相似与三角函数(09)
三角形的相似性质
边长比例相等：两个三角形的 边长之比相等
面积比例相等：两个三角形的 面积之比相等
角度相等：两个三角形的对应 角相等
边长和角度的关系：两个三角 形的边长和角度满足一定的比 例关系
三角形相似的应用
第三章
相似三角形在几何问题中的应用
相似三角形的性质：两个三角形相似，它们的对应边成比例，对应角相等
相似三角形的应用：在几何问题中，可以通过相似三角形的性质，求解三角形的边长、 角度等
三角形全等与相似的关系
相似三角形：两个三角形对 应边成比例，对应角相等
全等三角形是相似三角形的 特殊情况
相似三角形不一定是全等三 角形
全等三角形：两个三角形对 应边相等，对应角相等
全等三角形的性质可以推广 到相似三角形
三角形全等和相似的应用场景比较
全等三角形：在 几何证明中，全 等三角形常用于 证明线段相等、 角相等等。
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三角函数的定义： 三角函数是描述 三角形内角和边 的关系的函数
相似三角形在三 角函数中的应用： 通过相似三角形 的性质，可以求 解三角形中的未 知边和角
相似三角形在三 角函数中的应用 实例：求解三角 形中的未知边和 角，如求解三角 形的面积、周长 等
相似三角形在实际问题中的应用
知识必备09 锐角三角函数(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备09锐角三角函数（公式、定理、结论图表）考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为 ． ．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释： (1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时， ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（ ）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 要点诠释： 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，， ，，. ④，h 为斜边上的高.要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤两直角边(a ，b)由求∠A ，∠B=90°－∠A ，两边斜边，一直角边(如c，a)由求∠A ，∠B=90°－∠A ，锐角、邻边(如∠A ，b)∠B=90°－∠A ，，一直角边和一锐角锐角、对边(如∠A ，a)∠B=90°－∠A ，，Rt △ABC一边一角斜边、锐角(如c ，∠A)∠B=90°－∠A ，，要点诠释： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.典例3：（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如： 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米A．600﹣250B．600﹣250C．350+350D．500【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C 点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为 16 m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，∴AB＝16m．故答案为：16．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6：（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的长为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；(3)边与角之间的关系：，，，．(4)如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC面积，得ab＝ch．(5)如图所示，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则①CD＝AD＝BD＝AB；②点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径R＝AB．(6)如图所示，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．直角三角形的面积：①如图所示，．（h为斜边上的高）②如图所示，．典例7：（2022•黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（ ）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，∴π≈＝12sin15°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．。
相似三角形及锐角三角函数
九年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：一、相关概念：1. 相似图形：形状相同的图形。
2. 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。
3. 相似比：相似多边形对应边的比。
二、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等三、相似三角形的判定✓通过定义（三边对应成比例，三角相等）✓平行于三角形一边的直线✓三边对应成比例（SSS）✓两边对应成比例且夹角相等（SAS）✓两角对应相等（AA）✓两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（HL）四、相似三角形的性质✓对应角相等。
✓对应边成比例。
✓对应高的比等于相似比。
✓对应中线的比等于相似比。
✓对应角平分线的比等于相似比。
✓周长比等于相似比。
✓面积比等于相似比的平方。
五、位似：✓位似图形的概念：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.✓在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.考点一一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列命题：①所有的等腰三角形都相似，②所有的等边三角形都相似，③所有的等腰直角三角形都相似，④所有的直角三角形都相似.其中，正确的是 ( )A.②③B.②③④C.③④D.②④2.有两个顶角相等的等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为6，底边长为4，另一个三角形框架的底边长为2，则这个三角形框架的腰长为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.23.如图，点P 是△ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有 ( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条4.如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ）A.1对B.2对C.3对D.4对5.两个相似菱形边长的比是1:4，那么它们的面积比是 ( ) A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:166.下列条件中，不能判定以A /、B /、C /为顶点的三角形与△ABC 相似的是（ ） A.∠C=∠C /=90°,∠B=∠A /=50° B.AB=AC ，A /B /=A /C /，∠B=∠B /C.∠B=∠B /，////C B BC B A AB =D. ∠A=∠A /，////C B BC B A AB =7.△ABC 的周长等于16，D 是AC 的中点，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则△DEC 的周长等于( ) A.2 B.4 C.6 D.88.在□ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是BE 的中点，AE 与DF 相交于H ，则△EFH 的面积与△ADH 的面积的比值为 （ ） A ．21 B ． 81 C ．161 D ．41二、填空题（每小题3分，共18分）9．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，则这个地区的实际周长________。
高考数学真题09 三角函数的图象与性质问题(学生版)
专题09 三角函数的图象与性质问题【高考真题】1．(2022·北京)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ，则( )A ．f (x )在(－π2，－π6)上单调递减B ．f (x )在(－π4，π12)上单调递增C ．f (x )在(0，π3)上单调递减D ．f (x )在(π4，7π12)上单调递增2．(2022·浙江) 为了得到函数y ＝2sin3x 的图象，只要把函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π5图象上所有的点( ) A ．向左平移π5个单位长度 B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度3．(2022·全国甲文) 将函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y轴对称，则ω的最小值是( )A ．16B ．14C ．13D ．124．(2022·全国乙理) 记函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T ，若f (T )＝32，x ＝π9为f (x ) 的零点，则ω的最小值为____________．5．(2022·新高考Ⅰ)记函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)＋b (ω＞0)，的最小正周期为T ．若2π3＜T ＜π，且y ＝f (x )的图象关于点(3π2，2)中心对称，则f (π2)＝( )A ．1B ．32C ．52D ．36．(2022·全国甲理)设函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )A ．[53，136)B ．[53，196)C ．(136，83]D ．(136，196]【知识总结】1．三种三角函数的图象和性质2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0) 倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 【同类问题】题型一 三角函数的性质1．(2017·山东)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A ．π2B ．2π3 C ．π D ．2π2．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π3．(2018·全国Ⅰ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π4．已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C ．⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 5．(2018·全国Ⅰ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f (π6)＋f (π2)＝0，且f (x )在区间(π6，π2)上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．57．(2019·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． 8．(2017·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 9．(2013·全国Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. 10．已知ω>0，函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32的最小正周期为π，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度可得函数g (x )＝cos2x 的图象D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－32题型二 三角函数的图象变换11．(2021·全国乙)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，则f (x )等于( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2－7π12 B ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 D ．sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 12．(2016·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度13．(2017·全国Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 214．(2018·天津)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减 15．函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x ) 为偶函数，则φ的值为( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π315．将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．817．若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，为了得到函数g (x )＝sin2x 的图象，则只需将f (x )的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度18．(2019·天津)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝( )A ．－2B ．－2C ．2D ．219．(2016·全国)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )20．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的23，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象．已知函数g (x )的部分图象如图所示，则函数A ．最小正周期为23π，最大值为2 B ．最小正周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0中心对称 C ．最小正周期为23π，图象关于直线x ＝π6对称 D ．最小正周期为π，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递减 题型三 关于ω的取值范围21．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在3[,]44ππ-上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．[2，)+∞B ．(0，2]C ．2[,)3+∞D ．2(0,]322．将函数()cos()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在5(,)44ππ上单调递减，则ω的最大值为( ) A ．14 B ．34 C ．12D ．1 23．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象向右平移4π个单位后所得函数图象与函数()f x 的图象关于x 轴对称，则ω最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．624．已知函数()3sin()f x x ωϕ=+，(0,0)2πωϕ><<，()03f π-=，2()()3f x f x π-=，且函数()f x 在区间(,)124ππ上单调，则ω的最大值为( ) A ．274 B ．214 C ．154 D ．9425．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，若()19f π=，(449)0f π=，()f x 在(,)93ππ上单调递减，那么ω的取值个数是( )A ．2019B ．2020C ．2021D ．202226．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->，若函数()f x 在区间(0,)π上有且只有两个零点，则ω的取值范围为( )A ．713(,)66B ．713(,]66C ．611(,)56D ．611(,]5627．已知函数()2sin()sin()(0)63f x x x ππωωω=-+>，若函数3()()2g x f x =+在[0，]2π上有且只有三个零点，则ω的取值范围为( ) A ．[2，11)3 B ．11(2,)3 C ．710[,)33 D ．710(,)3328．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>在区间[,]43ππ-上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的 取值范围为( )A ．8[,7)3B ．8[,4)3C ．20[4,)3D ．20(,7)329．已知函数1()sin (sin cos )(0)2f x x x x ωωωω=+->在区间(0,)π上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是( )A ．711(,)88B ．711(,]88C ．79(,]88D ．79(,)8830．已知函数3()sin()sin()(0)21472xxf x ωππωω=+->在[0，)π上恰有6个零点，则ω的取值范围是 ( ) A ．4148(,]77B ．3441(,]77C ．4148[,)77D ．3441[,)77。
锐角三角函数和相似三角形
锐角三角函数1、锐角三角函数定义：2、锐角三角函数性质：①=+A A 22cos sin②cos sin =A s i n c o s =A， ③若∠A ＞∠B ，则A sin B sin ，A cos Bc o s ， A tan B t a n3、坡度（坡比）=i ＝4、如右图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，则相似三角形1、 相似三角形的判定：平行相似（A 型或X 型）、SSS 相似、SAS 相似、AA 相似、HL 相似2、 相似三角形的性质：对应角相等；对应边的比、对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
3、 位似的性质：①具有相似的所有性质②对应点连线相交于一点，这点是位似中心③对应线段平行4、常考图形锐角三角函数1、锐角三角函数定义：2、锐角三角函数性质：①=+A A 22cos sin②cos sin =A s i n c o s =A， ③若∠A ＞∠B ，则A sin Bs i n ，A cos B c o s ， A tan B t a n3、坡度（坡比）=i＝4、如右图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，则相似三角形4、 相似三角形的判定：平行相似（A 型或X 型）、SSS 相似、SAS 相似、AA 相似、HL 相似5、 相似三角形的性质：对应角相等；对应边的比、对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
6、 位似的性质：①具有相似的所有性质②对应点连线相交于一点，这点是位似中心③对应线段平行4、常考图形1 2 A B C D=A sin =A cos =A tan cos sin sin =====A ====tan tan A sincos cos =====A AB C 1 D E AB 1C DE A B C D 1 1 2 A B C D=A sin =A cos =A tan cos sin sin =====A ====tan tan A sincos cos =====A AB C 1 D E AB 1C DE A B C D 1。
一轮培优讲次09 三角函数表示及和差倍角公式(教师版)
2021年高考数学一轮复习培优课程讲义（上海专用）专题09 三角函数表示及和差倍角公式知识定位本讲义目的在于让同学熟悉三角函数的表示方法，并正确使用和差倍角公式来解决实际问题。
知识诊断已知c b a 、、分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且。
（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若，求的值。
知识梳理➢ 知识点一：了解角的集合表示，理解度数与弧度数的换算及任意角的三角函数表示。
➢ 知识点二：熟练使用同角三角函数的关系式及诱导公式。
➢ 知识点三：利用三角形和差公式进行求值化简。
➢ 知识点四：同时利用正余弦定理解三角形。
➢ 知识点五：解三角形与实际问题的结合。
常见题型和方法解析1. 了解角的集合表示，理解度数与弧度数的换算及任意角的三角函数表示。
例1 已知，那么角是（ ）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角解：由或，当时，为第三象限；当时，为第二象限，故选B.教学提示：本题考点为任意角的三角函数。
三角函数是函数的一种形式，它以角为自变量，以比值为函数值。
刚刚接触三角函数时，要从不同角度来认识角，而本题则是从象限角的角度来认识角。
在讲解本题的同时，要和同学们一起总结回忆正弦、余弦和正切余切在四个象限的正负情况，让同学们有一个直观的认识。
变式题：是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C解析：因为第一象限角的范围为;第二象限角的范围为;第三象限角的范围为;第四象限角的范围为；是第三象限角，故选C.例2设角的终边上有一点，则的值是( )A．B．C．或D．1解：由三角函数的定义可知，所以，选A.教学提示：该题的解答过程中利用了三角函数的定义，角可以看成是平面内的一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
旋转开始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边。
解题过程中再给同学们总结终边上一点的坐标表示与各个三角函数值的关系。
相似三角形与三角函数
初三数学---相似三角形和解直角三角形一、相似三角形1．相似三角形判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即“两角对应相等，两三角形相似”．（3）判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”．（4）判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即“三边对应成比例，两三角形相似”．（5）若△1∽△2、△2∽△3、则△1∽△3．对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（6）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（7）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形周长比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方．二、锐角三角函数1．掌握锐角三角函数的定义，准确地进行计算．2．互余角的三角函数间的关系（1）sin（90°－）＝cos；（2）cos（90°－）＝sin；（3）．3．同角三角函数间的关系（1）；（2）．三、解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边与角之间的关系：，，．2．如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC的面积，得ab＝ch．从三角函数的角度考虑，有由，得a2＝pc；同理，得b2＝qc；由，得h2＝pq；由，得ab＝ch．在有关直角三角形的相似问题中，可以尝试运用三角函数的知识来解题，即“三角法”．3．如图1，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则（1）CD＝AD＝BD＝；（2）点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径．4．如图2，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．图1 图2 图3 5．直角三角形的面积：（1）如图2，S△ABC．（2）如图3，S△ABC．6B＝90°－A，，，由求角A，B＝90°－A，由求角A，B＝90°－A例题分析例1．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B，C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．（1）你认为图中哪两个三角形相似，为什么?（2）当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．例2．如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值．例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sin B·sin C的值．例4．如图，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，S△ACD∶S△CDB＝2∶3，，AC＋CD＝18，求tan A的值和AB的长．5．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝与x轴交于点E．求点E的坐标．6．已知：如图（a），梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝BC＝4，CD＝6．（1）E为BC边上一点，EF∥AD，交CD边于点F，FG∥EA，交AD边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；（2）如图（b），将（1）中的∠AEF绕E点逆时针旋转为∠A′EF′，EF′交CD边于F′点，且F′点与D点不重合，射线EA′交AB边于点M，作F′N∥EA′交AD边于点N，设BM为x，△NF′D中，F′D边上的高为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．图（a）图（b）答案例1、解：（1）△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．说明：此图形结构可以称为“一线三等角问题”．（2）作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5．假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得，可得BP·PC＝AB·CE＝6．设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．∴x（7－x）＝6，即x2－7x＋6＝0．解得x1＝1，x2＝6．答：当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．例2、解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°．∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．∴∠CMN＋∠AMB＝90°．在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN．∴Rt△ABM∽Rt△MCN．（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，，即．．．当x＝2时，y取最大值，最大值为10．（3）∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM ∽△AMN，只需．由（1）知．∴BM＝MC．∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．例3、分析:为求sin B，sin C，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B，C，向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解．解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E．∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．；．又∵CD＝CA＋AD＝10，，．同理，可求得．．说明：由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线段等方法将其置于直角三角形中．例4、解：作DE∥AC交CB于E，则∠EDC＝∠ACD＝90°．∵，设CD＝4k（k＞0），则CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．∵△ACD和△CDB在AB边上的高相同，∴AD∶DB＝S△ACD∶S△CDB＝2∶3．．即．．∵AC＋CD＝18，∴5k＋4k＝18．解得k＝2．．．说明：本章解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．例5、解：作AF⊥x轴于F．∴OF＝OA·cos60°＝1，AF＝OF·．∴点A坐标为（1，）．代入直线解析式，得．．．当y＝0即时，x＝4．∴点E坐标为（4，0）．例6、解：（1）作AH⊥CD于点H（如图（c））可得∠1＝∠2＝∠D．由AB＝BC＝CH＝4可得HD＝CD－CH＝2．．．∴BE＝2，即E为BC的中点．（2）图（d），作NP⊥CD于点P，则PN＝y．可得∠4＝∠5＝∠6，它们的正切值相等．，即．，．，，∵CD＝CF′＋PF′＋PD，，即．整理，得．若点F′与点D重合（见图（e）），则∠BEM＝∠EDC，．．．∴x的取值范围为。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质引言三角函数在数学中起着非常重要的作用，它们的图像与性质也是数学学习过程中的基础内容。
本文将介绍三角函数的图像和常见性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数的图像与性质正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，它的图像呈现周期性的波动。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数的图像可以用下面的公式表示：$$y = \\sin(x)$$正弦函数的图像在周期范围内呈现上升和下降的特点，其中最高点和最低点的纵坐标分别为1和-1。
正弦函数的图像以曲线方式连续无间断地进行。
正弦函数的性质包括： - 正弦函数的周期为$2\\pi$，即在每个周期内，正弦函数的图像完整地重复一次。
- 正弦函数的对称轴为x轴。
- 正弦函数的图像在$[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] $ 上是增函数，在$[0, \frac{\pi}{2}] $ 和$[\frac{3\pi}{2}, 2\pi] $ 上是减函数。
余弦函数的图像与性质余弦函数也是三角函数中常见的函数，它的图像与正弦函数非常相似，但是相位不同。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数的图像可以用下面的公式表示：$$y = \\cos(x)$$余弦函数的图像在周期范围内呈现上升和下降的特点，其中最高点和最低点的纵坐标分别为1和-1。
余弦函数的图像以曲线方式连续无间断地进行。
余弦函数的性质包括： - 余弦函数的周期为$2\\pi$，即在每个周期内，余弦函数的图像完整地重复一次。
- 余弦函数的对称轴为y轴。
- 余弦函数的图像在$[\pi, 2\pi] $ 上是增函数，在$[0, \pi] $ 上是减函数。
正切函数的图像与性质正切函数是另一个重要的三角函数，它的图像在不同的区间内有不同的特点。
正切函数的定义域是除了$\\frac{\\pi}{2} + k\\pi$（其中k是整数）的所有实数，值域是整个实数集。
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2012—2013学年九年级数学（下）周末复习资料（09）理想文化教育培训中心 学生姓名： 得分:一、知识点梳理：1、等腰三角形：（1）性质：等边对等角；三线合一。
（2）判定：等角对等边。
2、相似三角形：（1）判定：①两角对应相等，两三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；③三边对应成比例，两三角形相似；④直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．（2）性质：①对应边成比例，对应角相等； ②对应中线的比，角平分线的比，高的比都等于相似比；③周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.3、直角三角形：（1）勾股定理及逆定理：a 2＋b 2＝c 2（2）锐角三角函数：sinA=c a cosA=c b tanA=b a 特殊角的三角函数值。
（3）解直角三角形：俯角（仰角） ；坡角（坡度、坡比）；方位角。
二、巩固练习：1、（2012江苏徐州）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为【 】A ．9B ．7C ．12D ．9或122、（2012湖北荆门）如图1，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF =2，则PE 的长为【 】A ． 2B ． 2C ．D ． 33、（2012浙江湖州）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是【 】A ．20B ．10C ．5D ．52图（1） 图（2） 图（3） 图（4）4、（2012四川绵阳）已知，如图3，△ABC 中，∠C =90°，tanA =12，D 是AC 上一点，∠CBD =∠A ，则sin ∠ABD =【 】。
A ．35 B ．105 C ．310D ．310105、（2012辽宁本溪）如图 4， 在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =8，AC =6，DE 是AB 边的垂直平分线，垂足为D ，交边BC 于点E ，连接AE ，则△ACE 的周长为【 】A 、16B 、15C 、14D 、136、（2012浙江杭州）如图5，在Rt △ABO 中，斜边AB =1．若OC ∥BA ，∠AOC =36°，则【 】A ．点B 到AO 的距离为sin 54° B ．点B 到AO 的距离为tan 36°C ．点A 到OC 的距离为sin 36°sin 54°D ．点A 到OC 的距离为cos 36°sin 54°7、（2012四川内江）如图6所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为【 】A .12B .55C .1010D .255 8、（2012湖北咸宁）如图7，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2， 点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为【 】．A ．(2，0)B ．(23，23)C ．(2，2)D ．(2，2)9、（2012贵州安顺）某一时刻，身髙1.6m 的小明在阳光下的影长是0.4m ，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m ，则该旗杆的高度是【 】A ． 1.25mB ． 10mC ． 20mD ． 8m10、（2012福建福州）如图8，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热 气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点煌距离是【 】A ．200米B ．2003米C ．2203米D ．100(3＋1)米图（5） 图（6） 图（7） 图（8）11、（2012辽宁铁岭）如图，在东西方向的海岸线上有A 、B 两个港口，甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以4海里／小时的速度出发，同时乙货船从B 港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P 处，问乙货船每小时航行 海里.12、（2012山东滨州）如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠BAD =20°，则∠C = °．13、（2012上海市）在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE 的面积为4，四边形BCDE 的面积为5，那么AB 的长为 ．14、（2012甘肃白银）如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，∠EFB =60°，DC =EF ．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形；（2）若BF =EF ，求证：AE =AD ．15、（2012江苏泰州）如图，一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上，小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为60°，然后他从P 处沿坡角为45°的山坡向上走到C 处，这时，PC =30 m ，点C 与点A 恰好在同一水平线上，点A 、B 、P 、C 在同一平面内．（1）求居民楼AB 的高度；（2）求C 、A 之间的距离．（精确到0.1m ，参考数据：41.12≈,73.13≈,45.26≈）16、（2012江苏徐州）如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小亮在操场上点C 处直立高3m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点C 1处直立高3m 的竹竿C 1D 1，然后退到点E 1处，此时恰好看到竹竿顶端D 1与电线杆顶端B 重合。
小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m ，量得CE=2m ，EC 1=6m ，C 1E 1=3m 。
（1）△FDM∽△ ，△F 1D 1N∽△ ；（2）求电线杆AB 的高度。
17、（2012江苏南通）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60º方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处．求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)．18、（2012河北省）如图，点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC 同侧．（1）AE和ED的数量关系为；AE和ED的位置关系为；（2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD．分别得到图2和图3．①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD．②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．14、【答案】证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =60°。
∵∠EFB =60°，∴∠ABC =∠EFB 。
∴EF ∥DC （内错角相等，两直线平行）。
∵DC =EF ，∴四边形EFCD 是平行四边形。
（2）连接BE 。
∵BF =EF ，∠EFB =60°，∴△EFB 是等边三角形。
∴EB =EF ，∠EBF =60°。
∵DC =EF ，∴EB =DC 。
∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，AB =AC 。
∴∠EBF =∠ACB 。
∴△AEB ≌△ADC （SAS ）。
∴AE =AD 。
15、【答案】解：（1）过点C 作CE ⊥BP 于点E ，在Rt △CPE 中，∵PC =30m ，∠CPE =45°， ∴CE sin45PC ︒=。
∴CE =PC •sin 45°=30×2=1522（m ）。
∵点C 与点A 在同一水平线上，∴AB =CE =152≈21.2（m ）。
答：居民楼AB 的高度约为21.2m 。
（2）在Rt △ABP 中，∵∠APB =60°，∴AB tan60BP︒=。
∴AB 152BP ==56tan603=︒（m ）。
∵PE =CE =152m ，∴AC =BE =152+56≈33.4（m ）。
答：C 、A 之间的距离约为33.4m 。
16、【答案】解：（1）FBG ，F 1BG 。
（2）根据题意，∵D 1C1∥BA，∴△F 1D 1N∽△F 1BG 。
∴111D N F N BG FG =。
∵DC∥BA，∴△FDNN∽△FBG。
∴DM FM BG FG=。
∵D 1N=DM ，∴11F N FM FG FG =，即32GM+11GM+2=。
∴GM=16。
∵111D N F N BG FG =，∴1.53BG 27=。
∴BG -13.5。
∴AB=BG＋GA=15（m）。
答：电线杆AB的高度为了15m。
17、【答案】解：∵AB为南北方向，∴如图，△AEP和△BEP均为直角三角形。
在Rt△AEP中，∠APE=90°－60°=30°，AP=100，∴AE=12AP=12×100=50，EP=100×cos30°=503。
在Rt△BEP中，∠BPE=90°－45°=45°，∴BE=EP=503。
∴AB=AE＋BE=50＋503。
答：测量船从A处航行到B处的路程为50＋503海里。
18、【答案】解：（1）AE=ED；AE⊥ED。
（2）①由题意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，∵△EGF与△EAB的相似比1：2，∴∠GFE=∠B=90°，GF=12AB，EF=12EB。
∴∠GFE=∠C。
∴EH=HC=12EC。
∴GF=HC，FH=FE+EH=12EB+12EC=12BC=EC=CD。
∴△HGF≌△DHC（SAS）∴GH=HD，∠GHF=∠HDC。
∵∠HDC+∠DHC=90°，∴∠GHF+∠DHC=90°。
∴∠GHD=90°。
∴GH⊥HD。
（3）k．。