抛物线及其标准方程学案
抛物线及其标准方程学案
知识目标：
1. 能从数学实验中抽象出抛物线的模型并总结出抛物线的定义；
2. 会利用坐标法推导抛物线的标准方程；
3. 能利用数形结合的思想方法准确得出焦点、准线、方程的对应关系。
过程与方法：掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解解析法，
培养学生解决数学问题时的观察、分析、计算能力。
情感态度价值观：通过数学抽象、直观想象、数学运算逐渐形成数学核心素养。
重点：抛物线的定义及标准方程。
难点：从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义
一、创设情景，引入新课
在初中我们已经从函数的角度学习了抛物线，日常生活中也有美丽的抛物线的实例，然后抛出问题，以问题为引领开始教学。
二、新课探究
探究一：抛物线定义
实验一：学生动手操作实验
实验二：学生观察画抛物线的过程（反复演示后），请学生归纳抛物线的定义，并思考抛物线有怎样的几何特征，教师总结。
探究二：求抛物线的标准方程
1．学生思考讨论建系的各种形式。
2．学生根据定义求抛物线的标准方程。
3．学生讨论得出抛物线四种形式，完成下表。
1
三、例题讲解
例1、（1）已知抛物线的标准方程是x
y2=6，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y =-x2
6,求它的焦点坐标和准线方程
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程
四、小结
1.抛物线的定义。
2.抛物线的标准方程。
五、目标测试、
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程是x=
1
4 -；
（3）焦点到准线的距离是2。
2、求下列抛物线的焦点坐标和焦点坐标：
（1）y2 = 20x （2）x2=1
2
y
2 2
六、作业
2
北师大版数学高二选修2学案 《抛物线的几何性质》
3.2.2《抛物线的几何性质》导学案 【学习目标】 1.抛物线的性质及其灵活运用； 2.抛物线的定义在求解最值问题中的运用. 【导入新课】 复习导入 1.抛物线的定义； 2.抛物线的方程的推导. 新授课阶段 1.抛物线的几何性质 (1) 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线． (2) 抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心． (3) 抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点． 具体归纳如下表： 特征：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它渐近线; 2.抛物线只有对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有 顶点、 焦点、 准线; 4.抛物线的离心率是确定的且为1. 例1. 已知抛物线关于x 轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点M(2, -), 求它的标准方程. 解： 例2 斜率为1的直线l 经过抛物线2 4y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A ,B 两点,求线段AB 的长. 解： 课堂小结 （一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义. （二）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助. （三）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想. 作业
见同步练习部分 拓展提升 1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78 D ．0 2．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → | ＋MN → ·NP → =0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ） A ．y 2=8x B ．y 2=－8x C ．y 2=4x D ．y 2=－4x 3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分PA → 所成的比为2， 则点M 的轨迹方程是（ ） A ．y=6x 2―31 B ．x=6y 2－31 C ．y=3x 2+3 1 D ．y=―3x 2―1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2= 2 3 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是 . 5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22 +=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列?? ????????+?)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是 . 6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程. 7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标.
《抛物线变换》专题学案
《抛物线变换》专题 班级 姓名 一、选择 1、将抛物线y=5x 2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式 为( ) A ．y=5(x+3)2+2 B ．y=5(x+3)2-2 C ．y=5(x-3)2+2 D ．y=5(x-3)2-2 2、直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移 １个单位，则其顶点为（ ） A.(0，0) B.(1，－2) C.(0，－1) D.(－2，1) 3、把抛物线c bx x y ++=2的图像向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图像的解析式是532+-=x x y ，则有（ ） A ．b =3，c =7 B ．b =－9，c=－15 C ．b =3，c =3 D ．b=－9，c =21 4、在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++ 二、填空 1、抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到． 2、把抛物线y =-2x 2+4x +3沿x 轴翻折后，则所得的抛物线关系式为________． 3、与y= 21 2x -3x+2 5关于Y 轴对称的抛物线________________ 4、将抛物线21(3)52 y x =- -+绕顶点旋转180°后的关系式为________． 5、将抛物线221x y -=先向右平移1个单位，再绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式 是 6、抛物线2(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位． 三、解答 1、已知二次函数3x 2x y 2+--=。 （1）把它配方成 k )h x (a y 2+-=的形式。 （2）写出函数图象的开口方向、顶点坐标及对称轴。 （3）函数3x 2x y 2+--=的图象可由抛物线 4x y 2+-=向 平移 个单位长度得到。
(完整版)《抛物线定义及其标准方程》
抛物线及其标准方程 一、教学目标 1．知识目标：①掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导；②掌握焦点、焦点位置与方程关系；③进一步了解建立坐标系的选择原则. 2. 能力目标：使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数形结合”的思想。 二、教学过程 （一）、复习引入 问题1、 椭圆、双曲线的第二定义如何叙述？其离心率e 的取值范围各是什么？ 平面内，到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的轨迹，当0＜e ＜1时是椭圆，当e ＞1时是双曲线。自然引出问题：那么，当1 e 时，轨迹是什么形状的曲线呢? （二）.创设情境 问题2、用制作好的教具实验：三角板ABC 的直角边BC 边上固定一个钉子，一根绳子连接钉子和平面上一个固定点F ，并且使绳子的长度等于钉子到直角顶点C 的距离。用笔尖绷紧绳子，并且使三角板AC 在定直线l 上滑动，问笔尖随之滑动时，在平面上留下什么图形？如何用方程表示该图形？ 设计意图：从实际问题出发，激发学生的求知欲，将问题交给学生，充分发挥学生的聪明才智，体现学生的主体地位，同时引入本节课的内容． 师生活动： (1) 你们如何把这个实际问题抽象成数学问题吗? (2) 学生不一定能正确抽象出来，教师可适当引导：当笔 尖滑动时，笔尖到定点F 的距离等于到定直线l 的距离，在满足这样条件下，笔尖画出的图形。并抽象数学问题： （三）、新课讲授： （1）抛物线定义：平面内，到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线，F 到直线l 的距离简 称焦准距。 特别提醒：定点F 在定直线l 外。（并假设F 在直线l 上）
抛物线及其标准方程导学案
2.3.1 抛物线及其标准方程 一、【学习目标】 1.理解抛物线的定义，掌握抛物线标准方程的推导； 2．掌握抛物线标准方程的四种形式，会求抛物线的焦点坐标及准线方程； 3．能利用定义解决简单的应用问题. 二、【复习引入】 1．椭圆的第二定义: 2. 双曲线的第二定义： 3．问题：到定点距离与到定直线距离之比是定值e 的点的轨迹，当0
例2： 已知抛物线的标准方程是（1）x y 122=（2）212x y =求它的焦点坐标和准线方程． 例3：求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是)0,5(-F （2）经过点)3,2(-A 五、【随堂练习】 1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）x y 82 = （2）y x 42 = （3）0322 =+x y （4）26 1x y - = 2．根据下列条件写出抛物线的标准方程（1）焦点是)0,2(-F （2）准线方程是3 1= y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上 （4）经过点)2,6(-A
3．抛物线y x 42=上的点P 到焦点的距离是10，求P 点坐标 4.P67 1、2、3 5.P72 习题2.4 A 组1、2 2.3.2 抛物线的简单几何性质（一） 一、【学习目标】 1．巩固抛物线定义和标准方程； 2．掌握抛物线简单几何性质，会利用性质求方程. 二、【新知探究】 抛物线的几何性质：
高考数学二轮复习抛物线学案(含解析)
高考数学二轮复习抛物线学案（含解析） 考向一：抛物线定义 抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，注意在解题中利用两者之间相互转化。 1、(2016·浙江高考)若抛物线y 2 ＝4x 上的点M 到焦点F 的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线的方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9. 条件探究：将条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)”．求点M 的坐标及此时的最小值． 解 如图，点A 在抛物线y 2 ＝4x 的内部，由抛物线的定义可知， |MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |， 其中|MH |为点M 到抛物线的准线的距离． 过A 作抛物线准线的垂线交抛物线于M 1，垂足为B ， 则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |≥|AB |＝4， 当且仅当点M 在M 1的位置时等号成立． 此时点M 的坐标为(1,2)． 2、［2015?全国Ⅰ，10］已知抛物线C ：y 2 ＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ → ，则|QF |＝( ) A ．7 2 B ．5 2 C ．3 D ．2 解析 过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ → ，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3 3、［2017?全国Ⅱ，16］已知F 是抛物线C ：y 2 ＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 解析：不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ， ∴PM ∥OF . 由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，
2.4.1抛物线及其标准方程学案
§２．4.1抛物线及其标准方程 学习目标 掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形． 学习过程 一、新课导学 预习１.定义：平面内与一个定点F和一条定直线 l的距离的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的； 直线l叫做抛物线的. 预习2.定点F到定直线l的距离为. 建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式： 图形标准方程焦点坐标准线方程 22 y px =,0 2 p ?? ? ??2 p x=- 预习３.试一试:写出适合下列条件的抛物线的标 准方程： (1)焦点是(30); F， (2)准线方程是 1 4 ; x=- (３）焦点到准线的距离是2. 二、典型例题 例1（１)已知抛物线的标准方程是24 y x =，求它 的焦点坐标和准线方程； (2)已知抛物线的焦点是(0,1) F-,求它的标准方 程． 小结： 例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波 束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收 天线，经反射聚集到焦点处,已知接收天线的口径 为5m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求 抛物线的标准方程和焦点坐标． 小结： 变式：某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距 拱顶5米时，水面宽8米,一木船宽４米,高2米， 载货的木船露在水面上的部分为０.75米,当水面
上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航？ 例３ 已知点P 是抛物线x y 22 =上的一动点,求点P 到点A (0，2）的距离与P 到焦点的距离之和的最小值 变式:若将点(0，2)改为点A （３,2),求PF PA +的最小值． 1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1）2 2;x y = （2)2 20.y x += 2.抛物线2 8y x =的焦点到准线的距离是 ． 3.一抛物线焦点在直线042=--y x 上，则抛物线方程为 . 4.直线04=-+y ax 与抛物线px y 22 =的一个 公共点(1，2），则抛物线的焦点到此直线的距离 等于 ． 5.已知抛物线y x 42 =，过焦点F ,倾斜角为 4 π的直线交抛物线于B A ,两点，则线段AB 的长为（ ) A ．８ B.4 2 C ．6 D.32 ６.以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所 得的线段）为直径的圆与抛物线的准线的位置关 系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 7.求以双曲线15 42 2=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程. 8.已知抛物线()022 >=p px y 上的一点,M 到定点)4,2 7 (A 和焦点F 的距离之和的最小值等于5,求抛物线的方程 9.A 、B 是抛物线()022 >=p px y 上的两点,满
《抛物线及其标准方程》教学设计
《抛物线及其标准方程》教学设计 教材：普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版） 选修2-1 一第二章第四节 课题：抛物线及其标准方程 课时：第一课时 一、背景分析 1 课标的要求 （1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 （2）经历从具体情境中抽象出椭圆，抛物线模型的过程，掌握椭 圆，抛物线的定义、标准方程及简单性质。 （3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的有关性质，体会数形结 合的思想。 （4）了解圆锥曲线的简单应用。 2本节课在圆锥曲线中的地位： 圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。而抛物线在圆锥曲线中地位仅次于椭圆而高于双曲 线，抛物线在初中以二次函数的形式初步探讨过，本节内容安排篇幅不多，并非不重要，主 要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是可以接受的，它是高考的重要考察内容，要引起师生足够的重视。 3、学习任务分析 （1）、通过实验，结合几何画板课件，观察、发现和认识抛物线。 （2）、坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点。 通过几何画板动态演示建立不同的坐标系，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐 标系的重要性。 （3）、由抛物线的标准方程，熟练写出焦点坐标、准线方程；反之也会。 （4）、放手让学生类似地推导开口向左、向上、向下的情况下的标准方程。让学生根据课件展示的图形填充表格、对比异同。
（5）、p的几何意义：它指抛物线焦点到准线的距离，因此p>0。在抛物线宀, *=一2即中，负号只管抛物线的开口方向，与p无关。 （6）、由于学生对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化有一定困难，教学中应根据 图形培养学生运用三种语言的能力。借助图形使原本较为陌生的定义变得容易理解和便于记忆。 4、学生情况分析 在经过高一的学习和训练后，大多同学有较扎实的数学基本功和较好的理解力，有一定的自主学习能力，但在数学思想方法的形成上尚有不足，针对我所带班级学生的学习情况和数学 素养，我把本节内容借助powerpoint、几何画板课件，从形象、动态的演示入手，使学生 对抛物线有一个较为深刻的认识。 二、教学目标设计 根据课程标准和考试大纲的要求、教材的具体内容和学生认知心理，我确定本堂课的教学目 标如下： 1知识与能力 ①让学生理解抛物线的概念及与椭圆、双曲线第二定义的联系。 ②让学生掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形。 2、技能与方法 ①培养建立适当坐标系的能力。 ②培养学生的观察、比较、分析、概括的能力。 3、情感态度与价值观 ①培养学生的探索精神。 ②渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。 4教学重点和难点 根据以上所说的教材的地位、作用、内容与学生情况，我确定教材重点、难点如下： （1）、教学重点： ①选择适当坐标系探求抛物线的标准方程。 ②标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系。 (2)、教学难点：
抛物线的标准方程及性质
抛物线的标准方程及性质2018/11/25 题型一、抛物线的标准方程： 例题： 1、 顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 _______ 2、 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 3、 以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为 4、 点M 与点F (4,0)的距离比它到直线:50x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程是 _______ 5、 抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _______ 练习： 1、 抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,点(－到焦点距离是6,则抛物线的方程为 _______ 2、 顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y =12上的抛物线方程是 _______ 3、 已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ________ 4、 若点A 的坐标是（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MA |+|MF |取最小值的M 的坐标为 _______ 题型二、抛物线性质： 例题： 1、 抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 2、 抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |＝________ 3、 如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322 --=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是 4、 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2+y 2=4相交的公共弦长等于23，则这抛物线的方程是 练习： 1、 过A （－1，1），且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程为 2、 边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，则以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是________ 3、 若直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为2，则线段AB 的长 4、 过点Q (4,1)的抛物线y 2＝8x 的弦AB 恰被点Q 平分，则AB 所在直线方程是 题型三、抛物线的应用 例题： 1、 已知圆2290x y x +-=与顶点原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程。
高中数学选修2-1 抛物线导学案加课后作业及参考答案
抛物线及其标准方程导学案 【学习要求】 1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2．会求简单的抛物线的方程. 【学法指导】 通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 【知识要点】 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 2 探究点一 抛物线定义 如图，我们在黑板上画一条直线EF ，然后取一个三角板，将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边 上，并将拉链下边一半的一端固定在C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉锁D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线. 问题1 画出的曲线是什么形状？ 问题2 |DA |是点D 到直线EF 的距离吗？为什么？ 问题3 点D 在移动过程中，满足什么条件？ 问题 4 在抛物线定义中，条件“l 不经过点F ”去掉是否可以？ 例1 方程[] 2 2)1()3(2-++y x ＝|x －y ＋3|表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 跟踪训练1 （1）若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线 （2）若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线 探究点二 抛物线的标准方程 问题 1 结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？ 问题2 抛物线方程中p 有何意义？标准方程有几种类型？ 问题3 根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？ 例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程. （1）y 2＝－6x ； （2）3x 2＋5y ＝0； （3）y ＝4x 2； （4）y 2＝a 2x (a ≠0). 跟踪训练2 （1）抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为( ) A ．??? ?7 16，0 B ．????－74，0 C ．??? ?－7 16，0 D ．? ???0，－7 4 （2）抛物线y ＝－1 4x 2的准线方程是 ( ) A ．x ＝1 16 B ．x ＝1 C ．y ＝1 D ．y ＝2 例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）准线方程为2y ＋4＝0； （2）过点(3，－4)； （3）焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上. 跟踪训练3 （1）经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝y B ．y 2＝x 或x 2＝8y C ．x 2＝－8y 或y 2＝x D ．x 2＝y 或y 2＝－8x （2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、
抛物线及其标准方程
拋物线及其标准方程 设计思想 为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“拋物线的标准方程及其推导”和“拋物线概念的形成”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。 教学过程设计 一．设置情景，导入新课 （借助多媒体）先给出一张姚明的图片。（此时学生的兴 趣来啦！） 师：姚明是我们中国人的骄傲，我们要向他学习！大家 都知道姚明的投篮非常精准！为什么呢？ 生：天赋、身高！ 生：勤奋练习！（再给出两张姚明的图片） 生：与投篮时的弧线有关！ 生：这弧线是抛物线！ 师：对！姚明有许多优越的先天条件，同时好的技术也是一个关键的因素，今天我们就着手研究这个内容。 （进而引出本节研究的课题：抛物线及其标准方程） 【学情预设】学生被教师设置的情景所吸引，学习的热情高涨。 【设计意图】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率。 二．引导探究，获得新知 师：在初中我们已经从函数角度学过抛物线，那么，这一节课我们将冲破初中的界限从曲线和方程的角度来学习抛物线。
师：前面，我们学习了椭圆和双曲线的相关知识，那么它们的联系和差异是什么？ 生：定义不一样！ 生：方程！椭圆是22 2 21x y a b +=，双曲线是22 221x y a b -=。 师：还有吗？ 生：椭圆是封闭的，双曲线是开放的。 师：这只是图象不同，为什么会这样呢？ 生：就是它们到定点的距离与到定直线的距离的比等于一个常数！ 生：这个常数是离心率e ！ 师：对啊！这是定性上的，定量上有不同吗？ 生：离心率e 不同，椭圆离心率e 的范围是01e <<，双曲线离心率e 的范围是1e >。 师：对了，e 可看成是它们的相同点，又是不同点！ （打开几何画板） 师：现在我慢慢拖动，大家认真观察图象。 生：01e <<是椭圆，1e >是双曲线。 师：但你们有没观察到1e =时的图象？ 生：抛物线！ 【学情预设】学生认真观察图象的变化，认知1e =的图象就是抛物线。 【设计意图】不仅回顾了椭圆与双曲线的相关内容，而且为如何画抛物线奠定坚实基础。
抛物线及其标准方程学案
抛物线及其标准方程学 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2.4.1抛物线及其标准方程 【学习目标】 掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程． 【自主学习】 1. 抛物线定义： ． 2．推导抛物线的标准方程： 如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=p （p >0）,那么焦点F 的坐标为 )0,2(p ，准线l 的方程为2p x -=，（自己完成推导过程） （1）它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴 上，焦 点坐标是F （ 2p ,0），准线方程是2 p x -= （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情 况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式． 3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=p （p >0），则抛物线的标准方程如下： 按要求填写下表：
比较四种标准方程的异同： 相同点： 不同点： 【自主检测】 1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是 （ ） (A) （0， 41） (B) （0，81） (C) （21，0） (D) （4 1 ，0） 2．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是 ． 【典型例题】 例1求下列抛物线方程的焦点坐标和准线方程． （1）y 2＝12x ， （2）y ＝12x 2， 例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F （－5，0）, （2）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上． 【课堂检测】 1．抛物线24x y 上一点M 的纵坐标为4,则点M 与抛物线焦点的距离为 .
2.已知抛物线方程是2 y ，求它的焦点坐标和准线方程． 6x
抛物线及其标准方程-课时作业
学习资料[文档副标题] [日期] 世纪金榜 [公司地址]
抛物线及其标准方程 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2013·大理高二检测)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为 ( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为( ) A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(-1,0) 3.(2013·遵义高二检测)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+ 6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( ) A.y=3x2或y=-3x2 B.y=3x2 C.y2=-9x或y=3x2 D.y=-3x2或y2=9x 4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 5.(2013·汝阳高二检测)一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( ) A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(4,0) 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·安阳高二检测)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是.
7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为. 8.(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·宜春高二检测)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(,),求抛物线和双曲线的方程. 10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程. 11.(能力挑战题)已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小. 答案解析 1.【解析】选D.由条件可知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=2,∴p=4,所以它的标准方程为x2=-8y. 【举一反三】把题中条件改为“准线方程为x=-7”,它的标准方程如何?
抛物线及其标准方程
“抛物线及其标准方程”（第一课时）教学设计 数学组韦云校 【教材分析】 1、教材所处的位置及其前后联系 浙江省中等职业学校二年级第八章第六部分内容为抛物线，是在学生掌握了椭圆，双曲线相关知识的基础上引出的，平面解析几何“抛物线及其标准方程”一节内容主要是抛物线的概念和抛物线标准方程(有四种形式)，这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，有着广泛的应用。本课是第一课时，它是学习抛物线的性质及其应用的基础。根据抛物线定义推出的标准方程，也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础，是解决实际生活中问题的有力工具之一。对于中等职业学校的学生必须加以熟练掌握。 2、内容结构 根据实际教学处理，抛物线及其标准方程这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过动画演示，给出抛物线的物理定义：抛物线是抛出的物体在空中所运动的轨迹；用数学定义——平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线来统一实际生活中出现的各种各样的抛物线；第二层次建立合理坐标系，推导出焦点在x正半轴上的抛物线的标准方程；第三层次由学生猜想焦点不在x正半轴上的抛物线的标准方程，并加以应用。 三个层次很自然，渐入高潮，且教学过程符合学生“由特殊到一般，又由一般回到特殊”的基本认知规律，并在很大程度上培养职高生“学以致用”的能力。 【学情分析】 对中等职业学校的学生来说，数学基础欠扎实，思维、灵活性受基础等原因制约欠佳，对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，反应速度相对较慢。根据以上特点，教师讲解时要放慢步骤，提高学生主体能动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦，教学要按步就班，不要急于求成，要充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用。教师应加以积极引导，使其对标准方程的推导加以理解，并会加以应用。 【教学理念】 《数学课程标准》明确指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。”并且把过程性目标确定为“经历”、“体验”和“探索”三个方面。要倡导积极主动，勇于探索的学习方式，数学教学应从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，让他们在自己的生活中寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学。 让学生亲历探究发现过程，不仅是为了让学生通过多种活动去探索和获取数学知识，以达到对知识的深层理解，更主要的是使学生掌握发现、认识并理解数学的一般方法，学习科学的探究的方法。因此亲历探究发现过程，不仅仅是一种获取知识的教学手段，而本身就是数学的重要目的。
抛物线及其标准方程---导学案
抛物线及其标准方程（导学案） 学习目标： 1、能利用抛物线的定义建立适当的坐标系确定抛物线的方程； 2、会根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程； 3、能根据条件运用待定系数法求抛物线的标准方程； 学习过程： 想一想：在我们以前的数学学习和生活中，哪些是与抛物线有关的？请举例：复习回顾：求曲线方程的五个步骤： 问题情境： 如图：点F是定点，直线L为不经过点F的定直线，H是直线上的任意一点，过点H作直线的垂线HM ，线段FH交HM于点M， 一、抛物线的定义： 我们把 的点的轨迹叫做抛物线。 其中点F叫做抛物线的，直线L叫做抛物线的 思考： 如果点F在直线L上，那么到点F和直线L距离相等的点的轨迹是什么？（结合上图变换条件画一画） 二、抛物线标准方程的确定 1、思考：设抛物线的焦点F到准线L的距离为常数P(P>0)，如何建立坐标系,使求出抛物线的方程更简单呢？ 方案一：以定直线L为y轴，过点F且垂直于直线L的直 线为x轴，建立坐标系xoy，如图： 则焦点F的坐标为，准线L的方程为
设抛物线上任意一点M的坐标为()y x,，点M到准线L的距离为d，则 MF d= = 由抛物线的定义得点M的坐标所满足的关系式为： 化简得： 方案二：以定点F为原点，过点F且垂直于直线L的直线为x 轴，过点F且与直线L平行的直线为y轴，建立坐标系xoy， 如图： 则焦点F的坐标为，准线L的方程为 x,，点M到准线 设抛物线上任意一点M的坐标为()y L的距离为d，则 MF d= = 由抛物线的定义得点M的坐标所满足的关系式为： 化简得： 方案三：以经过点F且垂直于直线L的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立坐标系xoy，如图： 则焦点F的坐标为，准线L的方程为 x,，点M到准线L的距离为d，则 设抛物线上任意一点M的坐标为()y MF d= = 由抛物线的定义得点M的坐标所满足的关系式为： 化简得：
抛物线及其标准方程练习题
` 课时作业(十二) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2014·广东省茂名)准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．x 2＝－2y 【解析】 本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B. 【答案】 B ; 2．(2014·人大附中高二月考)以双曲线x 216－y 2 9 ＝1的右顶点为焦 点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x 【解析】 因为双曲线x 216－y 2 9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的 焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x . 【答案】 A 3．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2， 且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于
( ) C ．2 D ．23 | 【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近 线方程为y ＝b a x ，由b a ＝2，即 b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝ c 2－a 2，所以 c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3. 【答案】 B 4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 2 9＝－1的两条渐近线所 围成的三角形的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C ．2 【解析】 本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算．抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝± 3 3 x ，它们所围成的三角形为边长为23的正三角形，所以面积为33，故选A. 【答案】 A 二、填空题 5．(2014·绵阳高二月考)抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________． · 【解析】 抛物线y 2 ＝2x 的焦点为F ? ?? ??12，0，准线方程为x ＝－12， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1 2＝5，解得x 1 ＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.
2认识抛物线学案
结识抛物线（1） 一、学习目标： 1.会用描点法画二次函数y=x2和y= -x2的图象； 2、根据函数y=x2和y=-x2的图象，直观地了解它的性质. 二、学习过程： Ⅰ．温故而知新 （1）正比例函数的图象是过的一条， （2）一般的一次函数的图象是，当k＞0时，y随x的增大而；当k＜0时，y随x的增大而。 （3）反比例函数的图象是。当k＞0时，图象在象限，当k＜0时，图象在象限。 （4）二次函数的一般形式为 (其中a，b，c是常数且a≠0)． 2、作函数y＝x2的图象． 画函数图象的一般步骤是，， , 按上面的步骤作出y=x2的图象． (3)用光滑的曲线连接各点， 便得到函数y＝x2的图象． 三、合作交流： 1、对于二次函数y＝x2的图象， (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流． (2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么? (3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢? (4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的? (5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流． 2、y=x2的图象的性质． (1)抛物线的开口方向是． (2)它的图象有最点（填高或低），最点坐标是( )． (3)它是对称图形，对称轴是．在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而． (4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)． (5)因为图象有最低点，所以函数有最值(填大或小)，当x＝0时， y最小=0． 3、二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象．它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流． 4、试着讨论y=-x2的图象的性质：
抛物线的教学设计
2018年全国中等职业学校数学学科“创新杯” 教师信息化教学说课大赛 《抛物线的定义与标准方程》教学设计 2018年10月
章节名称 2.3.1抛物线的定义与标准方程（一） 学科数学授课班级2016级信息1班授课时数1节 教学策略选择 教学内容： 本节课是高等教育出版社《数学（拓展模块）》第二章第三节的第一课，主要内容是抛物线的定义、四种标准方程以及焦点坐标、准线方程。 学情分析： 这节课的授课对象是2016级对口高考班的学生，他们的数学基础知识相比就业班学生较扎实，学习习惯也有较好。抛物线对于信息专业的学生并不陌生，它既是日常生活中常见的一种曲线，如：拱桥、彩虹、抛球运动的轨迹等，也是专业课上常见到的。如：信号接收器的轴截面、零件的轴截面等。根据“问卷星”的调查结果显示，学生已经知道求曲线方程的步骤，但不够熟悉。 教学方法： 本次授课主要采用启发探究式教学法、演示法、讨论法、讲练结合法。 教学组织： 本堂课主要采用多媒体教学，课堂中穿插有针对性的折纸活动、图片、动画（由几何画板制作）、微课视频，学生拟采用观察法、实践操作法、小组合作学习法、学练结合法等。 将全班分组六个小组，每组7人，每组一个组长。实行小组两两竞争的形式探索三种形式抛物线的标准方程。
教具准备： 6张大白纸、6只黑色记号笔、1只红色记号笔、磁扣、直尺、作业本纸 教学评价： 1、课前评价：通过“问卷星”的调查，了解到学生对求曲线方程的步骤还不够熟悉。 2、课中评价：根据《小组合作学习课堂评级表》，及时的给予小组评价。根据学生完成课堂检测单的情况，检查学生学习情况，及时发现问题，及时解决问题。根据学生回答问题、完成任务、完成练习的情况，及时给予表扬。 3、课后评价：学生根据老师提示梳理思维导图，检测自己的学习效果。根据学生 完成作业的情况，教师及时给出回馈及指导意见。
高中数学一轮复习课题.抛物线导学案
课题：抛物线 一、新考纲：备考动向 1．抛物线的标准方程 掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程． 2．抛物线的几何性质 掌握抛物线的简单性质． 二、抓主干：知识回顾 知识点一 抛物线定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内． (2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等． (3)定点不在定直线上． 易误提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线． 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点 O (0,0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 )0,2 (p F )0,2(p F - ) 2 ,0(p F ) 2 ,0(p F -离心率 e ＝1 准线方程 2 p x - =2 p x = 2 p y - =2 p y = 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)) 2 0p x PF + =2 0p x PF + -=2 0p y PF + =2 0p y PF + -=易误提醒 抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F
到准线l 的距离，否则无几何意义． 必记结论 抛物线焦点弦的几个常用结论： 设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1) 4 2 21p x x =，y 1y 2＝－p 2. (2)弦长α 221sin 2p p x x AB =++= (α为弦AB 的倾斜角)． (3) p FB FA 211=+. (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切． [自测练习] 1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( ) A ．y ＝4x 2 B ．y ＝8x 2 C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x 解析：本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知 32 1=+ p ，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，故选D. 答案：D 2．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的 中点M 的横坐标为3，则线段AB 的长度为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2×3＝6，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1 ＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝8，故选B. 答案：B 三、研考向：考点研究 考点一 抛物线的标准方程及几何性质 1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是 2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－x B ．x 2＝－8y C ．y 2＝－8x 或x 2＝－y D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y 3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 求抛物线方程的三个注意点 (1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．