数学必修北师大版实际问题的函数建模
高中数学4.2实际问题的函数建模课件北师大必修1
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第四章
函数应用
第四章
§2 实际问题的函数建模
1课前自主预习3易错疑难辨析2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
某商场销售一批名牌衬衫，平均 每天可售出 20 件，每件盈利 40 元， 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少 库存，商场决定采取适当降价措 施．经调查发现，如果每件衬衫每降 价 1 元，商场平均每天多售出 2 件．于是商场经理决定每件衬 衫降阶 15 元．那么经理的决定正确吗？ 这需要把实际问题转化为数学问题用函数模型来解决.
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？ [思路分析] 利用待定系数法求y1，y2与x的函数关系，然 后比较y1与y2的大小，确定答案．
[规范解答]
(1)由图像可设 y1＝k1x＋29，y2＝k2x，
把点 B(30,35)，C(30,15)分别代入 y1，y2 得 1 1 k1＝ ，k2＝ . 5 2 1 1 ∴y1＝ x＋29，y2＝ x. 5 2
1 1 2 (2)令 y1＝y2，即 x＋29＝ x，则 x＝96 . 5 2 3 2 当 x＝96 时，y1＝y2，两种卡收费一致； 3 2 当 x<96 时，y1>y2，即“便民卡”便宜； 3 2 当 x>96 时，y1<y2，即“如意卡”便宜． 3
[规律总结] 1.一次函数模型层次性不高，求解也较为容 易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法 来处理．
1 [答案] 2
x [解析] 由题意知面积 S＝(3＋x)(2－ ) 2 x2 x ＝－ ＋ ＋6， 2 2 1 当 x＝－ ＝ 时，面积 S 最大． 1 2 2×－ 2 1 2
北师大版高中数学必修一教学案实际问题的函数建模
年级高一
学科数学
课题
实际问题的函数建模
授课时间
撰写人
学习重点
初步了解数学模型解决实际问题的过程
学习难点
实际问题抽象为数学问题的过程
学习目标
1.了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想
2.初步学会运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题
教学过程
一自主学习
1.写出我们已学习过的常见的函数模型
四课后反思
五课后巩固练习
1.某人2007年1月1日到银行存入一年存款a元，若按年利率为x的复利计算，则到2012年1月1日可取回款（）
A B C D
2.老师今年用7200元买了一台笔记本。由于电子技术的飞速发展，计算机的价格每隔一年降低三分之一。三年后老师这台笔记本价值元。
3.某商场经营一批进价为12元/个的小商品。在4天的试销中，对此商品的销售单价x（元）与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：
例：（1）正比例函数模型： (R为常数)
2.总结解决实际应用题的基本步骤
二师生互动
例1有甲乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式： ， ，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润。对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
例2某市实施“垃圾费用随袋征收”政策，垃圾袋的型号、规格及售价如表：
观察此表，
型号
特小型
小型
中型
大型
特大型
超大型
型号/(L/个)
5
14
33
45
76
92
规格/(个/包)
30
北师大版数学必修一《实际问题的函数建模》参考课件
例2:西安市的一家报刊推主从报社买来《西安晚报》的价
格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报
纸还可以以每份0.08元的价格退回报社，在一个月（按30 天计算）内，有20天里每天可以卖出400份，在其余的10 天里每天只能卖出250份，如果他每天从报社买进的份数 是相同的.那么他应该每天从报社买进多少份，才能使每 月获得的利润最大？并计算出他一个月最多可赚多少钱？
每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方
法，增加利润.已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减 少10件，问应该将售价定为多少元，才能使所赚利润最 大，并求最大利润.
例6:小王是某房产开发公司的一名工程师，该房地产公司
要在如图所示的矩形拆迁地ABCD上规划出一块矩形地面
PQRC建造住宅小区，但市文物局规定，在三角形AEF地区
§2.2：用函数模型解决实际问题
概述：函数模型是应用最广泛的数学模型之一， 它在实际生活中的应用非常地广泛，不同的函数 模型能刻画出现实生活中不同的变化规律.如果实 际问题中的变量与变量之间的关系一旦被认定为 是函数关系就可以将实际问题转化为数学问题， 建立一个函数模型，通过研究函数的性质，从而 更好地去把握问题，分析问题上，使实际问题得 以解决.
例3:某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12 台与6台，现在要销售给A地10台，B地8台.又已知从 甲地调运一台到A地、B地的运费分别为400元与800
元；从乙地调运一台到A地、B地的运费分别为300元
与500元.
（1）设从乙地调运x台到A地，求总运费y元关于x的函
数关系式；
（2）若总运费不超过9000元，问一共有几种调运方案？
一.常见的函数模型有：
2019-2020年高中数学实际问题的函数建模备课资源北师大版必修1
2019-2020年高中数学实际问题的函数建模备课资源北师大版必修1函数的本质是变量与变量之间的对应关系，它反映了事物运动变化过程中的内在联系．很多实际问题都可以抽象概括成函数表达式，即建立一个函数模型，从而简捷、准确地找到合理的答案．本节教材按照课程标准的要求，在选材上考虑了素材的时代性、典型性、多样性和可接受性，教材中给出的实例，都是学生感兴趣的、与生活实际密切相关的，是现实生活中常见的现象或其他科学实例．教师在教学中，要注意从具体实例出发，展现数学知识的发生发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题、经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉，要鼓励学生自主探索、合作交流，并在思考、实践、探索、交流的过程中使学生对函数在实际中的应用有较为全面的体验和理解．“数学建模学习”活动应贯穿于全部的教学过程中，教师可尽可能地向学生提供相关的推荐课题背景材料和示范案例，帮助学生设计自己的学习活动，完成课本上的课题作业和探究学习报告．还应鼓励学生使用现代技术手段处理繁杂的计算和解决实际问题．掌握函数的基础知识是学好本节的前提．例如函数概念、指数函数和性质、对数函数和性质．反过来，通过函数建模的学习，又能加深对上述知识的理解和认识，还能提高学生学习数学的积极性．在函数建模的教学过程中，一方面要求学生注意熟悉相关的实际背景，另一方面要求学生注意总结整理常用的函数模型．同时，不能忽视归纳思想的应用，通过从具体到一般，发现函数的变化规律是建立数学模型的一种有效方法．必要情况下，对学生生疏的实际背景，应当予以补充．教学中应当注意，提供的问题要由浅入深，大的题目要让学生学会化整为零，分步骤、有层次的完成，要求学生掌握计算器的使用．多项式模型和拉格朗日插值法设通过n次检测，得到一系列的数据资料．其中表示检测序号，i为变量在第次检测中的数值，i则为变量相应的数值．根据这些数据如何建立一种最佳的形式表达变量x和y的函数关系呢？一般说来，根据n对数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）可以确定一个（n－1）次多项式模型：y＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n－1x n－1．以某地在1890～1990年100年间人口资料为例．以20年作为一个单位，x表示从1890年以来的单位数，该地的人口数P（x）可以假设为一个4次多项式：P（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4．将数据代入，得到一个五元一次方程组．通过计算，得到P（x）的具体表达式43233733176178961763144)(x x x x x P －＋－＋＝ 其图形如下图所示．借助这一多项式模型，我们可以近似地了解1890年到1970年该地人口数的变化情况．拉格朗日插值法使我们可以更为迅速地建立P （x ）的多项式表达式．为简捷起见，仍以这一问题为例加以说明．这一问题中给出了5对数据：（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），（x 4，y 4），（x 5，y 5），其中y i 即P （x i ）（i ＝1，2，…，5）．拉格朗日插值法告诉我们根据这5对数据所建立的多项式函数y ＝P （x ）的具体表达式为．－－－－－－－－＋－－－－－－－－＋－－－－－－－－＋－－－－－－－－＋－－－－－－－－＝))()()(())()()(())()()(())()()(())()()(())()()(())()()(())()()(())()()(())()()((45352515432155434241453214534323135421352423212543125141312154321x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x y y 其理由是显然的．右端的第一项))()()(())()()((5141312154321x x x x x x x x x x x x x x x x y －－－－－－－－ 中的分式在x ＝x 2、x 3、x 4、x 5时均为零，而在x ＝x 1时恰好为1．右端的其他几项在x ＝x 1时都为零，这样就满足第1对数据（x 1，y 1）．同理，该多项式满足其他的4对数据．要确定直线方程式有两种方法：随手画法与最小平方法（亦称最小二乘法）1．随手画法如果认为一个接近于直线趋势的方程式符合观察值就能够采用随手画法，首先利用尺子根据资料画一直线，使资料点尽可能均匀分布在直线两侧，使两侧的点大体相等，如下图所示．在下图中，直线交y 轴处为100万元，故由x ＝0，y ＝100知趋势直线y ＝a ＋bx 中的a 为100．可以看出是表现平均销售额的直线，从1985年的100万元增加到1994年的230万元，销售额在十年内增加了130万元，因此b 为13．这里，趋势直线能够用来预测某一年的销售额，譬如说xx 年（x ＝14）的销售额可由方程求出，y ＝100＋13×14＝282（万元）．但是，由于不同的人对同一资料可以画出不同的直线，从而也可能得出不同的方程式．譬如，某甲的方程可以是y *＝100＋13x ；某乙的方程可以是y *＝105＋12x ；某丙的方程可以是y *＝95＋14x （如上图）． 由于其中包含个人的主观判断，因而只有急于取得趋势方程式的近似值时，才采取随手画法．2．最小平方法我们知道，用随手画法可以得到趋势直线，但由于每个人的判断不同，得到的趋势直线也不尽相同，那么用何种方法来确定哪一条较合适呢？有没有更逼近原始数据的直线呢？我们知道，对于确定的一条趋势直线y *＝a ＋bx 来讲，对于每一个x i 的值，可以相应得到y i *值，假设实际值y i 与y i *值的差为Q i ，即Q i ＝y i －y i *＝y i －（a ＋bx i ），再取其平方之和S ，即∑∑n i ii n i i bx a y Q S 1212)(＝＝－－＝＝．显然，S 越小，对应的方程就越理想，故我们可以把S 作为比较优劣准则．在一组数据（x i ，y i ）已知的情况下，求出所有直线中使S 最小的那条直线即求出该直线的系数a ，b 的方法称为最小平方法．也就是说，求理想直线的问题可归结为求的最小值．我们知道一元二次多项式pt 2＋qt ＋r 在t ＝－q ／2p 时，取得极值为把上述的S 展开成关于a 的二次多项式： ∑∑∑∑∑ni i i n i i i n i ii i i ni i i n i i i y bx y bx a na y bx y bx a a y bx a bx a y S 12121221212)()(2])()(2[)]([)(＝＝＝＝＝．－＋－＋＝－＋－＋＝－－－＝－－＝ 要使S 最小，a 必须满足：nx b y n bx y n y bx a n i ni ii n i i i n i i i ∑∑∑∑1111)(2)(2＝＝＝＝－＝－＝－－＝． 其中，别是数据组（y i ）和（x i ）的算术平均值，各记作和，故上式可以表示为． ①把①式代入S 的表达式中，并表示成b 的二次多项式后得到：∑∑∑∑∑∑n i n i ii n i i i n i i i i i ni i i i n i i y y y y x x b x x b y y y y x x b x x by y x x b bx x b y y S 11212212221221)()()(2)(])())((2)([)]()([])([＝＝＝＝＝＝．－＋－－－－＝－＋－－＋－＝－＋－＝－－－＝ 要求S 最小，b 必须满足：∑∑∑∑n i i i n i i n i i i n i i x x y y x x x x y y x x b 121121)()()()(2)()(2(＝＝＝＝－－－＝－－－－－＝ 式①，式②就是确定y *＝a ＋bx 的系数a 、b 的关系式．为了便于计算机计算，可作如下变换：．－＝－－，－＝－＝＝＝＝＝＝＝∑∑∑∑∑∑∑n i i n i i n i i i i n i i n i n i i i n i i y x n y x y y x x x n x x x 1111112212))((1)()()(1)( 这样，式①，式②又可以表示成⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∑∑∑∑∑∑∑．－－＝，－＝＝＝＝＝＝＝＝n i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i x n x y x n y x b x n b y n a 121211111)(1))((11 这个计算公式便于运用计算机进行程序计算．规律总结高中《数学课程标准》中明确指出：高中课本应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程．高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学的应用意识，提高实践能力．本节的主要内容是通过函数模型解决实际问题，目的是通过例题和案例培养学生应用数学的意识，加强函数建模训练，引导学生自己亲身体验数学建模过程，学会实际问题的建模方法，掌握解答应用题的基本步骤．要求能阅读、理解对问题进行陈述的材料，理解问题的背景；能分析题目中的数量关系，并从实际问题出发，恰当地引入变量或建立直角坐标系，运用已有的数学知识和方法，将数量关系用数学符号表示出来，建立函数式（包括定义域）；将应用问题转化为数学问题求解，并准确地将所求结果表述为实际问题．用函数模型解决实际问题的基本步骤是：“四步八字”，即审题、建模、解模、还原。
北师大版高中数学必修1函数建模案例
位置
项目 燃气表开始 水开时燃气 所用燃气量
时读数/m3 表读数/m3
/m3
18o
9.080
9.210
0.130
36o
8.958
9.080
0.122
54o
8.819
8.958
0.139
72o
8.670
8.819
0.149
90o
8.498
8.670
0.172
用表内数据，用横坐标表示旋钮位置，纵坐标表示烧开一壶 水燃气用量的点，在直角坐标系上标出各点。
抽象概括
用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫做数学建模。
数学建模的过程如图：
实际情景
提出问题
数学模型
数学结果
可用结果 合乎实际 检验
不合乎实际
典例讲解
例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm 体重/kg
身高/cm 体重/kg
60 6.13 120 20.92
70 7.90 130 26.86
b 1.4722 10 3
x0
2a
2 1.9033 10 5
39
即燃气用量最少时旋钮的位置是旋转39度，这时的用气量为
五、检验分析
取旋转39度角，烧开一壶开水，所得实际用气量是不是0.1218m3? 如果基本吻合就可以依托此做结论了。 如果相差大，特别是这个用量大于0.122，最小值点就肯定不是39度 了，说明这三对数据取的不好，可以换另外的点重新计算.然后再检验。 直至结果与实际比较接近就可以了。 实际上，我们从已知的五对数据可以看出，如果取(18,0.130)， (36,0.122)，(54,0.139)，函数的最小值点就小于36。了。
高中数学北师大版必修一：4.2实际问题的函数建模课件
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设下月投入 A，B 两种商品的资金分别为 xA 万元， xB 万元，总利润为 W 万元，
xA＋xB＝12， 那么 2 W＝－0.15xA－4 ＋2＋0.25xB. 19 19 2 所以 W＝－0.15(xA－ 6 ) ＋0.15× 6 2＋2.6.(10 分)
【 解 题 流 程 】 分析图表信息 → 描点画图 → 选择合适模型 → 作出解答
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[规范解答] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角 坐标系中描点画图(如图)．(2 分)
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观察图甲，可以看出，A 种商品所获纯利润 y 与投资额 x 之间 的变化规律可以用二次函数模型进行模拟， 取点(4,2)为最高点， 则 y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得 0.65＝a(1－4)2＋2， 解得 a＝－0.15，所以 y＝－0.15(x－4)2＋2.(4 分) 观察图乙可以看出，B 种商品所获纯利润 y 与投资额 x 之间的 变化规律可以用一次函数模型进行模拟．
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(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检 索，从而认定或构成相应的数学模型，完成由实际问题向数学 问题的转化，构建了数学模型之后，要真正解决数学问题，就 需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力．
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3．数学建模过程
函数建模中需要注意的问题：(1)选用的函数模型可近似地表示 某种变化，这个表示在局部比较适用；(2)在建立函数模型前， 主观上要作这样的假设：实验是足够准确的，所得的实验数据 是精确的；(3)收集的数据要具有代表性，并且要尽量多，这样 得到的结论会更接近实际．
高中数学 4.2实际问题的函数建模课件 北师大版必修1
数学(shùxué)建 模过程：
实际(shíjì)问题
抽象(chōuxiàng)概括
数学模型
推 理 演 算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
第十一页，共33页。
例1 某公司一年需要一种计算机元件 8000个,每天需同样多的元件用于组装 整机.该元件每年分n次进货,每次购买(gòumǎi) 元件的数量均为x,购一次货需手续费 500元.已购进而未使用的元件要付库 存费,可以认为平均库存量为 x件1 , 每个元件的库存费是一年2元.请2核算一下,每年进货几次花 费最小?
第二十二页，共33页。
取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx
得：
7.9
a
b70
用计算4器7.得25：a
a
2b,16b0
1.02
这样就得到(dé dào)函数模型：y=2 1.02x
第二十三页，共33页。
(2)若体重超过相同身高(shēn ɡāo)男性体重的平均值的1.2倍为偏 胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高(shēn ɡāo)为175㎝, 体重为78㎏的在校男生的体重是否正常?
当x=4时，y2
0.8
(1)4 2
1.4
1.35
第二十九页，共33页。
由四月份的实际(shíjì)产量为1.37万件,
| y2 1.37 | 0.02 0.07 | y1 1.37 | ∴选用(xuǎnyòyng)函0数.8 ( 1 )x 1.作4 模拟函数较好。
2
第三十页，共33页。
4.(2012· 马鞍山高一检测)某公司生产一种电 子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需要增加投入 100 元，
4-2实际问题的函数建模
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获 得最大利润？最大利润是多少？ [分析] 解答本题可先分析表格，从中找到单价每增加 1
元，则日销量就减少 40 桶，然后设出有关未知量，建立函数 模型，进而解决问题．
第四章 ·§2
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
重点难点点拨
重点：理解问题背景，建立合理的相关函数解析式，应用 函数与方程、不等式的相关知识来解决实际问题． 难点：理解题意，把实际问题抽象、概括得到合理的数学 模型．
第四章 ·§2
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学习方法指导
第四章 ·§2
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1．认真读懂题目中的文字叙述，理解叙述所反映的实际 背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，分析出已知什么， 求什么，都涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝 试问题的函数化，要勇于尝试、探索，善于发现、归纳、联 想，实现应用问题向数学问题的转化，概括地说：(1)读懂题 意，(2)正确建立函数关系式，(3)转化为函数问题解决，(4)作 好最后的结论回答．
第四章 ·§2
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知能自主梳理
第四章 ·§2
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1．用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作 ________，用图示表示数学建模的过程如图所示．
第四章 ·§2
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2．常见函数模型
第四章 ·§2
第四章 ·§2
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
指数函数型模型的应用
[例 3] 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律
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住房率
65％ 75％ 85％ 95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ C）
A.20元 B.18元 C.16元 D.14元
2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品 每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为
A．5～7km
B．9～11km
C．7～9km
D．3～5km
2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增 加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水 中杂质减少到原来的5％以下，C则至少需要 过滤的次数为（ ） （参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
A．5 B．10 C．14 D．15
3．有一批材料可以建成200m的围墙，如果 用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形 场地，中间用同样的材料隔成三个面积相 等的矩形（如下图所示），则围成的矩形 最大面积为 ___2_50_0___m2（围墙厚度不 计）．
( )A
A.95元 B.100元 C.105元 D.110元
y=(90+x-80）（400-20x)
课后练习
1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价 为6元，行程不超过2km者均按此价收费， 行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，
遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍 按6分钟折算1km计算，陈A先生坐了一趟这 种出租车，车费17元，车上仪表显示等候 时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介 于（ ）
4.2实际问题的函数建模
例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定 成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日 均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营 部怎样定价才能获得最大利润？
y ( 5 4 2 x ) x 0 0 2 0 4 x 2 0 0 5x 2 2 0 0 4 ( x 0 0 6 .5 ) 2 14
当x6.5时， y有最大值
只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。
1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现， 每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日 均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？ 解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利 润为y元，则有日均销售量为
y 4 8 0 4 0 (x 1 ) 5 2 0 4 0 （x 桶）
而 x 0 ,且 5 2 4x 0 0 0 ,即 0 x 13