，过点O 作射线分别交,OM ON 于点,E F ，且90EOF ∠︒＝，交,OC EF 于点G ．给出下列结论：COE DOF V V ①≌;OGE FGC V V ②∽C ；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；22•DF BE OG OC +④＝．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．③④12．如图，在ABC ∆中，D 在AC 边上，12AD DC ：＝：，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE EC ：＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：313．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知2)B ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD PC ⊥，交x 轴于点D ．下列结论：①OA BC ==②当点D 运动到OA 的中点处时，227PC PD +=；③在运动过程中，CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．如图，在ABC △中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥，过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ，若1DE =，则ABC △的面积为( )A ．B ．4C ．D ．8二、填空题 15．如图，在等腰Rt ABC ∆中， 90C =∠，15AC =，点E 在边CB 上， 2CE EB =，点D 在边AB 上，CD AE ⊥，垂足为F ，则AD 长为_____．16．如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM=6. P 为对角线BD 上一点，则PM —PN 的最大值为___.17．如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边,BO CO 分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(8,6)-，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE ∆∽CBO ∆，当APC ∆是等腰三角形时，P 点坐标为_____．18．如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且CE ＝4AE ，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若AB ＝5，CF ＝2，则线段EP 的长是_____．19．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是_______（写出所有正确结论的序号）．①AM BN =；②ABF DNF ∆∆≌；③180FMC FNC ︒∠+∠=；④111A C N C EM =+20．如图，正方形ABCD 中，1124AB AE AB ==，，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ EP ⊥，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为_______．21．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 由边长为ABCD 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH 内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点Q R 、分别与图2中的点E G 、重合，点P 在边EH 上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是_____.22．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ，CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，交BD 于点F ，且60,2ABC AB BC ∠=︒=，连接OE ．下列结论：①EO AC ⊥；②4AOD OCF S S =；③:7AC BD =；④2•FB OF DF =．其中正确的结论有__________（填写所有正确结论的序号）23．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点ADE ，则GE的长落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5为__________．参考答案1．D【解析】【分析】本题需先求出OA 1和OA 2的长，再根据题意得出OA n =2n ，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得S 100．【详解】∵点0A 的坐标是(0,1)，∴01OA =，∵点1A 在直线3y x =上， ∴12OA =，013A A = ∴24OA =，∴38OA =，∴416OA =，得出2n n OA =， ∴12·3n n n A A +=∴1981982OA =，19819819923A A = ∵113(41)3322S =-⋅= ∵21200199A A A A ∥，∴012198199200∆∆∽A A A A A A ， ∴2198100133S S ⎛=， ∴396395332332S == 故选D ．【点睛】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．2．C【解析】【分析】设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADEABC ∆∆，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度. 【详解】解：设2AD x =，BD x =，∴3AB x =，∵//DE BC ，∴ADEABC ∆∆， ∴DE AD AE BC AB AC==， ∴263DE x x=， ∴4DE =，23AE AC =， ∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ADEACD ∆∆， ∴AD AE DE AC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =， ∴23AD y y AD=， ∴6AD =，4CD=，∴26CD=故选：C.【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型. 3．A【解析】【分析】①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得13412DECS∆=-；④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得31DH DEHC CG==．【详解】证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB AD=，90ABC ADC︒∠=∠=，45BAC DAC ACB ACD︒∠=∠=∠=∠=．在ABE∆和ADE∆中，AB ADBAC DACAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADE SAS∆≅∆，∴BE DE=，故①正确；②在EF上取一点G，使EG EC=，连结CG，∵ABE ADE∆≅∆，∴ABE ADE∠=∠．∴CBE CDE∠=∠，∵BC CF =，∴CBE F ∠=∠，∴CBE CDE F ∠=∠=∠．∵15CDE ︒∠=，∴15CBE ︒∠=，∴60CEG ︒∠=．∵CE GE =，∴CEG ∆是等边三角形．∴60CGE ︒∠=，CE GC =，∴45GCF ︒∠=，∴ECD GCF ∠=．在DEC ∆和FGC ∆中，CE GC ECD GCF CD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DEC EGC SAS ∆≅∆，∴DE GF =．∵EF EG GF =+，∴EF CE ED =+，故②正确；③过D 作DM AC ⊥交于M ，根据勾股定理求出2AC =， 由面积公式得：1122AD DC AC DM ⨯=⨯， ∴22DM =，∵45DCA ︒∠=，60AED ︒∠=， ∴22CM =，66EM =， ∴2626CE CM EM =-=- ∴1132412DEC S CE DM ∆=⨯=-，故③正确； ④在Rt DEM ∆中，623DE ME ==∵ECG ∆是等边三角形， ∴262CG CE ==- ∵60DEF EGC ︒∠=∠=，∴DE CG ∥，∴DEH CGH ∆∆∽， ∴633126DH DE HC CG ===+，故④错误； 综上，正确的结论有①②③，故选A ．【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键． 4．C【解析】【分析】如图，延长FH 交AB 于点M ，由BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，G 、H 分别是AC 的三等分点，证明EG//BC ，FH//AD ，进而证明△AEG ∽△ABC ，△CFH ∽△CAD ，进而证明四边形EHFG 为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求解即可.【详解】如图，延长FH 交AB 于点M ，∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，AB=AE+BE ，CD=CF+DF ，∴AE ：AB=1：3，CF ：CD=1：3，又∵G 、H 分别是AC 的三等分点，∴AG ：AC=CH ：AC=1：3，∴AE ：AB=AG ：AC ，CF ：CD=CH ：CA ，∴EG//BC ，FH//AD ，∴△AEG ∽△ABC ，△CFH ∽△CDA ，BM ：AB=CF ：CD=1：3，∠EMH=∠B ，∴EG ：BC=AE ：AB=1：3，HF ：AD=CF ：CD=1：3，∵四边形ABCD 是矩形，AB=3，BC=6，∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，∴EM=3-1-1=1，EG=FH ，∴EG //FH ，∴四边形EHFG 为平行四边形，∴S 四边形EHFG ＝2×1=2，故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关内容是解题的关键.5．D【解析】【分析】利用AFH ADE ∆~∆得到2916AHF ADE S FH S DE ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以9,16,AFH ADE S x S x ∆∆==则1697x x -=，解得1x =，从而得到16ADE S ∆=，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE 的面积．【详解】如图，根据题意得AFH ADE ∆~∆， ∴2239416AHF ADE S FH S DE ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设9AFH S x ∆=，则16ADE S x ∆=，∴1697x x -=，解得1x =，∴16ADE S ∆=，∴四边形DBCE 的面积421626=-=．故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．6．B【解析】【分析】设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3，根据矩形的性质可得△ABE 、△CDE 都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM 垂直平分AF ，BF=AB=a ，3．解直角△BGM ，求出BM ，再表示DM ，由△ADM ∽△GBM ，求出3，再证明3B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小．建立平面直角坐标系，得出B （3，3B′（3，3E （03B′E 的解析式，得到H （1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出23BH CF ==233． 【详解】如图，设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，tan∠ABD=3 ADAB=∴22AB AD+，∠ABD=60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，3，在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，∴GM=12BG=1，33，∴3∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴AD DMBG BM=3233a a-=，∴3∴3，AD=BC=6，3易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴作B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小． 如图，建立平面直角坐标系，则A （3，0），B （3，3B′（3，3E （03），易求直线B′E 的解析式为33∴H （1，0），∴22(31)(230)-+-， ∴23BH CF =23 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH 、CF 的长是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据E 为BC 的中点，可得12BO OE BE OD AO AD ===，根据边长的比值即可计算出图阴影部分的面积与平行四边形面积的比值，由此即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC//AD ，BC=AD ，∴△BOE ∽△DOA ，∴BO OE BE OD AO AD== 又∵E 为BC 的中点， ∴12BO OE BE OD AO AD ===， ∴13BO BD =， ∴BOE AOB 1S S 2=，AOB ABD 1S S 3=， ∴BOE ABD ABCD 11S S S 612==，∴米粒落在图中阴影部分的概率为112， 故选B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，几何概率，熟练掌握相关知识是解题的关键.8．A【解析】【分析】当点M 在AB 上运动时，MN ⊥MC 交y 轴于点N ，此时点N 在y 轴的负半轴移动，定有△AMC ∽△NBM ；只要求出ON 的最小值，也就是BN 最大值时，就能确定点N 的坐标，而直线y=kx+b 与y 轴交于点N （0，b ），此时b 的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．【详解】解：连接AC ，则四边形ABOC 是矩形，90A ABO ︒∴∠=∠=，又MN MC ⊥，90CMN ︒∴∠=，AMC MNB ∴∠=∠，~AMC NBM ∴∆∆，AC AM MB BN∴=， 设,BN y AM x ==．则3,2MB x ON y =-=-， 23x x y∴=-， 即：21322y x x =+ ∴当33212222b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，21333922228y ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭最大 直线y kx b =+与y 轴交于()0,N b当BN 最大，此时ON 最小，点()0,N b 越往上，b 的值最大，97288ON OB BN ∴=-=-=， 此时， 70,8N ⎛⎫- ⎪⎝⎭ b 的最大值为78-． 故选：A ．【点睛】本题综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．9．A【解析】【分析】根据图形先利用平行线的性质求出△BEF ∽△BAC ，再利用相似三角形的性质得出x 的取值范围和函数解析式即可解答【详解】当0≤x ≤4时，∵BO为△ABC的中线，EF∥AC，∴BP为△BEF的中线，△BEF∽△BAC，∴BP EFBO AC=，即46x y=，解得32y x=y，同理可得，当4＜x≤8时，3(8)2y x =-.故选：A.【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于利用三角形的相似10．A【解析】【分析】利用正方形的性质，得出∠DAN＝∠EDC，CD＝AD，∠C＝∠ADF即可判定△ADF≌△DCE（ASA），再证明△ABM∽△FDM，即可解答①；根据题意可知：AF＝DE＝AE5得出③；作PH⊥AN于H．利用平行线的性质求出AH＝24585453HN==，即可解答②；利用相似三角形的判定定理，即可解答④【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，∵AF⊥DE，∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，∴∠DAN＝∠EDC，在△ADF与△DCE中，CAD CDCDE⎧⎪=⎨⎪⎩∠ADF=∠∠DAF=∠，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DF＝CE＝1，∵AB∥DF，∴△ABM∽△FDM，∴24S ABM ABS FDM DF∆⎛⎫==⎪∆⎝⎭，∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确；根据题意可知：AF ＝DE ＝AE ∵12 ×AD ×DF ＝12×AF ×DN ， ∴DN 25 ， ∴EN ＝355，AN ＝455， ∴tan ∠EAF ＝34EN AN =，故③正确， 作PH ⊥AN 于H ．∵BE ∥AD ， ∴2PA AD PE BE==， ∴P A 25 ∵PH ∥EN ， ∴23AH PA AN AE ==， ∴AH ＝24585453HN ==， ∴2265PA AH -= ∴PN 22265PH HN +②正确， ∵PN ≠DN ，∴∠DPN ≠∠PDE ，∴△PMN 与△DPE 不相似，故④错误．故选：A ．【点睛】此题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质难度较大，解题关键在于综合掌握各性质11．B【解析】【分析】根据全等三角形的判定（ASA ）即可得到①正确；根据相似三角形的判定可得②正确；根据全等三角形的性质可得③正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案.【详解】解：Q ①四边形ABCD 是正方形，,OC OD AC BD ∴⊥＝，45ODF OCE ∠∠︒＝＝，90MON ∠︒Q ＝，COM DOF ∴∠∠＝，COE DOF ASA ∴V V ≌（）， 故①正确；90EOF ECF ∠∠︒Q ②＝＝，∴点,,,O E C F 四点共圆，∴,EOG CFG OEG FCG ∠∠∠∠＝＝，∴OGE FGC V ∽，故②正确；③COE DOF QV V ≌，COE DOF S S ∴V V ＝，14OCD ABCDCEOF S S S ∴==V 正方形四边形， 故③正确； COE DOF QV V ④≌，OE OF ∴＝，又90EOF ∠︒Q ＝，EOF ∴V 是等腰直角三角形，45OEG OCE ∴∠∠︒＝＝，EOG COE ∠∠Q ＝，OEG OCE ∴V V ∽，::OE OC OG OE ∴＝，2•OG OC OE ∴＝，122OC AC OE EF Q ＝，＝， 2•OG AC EF ∴＝，,CE DF BC CD Q ＝＝，BE CF ∴＝，又Rt CEF Q V 中，222CF CE EF +＝，222BE DF EF ∴+＝，22•OG AC BE DF ∴+＝，故④错误，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定.12．B【解析】【分析】过O 作BC 的平行线交AC 与G ，由中位线的知识可得出12AD DC ：＝：，根据已知和平行线分线段成比例得出2121AD DG GC AG GC AO OF ＝＝，：＝：，：＝：，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF FC ：的比．【详解】解：如图，过O 作//OG BC ，交AC 于G ，∵O 是BD 的中点，∴G 是DC 的中点．又12AD DC ：＝：，AD DG GC ∴＝＝，2121AG GC AO OE ∴：＝：，：＝：，2AOB BOE S S ∆∆∴：＝设2BOE AOB S S S S ∆∆＝，＝，又BO OD ＝，24AOD ABD S S S S ∆∆∴＝，＝，12AD DC ：＝：，287BDC ABD CDOE S S S S S ∆∆∴四边形＝＝，＝，93AEC ABE S S S S ∆∆∴＝，＝，3193ABE AEC S BE S EC S S ∆∆∴=== 故选：B ．【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．13．D【解析】【分析】①根据矩形的性质即可得到23OA BC ==①正确；②由点D 为OA 的中点，得到132OD OA ==2222272(3)PC PD CD OC OD +==+=+=，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE a =，则2P F E F P E a=-=-，根据三角函数的定义得到33BE PE a ==，求得2333(2)CE BC BE a a =-==-，根据相似三角形的性质得到3FD =，根据三角函数的定义得到60PDC ︒∠=，故③正确； ④当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD =，解直角三角形得到3333OD OC ==， Ⅱ、OP ＝OD ，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD =，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；于是得到当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．故④正确．【详解】解：①∵四边形OABC 是矩形，(23,2)B ，23OA BC ∴==①正确；②∵点D 为OA 的中点，132OD OA ∴==， 2222222237PC PD CD OC OD ∴+++＝＝＝（）＝，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥ A 于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE BC ∴⊥，四边形OFEC 是矩形，2EF OC ∴＝＝，设PE a ＝，则2PF EF PE a ＝﹣＝﹣，在Rt BEP ∆中，PE OC 3BE BC 3tan CBO ∠===， 33BE PE a ∴==，2333(2)CE BC BE a a ∴=-==-，PD PC ⊥，90CPE FPD ︒∴∠∠=，90CPE PCE ︒∠+∠=，,FPD ECP ∴∠=∠，90CEP PFD ︒∠=∠=，CEP PFD ∴∆∆∽，PE CP FD PD∴=， 3(2)a a FD -∴=FD ∴=， tan 33PC a PDC a PD∴∠===， 60PDC ︒∴∠=，故③正确； ④(23,2)B ，四边形OABC 是矩形，3,2OA AB ∴==，3tan AB AOB OA ∠== 30AOB ︒∴∠=，当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD ＝，30DOP DPO ∴∠∠＝＝， 60ODP ∴∠＝， 60ODC ∴∠＝， 3333OD ∴== Ⅱ、OP OD =75ODP OPD ∴∠∠＝＝，90COD CPD ∠∠＝＝，10590OCP ∴∠＝＞，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD ＝，30POD PDO ∴∠∠＝＝， 15090OCP ∴∠＝＞故不合题意舍去，∴当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为23⎫⎪⎪⎝⎭．故④正确，故选：D ．【点睛】考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP 和PD 是解本题的关键．14．B【解析】【分析】先证CDE CBA V :V ，利用相似三角形性质得到12DC DE BC BA ==，即12DC BD DC =+，在直角三角形ABD 中易得22BD =，从而解出DC ，得到△ABC 的高，然后利用三角形面积公式进行解题即可 【详解】AB AD DE AD ∴⊥⊥，90BAD ADE ∴∠=∠=o//AB DE ∴易证CDE CBA V :V12DC DE BC BA ∴== 即12DC BD DC =+ 由题得22BD =∴解得22DC =ABC △2112422422ABC S BC ∴=⨯=⨯=V 故选B【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，本题关键在于找到相似三角形求出DC 的长度15．【解析】【分析】过D 作 DH AC ⊥于H ，则∠AHD=90°由等腰直角三角形的性质可得15AC BC ==，45CAD ∠=，进而可得AH DH =，由此得CH=15-DH ，再证明~ACE DHC ∆∆，由相似三角形的对应边成比例可得DH CH AC CE=，求出CE=10，代入相关数据可求得DH=9，继而根据勾股定理即可求得AD 长.【详解】过D 作 DH AC ⊥于H ，则∠AHD=90° 在等腰Rt ABC ∆中，90C =∠，15AC =， 15AC BC ∴==，45CAD ∠=，∴∠ADH=90°-∠CAD=45°=∠CAD ，AH DH ∴=，∴CH=AC-AH=15-DH ，CF AE ⊥，90DHA DFA ∴∠=∠=，又∵∠ANH=∠DNF ，HAF HDF ∴∠=∠，~ACE DHC ∴∆∆，DH CH AC CE∴=， 2CE EB =，CE+BE=BC=15，∴10CE =， ∴151510DH DH -=， 9DH ∴=，2292AD AH DH ∴=+=， 故答案为：92．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.16．2.【解析】【分析】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，根据对称性质可知，PN PN ='，由此可得PM PN MN '-≤'，当,,P M N '三点共线时，取“=”，此时即PM —PN 的值最大，由正方形的性质求出AC 的长，继而可得22ON ON '==62AN '=，再证明13CM CN BM AN '='=，可得PM ∥AB ∥CD ，∠CMN '=90°，判断出△N CM '为等腰直角三角形，求得N M '长即可得答案. 【详解】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，根据对称性质可知，PN PN ='，∴PM PN MN '-≤'，当,,P M N '三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，∴282∵O 为AC 中点，∴AO=OC=2∵N 为OA 中点，∴ON=22 ∴22ON ON '== ∴62AN '=∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2， ∴13CM CN BM AN '='=， ∴PM ∥AB ∥CD ，∠CMN '=90°，∵∠N CM '=45°，∴△N CM '为等腰直角三角形，∴CM=N M '=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．326()55-，或(43)-， 【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，根据PBE ∆∽CBO ∆求出PE ，②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，根据PBE ∆∽CBO ∆，求出PE ，BE ，则可得到OE ，故而求出点P 点坐标.【详解】解：∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC ∆是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上；①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示：∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(8,6)-，∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE ∆∽CBO ∆，∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(4,3)P -；②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示：∵CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(-8,6)，∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴222208610BC BO C +=+=，∴2BP =，∵PBE ∆∽CBO ∆， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=， ∴点326()55P -，； 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，； 故答案为：326()55-，或(43)-，．【点睛】此题主要考查正方形的综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、矩形的性质及圆的性质.13218【解析】【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC•EP，由此即可解决问题．【详解】如图，作FH⊥PE于H．∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴AC＝2∠ACD＝∠FCH＝45°，∵∠FHC＝90°，CF＝2，∴CH＝HF2∵CE＝4AE，∴EC＝2，AE2，∴EH＝2在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（2）2+2）2＝52，∵∠GEF＝∠GCF＝90°，∴E，G，F，C四点共圆，∴∠EFG ＝∠ECG ＝45°，∴∠ECF ＝∠EFP ＝135°，∵∠CEF ＝∠FEP ，∴△CEF ∽△FEP ， ∴EF EC EP EF=， ∴EF 2＝EC•EP ，∴EP 132242= 故答案为：1322． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．19．①③④【解析】【分析】①根据等边三角形性质得出AC BC =，CE CD =，60ACB ECD ︒∠=∠=，求出BCE ACD ∠=∠，根据SAS 推出两三角形全等即可；②根据60ABC BCD ︒∠==∠，求出//AB CD ，可推出ABF DNF ∆∆∽，找不出全等的条件； ③根据角的关系可以求得60AFB ︒∠=，可求得120MFN ︒=，根据60BCD ︒∠=可解题； ④根据CM CN =，60MCN ︒∠=，可求得60CNM ︒∠=，可判定//MN AE ，可求得N DN CD CN AC CD CDM -==，可解题． 【详解】明：①∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，∴AC BC =，CE CD =，60ACB ECD ︒∠=∠=，∴ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠，即BCE ACD ∠=∠，在BCE ∆和ACD ∆中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCE ACD SAS ∆∆≌，∴AD BE =，ADC BEC ∠∠=，CAD CBE ∠=∠，在DMC ∆和ENC ∆中，60MDC NEC DC BCMCD NCE ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴()DMC ENC ASA ∆∆≌，∴DM EN =，CM CN =，∴AD DM BE EN -=-，即AM BN =；②∵60ABC BCD ︒∠==∠，∴//AB CD ，∴BAF CDF ∠=∠，∵AFB DFN ∠=∠，∴ABF DNF ∆∆∽，找不出全等的条件；③∵180AFB ABF BAF ︒∠+∠+∠=，FBC CAF ∠=∠，∴180AFB ABC BAC ︒∠+∠+∠=，∴60AFB ︒∠=，∴120MFN ︒∠=，∵60MCN ︒∠=，∴180FMC FNC ︒∠+∠=；④∵CM CN =，60MCN ︒∠=，∴MCN ∆是等边三角形，∴60MNC ︒∠=，∵60DCE ︒∠=，∴//MN AE ，∴MN DN CD CN AC CD CD-==， ∵CD CE =，MN CN =， ∴MN CE MN AC CE-=， ∴MN MN 1AC CE =-， 两边同时除MN 得111AC MN CE=-， ∴111MN AC CE=+． 故答案为①③④【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．20．4【解析】【分析】先证明BPE CQP ∆∆∽，得到与CQ 有关的比例式，设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【详解】解：9090BEP BPE QPC BPE ∠+∠︒∠+∠︒＝，＝，BEP CPQ ∴∠∠＝．又90B C ∠∠︒＝＝，BPE CQP ∴∆∆∽．BE BP PC CQ∴= 设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣．912x x y ∴=-，化简得()21129y x x =--， 整理得21(6)49y x =--+，所以当6x ＝时，y 有最大值为4．故答案为4．【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．21．5【解析】【分析】如图3中，连接CE 交MN 于O ，先利用相似求出OM 、ON 的长，再利用勾股定理解决问题即可．【详解】如图3， 连结CE 交MN 于O .观察图1、图2可知， 4,8EN MN CM ===，90ENM CMN ∠=∠=︒.图3∴EON COM ∆∆∽， ∴12EN ON CN OM ==， ∴1428,3333ON MN OM MN ====. 在Rt ENO ∆中，224103OE ON EN =+= ，同理可求得103OG =， ∴2)2GF OE OG =+=，即“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是5故答案为：5【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．①③④【解析】【分析】①根据已知的条件首先证明ECB 是等边三角形，因此可得EA EB EC ==，所以可得90ACB ∠=︒，再根据O 、E 均为AC 和AB 的中点，故可得90AOE ACB ∠=∠=︒，便可证明EO AC ⊥；②首先证明OEF BCF ∽，因此可得12OE OF BC FB ==，故可得AOD S 和OCF S 的比. ③根据勾股定理可计算的AC ：BD ；④根据③分别表示FB 、OF 、DF ，代入证明即可.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,,CD AB OD OB OA OC ==∥，∴180DCB ABC ∠+∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴120DCB ∠=︒，∵EC 平分DCB ∠， ∴1602ECB DCB ∠=∠=︒， ∴60EBC BCE CEB ∠=∠=∠=︒，∴ECB 是等边三角形，∴EB BC =，∵2AB BC =，∴EA EB EC ==，∴90ACB ∠=︒，∵,OA OC EA EB ==，∴OE BC ∥，∴90AOE ACB ∠=∠=︒，∴EO AC ⊥，故①正确，∵OE BC ∥，∴OEF BCF ∽， ∴12OE OF BC FB ==， ∴13OF OB =， ∴3AOD BOC OCF S S S ==，故②错误，设BC BE EC a ===，则2AB a =，3AC a =，22372OD OB a a ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴7BD a =， ∴:37217AC BD a a ==，故③正确， ∵1736OF OB a ==， ∴73BF a =， ∴22277777,99BF a OF DF a ⎫=⋅=⋅+=⎪⎪⎝⎭， ∴2BF OF DF =⋅，故④正确，故答案为①③④．【点睛】本题是一道平行四边形的综合性题目，难度系数偏大，但是是常考点的组合，应当熟练掌握. 23．4913【解析】【分析】先根据勾股定理得出AE 的长，然后根据折叠的性质可得BF 垂直平分AG ，再根据ABM ~ADE ,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE 的长【详解】解：在正方形ABCD 中，∠BAD=∠D =090，∴∠BAM+∠FAM=090在Rt ADE中，2222+1DE2315=+=A ADE∵由折叠的性质可得ABF GBF≅∴AB=BG，∠FBA=∠FBG∴BF垂直平分AG，∴AM=MG，∠AMB=090∴∠BAM+∠ABM=090∴∠ABM=∠FAM∴ABM~ADE∴AM ABDE AE=，∴12513AM=∴AM=6013, ∴AG=12013∴GE=5-12049 1313=【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键。
第27章 相似三角形发单元测试卷2022-2023学年人教版九年级数学下册
人教新版九年级下册《第27章相似三角形》2022年单元测试卷一、单选题（本大题共10小题，共44分）1.（5分）选项图形与如图所示图形相似的是()A. B.C. D.2.（5分）若ΔABC∽ΔDEF，相似比为1：2，则ΔABC与ΔDEF的周长比为()A. 2：1B. 1：2C. 4：1D. 1：43.（5分）如图，点P是△ABC的边AB上的一点，若添加一个条件，使△ABC与△CBP相似，则下列所添加的条件错误的是()A. ∠BPC=∠ACBB. ∠A=∠BCPC. AB：BC=BC：PBD. AC：CP=AB：BC4.（5分）将一个直角三角形的三边扩大3倍，得到的三角形是()A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5.（4分）如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD，OB=3OC)，然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD=3cm，则AB的长是()A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm6.（4分）如图，在平面直角坐标系中的第一象限内，△ABC的顶点坐标分别是A(1,2)，B(1,1)，C(3,1)，以原点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△DEF.若△DEF与△ABC的相似比为2：1.则点F的坐标为()A. (2,4)B. (2,2)C. (6,2)D. (7,2)7.（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF=EF.若AD=4，则线段CG长度的最小值和最大值分别为()A. 4，4√2B. 2√5，4√2C. 2√5，2√13D. 6，2√138.（4分）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A. 125B. 4 C. 245D. 59.（4分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P 等于()A. 65°B. 130°C. 50°D. 45°10.（4分）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②SΔFAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；①A D2=FQ⋅AC，其中正确的结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共7小题，共28分）11.（4分）如图，已知ADDB =AEEC，AD=6.4cm，DB=4.8cm，EC=4.2cm，则AC=______ cm.12.（4分）如图，表示ΔAOB为O为位似中心，扩大到ΔCOD，各点坐标分别为：A(1,2)，B(3,0)，D(4,0)，则点C坐标为 ______ .13.（4分）如图，已知CB平分∠ACD，CB⊥AB垂足为点B，CD⊥BD垂足为点D，AC=5cm，BC=4cm，则BD=______.14.（4分）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②BN=43NF；③S四边形CGNF=S△ABN；④BMMG=38.其中正确结论的序号有 ______.15.（4分）如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知ΔDEF的面积为1，则四边形ABFE的面积为______．16.（4分）如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为______m.17.（4分）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4.若点P1，P2的坐标分别为(0,−1)，(−2,0)，则点P4的坐标为________．三、解答题（本大题共7小题，共28分）18.（4分）如图，一个木框，内外是两个矩形ABCD和EFGH，问按图中所示尺寸，满足什么条件这两个矩形相似？19.（4分）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AM是BC边的中线，CN⊥AM于N 点，连接BN.求证：(1)△MCN∽△MAC；(2)∠NBM=∠BAM.20.（4分）如图所示，在△ABC中，DE//BC，EF//CD，AF=4，AB=6.求AD的长．21.（4分）如图，在四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且ABAC =AEAD=BECD.(1)若∠DAE=22°，求∠BAD的度数；(2)判断△ADE与△ACB是否相似，并说明理由．22.（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE.(1)求证：CE是⊙O的切线．(2)连接OE，已知BD=3√5，CD=5，求OE的长．23.（4分）将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中，点A(−√3,0)，点B(0,1)，点O(0,0).过边OA上的动点M(点M不与点O，A重合)作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′.设AM=m，折叠后的△A′NM与四边形OBNM重叠部分的面积为S.(Ⅰ)如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；(Ⅰ)如图②，当点A′落在第一象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S，并直接写出m的取值范围；(Ⅰ)当1⩽m<√3时，求S的取值范围(直接写出结果即可).24.（4分）如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E.AD交BE 于点F，点G为BC边的中点，作BH⊥AB交直线FG于点H.(1)如图1，当∠ABC=60°，AF=3时，CF=______，BH=______.(2)如图2，当∠ABC=45°时，试探索AF与BH的数量关系，并证明．(3)如图3，当∠ABC=α(0°<α<60°)时，(2)中AF与BH的数量关系 ______成立(填“仍然”或“不再”)，请说明理由．答案和解析1.【答案】D;【解析】解：因为相似图形的形状相同，所以A、B、C中形状不同，故选：D.根据相似图形的性质，根据形状相同排除A、B、C，可得出答案．此题主要考查相似图形的性质，掌握相似图形的对应角相等、对应边成比例是解答该题的关键．2.【答案】B;【解析】解：∵ΔABC∽ΔDEF，ΔABC与ΔDEF的相似比为1：2，∴ΔABC与ΔDEF的周长比为1：2．故选：B．根据相似三角形的周长的比等于相似比得出．这道题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比．3.【答案】D;【解析】解：A、已知∠B=∠B，若∠BPC=∠ACB，则△ABC与△CBP相似，故A不符合题意；B、已知∠B=∠B，若∠A=∠BCP，则△ABC与△CBP相似，故B不符合题意；C、已知∠B=∠B，若AB：BC=BC：PB，则△ABC与△CBP相似，故C不符合题意；D、若AC：CP=AB：BC，但夹角不是公共等角∠B，则不能证明△ABC与△CBP相似，故D符合题意，故选：D.根据相似三角形的判定逐一进行判断即可．此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解答该题的关键．4.【答案】A;【解析】解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形故选A．根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．这道题主要考查相似三角形的判定以及性质，得出两三角形相似是解答该题的关键，是基础题，难度不大．5.【答案】A;【解析】解：∵OA=3OD，OB=3CO，∴OA：OD=BO：CO=3：1，∠AOB=∠DOC，∴ΔAOB∽ΔDOC，∴AOOD =ABCD=31，∴AB=3CD，∵CD=3cm，∴AB=9cm，故选：A.首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．此题主要考查相似三角形的应用，解答该题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题．6.【答案】C;【解析】解：∵△ABC与△DEF位似．△DEF与△ABC的相似比为2：1，∴△ABC与△DEF位似比为1：2，∵点C的坐标为(3,1)，∴点F的坐标为(3×2,1×2)，即(6,2)，故选：C.根据位似变换的性质解答即可．此题主要考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.7.【答案】D;【解析】解：如图，过点G作GH⊥AB于点H，作GK⊥BC交CB的延长线于点K，则∠GHF=∠GHB=∠K=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=AB=BC=4，∵E是边AD中点，∴AE=2，在△AFE和△HFG中，{∠A=∠GHF∠AFE=∠GFHEF=GF，∴△AFE≌△HFG(AAS)，∴AF=FH，GH=AE=2，设AF=FH=x，且0⩽x⩽4，则BH=|4−2x|，∵∠HBK=180°−90°=90°=∠K=∠GHB，∴四边形BHGK是矩形，∴GK=BH=|4−2x|，BK=GH=2，∴CK=CB+BK=4+2=6，∴CG2=CK2+GK2=62+(4−2x)2=4(x−2)2+36，∵4>0，∴当x=2时，CG2有最小值36，即CG的最小值为6，∵0⩽x⩽4，∴当x=0或4时，CG2有最大值52，即CG的最大值为√52=2√13，故选：D.如图，过点G作GH⊥AB于点H，作GK⊥BC交CB的延长线于点K，结合正方形的性质可证△AFE≌△HFG(AAS)，得出：AF=FH，GH=AE=2，设AF=FH=x，且0⩽x⩽4，则BH=|4−2x|，由勾股定理可得CG2=CK2+GK2=62+(4−2x)2=4(x−2)2+36，再运用二次函数的性质即可求得答案．本题是几何综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等，解答该题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8.【答案】C;【解析】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10．∵SΔABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，∴CM=AC.BCAB =6×810=245，即PC+PQ的最小值为245．故选：C．过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC 的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用SΔABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．这道题主要考查了轴对称问题，解答该题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．9.【答案】C;【解析】解：连接OA，OB.PA、PB切⊙O于点A、B，则∠PAO=∠PBO=90°，由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°，∵∠P+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，∴∠P=180°−∠AOB=50°.故选：C.连接OA，OB.根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．本题利用了切线的概念，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，是中考常见题型．10.【答案】D;【解析】该题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的面积，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明ΔFGA≌ΔACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出SΔFAB=1 2FB.FG=12S四边形CBFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出ΔACD∽ΔFEQ，得出对应边成比例，得出AD.FE=AD2=FQ.AC，④正确．解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠GAF+∠AFG=90°，∴∠CAD=∠AFG，在ΔFGA和ΔACD中，{∠G=∠C∠AFG=∠CADAF=AD∴ΔFGA≌ΔACD(AAS)，∴FG=AC，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG//BC，∵FG=BC，FG//BC，∴四边形CBFG是平行四边形，又∵FG⊥CA，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，SΔFAB=12FB.FG=12S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；易证∠DQB=∠ADC，∴∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴ΔACD∽ΔFEQ，∴ACEF =ADFQ，∴AD.FE=AD2=FQ.AC，④正确；故选D．11.【答案】9.8;【解析】解：∵ADDB =AEEC，∴6.44.8=AE4.2，解得：AE=5.6(cm)，则AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8(cm)，故答案为：9.8.根据ADDB =AEEC，可以先求出AE的长，即可得到AC的长．此题主要考查了比例的基本性质，在比例式中，已知三个就可求得第四个的量．12.【答案】（43，83）; 【解析】解：∵ΔAOB 与ΔCOD 是位似图形，OB =3，OD =4，所以其位似比为3：4.∵点A 的坐标为A(1,2)，所以点C 的坐标为(43,83).故答案为：(43,83).由图中数据可得两个三角形的位似比，进而由点A 的坐标，结合位似比即可得出点C 的坐标．此题主要考查了位似变换以及坐标与图形结合的问题，能够利用位似比求解一些简单的计算问题．13.【答案】125; 【解析】解：∵CB ⊥AB 垂足为点B ，∴∠ABC =90°，∵AC =5cm ，BC =4cm ，∴AB =√AC 2−BC 2=3(cm )，∵CD ⊥BD 垂足为点D ，∴∠ABC =∠D =90°，∵CB 平分∠ACD ，∴∠ACB =∠BCD ，∴ΔACB ∽ΔBCD ，∴AC BC=AB BD ， ∴54=3BD ，∴BD =125，故答案为：125.根据勾股定理得到AB =√AC 2−BC 2=3(cm )，根据角平分线的定义得到∠ACB =∠BCD ，根据相似三角形的性质即可得到结论．此题主要考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解答该题的关键．14.【答案】①③④;【解析】解：过点G 作GH ⊥AB ，垂足为H ，交AE 于点O ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠ABC=∠C=∠DAB=∠D=90°，AD//BC，∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=23BC，CG=23CD，∴BF=CG，∴△ABF≌△BCG(SAS)，∴∠AFB=∠CGB，∵∠CGB+∠CBG=90°，∴∠AFB+∠CBG=90°，∴∠BNF=180°−(∠AFB+∠CBG)=90°，∴AF⊥BG，故①正确；在Rt△ABF中，tan∠AFB=ABBF =AB23BC=32，∴在Rt△BNF中，tan∠AFB=BNNF =32，∴BN=32NF，故②不正确；∵△ABF≌△BCG，∴S△ABF=S△BCG，∴S△ABF−S△BNF=S△BCG−S△BNF，∴S四边形CGNF=S△ABN，故③正确；∵∠DAB=∠D=∠AHG=90°，∴四边形ADGH是矩形，∴AD=GH，DG=AH，AD//GH，∴GH//BC，设DG=AH=a，∴CD=3DG=3a，∴AB=AD=BC=3a，∴BE=13BC=a，∵∠AHO=∠ABE=90°，∠HAO=∠BAE，∴△AHO∽△ABE，∴AHAB =OHBE，∴a3a =OHa，∴OH=13a，∴GO=GH−OH=3a−13a=83a，∵GH//BC，∴∠OGM=∠GBE，∠GOM=∠OEB，∴△GOM∽△BEM，∴GOBE =GMBM=83aa=83，∴BMMG =38，故④正确，所以，正确结论的序号有：①③④，故答案为：①③④．过点G作GH⊥AB，垂足为H，交AE于点O，根据正方形的性质可得AD=AB=BC= CD，∠ABC=∠C=∠DAB=∠D=90°，AD//BC，再根据BE=EF=FC，CG=2GD，从而可得BF=CG，进而可证△ABF≌△BCG，然后利用全等三角形的性质可得∠AFB=∠CGB，从而可得∠AFB+∠CBG=90°，即可判断①；在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠AFB=32，然后在Rt△BNF中，利用锐角三角函数的定义可得BNNF =32，即可判断②，由①可得△ABF≌△BCG，从而可得S△ABF=S△BCG，即可判断③，根据题意易证四边形ADGH是矩形，从而可得AD=GH，DG=AH，AD//GH，进而可得GH//BC，然后设DG=AH=a，再证明A字模型相似三角形△AHO∽△ABE，从而利用相似三角形的性质求出OH的长，进而求出GO的长，最后再证明8字模型相似三角形△GOM∽△BEM，利用相似三角形的性质即可判断④．此题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及正方形的十字架模型是解答该题的关键．15.【答案】5;【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴DE：BC=EF：FC=DF：FB=1：2，ΔBFC∽ΔDFE，∴SΔBFC=4⋅SΔDEF=4，SΔDFC=2⋅SΔDEF=2，SΔBDC=SΔABD=6，∴S四边形ABFE=SΔABD−SΔDEF=6−1=5，故答案为5．由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD//BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得ΔDEF∽ΔBCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而可求ΔBCF的面积，再利用ΔBCF与ΔDEF是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求ΔDCF的面积，由此即可解决问题；该题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质．解答该题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比，先求出ΔBCF的面积．16.【答案】9;【解析】解：由题意得，CD//AB，∴ΔOCD∽ΔOAB，∴CDAB =ODOB，即3AB =66+12，解得AB=9．故答案为：9．根据ΔOCD和ΔOAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．该题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解答该题的关键．17.【答案】(8,0);【解析】该题考查的是相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解答该题的关键．根据相似三角形的性质求出P3D的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出OP4的长，得到答案．解：∵点P1，P2的坐标分别为(0,−1)，(−2,0)，∴OP1=1，OP2=2．∵RtΔP1OP2∽RtΔP2OP3，∴OP1OP2=OP2OP3，即12=2OP3，解得OP3=4．∵RtΔP2OP3∽RtΔP3OP4，∴OP2OP3=OP3OP4，即24=4OP4，解得OP4=8，则点P4的坐标为(8,0)．故答案为(8,0)．18.【答案】解：当两个矩形ABCD和EFGH相似时，ADEH =CDGH，即：mm−2b =nn−2a，整理得：ab =nm，故当ab =nm时两个矩形相似．;【解析】利用相似多边形的对应边的比相等列出比例式即可求得尺寸满足的条件．此题主要考查了相似多边形的性质，解答该题的关键是根据题意列出比例式，难度不大．19.【答案】证明：（1）∵∠ACB=90°，CN⊥AM，∴∠ACB=∠MNC，∵∠NMC=∠CMA，∴△MCN∽△MAC；（2）由（1）得：△MCN∽△MAC，∴MCMA =MNMC，∴MC2=MN•MA，∵AM是BC边的中线，∴MB=MC，∴MB2=MN•MA，∵∠BMN=∠AMB，∴△MNB∽△MBA，∴∠NBM=∠BAM．;【解析】(1)根据两个角相等的两个三角形相似可直接证明；(2)由(1)得：△MCN∽△MAC，则MCMA =MNMC，再根据BM=CM，以及∠BMN=∠AMB，可证△MNB∽△MBA，从而解决问题．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用两边成比例且夹角相等证明△MNB∽△MBA是解答该题的关键．20.【答案】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴ADAB =AEAC①．∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD．∴AFAD =AEAC②．由①与②，得AFAD =AD AB，∴AD2=AF•AB=4×6=24．∴AD=2√6．;【解析】由DE//BC，EF//CD，得△AEF∽△ACD，可得△ADE∽△ABC分别得AFAD =AEAC，ADAB=AE AC ，进而可证得AFAD=ADAB，便可求得答案．此题主要考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．21.【答案】解：（1）∵ABAC =AEAD=BECD．∴△ABE∽△ACD，∴∠DAE=∠BAE=22°，∴∠BAD=44°；（2）△ADE∽△ACB，理由如下：∵ABAC =AEAD，∴ABAE =ACAD，又∵∠DAC=∠BAE，∴△ADE∽△ACB．;【解析】(1)通过证明△ABE∽△ACD，可得∠DAE=∠BAE=22°，即可求解；(2)由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可证明△ADE∽△ACB.此题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答该题的关键．22.【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵E为BD的中点，∴BE=CE=DE，∴∠ECB=∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD=90°，∴∠OBC+∠EBC=90°，∴∠OCB+∠ECB=90°，∴∠OCE=90°∴OC ⊥CE ，又∵OC 为半径，∴CE 是⊙O 的切线；（2）解：连接OE ，∵∠D=∠D ，∠BCD=∠ABD ，∴△BCD ∽△ABD ，∴BD AD =CD BD ，∴BD 2=AD•CD ，∴（3√5）2=5AD ，∴AD=9，∵E 为BD 的中点，AO=BO ，∴OE=12AD=92．; 【解析】(1)由等腰三角形的性质可得∠OBC =∠OCB ，由圆周角定理可得∠ACB =90°，由直角三角形的性质可得BE =CE =DE ，可得∠ECB =∠EBC ，由切线的性质可得∠ABD =90°，可证OC ⊥CE ，可得结论；(2)通过证明△BCD ∽△ABD ，可得BD AD =CD BD ，可求AD 的长，由三角形中位线定理可求解．此题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD 的长是本题的关键．23.【答案】解：（Ⅰ）由题意得BM=AM=m ，∵A （-√3，0），B （0，1），∴OB=1，OA=√3，∴OM=√3-m ，由勾股定理得：BM 2=OB 2+OM 2，∴m 2=12+（√3-m ）2，即m2=1+3-2√3m+m2，m=2√33，∴OM=√3−2√33=√33，∴M（-√33，0）；（Ⅱ）S=5√38m2+3m−√3，2√33＜m≤√3，由（1）知，使A'落在第一象限，则m＞2√33，∵OA=√3，∴2√33＜m≤√3，∵△MNA'是由△AMN翻折得到，∴S=S△AOB-S△AMN-S△MOC∵OA=√3，OB=1，∴S△AOB=12×√3×1=√32，AB=√OA2+OB2=2，∵AM=m，∴M（-√3+m，0），∵MN⊥AB，∴Sin∠BAO=BOAB =MNAM，∴12=MNm，∴MN=m2，∴AN=√MA2−MN2=√32m，∴S△AMN=12×√32m×m2=√38m2，∵sin∠BAO=12，∴∠BAO=30°，∴∠AMN=∠A′MN=60°，∴∠CMO=180°-∠AMN-∠A′MN=60°，tan60°=√3=COMO，∵MO=√3-m，∴CO=√3(√3−m)，∴S△CMO=12×CO×OM=12×√3(√3−m)(√3−m)=√32(√3−m)2∴S=√32−√38m2−√32(√3−m)2=√3 2−√38m2−√32(3−2√3m+m2)=√32−√38m 2−3√32+3m −√32m 2 =-5√38m 2+3m-√3，（Ⅲ）√38＜S ≤√35， 由（2）得：S=-5√38m 2+3m-√3， 当m=-2×(−5√38)=4√35时S 取最大值，4√35＜m ＜√3单调递减， ∵4√35＞1， ∴顶点为抛物线的最高点，顶点的纵坐标为S 的最大值，S max =4ac−b 24a =4×(−5√38)×√3−94×(−5√38)=√35，S （m=1）=-5√38+3−√3=3−13√38，S (m=√3)=-5√38×(√3)2+3×√3−√3=√38， ∵S (m=√3)＜S （m=1），∴√38＜S ≤√35．; 【解析】(Ⅰ)由坐标得OA 、OB 的长，再根据勾股定理得m 的值，从而求出OM 的长，得到M 坐标； (Ⅰ)因为使A ′落在第一象限，OA =√3，所以可以确定m 的取值范围；由图可得S =S △AOB −S △AMN −S △MOC ，所以分别求出三个三角形面积(用含m 的式子表示)，其中用到三角函数、勾股定理等；(Ⅰ)根据(2)得到的关于S 的二次函数解析式可知，抛物线开口向下，顶点在1⩽m <√3部分，所以顶点的纵坐标是S 的最大值；再分别计算m =1和m =√3时函数值，比较大小，从而求解．本题属于几何代数综合题，考查勾股定理、三角函数、待定系数法求二次函数解析式及最值，解题关键是结合图形，分析题意综合运用以上知识点，计算比较繁琐．24.【答案】3 3 仍然;【解析】解：(1)∵AB =AC ，∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形，BE ⊥AC ，∴BE 垂直平分AC ，∠CBE =30°，∴AF =CF =3，∵BH ⊥AB ，∴∠HBC =30°，∵AD ⊥BC ，∴∠H =∠BFH =60°，BF =CF ，∴BF=BH=CF=3，故答案为：3，3；(2)AF=BH，理由如下：连接CF，∵∠ABD=45°，AD⊥BC，∴AD=BD，∵BE⊥AC，∴∠AEF=∠BDF=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠DBF，∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴DF=DC，∴∠DCF=45°，∵BH⊥AB，∴∠HBG=45°，∴∠HBG=∠FCD，∵BG=CG，∠BGH=∠CGF，∴△CGF≌△BGH(ASA)，∴BH=CF，∵BA=BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，∴AF=CF，∴AF=BH；(3)仍然成立，理由如下：连接CF，由(2)同理可得，△ADC∽△BDF，∴ADBD =DCDF，∴∠ABD=∠CFD，∵BH⊥AB，∴∠BHG+∠ABD=90°，∴∠HBG=∠FCG，由(2)同理可得，△CGF≌△BGH(ASA)，∴BH=CF，∵BA=BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，∴AF=CF，∴AF=BH，故答案为：仍然．(1)根据等边三角形的性质可得AF=CF=BF=3，再说明BF=BH，可得答案；(2)连接CF，首先利用ASA证明△ADC≌△BDF，得DF=DC，则∠DCF=45°，再证明△CGF≌△BGH，得BH=CF，从而证明结论；(3)连接CF，首先证明△ADC∽△BDF，得ADBD =DCDF，则有∠ABD=∠CFD，由(2)同理可得，△CGF≌△BGH(ASA)，从而解决问题．本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明△CGF≌△BGH是解答该题的关键．。
三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形-中考数学专题复习试题
三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形教学准备一. 教学目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。
（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。
（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力二. 教学重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。
难点是综合应用这些知识解决问题的能力。
三. 知识要点：知识点1 三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180°；④三角形三个外角的和等于360°；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
知识点2 三角形的主要线段和外心、内心①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
知识点3等腰三角形等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；④等边三角形的三个内角都等于60°。
知识点4直角三角形直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案
相似三角形性质与判定的综合运用一、解答题1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．(1)求证：△BC1F∽△AGC1;(2)若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．2.已知：如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．(1)求证：EF=AE−BE．(2)连接BF，如果AFBF =DFAD，求证：EF=EP．3.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．(2)求∠1+∠2的度数．4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求AE的长．5.如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米，如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高度．6.已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F是AB边所在直线上的两点，且∠ECF=135°．(1)求证：△ECA∽△CFB；(2)若AE=3，设AB=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．7.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，(1)求证：AC2=AB⋅AD；(2)求证：△AFD∽△CFE．8.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BC>AD，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．(1)求证：△ACD∽△BAC；(2)求DC的长；(3)试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC．(2)设AFFC =12，①若BC=12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．10.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？．答案和解析1.【答案】解：(1)证明：由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90∘，∴∠BFC1+∠BC1F=90∘，∠AC1G+∠BC1F=90∘，∴∠BFC1=∠AC1G，∴△BC1F∽△AGC1．(2)∵C1是AB的中点，AB=6，∴AC1=BC1=3，∵CF=C1F，∴C1F=BC−BF=9−BF，∵∠B=90∘，∴BF2+BC12=C1F2，即BF2+32=(9−BF)2，解得BF=4，由(1)得△AGC1∽△BC1F，∴AGBC1=AC1BF，∴AG3=34，解得AG=94．【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．(1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；(2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长．2.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°．∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．在△ABE和△DAF中，∵{∠BEA=∠AFD,∠1=∠3,AB=DA,∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE−AF=AE−BE．(2)如图，∵AFBF =DFAD，而AF=BE．∴BEBF =DFAD，∴BEDF =BFAD，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3．∵∠1=∠3，∴∠4=∠1．∵∠5=∠1，∴∠4=∠5．即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．(1)利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；(2)利用AFBF =DFAD和AF=BE得到BEDF=BFAD，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．3.【答案】解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a，AC=√a2+a2=√2a，∵ACCF =√2aa=√2，CGAC=√2a=√2，∴ACCF =CGAC，∵∠ACF=∠ACF，∴△ACF∽△GCA；(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．【解析】(1)设正方形的边长为a，求出AC的长为√2a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF 的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF 与△GCA相似；(2)根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．4.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．∴△ADF∽△DEC．(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由(1)知△ADF∽△DEC，∴ADDE =AFCD，∴DE=AD⋅CDAF =√3×84√3=12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=√DE2−AD2=6．【解析】(1)根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC；(2)由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．5.【答案】解：∵CD//AB，∴△EAB∽△ECD，∴CDAB =DEBE，即1.7AB=33+BD①，∵FG//AB，∴△HFG∽△HAB，∴FGAB =HGHB，即1.7AB=4BD+5+4②，由①②得33+BD =4BD+5+4，解得BD=15，∴1.7AB =315+3，解得AB=10.2．答：路灯A离地面的高度为10.2m．【解析】根据相似三角形的判定，由CD//AB 得△EAB∽△ECD ，利用相似比有1.7AB =33+BD ，同理可得1.7AB =4BD+5+4，然后解关于AB 和BD 的方程组求出AB 即可．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 6.【答案】(1)证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴AC =BC ，∴∠CAB =∠CBA =45°，∴∠CAE =180°−45°=135°，同理∠CBF =135°，∴∠CAE =∠CBF ，∵∠ECF =135°，∠ACB =90°，∴∠ECA +∠BCF =45°，∵∠ECA +∠E =∠CAB =45°，∴∠E =∠BCF ，∵∠CAE =∠CBF ，∴△ECA∽△CFB ；(2)解：∵AB =x ，∠CAB =45°，∠ACB =90°，AC =BC ，∴sin45°=CB x ， ∴CB =√22x =AC ，∵由(1)知△ECA∽△CFB ，∴AE CB =AC BF ，∴3√22x =√22x y ，∴y =16x 2，x 的取值范围是x >0，即y 与x 之间的函数关系式是y =16x 2，x 的取值范围是x >0．【解析】(1)根据等腰直角三角形性质求出∠CAE =∠CBF =135°，求出∠ECA +∠BCF =45°，∠E +∠ACE =45°，推出∠E =∠BCF ，即可推出两三角形相似；(2)根据等腰直角三角形性质和锐角三角函数定义求出AC和BC长，根据两时间相似得出比例式，代入即可求出答案．本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，锐角三角函数的定义等知识点，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．7.【答案】(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB⋅AD；(2)证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE//AD，∴△AFD∽△CFE．【解析】(1)根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；(2)根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，推出AD//CE即可解决问题；本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8.【答案】(1)证明：∵CD//AB，∴∠BAC=∠DCA又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，∴△ACD∽△BAC；(2)解：在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=8，由(1)知，△ACD∽△BAC，∴DCAC =ACBA，即 DC 8=810 解得：DC =6.4； (3)能．由运动知，BF =2t ，BE =t ，△EFB 若为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF =BE 时，10−2t =t ，解得t =103秒．②当EF =EB 时，如图，过点E 作AB 的垂线，垂足为G ，则BG =12BF =12(10−2t).此时△BEG∽△BAC∴BEAB =BGBC ，即t 10=12(10−2t)6， 解得：t =258；③当FB =FE 时，如图2，过点F 作AB 的垂线，垂足为H则BH =12BE =12t.此时△BFH∽△BAC∴BFAB =BHBC ，即10−2t 10=12t 6， 解得：t =6017综上所述：当△EFB 为等腰三角形时，t 的值为103秒或258秒或6017秒．【解析】(1)利用平行线判断出∠BAC =∠DCA ，即可得出结论；(2)先根据勾股定理求出AC =8，由(1)知，△ACD∽△BAC ，得出DC AC =ACBA ，即可得出结论；(3)分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键． 9.【答案】(1)证明：∵DE//AC ，∴∠DEB =∠FCE ，∵EF//AB，∴∠DBE=∠FEC，∴△BDE∽△EFC；(2)解：①∵EF//AB，∴BEEC =AFFC=12，∵EC=BC−BE=12−BE，∴BE12−BE =12，解得：BE=4；②∵AFFC =12，∴FCAC =23，∵EF//AB，∴△EFC∽△BAC，∴S△EFCS△ABC =(FCAC)2=(23)2=49，∴S△ABC=94S△EFC=94×20=45．【解析】(1)由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，即可得出结论；(2)①由平行线的性质得出BEEC =AFFC=12，即可得出结果；②先求出FCAC =23，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD =AECE，∴AB1.6=212.5，∴AB=13.44(米)．答：教学大楼的高度AB是13.44米．【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．。
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三角函数和相似三角形综合题
1、（2017•哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB的值为（）
A．15
4
B．
1
4
C .
15
15
D．
17
17
2、（2017•金华）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（）
A．3
4
B.
4
3
C.
3
5
D.
4
5
3、（2017•聊城）在Rt△ABC中，cosA=1
2
，那么sinA的值是（）
A．
2
2
B．
3
2
C．
3
3
D．
1
2
4、（2017•安顺）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（）
A．6
5
B．
8
5
C．
7
D．
23
5、（2017•滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（）
A．3
B．3C．3D．3
6、（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
7、（2017•淮安）A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km,
2≈1.414，3）
8、（2017•常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参
考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414）
9（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）
10、（2017•兰州）“兰州中山桥“位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥“之美誉．它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁．桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥．
小芸和小刚分别在桥面上的A，B两处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果精确到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
11、（2017•丽水）如图是某小区的一个健身器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
12、（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．
13、（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S▱DEF：S▱ABF=4：25，则DE：EC=（）
A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2
14、（2013聊城）如图，D是▱ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．▱DAC=▱B，若▱ABD的面积为a，则▱ACD 的面积为（）
A．a B．C．D．
一、圆中相似三角形的判定
15．（2017•衢州）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD 于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9．
（1）求证：△COD∽△CBE．（2）求半圆O的半径r的长
二、利用圆中相似三角形证明圆中的比例线段
15．（2017•黄冈）已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD•MN
三、利用圆中相似进行计算
16.（2017荆门）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB 于点E，以AE为直径作⊙O.
（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC=3，BC=4，求BE的长.。