相似三角形和三角函数
苏科版九年级数学下册：《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练
《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练1、下列两个图形:①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形. 其中一定相似的有( ) A.2组 B.3组 C.4组 D.5组2、（1）如果234x y z==，求3x y z y -+=_____________ （2）已知x ：y =3：5，y ：z =2：3，则zy x zy x +-++2的值为3、应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m 2，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于( )A.一个篮球场的面积B.一张乒乓球台台面的面积C.《陕西日报》的一个版面的面积D.《数学》课本封面的面积4、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( ) A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm 5、 如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADEDBCE SS :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ）A ．1 : 9B ．1 : 3C ．1 : 8D ．1 : 26、如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA 的值为 ．7、在Rt △ABC 中，∠C =90º，AB =10，AC =8，则sin A 的值是（ ） A ．45B ．35C ．34 D ．43． 8、若3tan （a+10°）=1，则锐角a 的读数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°9、如果△ABC 中，sinA=cosB=2，则下列最确切的结论是（ ） A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形 D. △ABC 是锐角三角形10、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）11、 如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接,,BG DE DE 和FG 相交于点O ，设,()AB a CG b a b ==>.下列结论:①BCG DCE ∆≅∆；②BG DE ⊥；③DG GOGC CE=；④22()EFO DGO a b S b S ∆∆-⋅=⋅.其中结论正确的个数是( ) A. 4 B.3 C.2 D. 112、水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC ,其中AB 为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则α的余弦值为 .13、在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m ，塔影长DE=18m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ） A ．24m B ．22m C ．20m D ．18m14、如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，4）、B （-3，1）、C （-1，1），以坐标原点O 为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC 放大，放大后得到△A ′B ′C ′． （1）画出放大后的△A ′B ′C ′，并写出点A ′、B ′、C ′的坐标．（点A 、B 、C 的对应点为A ′、B ′、C ′）（2）求△A ′B ′C ′的面积．15、一块直角三角形木板，一直角边是1.5米，另一直角边长是2米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如左图和右图所示，请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.16、如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高2.0米，且AC =2.17米，设太阳光线与水平地面的夹角为α.当︒=60α时，测得楼房在地面上的影长AE =10米，现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳.（3取73.1）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当︒=45α时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.17、图①是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算:① ② ③如图②，AB BC ⊥，垂足为点B ，EA AB ⊥垂足为点A ，//CD AB ，10CD =cm ， 120DE =cm ，FG DE ⊥，垂足为点G .(1)若3750'θ∠=︒，则AB 的长约为 cm.(参考数据: sin3750'0.61︒≈，cos3750'0.79︒≈，tan3750'0.78︒≈)(2)若30FG =cm ，60θ∠=︒，求CF 的长.18、如图，在直角坐标系中，Rt △OAB 的直角顶点A 在x 轴上，OA =4，AB =3．动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；同时点N 从点O 出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB 向终点B 移动．当两个动点运动了x 秒（0＜x ＜4）时，解答下列问题： （1）求点N 的坐标（用含x 的代数式表示）；（2）设△OMN 的面积是S ，求S 与x 之间的函数表达式；（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．19、阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点D 旋转，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q,易说明△APD ∽△CDQ．猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF （其中∠EDF=30°）的锐角顶点D 与等腰三角形ABC （其中∠ABC = 120°）的底边中点O 重合，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q ．写出图中的相似三角形 （直接填在横线上）；验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF 旋转至两边分别与线段AB 的延长线、边BC 相交于点P 、Q ．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形,并说明理由．连结PQ ，△APD 与△DPQ 是否相似？为什么?探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）20、从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线． （2）在△ABC 中，∠A=48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数． （3）如图2，△ABC 中，AC=2，BC=，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．ＢＥ Ｐ ＡＣ Ｑ Ｆ Ｄ(O)图1图2Ｄ(O) B CFE P Q A 图3AC B21、如图（1），点C 将线段AB 分成两部分，如果AC ：AB=BC ：AC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点。
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相像三角形、解直角三角形及二次函数的综合种类一：圆与相像三角形的综合1．如图， BC 是⊙ A 的直径，△ DBE的各个极点均在⊙ A 上， BF⊥ DE于点 F.求证： BD·BE＝ BC·BF.2．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，以 AC为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E.(1)求证：点 E 是边 BC的中点；求证：2＝BD·BA；(2)BC(3)当以点 O， D， E，C 为极点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1) 连接 OD，∵ DE为切线，∴∠ EDC＋∠ ODC＝90° .∵∠ ACB＝90°，∴∠ ECD＋∠ OCD＝ 90° .又∵ OD＝ OC，∴∠ ODC＝∠ OCD，∴∠ EDC＝∠ ECD，∴ ED＝ EC.∵AC 为直径，∴∠ADC＝ 90°，∴∠ BDE＋∠ EDC＝ 90°，∠ B＋∠ECD＝ 90°，∴∠ B＝∠ BDE，∴ ED＝ EB，∴ EB＝EC，即点 E 为边 BC的中点(2)∵ AC为直径，∴∠ ADC＝∠ ACB＝90° .又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABC∽△ CBD，∴ABBC＝ BCBD，∴B C2＝ BDBA(3)当四边形 ODEC为正方形时，∠ OCD＝ 45° .∵AC 为直径，∴∠ ADC＝ 90°，∴∠ CAD＝90°－∠ OCD＝ 90°－ 45°＝ 45°，∴ Rt△ ABC 为等腰直角三角形种类二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ ABC中，以 AC 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC 的中点，DE⊥ AB，垂足为点 E，交 AC 的延伸线于点 F.(1)求证：直线EF是⊙ O 的切线；(2)已知 CF＝ 5， cosA＝25，求 BE 的长．解： (1)连接 OD.∵ CD＝DB，CO＝ OA，∴ OD 是△ ABC的中位线，∴OD∥ AB， AB＝2OD.∵ DE⊥ AB，∴ DE⊥OD，即 OD⊥ EF，∴直线 EF是⊙ O 的切线(2)∵ OD∥ AB，∴∠ COD＝∠ A，∴ cos∠ COD＝ cosA＝ 25.在 Rt△ DOF中，∵∠ ODF＝ 90°，∴ cos∠ FOD＝ ODOF＝ 25.设⊙ O 的半径为 r，则 rr ＋ 5＝ 25，解得 r＝ 103，∴ AB＝ 2OD＝ AC＝ 203.在 Rt△ AEF中，∵∠ AEF＝ 90°，∴ cosA＝ AEAF＝AE5＋ 203＝25，∴ AE＝ 143，∴ BE＝AB－ AE＝203－ 143＝ 24．(2015 ·资阳 )如图，在△ ABC中， BC是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，且⊙ O 与 AC 订交于点D， E 为 BC 的中点，连接 DE.(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)连接 AE，若∠ C＝ 45°，求 sin∠ CAE的值．解： (1)连接 OD，BD，∵ OD＝ OB，∴∠ ODB＝∠ OBD.∵ AB 是直径，∴∠ ADB＝ 90°，∴∠ CDB＝ 90° .∵ E为 BC的中点，∴ DE＝BE，∴∠ EDB＝∠ EBD，∴∠ ODB＋∠ EDB＝∠ OBD＋∠ EBD，即∠ EDO＝∠ EBO.∵ BC 是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，∴ AB⊥ BC，∴∠ EBO＝90°，∴∠ ODE＝ 90°，∴ DE 是⊙ O 的切线(2)过点 E 作 EF⊥ CD于点 F，设 EF＝ x，∵∠ C＝45°，∴△ CEF，△ABC 都是等腰直角三角形，∴CF＝ EF＝ x，∴ BE＝ CE＝ 2x，∴AB＝ BC＝ 22x.在 Rt△ ABE中， AE＝ AB2＋ BE2＝ 10x，∴ sin∠ CAE＝ EFAE＝ 10105．如图，△ ABC 内接于⊙ O，直径 BD 交 AC 于点 E，过点 O 作 FG⊥ AB，交 AC 于点 F，交 AB 于点 H，交⊙ O 于点 G.(1)求证： OF·DE＝ OE·2OH；(2)若⊙ O 的半径为12，且 OE∶OF∶ OD＝ 2∶3∶ 6，求暗影部分的面积． (结果保存根号 )解： (1)∵ BD 是直径，∴∠ DAB＝ 90° .∵ FG⊥ AB，∴ DA∥ FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OFDE＝OEAD.∵O 是BD 的中点， DA∥ OH，∴ AD＝ 2OH，∴ OFDE＝ OE2OH(2)∵⊙ O 的半径为12，且 OE∶ OF∶ OD＝2∶ 3∶ 6，∴ OE＝ 4， ED＝8，OF＝ 6，∴ OH＝ 6.在 Rt△OBH 中，OB＝ 2OH，∴∠ OBH＝ 30°，∴∠ BOH＝ 60°，∴ BH＝ BOsin60°＝ 12× 32＝ 63，∴ S 暗影＝ S 扇形 GOB－S△OHB＝60×π× 122360－ 12× 6×63＝ 24π－ 183种类三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(－ 4，0)， B(1，0)，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C(0，2)，过点 C作圆的切线交 x 轴于点 D.(1)求过 A，B， C 三点的抛物线的分析式；(2)求点 D 的坐标；(3)设平行于 x 轴的直线交抛物线于E，F 两点，问：能否存在以线段EF为直径的圆，恰巧与x轴相切若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明原因．解： (1)y＝－ 12x2－ 32x＋2(2)以 AB 为直径的圆的圆心坐标为O′ (－32，0)，∴O′ C＝ 52， O′ O＝ 32.∵ CD为圆 O′的切线，∴O′ C⊥ CD，∴∠ O′CO＋∠ DCO＝ 90° .又∵∠CO′ O＋∠ O′ CO＝90°，∴∠ CO′ O＝∠DCO，∴△ O′ CO∽△ CDO，∴ O′ OOC＝ OCOD，∴322＝ 2OD，∴ OD＝ 83，∴点 D 的坐标为 (83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－ 32，设满足条件的圆的半径为|r| ，则点 E 的坐标为 (－ 32＋ r， r)或 F(－ 32－r ， r)，而点 E 在抛物线y ＝－ 12x2－ 32x＋2 上，∴ r＝－ 12(－ 32＋ |r|)2 － 32(－ 32＋ |r|) ＋ 2，∴ r1＝－ 1＋ 292， r2＝－1－ 292(舍去 )．故存在以线段EF 为直径的圆，恰巧与x 轴相切，该圆的半径为－1＋ 2927．如图，抛物线y＝ax2＋ bx－ 3 与 x 轴交于 A， B 两点，与y 轴交于点C，经过 A，B， C 三点的圆的圆心抛物线的极点为M(1 ，m)恰幸亏此抛物线的对称轴上，E.⊙ M的半径为.设⊙ M与y 轴交于点D，(1)求 m 的值及抛物线的分析式；(2)设∠ DBC＝α，∠ CBE＝β，求 sin( α－β)的值；(3)研究坐标轴上能否存在点 P，使得以 P， A， C 为极点的三角形与△ BCE相像若存在，请指出点 P 的地点，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．解： (1)由题意，可知 C(0，－ 3)，－ b2a＝1，∴抛物线的分析式为 y＝ ax2－ 2ax－ 3(a＞ 0)．过点 M 作 MN ⊥y 轴于点 N，连接 CM，则 MN ＝ 1， CM＝ 5，∴ CN＝ 2，于是 m＝－ 1.同理，可求得 B(3，0)，∴ a× 32－ 2a× 3－ 3＝0，解得 a＝ 1. ∴抛物线的分析式为 y＝ x2－ 2x－3(2)由 (1)得， A(－1 ，0)， E(1，－ 4)， D(0， 1)，∴△ BCE为直角三角形， BC＝32， CE＝ 2，∴OBOD＝31＝ 3， BCCE＝ 322＝3，∴ OBOD＝ BCCE，即 OBBC＝ ODCE，∴ Rt△BOD∽ Rt△BCE，得∠ CBE＝∠ OBD＝β，所以 sin(α－β )＝sin(∠ DBC－∠ OBD)＝ sin∠ OBC＝ COBC＝ 22(3)明显 Rt△ COA∽ Rt△ BCE，此时点 O(0， 0)．过点 A 作 AP2⊥ AC 交 y 轴的正半轴于点 P2，由 Rt△ CAP2∽Rt△ BCE，得 P2(0，13)．过点 C 作 CP3⊥ AC交 x 轴的正半轴于点 P3，由 Rt△P3CA∽ Rt△ BCE，得 P3(9，0)．故在座标轴上存在三个点 P1(0， 0)，P2(0， 13)，P3(9， 0)，使得以 P， A， C为极点的三角形与△ BCE相像。
相似三角形在三角函数中的应用
相似三角形在三角函数中的应用相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
在数学中，相似三角形的性质被广泛应用于各种领域，尤其是在三角函数中。
本文将介绍相似三角形在三角函数中的应用，包括比值定义、角度关系、三角函数图像等方面。
一、比值定义相似三角形的比值定义是指在两个相似三角形中，对应角的正弦、余弦和正切的比值相等，即三角函数的比值定义。
以两个相似三角形ABC和DEF为例，设它们对应的角为A和D，对边分别为a、b和c、d。
根据相似三角形的比值定义可得以下关系：sin(A)/sin(D) = a/dcos(A)/cos(D) = b/dtan(A)/tan(D) = a/b通过比值定义，我们可以根据已知的角度和边长来求解未知的边长或角度，从而应用于实际问题的计算中。
二、角度关系相似三角形的角度关系指的是在两个相似三角形中，对应角的角度相等。
利用相似三角形的角度关系，可以解决一些三角函数的问题。
例如，当一个角的正弦等于另一个角的余弦时，可以通过相似三角形的角度关系推导出两个角的关系式。
这种应用在解三角方程时十分实用。
三、三角函数图像相似三角形的应用还可以扩展到三角函数的图像中。
正弦、余弦和正切函数的图像都是周期性的，可以通过相似三角形来观察和分析其周期性质。
例如，对于正弦函数的图像，当我们将函数图像放大或缩小时，其峰值和谷值的位置以及波长都会发生对应的变化。
这可以通过相似三角形的性质来解释。
当函数图像垂直方向的拉伸或压缩时，可以与相似三角形中对边长度的变化进行类比，从而更好地理解正弦函数图像的性质。
此外，利用三角函数图像的相似性，在解决实际问题时也是相当有效的。
例如，通过比较两个相似三角形在函数图像上的对应点，可以确定在不同的输入值下函数值的关系，从而得出更精确的计算结果。
综上所述，相似三角形在三角函数中有着广泛的应用。
通过比值定义、角度关系和三角函数图像，我们可以解决各种三角函数相关的问题，包括解方程、计算未知边长或角度以及分析函数图像的性质。
三角形的相似性质
边长比例相等：两个三角形的 边长之比相等
面积比例相等：两个三角形的 面积之比相等
角度相等：两个三角形的对应 角相等
边长和角度的关系：两个三角 形的边长和角度满足一定的比 例关系
三角形相似的应用
第三章
相似三角形在几何问题中的应用
相似三角形的性质：两个三角形相似，它们的对应边成比例，对应角相等
相似三角形的应用：在几何问题中，可以通过相似三角形的性质，求解三角形的边长、 角度等
三角形全等与相似的关系
相似三角形：两个三角形对 应边成比例，对应角相等
全等三角形是相似三角形的 特殊情况
相似三角形不一定是全等三 角形
全等三角形：两个三角形对 应边相等，对应角相等
全等三角形的性质可以推广 到相似三角形
三角形全等和相似的应用场景比较
全等三角形：在 几何证明中，全 等三角形常用于 证明线段相等、 角相等等。
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三角函数的定义： 三角函数是描述 三角形内角和边 的关系的函数
相似三角形在三 角函数中的应用： 通过相似三角形 的性质，可以求 解三角形中的未 知边和角
相似三角形在三 角函数中的应用 实例：求解三角 形中的未知边和 角，如求解三角 形的面积、周长 等
相似三角形在实际问题中的应用
相似三角形的应用于三角函数的推导
相似三角形的应用于三角函数的推导相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。
在数学中，相似三角形具有重要的应用，尤其是在三角函数的推导中。
本文将探讨相似三角形在三角函数推导中的应用。
一、正弦函数的推导在推导正弦函数的过程中，我们可以利用相似三角形的性质来推导出正弦函数的定义。
考虑一个直角三角形ABC，其中∠B为90度。
假设C点在单位圆上，角A对应的弧长为s。
根据单位圆的性质，弧长与圆心角的关系为s = rθ，其中r为单位圆的半径，θ为圆心角的大小。
根据三角函数的定义，正弦函数sinθ定义为：sinθ = BC / AC由于三角形ABC与单位圆OBC相似，根据相似三角形的性质，我们可以得到：BC / AC = s / r将上述等式带入正弦函数的定义中，得到：sinθ = s / r这就是正弦函数的推导过程，利用相似三角形的性质，我们可以得到正弦函数的定义。
二、余弦函数的推导类似地，在推导余弦函数的过程中，我们同样可以利用相似三角形的性质来推导出余弦函数的定义。
考虑一个直角三角形ABC，其中∠B为90度。
假设C点在单位圆上，角A对应的弧长为s。
根据单位圆的性质，弧长与圆心角的关系为s = rθ，其中r为单位圆的半径，θ为圆心角的大小。
根据三角函数的定义，余弦函数cosθ定义为：cosθ = AB / AC由于三角形ABC与单位圆OBC相似，根据相似三角形的性质，我们可以得到：AB / AC = r / s将上述等式带入余弦函数的定义中，得到：cosθ = r / s利用相似三角形的性质，我们成功推导出余弦函数的定义。
三、正切函数的推导正切函数是另一个重要的三角函数，在推导正切函数的过程中，同样可以运用相似三角形的性质。
考虑一个直角三角形ABC，其中∠B为90度。
假设C点在单位圆上，角A对应的弧长为s。
根据单位圆的性质，弧长与圆心角的关系为s = rθ，其中r为单位圆的半径，θ为圆心角的大小。
根据三角函数的定义，正切函数tanθ定义为：tanθ = BC / AB由于三角形ABC与单位圆OBC相似，根据相似三角形的性质，我们可以得到：BC / AB = s / r将上述等式带入正切函数的定义中，得到：tanθ = s / r通过运用相似三角形的性质，我们推导出了正切函数的定义。
相似三角形知识点
相似三角形知识点在数学的世界中，相似三角形可是一个非常重要的知识点。
它不仅在解决几何问题时经常出现，还与我们的日常生活有着千丝万缕的联系。
首先，咱们来聊聊相似三角形的定义。
简单来说，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
这就好比两个形状相同，但大小可能不同的三角形。
相似三角形有一些重要的性质。
比如说，相似三角形的对应边的比值是相等的。
这意味着，如果一个三角形的一条边是另一个相似三角形对应边的两倍，那么其他对应边也会是两倍的关系。
再比如，相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比值也都等于相似比。
相似三角形的判定方法也很关键。
第一种方法是“两角分别相等的两个三角形相似”。
想象一下，两个三角形的两个角都分别相等，那它们的第三个角肯定也相等，这样的两个三角形不相似都难。
第二种方法是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
这里要注意，必须是夹角相等哦，如果不是夹角，那就不行啦。
第三种方法是“三边成比例的两个三角形相似”。
只要三条边的比例都一样，那它们就是相似三角形。
接下来，咱们看看相似三角形在实际生活中的应用。
比如说，在测量物体的高度时，如果我们没办法直接测量，就可以利用相似三角形的知识。
比如要测量一棵大树的高度，我们可以先在地上立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为太阳光是平行的，所以杆子和大树与它们的影子分别构成的两个三角形是相似的。
根据相似三角形对应边成比例的性质，就可以算出大树的高度啦。
在建筑设计中，相似三角形也大有用处。
设计师们可以通过相似三角形的原理来规划不同比例的建筑结构，确保建筑的稳定性和美观性。
再说说数学题目中相似三角形的常见题型。
有一种是给出两个三角形的一些边和角的条件，让我们判断它们是否相似。
这就需要我们熟练运用判定方法来进行判断。
还有一种是已知两个相似三角形的某些边的长度或者比值，求其他边的长度。
这时候就要根据相似比来列方程求解。
相似三角形与三角函数的关系探究
相似三角形与三角函数的关系探究相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的两个三角形。
它们之间存在着一种有趣的关系，与三角函数密切相关。
本文将探究相似三角形与三角函数之间的关系。
1. 引言相似三角形与三角函数是高中数学中的重要概念，它们的关系不容忽视。
相似三角形是几何学中的基础概念，而三角函数则是在解析几何和三角学中广泛应用的数学工具。
通过研究它们之间的关系，我们可以更深入地理解三角函数的性质和相似三角形的性质。
2. 相似三角形的定义与性质相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。
在相似三角形中，我们可以通过关联两个三角形的对应边，建立起三角函数与相似三角形之间的联系。
3. 三角函数与相似三角形的关系在相似三角形中，我们可以利用三角函数来研究各个角的关系。
以正弦函数为例，我们知道在一个直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。
在相似三角形中，如果两个三角形的某个角相等，那么这两个三角形的对边与斜边的比例也相等。
因此，我们可以利用相似三角形的性质，将三角函数的定义推广到非直角三角形上。
4. 应用举例：利用三角函数求解相似三角形的边长比例在解决实际问题时，我们经常会遇到需要求解相似三角形边长比例的情况。
通过建立适当的三角函数关系，我们可以利用已知条件来求解未知边长的比例。
这种方法在测量不便或无法直接测量的情况下非常有用，例如建筑物高度的测量、地理测量等。
5. 三角函数与角度的关系除了与相似三角形相关联之外，三角函数还与角度的概念息息相关。
我们知道，三角函数的定义依赖于角度的概念。
在相似三角形中，对应角相等的两个三角形中，角的度数也是相等的。
因此，我们可以通过相似三角形的性质进一步研究三角函数与角度的关系。
6. 三角函数的周期性三角函数的周期性是它们独特的性质之一。
在相似三角形中，如果两个角的度数相等，那么这两个角的三角函数值也是相等的。
这意味着在一个周期内，三角函数的值会重复出现。
相似三角形的三角函数关系
相似三角形的三角函数关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在几何学中，相似三角形的三角函数关系起着重要的作用。
本文将详细介绍相似三角形的三角函数关系。
一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。
即若三角形ABC与三角形DEF相似，则有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF。
二、正弦函数与相似三角形的关系对于一个直角三角形ABC，其中∠A为直角，BC为斜边，分别定义其两个尖角为∠B和∠C。
假设∠B = α，则∠C = 90° - α。
根据正弦函数的定义，我们可以得到：sin(∠B) = BC/AB，sin(90° - α) = AC/AB。
由于AB是一个恒定值，那么BC/AB与AC/AB之间的比值为常数。
所以，当两个三角形相似时，它们对应角的正弦函数值相等。
三、余弦函数与相似三角形的关系同样以直角三角形ABC为例，根据余弦函数的定义可得：cos(∠B) = AC/AB，cos(90° - α) = BC/AB。
与正弦函数类似，两个相似三角形的对应角的余弦函数值相等，即cos(∠B) = cos(90° - α)。
四、正切函数与相似三角形的关系正切函数是切线与斜边之比，所以对于直角三角形ABC，有tan(∠B) = BC/AB，tan(90° - α) = AC/AB。
同样地，当两个三角形相似时，它们对应角的正切函数值相等，即tan(∠B) = tan(90° - α)。
五、例题分析现在我们通过一个具体的例题来说明相似三角形的三角函数关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 10cm，且∠B = α。
求∠C和∠A。
根据三角形相似的定义，我们可以得到的比值公式是AB/DE=BC/EF=AC/DF=5/DE。
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1. 相似三角形的判定定理:
推论一一直角三角形相似：
(1) 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。
2. 性质定理： (1) 对应角相等。
(2) 对应边成比例。
(3) 对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4) 周长比等于相似比。
(5) 面积比等于相似比的平方。
3. 相似三角形的传递性
如果△ABC S ^I B I C I ,M I B I C I s 公2B 2C 2，那么△ ABC "A 2B 2C 2
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相似三角形考点
4、 比例的性质
a c
(1) 比例的基本性质：
=—
b d a
c a b (2) 合比性质： =-
b d b
(3) 等比性质：a =- = L =m
b d n
ad 二be (bd H 0) e d
d
a e L m a
八
b d L (b d L n u) n b
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如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形 叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
对应边的比叫做位似比，位似比等于相似比。
锐角三角函数知识点总结
1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。
a 2
b 2
c 2
2、如下图，在 Rt △ AB （中，/ C 为直角，则/ A 的锐角三角函数为（ZA 可换成/B ）:
3、特殊角的三角函数值（重要）
三角函数
30 ° 45 ° 60 °
\
疋 义 表达式
正 弦 sin A -
A 的对边 斜边
a
sin A —
c
余
弦 cosA -
A 的邻边 斜边
.b cos A - c
正
切
tan A -
A 的对边 A 的邻边
tan A — b。