圆切线、相似和锐角三角函数综合题中考专题复习(无答案)
中考数学专题复习锐角三角函数的综合题
中考数学专题复习锐角三角函数的综合题/ABC=/ ACB,以AC 为直径的。
0分别交 AB> BC 于点M 、N,点 P 在AB 的延长线上,且 / CAB=2/ BCP（1）求证：直线CP 是。
的切线.（3）在第（2）的条件下，求 4ACP 的周长.【答案】（1）证明见解析（2） 4 （3） 20试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角， 2/CAN=/ CAB, /CAB=2/ BCP判断出/ ACP=90 即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可.试题解析：（1） ZABC=Z ACB, .•.AB=AC,.「AC 为。
0的直径，/ ANC=90 ；• •• / CAN+/ ACN=90 ； 2/ BAN=2/ CAN=Z CAB,• •• / CAB=2/ BCP,• •• / BCP 玄 CAN,/ ACP=ZACN+Z BCP 之 ACN+Z CAN=90 ；•・•点D 在。
O 上，，直线CP 是。
的切线；(2)如图，作BF,AC (2) 若 BC=2-., 史sin/BCP=5 ,求点B 到AC 的距离.一、锐角三角函数1 .如图，在4ABC 中,4,. AB=AC, /ANC=90；111・•.C N/CB W^,••• / BCP=Z CAN, sin/ BCP=5, 唧sin / CAN=」，CN.X 丁.•.AC=5,.•.AB=AC=5,设AF=x,贝U CF=5- x,在Rt^ABF 中，BF?=AB2-AF2=25-x2,在Rt^CBF中，BF2=BC2—C声=2O— (5—x) 2,25 - x2=2O - ( 5 - x) 2 , ..x=3, . •BF2=25 - 32=16,BF=4,即点B到AC的距离为4. 考点：切线的判定2.如图，平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45。
，底部点C的俯角为30。
，求楼房CD的高度(J3=1. 7).【答案】32. 4米.【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用 其公共边构造关系式求解.试题解析：如图，过点 B 作BE ，CD 于点E,根据题意，/DBE=45, /CBE=30.• . ABXAC, CD± AC,••・四边形ABEC 为矩形，• .CE=AB=12m,在 Rt^CBE 中，cot Z CBE=BE ,CEBE=CE?cot30 ° 百2=俘 £ ,在 Rt^BDE 中，由 /DBE=45,得 DE=BE=12/3.• .CD=CE+DE=12(/+1) =32.4答：1娄房CD 的高度约为32.4m .3.如图，AB 是。
圆、解锐角三角函数、相似基础练习
5
A．
3
2
B．
3
25
C．
5
D
3．如图 3，在△ ABC 中，∠ C =90°，sin A = 4 ， AB =15，则△ ABC 的周长是
3
Ｂ．
2
Ｄ．
5
D．
5
2
2
2
图3 图4
4．如右上图 4，测量河宽 AB（假设河的两岸平行），在 C 点测得∠ACB＝30°，D 点测得∠ADB＝60°，
又 CD＝60m，则河宽 AB 为
B
AC
图 12
12．如图 12,⊙O 中，AB、AC 是弦，O 在∠ABO 的内部， ABO ， ACO ， BOC ，
则下列关系中，正确的是
3．如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点 O (0,0)，B 是 y 轴右侧⊙A 优
弧上一点,则∠OBC 的余弦值为.
1
A．
2
3
C．
2
3
B．
4
4
D．
5
4．在 RtABC中, C 90 , B 35 , AB 7 ，则 BC 的长为
A． 7 sin 35
7 B． cos 35
4．如图，在⊙O 中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC 的周长为________．
O D A
第 1 题图
C
BA
D
O
第 2 题图
5．如图，已知 ACB 是 A O 的圆周角， ACB 50 ，则 AOB
A ． 40
B ． 50
C
B
A
CE
D
O
第 3 题图
C ． 80
中考数学三轮冲刺复习12：圆切线与相似(一)
中考数学三轮冲刺复习：圆切线与相似（一）1．如图①，A是⊙O外一点，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，过点B 作BD∥AC，交⊙O于点D，连接DO，并延长DO交⊙O于点E，连接AE．已知BD ＝2，⊙O的半径为3．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）求AE的长；（3）如图②，若点M是⊙O上一点，且BM＝3，过A作AN∥BM，交弧ME于点N，连接ME，交AN于点G，连接OG，则OG的长度是．2．如图△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥BE于E点，EF与AB交于F点，△BEF的外接圆⊙O与BC交于D点．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．3．如图，在⊙O中，线段AC是直径，线段BC是弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，已知∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．4．如图，AB是⊙O的直径，C点和M点在⊙O上，AC平分∠MAB，延长AM，并过点C 向射线AM作垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）若BC＝6，AC＝8，求PC的长．5．如图，在△ABC中，AC＝AB，AC是⊙O的弦，D为AC的中点，连接OD，OA，分别交CB于点E，点F，OE＝OF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若OE＝3，sin∠AOD＝，求BF的长．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当AB＝AC时，若CE＝3，EF＝5，①求证：DE＝EF；②求⊙O的半径．7．如图，D，E是以AB为直径的圆O上两点，且∠AED＝45°，直线CD是圆O的切线．（1）求证：AB∥CD；（2）若AE的长度为12，，求圆O的半径；（3）过点D作DF⊥AE，垂足为F，求证：AE+BE＝2DF．8．如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC交⊙O于点D，OP＝CP．（1）求证：∠ACP＝3∠PAC；（2）如图2，过点C作弦CE⊥AD，垂足为F，CE交AB于点G，求证：EC＝AC；（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GM⊥PC，垂足为M，若EG＝4，MG＝2，求⊙O的半径．9．已知△ABC内接于⊙O，CD为直径，CD交AB边于点E，且CE＝AC．（1）如图1，求证∠ACD＝2∠BCD．（2）如图2，过点O作OF⊥AC，过点B作BH⊥CD，求证：AC＝2OH．（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作AB的垂线交BC于点K，连接EF，AD，若AD+AC＝14，且∠AFE+∠CEF＝90°，求CK的长．10．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．11．AB为⊙O的直径，点C在圆上，点D在直径上，且满足CD＝CB，过点B作CD的垂线交⊙O于点E．（1）求证：EC∥AB；（2）连接ED，若∠EDA＝45°，求tan∠EBA．12．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF＝1．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求线段OF的长度．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若cos B＝，AD＝2，求FD的长．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交AB于点F，交BC于点G．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC＝8，AC＝12时，求BG的长．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．（1）求证：DP∥BC；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．参考答案1．（1）证明：如图1，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∵BD∥AC，∴∠AOE＝∠ODB，∠AOB＝∠OBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠AOE＝∠AOB，在△AOB与△AOE中，，∴△AOB≌△AOE（SAS），∴∠AEO＝∠ABO＝90°，∴OE⊥AE，∵E在⊙O上，∴AE是⊙O的切线；解：（2）如图2，过O作OH⊥BD于H，则BH＝DH＝，∠BHO＝90°，在Rt△OBH中，OH＝，∵∠OHB＝∠ABO＝90°，∠OBD＝∠AOB，∴△OBH∽△AOB，∴，即，∴AB＝，∵AB，AE是⊙O的切线，∴AE＝AB＝；（3）取AO的中点P，如图3，连接BP，EP，OB，OE，在Rt△AOB中，∵P是斜边AO的中点，∴AP＝OP＝BP，同理，EP＝AP＝OP，∴AP＝OP＝BP＝EP，∴A，B，O，E四点共圆，∵∠ABO＝90°，∴AO为圆的直径，连接OB，OM，BE，∵OB＝OM＝BM＝3，∴∠OBM＝60°，∴∠ABM＝∠ABO+∠OBM＝150°，∵AN∥BM，∴∠BAN＝180°﹣∠ABM＝30°，连接BE，设BE与AN交于Q点，如图4，又∠BEM＝，∴∠BAN＝∠BEM，∵∠AQB＝∠EQG，∴△AQB∽△EQG，∴，又∠BQG＝∠AQE，∴△BQG∽△AQE，∴∠AEB＝∠AGB，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝∠AGB，∵A，B，O，E四点共圆，如图5，连接AO，设BG与AO交于H点，∴∠AOB＝∠AEB，又∠BHO＝∠AHG，∴△BHO∽△AHG，∴∠OBH＝∠OAG，，∵∠AHB＝∠GHO，∴△AHB∽△GHO，∴∠ABG＝∠AOG，∵∠ABG+∠OBH＝90°，∠OBH＝∠∠OAG，∴∠AOG+∠OAG＝90°，∴∠AGO＝90°，如图6，延长GO交BM于F，∵BM∥AN，∴∠BFO＝180°﹣∠AGO＝90°，∴OF⊥BM，∴BF＝，又BO＝3，∴，过B作BD⊥AN于D，则在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴BD＝，∵∠OFB＝∠AGO＝∠BDG＝90°，∴四边形BDGF为矩形，∴FG＝BD＝，∴OG＝FG﹣OF＝．2．解：（1）连接OE，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∵OB＝OE，∴∠EBO＝∠BEO，∴∠CBE＝∠OEB，∴BC∥OE，∴∠AEO＝∠C，∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AE，∵OE为半径且E为半径的外端，∴AC为⊙O的切线．（2）连接DE，∵AE平分∠ABC，AC⊥BC，EH⊥AB，∴CE＝EH，DE＝EF，∴Rt△CDE≌Rt△HFE（HL），∴CD＝HF＝1，∵OE2＝OH2+EH2，∴OE2＝（OE﹣1）2+32，解得：OE＝5，∴OH＝4，∴BH＝9，∴BE＝．3．解：（1）连接OB，∵线段AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＝∠OBC，∵∠ABO+∠OBC＝90°，∴∠ABO+∠PBA＝90°，∴OB⊥PB，∵OB为半径且B为半径外端，∴PB为⊙O的切线；（2）∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC，∵∠OBC＝∠C，∴∠BOP＝∠C，又∵∠OBP＝∠ABC，∴△ABC∽△PBO，∴，∴，∴，∴BC的长为．4．解：（1）连接OC，∵AC平分∠MAB，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴∠OCP＝∠D，∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，∴∠OCP＝90°，∴OC⊥PD，∵OC为半径且C为半径的外端，∴PD为⊙O的切线；（2）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠PCO＝90°，∴∠PCB＝∠ACO＝∠OAC，∴△PCB∽△PAC，∴，∴设BP＝3x，PC＝4x，又∵AB＝，∴OB＝OC＝5，在Rt△OCP中，由勾股定理得：（5+3x）2＝52+（4x）2，∴x1＝，x2＝0（舍），∴．5．（1）证明：连接OC，∵OC＝OA，D为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠B，∵OE＝OF，∴OEF＝∠OFE，∵∠DEC＝∠OEF，∠AFB＝∠OFE，∴∠DEC＝∠AFB，∴∠AFB+∠B＝90°，∴∠OAB＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：在Rt△AOD中，∵sin∠AOD＝，∴＝，设AD＝3x，OA＝5x，∴OD＝＝＝4x，∵OE＝OF＝3，∴DE＝4x﹣3，AF＝5x﹣3，∴AC＝2AD＝6x，∴AB＝6x，∵∠ACB＝∠B，∴tan∠ACB＝tan B，∴＝，∴＝，解得x＝1，∴AF＝2，AB＝6，在Rt△ABF中，∴BF＝＝＝2．6．（1）证明：如图（1），连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∠BAC＝∠DEC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°，∴DE是⊙O的切线．（2）①证明：由（1）得：∠BDE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠ABC+∠F＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝∠ABC+∠F，∵AB＝AC，∴∠ADB＝∠ABC，∴∠EDF＝∠F，∴DE＝EF．②解：∵DE＝EF，∴DE＝EF＝5，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴CD＝＝＝4，∠BDC+∠DBC＝90°，又∵∠BDC+∠EDC＝90°，∴∠DBC＝∠EDC，∴△CDE∽△CBD，∴，∴，∴BD＝，∴⊙O的半径为．7．（1）证明：连接OD，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝2∠AED＝90°，∵直线CD与圆O相切，∴OD⊥CD，∴∠CDO＝∠AOD＝90°，∴AB∥CD；（2）解：∵AB为圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠B＝∠ADE，∴，∵AE的长度为12，又∵，∴AB＝13，∴圆O的半径为；（3）证明：过D作DG⊥EB，交EB的延长线于点G，连接DB，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠AED＝45°，∴∠BED＝∠AED＝45°，∴ED平分∠AEB，∵DF⊥AE，DG⊥EB，∴DF＝DG，∴四边形DFEG为正方形，∴DF＝EF＝EG，∵∠AOD＝∠BOD＝90°，OA＝OB，∴AD＝BD，∴Rt△ADF≅Rt△BDG（HL），∴AF＝BG，∴AE+BE＝EF+EG＝2EF＝2DF，即：AE+BE＝2DF．8．解：（1）连接OC，如图：∵OP＝CP，∴∠OCP＝∠COP，∵OA＝OC，∴∠PAC＝∠ACO，设∠PAC＝α，则∠ACO＝α，∴∠COP＝∠PAC+∠ACO＝2α＝∠OCP，∴∠ACP＝∠OCP+∠ACO＝3α，∴∠ACP＝3∠PAC；（2）连接OC、OE、BC，如图：∵CE⊥AD，∴∠CFD＝90°，∴∠FCD＝90°﹣∠ADC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC，∵∠ADC＝∠ABC，∴∠FCD＝∠CAB，由（1）知：设∠CAB＝α，则∠ACO＝α，∠ACP＝3α，而∠FCD＝∠CAB，∴∠FCD＝α，∴∠OCE＝∠ACP﹣∠FCD﹣∠ACO＝α，∴∠ACO＝∠OCE，∵OA＝OC＝OE，∴∠OAC＝∠ACO＝∠OCE＝∠E，且OC＝OC，∴△AOC≌△EOC（AAS），∴EC＝AC；（3）连接OC、OE、BC，过O作OR⊥AC于R，过O作OS⊥CE于S，如图：由（2）知：∠BAC＝∠ACO＝∠ECO＝∠GCM＝α，AC＝EC，∵∠ACB＝∠CMG＝90°，∴△ACB∽△CMG，∴＝，设CG＝x，⊙O的半径为r，则CE＝CG+EG＝x+4＝AC，CM＝＝，AB＝2r，∴＝，变形得：r2＝①，∵∠ACO＝∠ECO，∴CO是△ACG的角平分线，∵OR⊥AC，OS⊥CE，∴OR＝OS，∵＝＝＝，∴＝，即＝，∴OG＝，∴AG＝OA+OG＝，BG＝OB﹣OG＝，∵弦CE、AB交于G，∴AG•BG＝CG•EG，即•＝4x，变形得：r2＝②，由①②得：＝，变形整理得x2﹣2x﹣24＝0，解得x＝6或x＝﹣4（舍去），∴r2＝＝，∴r＝．9．解：（1）连接OB，如图所示，则OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵圆心角∠DOB，圆周角∠BCD对着同一条弧，∴∠DOB＝2∠BCD，∵∠CDB和∠CAB对着同一条弧，∴∠CDB＝∠CAB，∵CA＝CE，∴∠CAB＝∠CEB，∴∠OBD＝∠CEA，∴∠ACD＝∠DOB，∴∠ACD＝2∠BCD；（2）如图，连接OB，则OB＝OC，∵OF垂直AC，∴AC＝2CF，∠OFC＝90°∵BH垂直CD，∴∠BHO＝90°，∴∠BHO＝∠OFC由（1）知：∠ACD＝∠DOB，在△OBH、△COF中，，∴△OBH≌COF△（AAS）∴CF＝OH，∴AC＝2OH；（3）如图，过点C作CQ垂直AB于点Q，∵∠AFE+∠CEF＝∠AFE+∠OFE＝90°，∴∠CEF＝∠OFE，∴OE＝OF，∵点F、O分别是AC、CD的中点，故OF是△CAD的中位线，故OF＝AD，设OE＝OF＝a，则AD＝2a，AC＝CE＝14﹣2a，则OC＝CE﹣OE＝14﹣3a，CF＝AC＝7﹣a，在Rt△OFC中，由勾股定理得：（7﹣a）2+a2＝（14﹣3a）2，解得a＝3或7；当x＝7时，CF＝7﹣7＝0，不符合题意，舍去；故a＝3，则AC＝CE＝8，OC＝5，CD＝2OC＝10，DE＝OD﹣OE＝2，∵∠CDB＝∠BED，∴BE＝BD，∵BH⊥CD，∴DH＝EH＝DE＝1，则CH＝CE+EH＝9，∵CD是圆O的直径，∴∠DBC＝∠DBH+∠CHB＝90°，∵BH⊥CD，∴∠CDB＝∠CBH，∴△BDH∽△CDH，∴，∴BH2＝DH•CH，在Rt△BHE中，由勾股定理得：BC＝＝＝3，∵∠ACE＝∠ABD，∠CEA＝∠CED，∴△CAE∽△BDE，∴，∴AE＝＝＝＝2QE＝2AQ，则AQ＝QE＝，BQ＝BE+QE＝BE+AQ＝+＝，∵CQ⊥AB，EK⊥AB，∴EK∥CQ，∴，而BQ＝，BC＝3，QE＝，∴CK＝．10．证明：（1）连接OC，OD，∵OC＝OD，AB⊥CD，∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠OCE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线；（2）解：过D作DF⊥CE于F，由（1）知，∠OCE＝90°，在Rt△OCE中，∵CE＝4，OC＝3，∴OE＝＝＝5，∵AB⊥CD，∴S△OCE＝OC•CE＝CP•OE，∴3×4＝5CP，∴CP＝，∵OC＝OD，AB⊥CD，∴CP＝DP，∴CD＝2CP＝，在Rt△CPE中，PE＝＝＝，∵CE，DE是⊙O的切线，∴DE＝CE＝4，∵S△CDE＝CE•DF＝CD•PE，∴4DF＝×，∴DF＝，在Rt△DEF中，sin∠DEC＝＝＝．11．（1）证明：如图1中，连接AC．∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD，∵BE⊥CD，∴∠ABE+∠CDB＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠CAB，∵∠CEB＝∠CAB，∴∠CEB＝∠ABE，∴EC∥AB．（2）解：如图2中，连接AE，EC，过点E作EH⊥AB于H，过点C作CF⊥AB于F，设EH＝a，AH＝b．由（1）可知，∠CEB＝∠ABE，∴＝，∴AE＝BC，∵∠EHD＝90°，∠EDH＝45°，∴∠HED＝∠HDE＝45°，∴HD＝HE＝a，∵EC∥AB，EH⊥AB，CF⊥AB，∴EH＝CF，∵∠AHE＝∠BFC＝90°，∴Rt△AEH≌Rt△BCF（HL），∴AH＝BF＝b，∵CD＝CB，CF⊥DB，∴DF＝BF＝b，∵∠AEB＝∠AHE＝∠EHB＝90°，∴∠AEH+∠BEH＝90°，∠BEH+∠EBH＝90°，∴∠AEH＝∠EBH，∴△AEH∽△EBH，∴＝，∴＝，∴a2﹣ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）（a+b）＝0，∴a＝2b，∴tan∠EBA＝＝＝．12．（1）证明：连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60o，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠CDO＝∠A＝60o，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴∠FDO＝∠AFD＝90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AB，OC＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∵∠AFD＝90°，∠A＝60o，∴∠ADF＝30°，∵AF＝1∴CD＝OD＝AD＝2AF＝2，由勾股定理得：DF2＝3，在Rt△ODF中，OF＝，∴线段OF的长为．13．解：（1）连接OC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切线；（2）∵∠B＝∠ADC，cos B＝，∴cos∠ADC＝，在Rt△ACD中，∵cos∠ADC＝＝，AD＝2，∴CD＝AD•cos∠ADC＝2×＝，∴AC＝＝＝，∴＝，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴＝＝＝，设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+2，又∵FC2＝FD•FA，即（4x）2＝3x（3x+2），解得x＝（取正值），∴FD＝3x＝．14．（1）证明：连接OM，如图，∵BM是∠ABC的平分线，∴∠OBM＝∠CBM，∵OB＝OM，∴∠OBM＝∠OMB，∴∠CBM＝∠OMB，∴OM∥BC，∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∴AE⊥BC，∴OM⊥AE，∵OM是⊙O的半径，∴AE为⊙O的切线；（2）解：连接GF，如图，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝BC，∠AEB＝90°，∵BC＝8，AC＝12，AB＝AC，∴BE＝4，AB＝12，在Rt△ABE中，∵BE＝4，AB＝12，∴sin∠EAB＝＝＝，设OB＝OM＝r，则OA＝12﹣r，∵AE是⊙O切线，∴∠AMO＝90°，在Rt△AMO中，∴sin∠EAB＝＝，∴＝，解得r＝3，∴OB＝OM＝3，BF＝6，∵BF为⊙O直径，∴∠BGF＝90°，∴GF∥AE，∴∠BFG＝∠EAB，∴sin∠BFG＝，即＝，∴BG＝2．15．解：（1）连接OD，∵DP是⊙O的切线，∴DO⊥DP，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∵BC是圆的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAD＝45°，∴∠BOD＝90°，∴OD⊥BC，∴DP∥BC；（2）∵DP∥BC，∴∠ACB＝∠P，∵＝，∴∠ACB＝∠ADB，∴∠P＝∠ADB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝45°，∴∠CDP＝45°，∴△ABD∽△DCP；（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，∴BC＝13cm，在Rt△COD中，CD＝，在Rt△BOD中，BD＝，∵△ABD∽△DCP，∴＝，∴＝，∴CP＝．。
圆切线、相似和锐角三角函数综合题中考专题复习(无答案)
圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习复习目标：巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函数值，熟练应用它们解决相应的问题。
复习过程一、热身练习、实战演练三、巩固提高2.如图， A 是以 BC 为直径的 ⊙O 上一点， AD ⊥BC 于点 D ，过点 B 作⊙O 的切线，与 CA 的 延长线相交于点 E ，G 是 AD 的中点，连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F ，延长 AF 与 CB 的延1）求证： BF=EF ；2）求证： PA 是⊙O 的切线；3）若 FG=BF ，且⊙O 的半径长为 3 2,求 BD 和FG3.如图， △ ABC 中， AD 平分∠ BAC 交△ABC 的外接圆 ⊙O 于点 H ，过点 H 作 EF ∥BC 交AC 、AB 的延长线于点 E 、 F ．（1）求证： EF 是⊙O 的切线；（2）若 AH=8，DH=2，求 CH 的长；（3）若∠ CAB=60°，在（ 2）的条件下，求弧 BHC 的长线相交于点 P ．长．5. 如图，在 △ ABC 中， ∠ ABC=90°， AB=6， BC=8．以 AB 为直径的 ⊙O 交 AC 于 D ，E 是BC 的中点，连接 ED 并延长交 BA 的延长线于点F ．（1）求证： DE 是⊙O 的切线；（2）求 DB 的长；（3）求 S △ FAD ： S △ FDB 的值．6. 如图 i ，半圆 O 为△ABC 的外接半圆， AC 为直径， D 为劣弧 BC 上的一动点， P 在 CB 的延 长线上，且有 ∠ BAP=∠ BDA ．（1）求证： AP 是半圆 O 的切线；（2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有 BD 2=BE?BC 成立？说明理由；（3）如图 ii ，在满足（ 2）问的前提下，若 OD ⊥BC 与 H ，BE=2，EC=4，连接 PD，求证： PC 是⊙O 的切线； 若 OE ： EA=1： 2，PA=6， 求 sin ∠ PCA 的4.如图， AB 是⊙O 的直径，点（1） （2） （3）请探究四边形 ABDO 是什么特殊的四边形，并求tan∠DPC的值．7.如图， AB 为圆 O 的直径， C 为圆 O 上一点， AD 和过 C 点的直线互相垂直，垂足为 D，且 AC平分∠DAB，延长 AB 交 DC于点 E．（1）判定直线 DE与圆 O 的位置关系，并说明你的理由；（2）求证：AC2=AD?AB；（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分）① 若 CF⊥ AB 于点 F，试讨论线段 CF、 CE和 DE三者的数量关系；② 若 EC=5 3 ， EB=5，求图中阴影部分的面积．8.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线 PDE垂直 AB于点 F，交 BC 于点 G，连接 PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（ 1）求证： CP是⊙O 的切线．（2）当∠ ABC=30°， BG=2 3 ，CG=4 3 时，求以 PD、PE的长为两根的一元二次方程．3）若（ 1）的条件不变，当点 C在劣弧 AD 上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF?BO成立？试写出你的猜想，并说明理由．9.如图， AB是⊙O的直径， BC⊥AB于点 B，连接 OC交⊙O于点 E，弦 AD∥OC，弦DF⊥ AB 于点 G．（1）（2）求证：点 E是弧 BD 的中点；求证： CD是⊙O 的切线；4若sin∠ BAD= ，，⊙O 的半径为 5，求 DF的3）长．510. 如图， Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径作 ⊙O 交 AC 边于点 D ，E 是边 BC 的DE ． 直线 DE 是⊙O 的切线； OC 交 DE 于点 F ，若 OF=CF ，求 tan ∠ACO11. 已知：如图， AB 是⊙ O 的直径，AD 是弦， 且∠ C=∠BED ．（1）求证： AC 是⊙O 的切线；（2）若 OA=10， AD=16，求 AC 的长．OC 垂直 AD 于 F 交⊙O 于 E ，连接 DE 、 BE ，12. 如图，以线段 AB 为直径的 ⊙O 交线段 AC 于点E ，点 M 是弧 AE 中点， OM 交 AC 于 点 D ，∠BOE=6°0，cosC=1 ，BC=2 3 。
备战中考数学综合题专题复习【锐角三角函数】专题解析附答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（215-+；（3758+【解析】试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C ， ∴△ABC ∽△BCD ； （2）∵∠A=∠ABD=36°， ∴AD=BD ， ∵BD=BC ， ∴AD=BD=CD=1，设CD=x ，则有AB=AC=x+1， ∵△ABC ∽△BCD ，∴AB BC BD CD =，即111x x +=， 整理得：x 2+x-1=0，解得：x 1=15-+，x 2=15--（负值，舍去），则x=15-+； （3）过B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，∵BD=CD ，∴E 为CD 中点，即DE=CE=154-+， 在Rt △ABE 中，cosA=cos36°=151514151AE AB -+++==-++ 在Rt △BCE 中，cosC=cos72°=1515414EC BC -+-+==， 则cos36°-cos72°=51+=15-+=12． 【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．4．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．5．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．6．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG⊥AC，∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ， ∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°， ∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°， 由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ）， ∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上， ∴BG ＝DG ， ∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°， ∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6， ∴DF 2DG ＝3 在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A，B的对应点分别为A'，B′)，射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．(1)如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；(2)如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；(3)在旋转过程中，当点P，Q分别在C A′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）60°；（2）PQ＝72；（3）存在，S四边形PA'B′Q＝33【解析】【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC3=∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB3'BCA C==∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到PB3=32=，依据tan∠Q=tan∠A32=BQ=BC3=2，进而得出PQ=PB+BQ72=；（3）依据S四边形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ3-S四边形PA'B'Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ12=PQ×BC3=，利用几何法即可得到S△PCQ的最小值=3，即可得到结论．【详解】（1）由旋转可得：AC =A 'C =2．∵∠ACB =90°，AB 7=，AC =2，∴BC 3=． ∵∠ACB =90°，m ∥AC ，∴∠A 'BC =90°，∴cos ∠A 'CB 3'BC A C ==，∴∠A 'CB =30°，∴∠ACA '=60°；（2）∵M 为A 'B '的中点，∴∠A 'CM =∠MA 'C ，由旋转可得：∠MA 'C =∠A ，∴∠A =∠A 'CM ，∴tan ∠PCB =tan ∠A 3=，∴PB 3=BC 32=． ∵∠BQC =∠BCP =∠A ，∴tan ∠BQC =tan ∠A 3=，∴BQ =BC 3⨯=2，∴PQ =PB +BQ 72=； （3）∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，∴S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，∴S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ， 取PQ 的中点G ． ∵∠PCQ =90°，∴CG 12=PQ ，即PQ =2CG ，当CG 最小时，PQ 最小，∴CG ⊥PQ ，即CG 与CB 重合时，CG 最小，∴CG min 3=，PQ min =23，∴S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA 'B 'Q =33-；【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，DE ⊥BC 于E ，连结CD ，点P 在射线CB 上（与B ，C 不重合）（1）如果∠A ＝30°，①如图1，∠DCB 等于多少度；②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且∠A ＝α（0°＜α＜90°），连结DP ，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【详解】（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠DCB＝60°，∴△CDB为等边三角形.∴∠CDB＝60°∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，∵∠PDF＝60°，DP＝DF，∴∠FDB＝∠CDP，在△DCP和△DBF中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF.（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，∵∠PDF ＝2α，∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP ＝DF ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF ，而 CP ＝BC+BP ，∴BF ﹣BP ＝BC ，在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，∴tan ∠CDE ＝CE DE， ∴CE ＝DEtanα， ∴BC ＝2CE ＝2DEtanα，即BF ﹣BP ＝2DEtanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．9．如图，正方形ABCD+1，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAC 分别交BC 、BD 于E 、F ，（1）求证：△ABF ∽△ACE ；（2）求tan ∠BAE 的值；（3）在线段AC 上找一点P ，使得PE+PF 最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为 ．22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC2，∵BC2+1，∴x+x2+1，∴x＝1，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，∴tan ∠EAB ＝1221BE AB ＝＝+﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •（2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH ＝2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．10．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC 的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.。
2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合计算
2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合计算一、综合题1．如图，O 是 ABC 的外接圆， AC 为直径，点 D 在半圆 AC 上，且与点 B 在 AC 的异侧， BE DC ⊥ 交 DC 的延长线于点 E ， 1BCE ∠=∠ .（1） 求证： AB BD = ； （2） 求证： BE 是O 的切线；（3） 若 1EC = ， 4CD = ，求 cos DBA ∠ .2．如图，四边形ABCD 内接于O ，135ABC ∠=︒，OE AC ⊥.（1）证明：AOE D ∠=∠； （2）若6AC =，求O 的半径长.3．如图，ABC 是O 的内接三角形，60ACB ∠=︒，AD 经过圆心O 交O 于点E ，连接BD ，30ADB ∠=︒.（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若3AB =.4．如图，AB 是O 的直径，点E 是劣弧BD 上一点，PAD AED ∠=∠，且2DE =，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：PA 是O 的切线；（2）若2tan 2DAE ∠=，求EF 的长； （3）延长DE ，AB 交于点C ，若OB BC =，求O 的半径．5．如图，ABC 内接于 O ，AB 是直径，延长AB 到点E ，使得 6BE BC == ，连接EC ，且ECB CAB ∠=∠ ，点D是AB上的点，连接AD ，CD ，且CD 交AB 于点F.（1）求证：EC 是 O 的切线；（2）若BC 平分 ECD ∠ ，求AD 的长.6．如图，ABC 中， AB AC = ， D 为 AC 上一点，以 CD 为直径的 O 与 AB 相切于点E ，交 BC 于点F ， FG AB ⊥ ，垂足为 G .（1）求证： FG 是 O 的切线；（2）若 1BG = ， 3BF = ，求 CF 的长.7．如图，线段AC 为⊙O 的直径，点D 、E 在⊙O 上，CD DE =，过点D 作DF⊙AC ，垂足为点F.连结CE 交DF 于点G.（1）求证：CG=DG ；（2）已知⊙O 的半径为6，35sin ACE ∠=，延长AC 至点B ，使4BC =.求证：BD 是⊙O 的切线. 8．如图，在 Rt ABC 中， 90C ∠=︒ ，点O 为 AB 边上一点，以 OA 为半径的O 与 BC 相切于点D ，分别交 AB ， AC 边于点E ，F.（1）求证： AD 平分 BAC ∠ ； （2）若 3BD = ， 1tan 2CAD ∠=，求 O 的半径.9．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，BC ，AC 与O 交于点F ，D ，BE 为O 直径，点E 在AB 上，连接BD ，DE ，ADE DBE ∠=∠．（1）求证：AC 是O 的切线； （2）若35sinA =，O 的半径为3，求BC 的长． 10．如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD垂线交AC 延长线于点E ，连接CD 且CD ＝ED ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若tan⊙DCE ＝2，BD ＝1，求⊙O 的半径．11．如图，在⊙ABC 中，AC=BC ，以BC 为直径作⊙O ，交AC 于点F ，过C 点作CD⊙AC 交AB 延长线于点D ，E 为CD 上一点，且EB=ED ．（1）求证：BE 为⊙O 的切线；（2）若AF=2，tan⊙A=2，求BE 的长．12．如图，锐角⊙ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，BD 为直径，过点B 作BF⊙AB 交⊙O 于点E ，交DC 的延长线于点F ．（1）求证：⊙ABD=⊙CBF ．（2）连结DE ，若DE=20，sin⊙A=2425，求BF 的长． 13．如图，在ABC 中，点E 是 BC 的中点，连接 AE ，以 AB 为直径作 O ，O 交 BE 于点D ， AC 为O 的切线.（1）求证： 2AEB C ∠=∠ ； （2）若 8AC = ， 4sin 5B =，求 DE 的长. 14．如图，⊙ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点A 为切点，AD=AC ，连接DC 交AB于点E.（1）求证，BC BE =. （2）若13tan ACE ∠=，5AB =，求BC 的长. 15．如图，已知⊙ABC中，以AB为直径的⊙O 交AC 于点D ，⊙CBD ＝⊙A ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）若E 为 AB 中点，BD ＝12，sin⊙BED ＝35，求BE 的长． 16．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上的一点，CD⊙AD 于点D ，AD 交⊙O 于点F ，连接AC ，若AC 平分⊙DAB ，过点F 作FG⊙AB 于点G 交AC 于点H.（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）延长AB 和DC 交于点E ，若AE ＝4BE ，求cos⊙DAB 的值； （3）在（2）的条件下，求FHAF的值. 17．如图，O 是ΔABC 的外接圆，AB AC =，BD 是O 的直径，PA BC ，与DB 的延长线交于点P ，连结AD.（1）求证：PA 是O 的切线； （2）若12tan ABC ∠=，4BC =，求BD 与AD 的长. 18．如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 为O 的直径，AC 平分22BAD CD ∠=，E 在BC 的延长线上，连接DE ．（1）求直径BD 的长；（2）若52BE =19．如图，AB 是⊙O 的弦，OP⊙OA 交AB 于点P ，过⊙O 上点B 的直线交OP 的延长线于点C ，且CP=CB ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 55BC 的长．20．如图，在Rt⊙ABC 中，⊙C ＝90°，AD 平分⊙BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接DF ．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接DE，求证：⊙BDE ⊙BAD（3）若BE＝52，sinB＝35，求AD的长．答案解析部分1．【答案】（1）证明：四边形ABCD是O的内接四边形，180BAD BCD∴∠+∠=︒，180BCE BCD∠+∠=︒，BAD BCE∴∠=∠，1BCE∠=∠，1BAD∴∠=∠，弧AB=弧AB，1BDA∴∠=∠，BAD BDA∴∠=∠，AB BD∴=；（2）证明：连接OB，OC OB=，1OBC∴∠=∠，1BCE∠=∠，OBC BCE∴∠=∠，//OB DC∴，BE DC⊥，OB BE∴⊥，OB是O的半径BE∴是O的切线；（3）解：过点B作BF AC⊥于点F，90CFB∴∠=︒，BE DC⊥，90CEB∴∠=︒，CFB CEB∴∠=∠，在FBC与EBC中，1BCECFB CEBBC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，FBC∴⊙ ()EBC AAS，1FC EC∴==，由（1）可知：AB BD=，又 BAF BDE ∠=∠ ， AFB DEB ∠=∠ ，ABF ∴ ⊙ ()DBE AAS ，AF DE ∴= ，145DE EC CD =+=+= ， 5AF ∴= ，516AC AF FC ∴=+=+= ，弧 AD = 弧 AD ，DBA DCA ∴∠=∠ ，AC 为 O 的直径，90ADC ∴∠=︒ ，2cos 3CD DCA CA ∴∠== ， 2cos cos 3DBA DCA ∴∠=∠=. 【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得⊙BAD+⊙BCD=180°，根据邻补角的性质可得⊙BCE+⊙BCD=180°，则⊙BAD=⊙BCE ，由已知条件知⊙1=⊙BCE ，则⊙BAD=⊙1，根据圆周角定理可得⊙1=⊙BDA ，推出⊙BAD=⊙BDA ，据此证明；（2）连接OB ，根据等腰三角形的性质可得⊙1=⊙OBC ，由已知条件知⊙1=⊙BCE ，则⊙OBC=⊙BCE ，推出OB⊙DC ，结合BE⊙CD 可得OB⊙BE ，据此证明；（3）过点B 作BF⊙AC 于点F ，易证⊙FBC⊙⊙EBC ，得到FC=EC=1，由（1）可知AB=BD ，证明⊙ABF⊙ ⊙DBE ，得到AF=DE ，易得DE=AF=5，则AC=6，根据圆周角定理可得⊙DBA=⊙DCA ，⊙ADC=90°，然后根据三角函数的概念进行计算.2．【答案】（1）证明：如图，连接OC ，135ABC ∠=︒，∴由圆内接四边形对角互补可得=45ADC ∠︒，AC AC =，290AOC ADC ∴∠=∠=︒，又OA OC =，∴AOC 为等腰直角三角形，又OE AC ⊥，45AOE ∴∠=︒， AOE D ∴∠=∠（2）解：由（1）可知AOC 为等腰直角三角形，则45OAC OCA ∠=∠=︒， 又6AC =，64532OA OC sin ∴==⨯︒=，即⊙O 的半径长为32【解析】【分析】（1）连接OC ，根据圆内接四边形的对角互补可得⊙ADC=45°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得⊙AOC=90°，进而根据等腰三角形的三线合一可得⊙AOE=45°，据此就不难得出答案了； （2）根据OA=6×sin45°可求出答案.3．【答案】（1）解：直线BD 与O 相切，理由：如图，连接BE ，∵60ACB ∠=︒， ∴60AEB C ∠=∠=︒，连接OB ， ∵OB OC =，∴OBE 是等边三角形， ∴60BOD ∠=︒， ∵30ADB ∠=︒，∴180603090OBD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴OB BD ⊥， ∵OB 是O 的半径， ∴直线BD 与O 相切； （2）解：如（1）中图，∵AE 是O 的直径， ∴90ABE ∠=︒，∵43AB =∴43360AB sin AEB sin AE ∠=︒===∴8AE =， ∴4OB =，∵OB BD ⊥，30ADB ∠=︒∴330OB tan ADB tan BD ∠=︒==， ∴43BD =， ∴图中阴影部分的面积2160π48π4438323603OBDBOESS ⨯=-=⨯⨯=扇形. 【解析】【分析】（1） 直线BD 与O 相切， 连接BE 、OB ，由同弧所对圆周角相等得⊙AEB=⊙C=60°，推出⊙OBE 是等边三角形，则⊙BOD=60° ，根据三角形的内角和定理得⊙OBD=90°，据此可得结论； （2）根据直径所对的圆周角是直角得⊙ABE=90°，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可算出AE 、BD 的长，最后根据图中阴影部分的面积=S ⊙OBD -S 扇形BOE ，结合三角形的面积计算公式及扇形面积计算公式计算即可.4．【答案】（1）证明：∵AB是O的直径，90ADB∴∠=︒，90DAB DBA∴∠+∠=︒，AD AD=，AED ABD∴∠=∠，PAD AED∠=∠，PAD ABD∴∠=∠，90BAD PAD BAD ABD∴∠+∠=∠+∠=︒，即90PAB∠=︒，PA∴是O的切线（2）解：如图，连接OE EB，，AE平分BAD∠，DAE BAE∴∠=∠，∴DE=BE=2∴OE⊙BDOA OE=，OEA OAE∴∠=∠，DAE AEO∴∠=∠，AD OE∴，AB是O的直径，AD DB∴⊥，AE EB⊥，即⊙ADF=⊙BEF=90°，DE DE=DAE DBE∴∠=∠，2tan tan2EBF DAE∴∠=∠=，22EFEB∴=，21EF EB∴==（3）解：如图，过点B 作BGAD，由（2）可知AD OE，OE BG ∴ ，AO OB BC == ，DE EG GC ∴== ，设O 的半径为 x ，则 1122GB OE x == ，AD BG ，CGB CDA ∴∽ ，CG GBCD AD∴= ， 332AD GB x ∴== ，OE DB ⊥ ， DB GB ∴⊥ ，2DE =，222DG DE ∴==，在 Rt DBG 中， 2222182DB DG GB x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 在 Rt ADB 中， 222AD DB AB += ，即 ()222318222x x x ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得： 2x = （负值舍去）， O ∴ 的半径为2．【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出⊙ADB=90°，即⊙DAB+⊙DBA=90°，根据同弧所对的圆周角相等，结合已知条件得出⊙PAD=⊙ABD ，从而求出⊙PAB=90°，即可得证；(2)连接OE ，EB ，根据角平分线的定义，以及等腰三角形的性质求出DAE AEO ∠=∠，则得AD⊙OE ，根据同弧所对的圆周角相等得出⊙DAE=⊙DBE ，利用垂径定理求出DE=BE=2，进而可得tan⊙EBF 的值，最后根据三角函数定义求EF 长即可；(3)过点B 作BG⊙AD ，根据平行线分线段成比例的性质，得出DE EG GC ==，设 O 的半径为 x ，则GB =12x ，再求出DG 长，证明⊙CGB⊙⊙CDA ，根据成比例的性质求出AD=32x ，在Rt⊙ADB 中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答.5．【答案】（1）证明：连接OC.OA OC = ，CAB ACO ∴∠=∠ . ECB CAB ∠=∠ ，ECB ACO ∠=∠ .AB ∴ 是O 的直径，90ACB ∠=︒ .90ACO OCB ∴∠+∠=︒ .90ECB OCB ∴∠+∠=︒ ，即 OC EC ⊥ .又OC 是 O 的半径，EC ∴ 是O 的切线（2）解：BC 平分 ECD ∠ ，BCD ECB ∴∠=∠ . BCD BAD ∠=∠ ， ECB BAD ∴∠=∠ .又ECB CAB ∠=∠ ，BAD CAB ∴∠=∠ .又AB 是O 的直径，AB DC ∴⊥ .在 Rt FCE 中，BE BC = ，E ECB ∴∠=∠ .30E ECB BCF ∴∠=∠=∠=︒ .在 Rt BCF 中， 630BC BCF =∠=︒， ，3cos 6332CF BC BCF ∴=⋅∠=⨯=. AB CD ⊥ ，AB 是O 的直径，33DF CF ∴==.在 Rt ADF 中， 30DAF BCF ∠=∠=︒ ，33631sin 2DF AD DAF∴===∠【解析】【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质得⊙CAB=⊙ACO ，结合已知条件得⊙ECB=⊙ACO ，根据圆周角定理可得⊙ACB=90°，结合⊙ACO+⊙OCB=90°可得⊙ECB+⊙OCB=90°，则OC⊙EC ，据此证明；（2）根据角平分线的概念⊙BCD=⊙BCE ，根据圆周角定理可得⊙BCD=⊙BAD ，则⊙ECB=⊙BAD ，结合已知条件可得⊙BAD=⊙CAB ，根据垂径定理得AB⊙DC ，根据等腰三角形的性质得⊙E=⊙ECB ，则⊙E=⊙ECB=⊙BCF=30°，根据三角函数的概念可得CF ，由垂径定理可得DF=CF ，然后利用三角函数的概念就可求出AD.6．【答案】（1）证明：如图，连接 DF OF ， ，OF OD = ，则 ODF OFD ∠=∠ ，设 ODF OFD ∠=∠ β= ， OFC α∠= ，OF OC = ，OFC OCF α∴∠=∠= ，DC 为 O 的直径，90DFC ∴∠=︒ ，90DFO OFC DFC ∴∠+=∠=︒ ，即 90αβ+=︒ ，AB AC= ， B ACB α∴∠=∠= ，FG AB ⊥ ，9090GFB B αβ∴∠=︒-∠=︒-= ，90DFB DFC ∠=∠=︒ ，9090DFG GFB βα∴∠=︒-∠=︒-= ， 90GFO GFD DFO αβ∴∠=+=+=︒ ，OF 为 O 的半径， FG ∴ 是O 的切线；（2）解：如图，连接 OE ，AB 是O 的切线，则 OE AB ⊥ ，又 OF FG FG AB ⊥⊥， ，∴ 四边形 GEOF 是矩形，OE OF = ，∴ 四边形 GEOF 是正方形，12GF OF DC ∴==， 在 Rt GFB 中， 1BG = ， 3BF = ，2222FG BF GB ∴-=，22DC ∴=，由（1）可得 BFG FDC β∠=∠= ，FG AB DF FC ⊥⊥， ，sin GB FCBF DCβ∴== ， ∴1322=， 解得 23FC =. 【解析】【分析】（1）连接DF 、OF ，由同圆半径相等可得ODF OFD ∠=∠ ，设 ODF OFD ∠=∠ β= ，OFC α∠= ，由等腰三角形的性质可得 OFC OCF α∠=∠= ，B ACB α∠=∠= ，由圆周角定理得90αβ+=︒ ，由垂直的定义直角三角形的性质得90GFB B β∠=︒-∠= ， 由垂直的定义得9090DFG GFB βα∠=︒-∠=︒-= ，即得GFO GFD DFO ∠=∠+∠ =90αβ+=︒，根据切线的判定定理即证；（2）连接OE ， 易证四边形GEOF 是正方形，可得12GF OF DC ==，在Rt⊙GFB 中 ，由勾股定理可得2， 由（1）可得 BFG FDC β∠=∠= ，从而得出sin GB FCBF DCβ== ，据此求出FC 的长. 7．【答案】（1）证明：连接AD ，∵AC为⊙O 的直径，∴⊙ADC=90°，则⊙ADF+⊙FDC=90°， ∵DF⊙AC ，∴⊙AFD=90°，则⊙ADF+⊙DAF=90°，∴⊙FDC=⊙DAF，∵CD DE=，∴⊙DCE=⊙DAC，∴⊙DCE=⊙FDC，∴CG=DG；（2）证明：连接OD，设OD与CE相交于点H，∵CD DE=，∴OD⊙EC，∵DF⊙AC，∴⊙ODF=⊙OCH=⊙ACE，∵35 sin ACE∠=，∴sin⊙ODF=sin⊙OCH=35，即OF OHOD OC==35，∴OF=185，由勾股定理得DF=245，FC=OC-OF=125，∴FB= FC+BC=325，由勾股定理得DB=405=8，∴sin⊙B=2458DFBD==35，∴⊙B=⊙ACE，∴BD⊙CE，∵OD⊙EC，∴OD⊙BD，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线.【解析】【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理可得⊙ADC=90°，根据垂直的概念可得⊙AFD=90°，由同角的余角相等可得⊙FDC=⊙DAF，根据圆周角定理可得⊙DCE=⊙DAC，则⊙DCE=⊙FDC，据此证明；（2）连接OD，设OD与CE相交于点H，易得⊙ODF=⊙OCH=⊙ACE，根据三角函数的概念可得OF，由勾股定理求出DF，然后根据线段的和差关系求出FC、FB，利用勾股定理求出DB，然后求出sin⊙B的值，得到⊙B=⊙ACE，推出BD⊙CE，结合OD⊙EC可得OD⊙BD，据此证明.8．【答案】（1）证明：如图，连接OD，∵⊙O与BC相切于点D，OD是⊙半径，⊙C=90°，∴⊙ODB＝⊙C＝90°，∴OD⊙AC，∴⊙ODA＝⊙CAD，又∵OD ＝OA ， ∴⊙ODA ＝⊙OAD ， ∴⊙OAD ＝⊙CAD ， ∴AD 平分⊙BAC.（2）解：如图，再连接DE ，过点D 作DH⊙AB 于点H ，∵AE 是⊙O 的直径， ∴⊙ADE ＝90°，由（1）得：⊙OAD ＝⊙CAD ， ∴tan⊙CAD ＝tan⊙DAE ＝ED AD =12， 设ED=a ，则AD=2a ，∴AE=222a a +（）=5a ，OD=OA=52a ， ∴DH·AE=ED×AD ，即5a·DH=2a 2， ∴DH=255a ， ∴OH=22OD DH -=2252525a a -（）（）=3510a ， 又∵tan⊙DOH=tan⊙DOB ，BD=3，∴DH BD OH OD =，即25353510aOD a =， ∴OD=94， 即⊙O 的半径为94. 【解析】【分析】（1）如图，连接OD ，由切线性质及⊙C=90°可得OD⊙AC ，从而得⊙ODA ＝⊙CAD ，又OD ＝OA ，可得⊙ODA ＝⊙OAD ，即⊙OAD ＝⊙CAD ，进而证得AD 平分⊙BAC ；（2）如图，连接DE ，过点D 作DH⊙AB 于点H ，由圆周角定理得⊙ADE ＝90°，由（1）得：⊙OAD ＝⊙CAD ，推出tan⊙CAD ＝tan⊙DAE ＝ED AD =12，设ED=a ，则AD=2a ，由勾股定理求得5，从而得OD=OA=5a ，由三角形等面积法得DH·AE=ED×AD 52，求得25a ，再由勾股定理求出35a ，再结合tan⊙DOH=tan⊙DOB ，可列DH BD OH OD =253535OD a =，解得OD 即可求得⊙O 的半径为.9．【答案】（1）证明：连接OD ，如图，∵OD=OB=OE ，∴⊙OBD=⊙ODB ，⊙ODE=⊙OED ， ∵BE 是直径，∴⊙BDE=90°=⊙DBE+⊙DEB=⊙ODB+⊙ODE ， ∴⊙DBE+⊙ODE=90°， ∵⊙ADE=⊙DBE ，∴⊙ADE+⊙ODE=90°，∴OD⊙AC，∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：根据（1）的结论，有OD⊙AC，∵⊙C=90°，∴BC⊙AC，∴OD BC，∴BC AB OD OA=，∵在Rt ADO中，sinA=35 ODOA=，又∵OD=OB=3，∴OA=5，∴AB=OA+OB=8，∵BC AB OD OA=，∴824355ABBC ODOA=⨯=⨯=．即BC为245．【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得出⊙OBD=⊙ODB，⊙ODE=⊙OED，得出⊙ADE=⊙DBE，根据圆周角定理得出⊙ADE+⊙ODE=90°，得出OD⊙AC，即可得出结论；（2）根据（1）的结论，有OD⊙AC，解直角三角形即可。
初三九年级数学中考复习专题相似三角形、圆、锐角三角函数综合
相似三角形、圆、锐角三角函数综合1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC=，求的值．2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC=2CD•OE；（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．3.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）求证：EF＝4OD·OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．4.如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，sin ∠BFA＝，求△ACF的面积．.5.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足=，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）若tan∠CBA=，AE=3，求AF的长．6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．7.如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：；（2）如图②，若，求的值．。
中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习及详细答案
中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习及详细答案一、锐角三角函数1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE ，∵OA=OD ，∴∠A=∠ADO ，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE ⊥OD ，又OD 为圆的半径，∴DE 为⊙O 的切线；（2）∵E 是BC 的中点，O 点是AB 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴AC=2OE ，∵∠C=∠C ，∠ABC=∠BDC ，∴△ABC ∽△BDC ， ∴，即BC 2=AC•CD ．∴BC 2=2CD•OE ；（3）解：∵cos ∠BAD=， ∴sin ∠BAC=， 又∵BE=，E 是BC 的中点，即BC=， ∴AC=．又∵AC=2OE ，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数2．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP = 【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∵//CD AB ，∴OCD COA ∠=∠，∴POA QDO ∠=∠．在AOP ∆和ODQ ∆中， {OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=，∴AOP ∆≌ODQ ∆，∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =，∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ，∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP yCP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠， ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ，∴AOQ DQO ∠=∠，∵AOP ∆≌ODQ ∆，∴DQO APO ∠=∠，∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm ，AD 是斜边BC 上的高，垂足为D ，BE=1cm ．点M 从点B 出发沿BC 方向以1cm/s 的速度运动，点N 从点E 出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN 为边在BC 的上方作正方形MNGH ．点M 到达点D 时停止运动，点N 到达点C 时停止运动．设运动时间为t （s ）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.【解析】试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，∴x=3．当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2∴S关于t的函数关系式为：.（3）分两种情况：①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；②当DC=PC时，DC=PC=12cm∴NC=6cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm∴t=（15﹣6）s故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.4．如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：（1）点的坐标（用含的代数式表示）；（2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．【答案】解：（1）过作轴于，，，，，点的坐标为．（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，，，．②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，过作于，则，，．③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，则，，．过作轴于，则，，化简，得，解得，，．所求的值是，和．【解析】（1）过作轴于,利用三角函数求得OD、DC的长，从而求得点的坐标⊙P与菱形OABC的边所在直线相切，则可与OC相切；或与OA相切；或与AB相切，应分三种情况探讨：①当圆P与OC相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC垂直于OC，再由OA=+t，根据菱形的边长相等得到OC=1+t，由∠AOC的度数求出∠POC为30°，在直角三角形POC中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op，表示出OC，等于1+t列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；②当圆P与OA，即与x轴相切时，过P作PE垂直于OC，又PC=PO，利用三线合一得到E为OC的中点，OE为OC的一半，而OE=OPcos30°，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；③当圆P与AB所在的直线相切时，设切点为F，PF与OC交于点G，由切线的性质得到PF垂直于AB，则PF垂直于OC，由CD=FG，在直角三角形OCD中，利用锐角三角函数定义由OC表示出CD，即为FG，在直角三角形OPG中，利用OP表示出PG，用PG+GF表示出PF，根据PF=PC，表示出PC，过C作CH垂直于y轴，在直角三角形PHC中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值．5．如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点F.（1）求证：DF⊥AC；（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值.3【答案】(1)证明见解析; (2) tan∠【解析】试题分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．试题解析：证明:连接OD∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE∵O为AB中点, D为BC的中点∴OD‖AC∴DE⊥AC(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD 在Rt△BFO中，∠ABC=30°∴OF=12OB, BF=32OB∵BD=DC, BF=FD，∴FC=3BF=332OB在Rt△OFC中，tan∠BCO=13233OBOFFCOB==.点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=12OB，BF=3OB，FC=3BF=33OB是解题关键．6．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．【详解】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG3，∴FG=tan3AGAFG=∠，在Rt△ACG中，tan∠ACG=AGCG，∴CG =tan AG ACG ∠=3AG ． 又∵CG ﹣FG =24m ， 即3AG ﹣3=24m ， ∴AG =123m ，∴AB =123+1.6≈22.4m ．7．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ，B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）【答案】215.6米．【解析】【分析】过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离.【详解】解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒，∴AM=CM=200米，又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米，在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米∴115.6tan 60BN DN =≈o米， ∴215.6MN MD DN AB =+=≈米即A ，B 两点之间的距离约为215.6米．【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.8．如图，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上一点，C 在AB 的延长线上，AD ⊥CE 交CE 的延长线于点D ，且AE 平分∠DAC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝6，∠ABE ＝60°，求AD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）92【解析】【分析】 （1）利用角平分线的性质得到∠OAE ＝∠DAE ，再利用半径相等得∠AEO ＝∠OAE ，等量代换即可推出OE ∥AD ，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt △ABE 中，AE ＝AB·cos30°， 在Rt △ADE 中，AD=cos30°×AE 即可解题.【详解】证明：如图，连接OE ，∵AE 平分∠DAC ，∴∠OAE ＝∠DAE ．∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ．∴∠AEO ＝∠DAE ．∴OE ∥AD ．∵DC ⊥AC ，∴OE ⊥DC ．∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∠ABE ＝60°．∴∠EAB ＝30°，在Rt △ABE 中，AE ＝AB·cos30°=6×3=33， 在Rt △ADE 中，∠DAE ＝∠BAE ＝30°，∴AD=cos30°×AE=32×33=92. 【点睛】 本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.9．如图①，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA ，试求5PA+4PC 的最小值；（3）如图②，若直线l 经过点T （﹣4，0），Q 为直线l 上的动点，当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式．【答案】（1）233384y x x =-++；（2）5PA+4PC 的最小值为18；（3）直线l 的解析式为334y x =+或334y x =--. 【解析】【分析】（1）设出交点式，代入C 点计算即可 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，易证△CDP ∽△COB ，得到比例式PC PD BC OB =，得到PD=45PC ，所以5PA+4PC ＝5（PA+45PC ）＝5（PA+PD ），当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小，利用等面积法求出AE=185，即最小值为18 （3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°，即∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q ，∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个；此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，利用cos ∠QFT 求出QG ，分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时，分别代入直接l 得到解析式即可【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴交点为A （﹣2，0）、B （4，0）∴y ＝a （x+2）（x ﹣4）把点C （0，3）代入得：﹣8a ＝3∴a ＝﹣38∴抛物线解析式为y ＝﹣38（x+2）（x ﹣4）＝﹣38x 2+34x+3 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D∴∠CDP ＝∠COB ＝90°∵∠DCP ＝∠OCB∴△CDP ∽△COB ∴PC PD BC OB= ∵B （4，0），C （0，3）∴OB ＝4，OC ＝3，BC∴PD ＝45PC ∴5PA+4PC ＝5（PA+45PC ）＝5（PA+PD ） ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小∵A （﹣2，0），OC ⊥AB ，AE ⊥BC∴S △ABC ＝12AB•OC ＝12BC•AE ∴AE ＝631855AB OC BC ⨯==n ∴5AE ＝18∴5PA+4PC 的最小值为18．（3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90° ∴∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q∵当Q 在⊙F 上运动时（不与A 、B 重合），∠AQB ＝90°∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G∴∠FQT ＝90°∵F 为A （﹣2，0）、B （4，0）的中点∴F （1，0），FQ ＝FA ＝3∵T （﹣4，0）∴TF ＝5，cos ∠QFT ＝35FQ TF = ∵Rt △FGQ 中，cos ∠QFT ＝35FG FQ =∴FG ＝35FQ ＝95∴x Q ＝1﹣9455=-，QG ＝2222912FQ 355FG ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭①若点Q 在x 轴上方，则Q （41255-，）设直线l 解析式为：y ＝kx+b ∴4041255k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线l ：334y x =+ ②若点Q 在x 轴下方，则Q （41255--，） ∴直线l ：334y x =-- 综上所述，直线l 的解析式为334y x =+或334y x =--【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论10．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB ＝45°，∵EG ⊥AC ，∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ，∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°，∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°，由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ），∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上，∴BG ＝DG ，∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°，∴∠CGF+∠AGB ＝90°，∴∠AGD+∠CGF ＝90°，∴∠DGF ＝90°，∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示,在Rt △ADG 中，∵∠DAC ＝45°，∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°，∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6，∴DF 2DG ＝3在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝23．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．11．如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A 、B 分别为地球仪的南、北极点，直线AB 与放置地球仪的平面交于点D ，所夹的角度约为67°，半径OC 所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E ，DE =15cm ，AD =14cm ．（1）求半径OA 的长（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）（2）求扇形BOC 的面积（π取3.14，结果精确到1cm ）【答案】(1)半径OA 的长约为24.5cm ；(2)扇形BOC 的面积约为2822cm ．【解析】【分析】(1)在Rt △ODE 中，DE=15，∠ODE=67°，根据∠ODE 的余弦值，即可求得OD 长，减去AD 即为OA ．(2)用扇形面积公式即可求得.【详解】(1)在Rt △ODE 中，15cm DE =，67ODE ∠=︒．∵cos DE ODE DO ∠=， ∴150.39OD ≈， ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈．．， 答：半径OA 的长约为24.5cm ．(2)∵67ODE ∠=︒，∴157BOC ∠=︒， ∴2360BOC n r S π=扇形 2157 3.1424.52360⨯⨯≈ ()2822cm ≈．答：扇形BOC 的面积约为2822cm ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把实际问题转化成数学问题，利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键．12．如图，AB 为O e 的直径，C 、D 为O e 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒.（2）若2ABD BDC ∠=∠.①求证：CF 是O e 的切线.②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】【分析】 （1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ． 【详解】解：（1）AB 是O e 的直径，且D 为O e 上一点，90ADB ∴∠=︒，CE DB ⊥Q ，90DEC ∴∠=︒，//CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒.（2）①如图，连接OC .OA OC =Q ，12∴∠=∠.312∠=∠+∠Q ，321∴∠=∠.42BDC Q ∠=∠，1BDC ∠=∠，421∴∠=∠，43∴∠=∠，//OC DB ∴.CE DB ⊥Q ，OC CF ∴⊥.又OC Q 为O e 的半径，CF ∴为O e 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠，3tan tan 4BAD F ∴∠==， 34BD AD ∴=. 6BD =Q483AD BD ∴==， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==.OC CF Q ⊥，90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==， 解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动．过点P 作PD ⊥AC 于点D (点P 不与点A ，B 重合)，作∠DPQ ＝60°，边PQ 交射线DC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）用含t 的代数式表示线段DC 的长：_________________； （2）当t =__________时，点Q 与点C 重合时； （3）当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，求出t 的值．【答案】（1）；（2）1；（3）t 的值为或或. 【解析】 【分析】（1）先求出AC ，用三角函数求出AD ，即可得出结论；（2）利用AQ=AC ，即可得出结论；（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【详解】（1）∵AP= , AB=4,∠A ＝30°∴AC=, AD= ∴CD=； （2）AQ=2AD=当AQ=AC 时，Q 与C 重合 即=∴t=1；（3）①如图，当PQ 的垂直平分线过AB 的中点F 时，∴∠PGF ＝90°，PG ＝PQ ＝AP ＝t ，AF ＝AB ＝2.∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，∴∠QMN＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.在Rt△NMQ中，∵AN＋NQ＝AQ，∴③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°.∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1.在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t.∵AH＝AP＋PH＝AB＋BH，∴2t＋2t＝5，∴t＝.即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．14．如图，正方形ABCD2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为 ．22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC2，∵BC2+1，∴x+x2+1，∴x＝1，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，∴tan ∠EAB ＝1221BE AB ＝＝+﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •（2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH ＝2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．15．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC 的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习
复习目标：巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函数值，熟练应用它们解决相应的问题。
复习过程
一、热身练习
二、实战演练
三、巩固提高
2.如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
3,求BD和FG的长度．
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为2
3.如图，△ABC中，AD平分∠BAC交△ABC的外接圆⊙O于点H，过点H作EF∥BC交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AH=8，DH=2，求CH的长；
（3）若∠CAB=60°，在（2）的条件下，求弧BHC的长．
4.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于点E ，∠POC=∠PCE ．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）若OE ：EA=1：2，PA=6，求⊙O 的半径；
（3）求sin ∠PCA 的值．
5.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是 BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）求DB 的长；
（3）求S △FAD ：S △FDB 的值．
6.如图i ，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为劣弧BC 上的一动点，P 在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA ．
（1）求证：AP 是半圆O 的切线；
（2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD 2=BE•BC 成立？说明理由；
（3）如图ii ，在满足（2）问的前提下，若OD ⊥BC 与H ，BE=2，EC=4，连接PD ，请探究四边形ABDO 是什么特殊的四边形，并求tan ∠DPC 的值．
7.如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，AD 和过C 点的直线互相垂直，垂足为D ，且AC 平分∠DAB ，延长AB 交DC 于点E ．
（1）判定直线DE 与圆O 的位置关系，并说明你的理由；（2）求证：AC 2=AD•AB ；
（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分） ①若CF ⊥AB 于点F ，试讨论线段CF 、CE 和DE 三者的数量关系；
②若EC=35，EB=5，求图中阴影部分的面积．
8.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，⊙O 的割线PDE 垂直AB 于点F ，交BC 于点G ， 连接PC ，∠BAC=∠BCP ，求解下列问题：（1）求证：CP 是⊙O 的切线．
（2）当∠ABC=30°，BG=32，CG=34时，求以PD 、PE 的长为两根的一元二次方程． （3）若（1）的条件不变，当点C 在劣弧AD 上运动时，应再具备什么条件可使结论 BG 2=BF•BO 成立？试写出你的猜想，并说明理由．
9.如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，弦 DF ⊥AB 于点G ．
（1）求证：点E 是弧BD 的中点；
（2）求证：CD 是⊙O 的切线；
（3）若sin ∠BAD=
5
4，，⊙O 的半径为5，求DF 的长．
10.如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的 中点，连接DE ．
（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；
（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，求tan ∠ACO 的值．
11.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交⊙O 于E ，连接DE 、BE ，且∠C=∠BED ．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若OA=10，AD=16，求AC 的长．
12.如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是弧AE 中点，OM 交AC 于 点D ，∠BOE=60°，cosC=
2
1，BC=32。
（1）求∠A 的度数；
（2）求证：BC 是⊙O 的切线；
（3）求MD 的长度．
13.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为C ．延长AB 交CD 于点E ．连接AC ，作∠DAC=∠ACD ，作AF ⊥ED 于点F ，交⊙O 于点G ．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）如果⊙O 的半径是6cm ，EC=8cm ，求GF 的长．
14.已知，如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，以BC 为直径作⊙O 交AB 于D ，取AC 中点E ，连结OE ，ED 的延长线与CB 的延长线交于F ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）如果⊙O 的半径为3cm ，ED=4cm ，求sin ∠F 的值．
15.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，过点B 作BE ∥CD ，交AC 的延长线于点E ，连接BC ．
（1）求证：BE 为⊙O 的切线；
（2）如果CD=6，tan ∠BCD=
2
1,求⊙O 的直径．
16.如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 直径，E 是CB 延长线上一点，且∠BAE=∠C ．
（1）求证：直线AE 是⊙O 的切线；
（2）若EB=AB ，cosE=5
4，AE=24，求EB 的长及⊙O 的半径．
17.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ， 点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP ．
（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线．
（2）若BC=52，sin ∠BCP=5
5，求点B 到AC 的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP 的周长．
18.如图1，△ABC 内接于⊙O ，AD 平分∠BAC ，交直线BC 于点E ，交⊙O 于点D ．
（1）过点D 作MN ∥BC ，求证：MN 是⊙O 切线；
（2）求证：AB•AC=AD•AE ；
（3）如图2，AE 平分∠BAC 的外角∠FAC ，交BC 的延长线于点E ，EA 的延长线交⊙O 于点
D ．结论AB•AC=AD•A
E 是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．。