余弦定理的八种证明方法
证明余弦定理(精选多篇)
证明余弦定理(精选多篇)第一篇：怎么证明余弦定理怎么证明余弦定理证明余弦定理：因为过c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。
又因为b^2-(bcosa)^2=(bsina)^2，所以(c-某)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa，所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab2在任意△abc中,作ad⊥bc.∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->bd=cosb某c，ad=sinb某c，dc=bc-bd=a-cosb某c勾股定理可知：ac²=ad²+dc²b²=(sinb某c)²+(a-cosb某c)²b²=sin²b某c²+a²+cos²b某c²-2ac某cosbb²=(sin²b+cos²b)某c²-2ac某cosb+a²b²=c²+a²-2ac某cosb所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为某轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(cc osa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina。
证明余弦定理(精选多篇)
2
在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b
则c_=a_+b_-2ab*cosc
a_=b_+c_-2bc*cosa
b_=a_+c_-2ac*cosb
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a
由勾股定理得：
ad=b•sin∠bca=c•sin∠abc，
be=a•sin∠bca=c•sin∠cab。
证法三：如图2，设cd=2r是△abc的外接圆
的直径，则∠dac=90°，∠abc=∠adc。
证法四：如图3，设单位向量j与向量ac垂直。
因为ab=ac+cb，
二、余弦定理的证明
法一：在△abc中，已知，求c。
过a作，
在rt中，，
法二：
，即：
法三：
先证明如下等式：
⑴
证明：
故⑴式成立，再由正弦定理变形，得
结合⑴、有
即.
同理可证
.
三、正余弦定理的统一证明
法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc为邻边作平行四边形abcc′，则∠bac′=π-∠b，
mc=
4
ma=√(c_+(a/2)_-ac*cosb)
=(1/2)√(4c_+a_-4ac*cosb)
由b_=a_+c_-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a_+2c_-2b_，代入上述ma表达式：
三角形余弦定理公式及证明方法
三角形余弦定理公式及证明方法三角形余弦定理公式及证明方法余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
下面是店铺为大家精心推荐三角形余弦定理的相关内容，希望能够对您有所帮助。
三角形余弦定理上的定义三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的`余弦值。
三角形余弦定理的公式对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a²=b²+c²-bc·cosAb²=a²+c²-ac·cosBc²=a²+b²-ab·cosC也可表示为：cosC=(a²+b²-c²)/abcosB=(a²+c²-b²)/accosA=(c²+b²-a²)/bc这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。
要小心余弦定理的这种歧义情况。
三角形余弦定理的证明平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos(π-θ)(以上粗体字符表示向量)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)再拆开，得c²=a²+b²-2abcosC即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b同理可证，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
余弦定理的多种证明方法
余弦定理的多种证明方法法一(平面几何)：在△ABC 中，已知,,AC b BC a C ==∠及，求c 。
过A 作sin sin AD BC D AD AC C BC C ⊥=于，是＝，cos cos ,CD AC b c ==在Rt ABD ∆中，2222222(sin )(cos )2cos AB AD BD b c a b c a b ab c =+=+-=+-，法二（平面向量）：222()()22||||AB AB AC BC AC BC AC AC BC BC AC AC BC ⋅=+⋅+=⋅⋅+=+⋅ 222cos(180)2cos B BC b ab B a -+=-+，即：2222cos c a b ab c =+-法三（解析几何）：把顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，由于△ABC 的AC=b ，CB=a ，AB=c ，则A ，B ，C 点的坐标分别为A(b ，0)，B(acosC ，asinC)，C(0，0)．|AB|2=(acosC －b)2+(asinC －0)2 =a 2cos2C －2abcosC+b 2+a 2sin2C =a 2+b 2－2abcosC ， 即c 2=a 2+b 2－2abcosC ．法四（利用正弦定理）：先证明如下等式：C B A C B A cos sin sin 2sin sin sin 222=-+ ⑴ 证明：C B A 222sin sin sin -+AC B()()()()()[]CB A B A B AC C B A B A C B A coos CB A cos sin sin 2cos cos cos cos cos cos 22cos 12cos 22122cos 122cos 122cos 12=+--=+-+-=+++-=---+-=故⑴式成立，再由正弦定理变形，得)2(sin 2sin 2sin 2⎪⎩⎪⎨⎧===C R c BR b A R a结合⑴、)2(有().cos 2cos sin sin 24sin sin sin 422222222C ab C B A R CB A R c b a =⋅=-+=-+即 C ab b a c cos 2222-+=.同理可证 A bc c b a cos 2222-+=；B ca a c b cos 2222-+=.法五（用相交弦定理证明余弦定理）:如图，在三角形ABC 中，∠A=α，AB=a ，BC=b ，AC=c 。
证明余弦定理(精选多篇)
证明余弦定理(精选多篇)第一篇：怎么证明余弦定理怎么证明余弦定理证明余弦定理：因为过c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。
又因为b^2-(bcosa)^2=(bsina)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa，所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab 2在任意△abc中,作ad⊥bc.∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a--bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac²=ad²+dc²b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosbb²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²b²=c²+a²-2ac*cosb所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
证明余弦定理的方法
证明余弦定理的方法余弦定理是解决非直角三角形的一种三角函数关系定理，用于求解任意三角形其中一个角的边之间的关系。
证明余弦定理的方法可以利用向量、三角函数以及勾股定理。
我们假设有一个非直角三角形ABC，三边分别为a，b，c，其中∠A、∠B、∠C 分别对应于边a、b、c。
方法一：利用向量法证明余弦定理将三角形向量化，我们可以得到：向量AB = 向量AC + 向量CB利用向量之间的内积关系：AB * AB = (AC + CB) * (AC + CB)展开和化简上式，我们可以得到：AB * AB = AC * AC + 2 * AC * CB + CB * CB根据向量之间的内积关系以及余弦公式cosθ= (向量A * 向量B) / (∥向量A∥* ∥向量B∥)，我们可以将上式变为：AB * AB = AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cos∠C根据向量的定义，我们可以得到：AB = √(AB * AB)，AC = √(AC * AC)，CB = √(CB * CB)将上述关系代入上式，我们可以得到：√(AB * AB) = √(AC * AC) + √(CB * CB) + 2 * √(AC * AC) √(CB * CB) * cosC化简上式，我们可以得到：AB^2 = AC^2 + CB^2 + 2 * AC * CB * cosC即余弦定理。
方法二：利用三角函数法证明余弦定理根据三角函数的定义，我们可以得到：cosA = AC / BCcosB = AB / ACcosC = AB / CB根据向量内积的定义，我们可以得到：AB * BC = ∥AB∥∥BC∥cosAAC * BC = ∥AC∥∥BC∥cosC将上式代入cosB的定义中，我们可以得到：cosB = (AB * BC) / (∥AB∥∥BC∥) = (AB * BC) / (√(AB * AB) √(BC * BC))代入向量AB * BC的定义，我们可以得到：cosB = (AB * AC + AB * CB) / (√(AB * AB) √(AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cosC))化简上式，我们可以得到：cosB = (AC + CB * cosC) / √(AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cosC)移项化简上式，我们可以得到：AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cosC = AC^2 + 2 * AC * CB * cosC + CB^2即余弦定理。
正余弦定理的四种证明方法
正余弦定理的四种证明方法余弦定理是解三角形问题的重要工具之一，它表达了三角形的一个边的平方与其他两边平方的关系。
以下将介绍余弦定理的四种证明方法。
方法一：向量法证明这是一种直接而简洁的证明方法。
我们可以将三角形的任意边表示为向量，然后利用向量的运算进行证明。
假设三角形的三个顶点为A、B、C，边a、b、c对应的向量分别为→a、→b、→c。
根据向量的定义，→c=→a-→b。
利用向量的模的定义有：→c，^2 = ，→a - →b，^2 = (∥→a∥ - ∥→b∥)^2 =∥→a∥^2 - 2∥→a∥∥→b∥cosC + ∥→b∥^2根据余弦定理，→c，^2 = a^2 = b^2 + c^2 - 2bc⋅cosA。
将上述两个表达式相等，整理可得余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc⋅cosA方法二：平面几何法证明这种证明方法是通过利用三角形的几何性质来证明余弦定理。
首先，我们可以进行如下构造：在边b上取一点D，使得BD与AC垂直相交于点E。
由此可得AE⊥BC。
根据直角三角形的性质，我们有：1. AE = AC⋅cosA2. AD = AC⋅sinA3. CD = BC - BD = BC - AD = b - AC⋅sinA由三角形的余弦定理可得：a^2 = AB^2 = AD^2 + BD^2 = (AC⋅sinA)^2 + (b - AC⋅sinA)^2展开并整理上式，可得到与余弦定理等价的表达式。
方法三：三角函数法证明这是一种基于三角函数的三角恒等式来进行证明的方法。
根据三角函数的定义，我们有：sinA = BC/AC，sinB = AC/BC由此可得AB = AC⋅sinB = BC⋅sinA。
假设三角形的高为h，利用三角形面积公式S = 1/2⋅AB⋅h也可得到：S = 1/2⋅BC⋅AC⋅sinA = 1/2⋅BC⋅AC⋅sinB此外，根据S=1/2⋅BC⋅h也可得到：h = BC⋅sinA联立上述三个等式，整理可得到余弦定理。
余弦定理及其证明
余弦定理及其证明篇一：余弦定理的证明方法大全(共十法)余弦定理证明方法全集（共十种）一、余弦定理余弦定理：三角形任意边的平方等于其他边的平方和减去这两条边和它们之间的夹角的余弦乘积的两倍，也就是说，in？在ABC，我们知道AB吗？c、卑诗省？a、 ca？b、然后呢a2?b2?c2?2bccosa,b2?c2?a2?2cacosb,c2?a2?b2?2abcosc.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:哪里在ABC，我们知道AB吗？c、空调？b、角度a，验证：A2？b2？c2？2bccosa。
证据1：如图1所示，在哪里？美国广播公司？ab？AC可用：cb?cb?(ab?ac)?(ab?ac)ab？交流电？2ab？交流电b2c22bccosa图12二即,a2?b2?c2?2bccosa.证候方法2：此方法应注意什么？讨论(1)当?a是直角时,由b2?c2?2bccosa?b2?c2?2bccos90??b2?c2?a2知结论成立.(2)当?a是锐角时,如图2-1,过点c作cd?ab,交ab于点d,则在RT？在ACD，广告？bcosa，cd？贝西娜。
从而,bd?ab?ad?c?bcosa.在RT？在BCD中，根据勾股定理，我们可以得到：BC2？bd2？cd2(cbcosa)2(bsina)2c2？2cbcosa？b2a图2-1即,a2?b2?c2?2bccosa.注：图2-1仅适用于？B是锐角，和？B也可以是直角或钝角，如果？B是一个直角，如图所示点d就与点b重合；若?b是钝角,图中的点d就在ab的延长线上.（3）什么时候？当a为钝角时，如图2-2所示，交叉点C为CD？AB，在D点与Ba 延长线相交，然后在RT？在ACD，广告？bcos（？a）？？bcosa，cd？bsin（？a）？贝西娜。
从而,bd?ab?ad?c?bcosa.在RT？在BCD中，根据勾股定理：bc?bd?cd（c？bcosa）2？（b）2c22cbcosab2图2-2222那是，a？BC2bccosa。
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余弦定理的八种证明方法
研究背景：
2011年高考数学卷（陕西卷）考出了“说明并证明余弦定理”这个考题,使平时不注重翻阅课本的同学大部分吃了亏，虽然这是书本上的知识，且课本上只给出了一种证明方法，但仍让同学们很难想到会考这个证明题，因此我们利用这次研究性学习活动，以论文的方式来介绍一下多种余弦定理的证明方法，来增强我们对课本知识的理解。
目的意义：
用多种方法证明余弦定理，扩展思维，了解更多的过程。
内容摘要：
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形便可适当移于其它知识。
成果展示：
一余弦定理的内容
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质
a²= b²+ c²- 2·b·c·cosA
b²= a²+ c²- 2·a·c·cosB
c²= a²+ b²- 2·a·b·cosC
二证明方法
方法一：平面几何法
∵如图，有a+b=c ∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c²=a·a+2a·b+b·b ∴c²=a²+b²+2|a||b|cos(π-θ)
又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ
再拆开，得c^2=a²+b²-2*a*b*cosC
方法二：勾股法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC²=AD²+DC²
b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²
b²=(sinB*c)²+a²-2ac*cosB+(cosB)²*c²
b²=(sinB²+cosB²)*c²-2ac*cosB+a²
b²=c²+a²-2ac*cosB
方法三：解析法
在三角形ABC建立直角坐标系，使A点为原点，B点落在x轴正半轴上，
设三角形三边abc
则有三点坐标为A（0，0）B（c，0）C（bcosA，bsinA）
∵BC=a
bc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=2(S△ACQ+S△PBC)=c², 同理，ac(cos∠CBA)+ab(cos∠ACB)=a²,
ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b².
联立三个方程，
bc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=c²（1）
ac(cos∠CBA)+ab(cos∠ACB)=a²（2）
ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b²（3）易得余弦定理
方法八：物理法
设三角形ABC是边长分别为a、b、c的通电导线框，其电流长度为I。
现将它置于磁感应强度为B的匀强磁场中且线框平面与磁场方向垂直，
那么三角形ABC的三边所受的安培力如图1所示，其大小分别为
Fa=BIa
Fb=BIb（1）
Fc=BIc
很显然，这三个力是相互平衡的共点力，它们的作用线相交与三角形ABC的外心O，现以O点为原点，分别建立如图2甲、丙所示的直角坐标系，对Fa、Fb、Fc进行正交分解，根据甲图，有。