完全测度空间上的Fubini定理 (1)
教学大纲_实变函数与泛函分析
《实变函数与泛函分析》教学大纲课程编号：120233B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□√学科基础课总学时：48 讲课学时：48 实验（上机）学时：0学分：3适用对象：经济统计学先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何毕业要求：1.应用专业知识，解决数据分析问题2.可以建立统计模型，获得有效结论3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用4.关注国际统计应用的新进展5.基于数据结论，提出决策咨询建议6.具有不断学习的意识一、课程的教学目标本课程以实变函数与泛函分析基本理论为基础，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。
本课程基本目标为：能理解、掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分，赋范空间和Hilbert空间一些基本概念、基本理论和基本方法。
本课程的难点在于学生初次涉及众多的抽象概念，并且论证的部分很多，教学中应密切结合数学分析中学到的相对来说比较直观的内容讲解，并督促学生下工夫理解。
二、教学基本要求（一）教学内容及要求《实变函数与泛函分析》在理解数学分析思想及基本知识和线性代数的基本知识后将其拓展到实数域上，进而讨论集合，欧氏空间，Lebesgtle测度，Lebesgue 可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，L^p空间，L^2空间，卷积与Fourier变换，Hilbert空间理论，Hilbert空间上的有界线性算子，Banach空间，Banach空间上的有界线算子，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。
其中要求同学们：1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
高等概率论
高等概率论《高等概率论》是2009年科学出版社出版的图书，作者是胡晓予。
主要介绍测度的扩张定理和分解定理，Lebesgue—Stieltjes测度、可测函数及其积分的基本性质，还有乘积可测空间和Fubini定理等。
第二部分是第4～6章。
主要介绍独立随机变量序列的极限定理，包括中心极限定理、级数收敛定理、大数定律和重对数律。
在介绍中心极限定理之前，介绍了测度的弱收敛、特征函数以及相关结论。
这部分内容突出了经典的概率论证明技巧。
第三部分为第7、8章，介绍一些特殊的随机过程。
第7章介绍离散鞅论，第8章简单介绍了马氏链、布朗运动和高斯自由场。
《高等概率论》适合数学专业的研究生作为教材，亦可作为教师参考用书。
前言第1章测度与积分1.1 符号与假定1.2 集族与测度1.3 测度的扩张1.4 Lebesgue—Stieltjes测度1.5 Hausdorff测度和填充测度1.6 可测函数及其收敛性1.7 可积函数及积分性质习题1第2章测度的分解2.1 测度的Jordan—Hahn分解2.2 Radon—Nikodym定理2.3 Radon—Nikodym定理在实分析中的应用习题2第3章乘积空间上的测度与积分3.1 乘积测度3.2 Fubini定理3.3 无穷维乘积空间上的测度习题3第4章概率论基础4.1 符号与概念4.2 条件概率与条件期望4.3 Borel—Cantelli引理4.4 Kolmogorov零一律第5章中心极限定理5.1 测度的弱收敛5.2 特征函数5.3 Lindeber9中心极限定理5.4 无穷可分分布族5.5 二重随机变量序列的极限定理习题5第6章大数定律6.1 级数收敛定理6.2 大数定律6.3 kolmogorov重对数律习题6第7章离散鞅论7.1 鞅的基本概念7.2 鞅不等式和鞅的几乎处处收敛性7.3 一致可积性与鞅的Lp收敛性7.4 鞅的选样定理第8章随机过程选讲8.1 随机游动与马氏链8.2 布朗运动8.3 高斯自由场。
深圳大学 实变函数课程教学大纲
教学要求
了解：了解微分与不定积分概念。 理解：理解 Lebesgue 积分概念可积函数及其性质，新旧积分之间的关系。Fubini 定 理的含义。 掌握：掌握简单 Lebesgue 积分的计算。
第六章 函数空间 Lp （不讲） 第七章 Fourier 级数与 Fourier 变换（不讲）
注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
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三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为 54 学时，安排在第五学期，每周 3 学时，上课 18 周。具体分配如下 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 集合及其基数 n 维空间中的点集 测度理论 可测函数 积分理论 8 学时 10 学时 12 学时 12 学时 12 学时
（二）考核要求
（二）开设目的
实变函数是数学专业的一门主要基础课，它的主要目的是改造数学分析的内容以更 加适合研究客观世界。从以区间、连续函数为主要研究对象拓广到以点集、可测函数为 主要研究对象。极限的概念也获得了很大的改进和弱化，使函数分析性质的讨论从一致 收敛、一致连续等很强的束缚中解脱出来。当然最主要的是勒贝格积分取代黎曼积分， 从而极大地提高了运算的灵活性。总之，实变函数为现代数学各分支的发展提供了一个 更合理更方便的分析基础，使得数学的现代化成了可能。 教学目的是为了使学生了解和掌握逐步深入地分析问题和解决问题的方法，提高分 析和解决问题的能力，培养抽象的思维能力。
教学要求
（1）掌握可测函数定义及简单性质 （2）熟悉 Egoroff 定理，Lusin 定理及依测度收敛及其性质。 （3）了解可测函数的结构。
第五章 积分理论
教学目的
介绍 Lebesque 积分的概念、Fubini 定理、微分与不定积分概念，通过 Fubini 定理认 识新积分的优越性。
实变函数可数覆盖定理
实变函数可数覆盖定理实变函数可数覆盖定理是指：任意可测集合E，如果它的测度有限，则存在可数个开集Ai包含E，使得E被它们覆盖，即：E \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \ \ \ \text{且} \ \ \ m(E) < \infty这个定理在实分析中有着广泛的应用，本文将围绕该定理展开讨论。
一、定理的证明为了证明此定理，我们需要以下引理：引理1：任何开集都可以写成可数个互不相交的闭集的并集。
证明：设G为一个开集，任取x \in G，则存在开球B(x,r_x) \subseteq G。
因为\mathbb{R}是第二可数公理满足的拓扑空间，所以可以从可数个互不相交的开球\{B(x_n,r_n)\}_{n=1}^{\infty}组成基本邻域。
注意到这个基本邻域覆盖了G，因此存在有限个开球B_j(j=1,...,k)，使得G \subseteq \bigcup_{j=1}^k B_j(x_j,r_j)现在对每个i=1,...k，定义闭集F_i = \{x \in G: x - x_i \leq \frac{r_i}{4}\}，即对于每个x \in G，x和x_i之间的距离小于\frac{r_i}{4}。
显然，F_i是闭集，且它们互不相交。
因为G被局部有限个开球覆盖，所以每个x \in G最多只会属于一个F_i，所以G是可数个互不相交的闭集的并集。
引理2：存在含有无穷个不相交的可测集合的积空间（称为投射空间）。
证明：我们可以构造集合列\{E_n\}_{n=1}^{\infty}，使得E_n \in \{0, 1\}，且它们不相交（如果两个集合相交，则它们在投射空间的交集不为空）。
现在考虑\{0, 1\}的不可数个元素组成的集合X上的所有标准Borel集合A \subseteq X，他们形如某个开区间或其可数差集。
我们定义E = \{x \in X: x_n = 1\text{当且仅当} n \in \mathbb{N}\text{且} x \in E_n\}其中\mathbb{N}是自然数集合。
概率论与随机过程----第七讲资料
四是三的推广，因此要注意理解协方差矩阵的定义、性 质以及其物理意义。
五、复随机变量的数字特征（自学）
注意区别复随机变量的数学期望与实随机变量的数学期 望的定义；同意注意区别两个复随机变量的协方差与两 个实随机变量的协方差的定义。
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R1
R1
定理3.3.（3 随机变量函数的数学期望问题）设是（Ω,F, P）上的随
机变量，其分布函数为Fx，g是R1上的有限实可测函数，则
g 的数学期望存在 gx在R1关于PF（或Fx）的积分存在，且：
E Eg gxdFx
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证明：在（3.3.1）式中取R R1，f ，则：
（1）若c为常数，则Dc c2D ；
（2）若1,n是概率空间（Ω, F, P）上的随机变量，有有限的
数学期望，且两两独立，则：
D1 n D1 Dn
若1,n的方差有限，则1 n的方差也有限
（3）D 0 E（ a.e.）
证明略，同学们可自证。
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若g为一般的实可测函数，则：
g fdP gdPf g fdP gdPf
R
R
根据复合函数的性质，有g f g f
则：
gdPf gdPf gdPf
R
R
R
g fdP g fdP g fdP
1
n
j 2n
n
Bk Bn2n
k 2n
n
k 1 2n
,
数学(本科)毕业论文题目汇总
数学毕业(学位)论文题目汇总一、数学理论1。
试论导函数、原函数的一些性质。
ﻫ２。
有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。
ﻫ3。
数学中一些有用的不等式及推广.4。
函数的概念及推广.ﻫ5。
构造函数证明问题的妙想。
6.对指数函数的认识。
ﻫ7。
泰勒公式及其在解题中的应用。
8。
导数的作用。
9。
Ｈiｌbert空间的一些性质。
ﻫ10。
Banaｃｈ空间的一些性质。
ﻫ１1。
线性空间上的距离的讨论及推广。
12。
凸集与不动点定理．ﻫ１3。
Hｉlberｔ空间的同构．ﻫ1４。
最佳逼近问题。
ﻫ１5。
线性函数的概念及推广．ﻫ1６.一类椭圆型方程的解．18.线性赋范空间上的模等价。
1７。
泛函分析中的不变子空间。
ﻫ19.范数的概念及性质．２0。
正交与正交基的概念。
22。
隐函数存在定理的再证明。
ﻫ２3.线性空间的等距同构。
2１。
压缩映像原理及其应用.ﻫ24。
列紧集的概念及相关推广。
２５。
Lebｅsguｅ控制收敛定理及应用。
26。
Lebｅｓｇue积分与Rieｍann积分的关系。
27。
重积分与累次积分的关系.28。
可积函数与连续函数的关系。
２９。
有界变差函数的概念及其相关概念。
ﻫ30。
绝对连续函数的性质。
3１.Lｅbesguｅ测度的相关概念。
33。
可测函数的定义及其性质。
ﻫ３４．分部积分公式的32。
可测函数与连续函数的关系。
ﻫ推广。
35。
Fatoｕ引理的重要作用。
36.不定积分的微分的计算。
ﻫ37。
绝对连续函数与微积分基本定理的关系。
ﻫ3８。
Ｓchwartz 不等式及推广。
39。
阶梯函数的概念及其作用.40。
Fourｉer级数及推广。
ﻫ４1.完全正交系的概念及其作用。
ﻫ42。
Ｂanach空间与Hｉlbe ｒｔ空间的关系。
44。
数学分析中的构造法证题术,43。
函数的各种收敛性及它们之间的关系。
ﻫ4５。
用微积分理论证明不等式的方法4６.数学分析中的化归法47。
微积分与辩证法49。
在上有界闭域的D中连续函数的性质４8. 积分学中一类公式的证明ﻫ51。
§4.6乘积测度与Fubini定理
§4.6 乘积测度与Fubini 定理教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理—Fubini 定理.本节要点 乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理. Fubini 定理是积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用.设X 和Y 是两个非空集, .,Y B X A ⊂⊂ 称B A ×为Y X ×中的矩形(定义∅=×∅∅=∅×B A ,).例如,平面可以看成是直线与直线的乘积, 即1R =×1R .2R 当A 和B 是直线上的有界区间时, B A ×就是平面上的通常意义下的矩形. 本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间, 但可以将1R =×1R 2R 这一特殊情形作为直观模型. 通过直接验证, 不难证明矩形具有如下性质(图6—1):(1).).()()()(21212211B B A A B A B A ∩×∩=×∩×(2).)].()[(])[()()(21211212211B B A A B A A B A B A −×∩∪×−=×−×图6-1设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个测度空间. 若,A ∈A ,B ∈B 则称B A ×为可测矩形. 设C 是可测矩形的全体所成的集类. 利用上面所列的矩形的性质, 容易验证C 是一个半环.由C 生成的代数−σ)(C σ称为A 与B 的乘积σ-代数, 记为.B A ×)()(21212B B A A E −×∩=1211)(B A A E ×−=X1A2A 1E2B 1B Y2E在C 上定义一个非负值集函数如下. 对任意∈×B A C , 令).()())((B A B A νµνµ⋅=×× (1)定理1 由(1)式定义的集函数νµ×是C 上的测度.证明 显然0))((=∅×νµ. 往证νµ×在C 上是可数可加的. 设B A ×是一个可测矩形, }{n n B A ×是一列互不相交的可测矩形使得1.n n n A B A B ∞=×=×∪由于}{n n B A ×是互不相交的, 故成立.)()()()(1∑∞−=n B A B A y I x I y I x I n n对任意固定的,Y y ∈ 将上式两边对x 积分并利用单调收敛定理得到.)()()()(1∑∞==n B n B y I A y I A nµµ再对y 积分得到.)()()()(1∑∞=⋅=⋅n nnBA B A νµνµ 这就是.))(())((1∑∞=××=××n n n B A B A νµνµ即νµ×在C 上是可数可加的. 因此νµ×是C 上的测度. ■设R 是由C 生成的环, 即}.1,,,:{11≥===k E E E A k ki i 是互不相交的可测矩形∪R注意由于∈×Y X ,R 故R 实际上是一个代数. 按下面的方式将νµ×延拓到R 上. 若∈E ,R E 的一个分解式为,1∪ki i i B A E =×= 则令.)()())((1∑=⋅=×ki iiB A E νµνµ (2)由§2.2.引理7, ))((B A ××νµ的值不依赖于B A ×的分解式的选取. 由定理1和§2.2定理8立即得到如下定理.定理2 由(2)式定义的集函数νµ×是R 上的测度.设∗×)(νµ是由νµ×导出的外测度,νµ×M 是∗×)(νµ可测集的全体所成的−σ代数.由§2.2定理5, ∗×)(νµ在νµ×M 上是一个测度, 称这个测度为µ和ν的乘积测度, 仍记为νµ×. 称测度空间),,(νµνµ×××M Y X 为),,(µA X 与),,(νB Y 乘积空间. 由§2.2.定理10, 测度空间),,(νµνµ×××M Y X 是完备的. 容易证明若µ和ν都是−σ有限的, 则νµ×也是−σ有限的(其证明留作习题).由第一章习题第26题的结果知道)(C σ=).(R σ 由B A ×的定义和§2.2定理5,B A ×=)(C σ=⊂)(R σνµ×M .因此νµ×也是B A ×上的测度. 有时也称测度空间),,(νµ×××B A Y X 为),,(µA X 与),,(νB Y 乘积空间.下面我们将证明Fubini 定理. 为此需要作一些准备. 设.,X x Y X E ∈×⊂ 称集}),(:{E y x Y y E x ∈∈=为E 在x 的截口. 类似地, 对,Y y ∈ 称集}),(:{E y x X x E y ∈∈=为E 在y 的截口. 注意x E 和y E 分别是Y 和X 的子集(图6—2).图6—2容易验证关于截口成立,)()().i (11∪∪∞=∞==n x n x n n E E.)().ii (x x x F E F E −=−同样, 关于y 的截口也成立类似的性质.定理3 设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个−σ有限的测度空间, ∈E B A ×. 则).i (对任意,X x ∈ 必有.B ∈x E).ii ()(x E ν和是),,(µA X 上的可测函数. 并且成立等式∫=×.)())((µννµd E E x (3)XYx E yE x y E证明 ).i (设C 是可测矩形的全体. 令F }.,:{B B A ∈∈×∈=x E X x E 对任意若∈×=B A E ,C 则当A x ∈时, .B E x =当A x ∉时, .∅=x E 故对任意,X x ∈.B ∈x E 因此.F C ⊂ 利用截口的性质容易证明F 是一个σ-代数. 因此得到=×B A ⊂)(C σ.F 即对任意X x ∈必有.B ∈x E)ii (先设.)(+∞<Y ν 由本定理的结论),i ( 对任意,X x ∈ 必有.B ∈x E 故函数)(x E ν有意义. 令}.)(:{可测的是A B A F x E E ν×∈=若B A E ×=是一个可测矩形, 则)()()(x I B E A x νν=是A 可测的. 这表明.F C ⊂ 往证F 是一个λ类. 显然∈×Y X .F 设∈F E ,F 并且.F E ⊃ 注意到,)()(+∞<≤Y F x νν我们有).()()())((x x x x x F E F E F E νννν−=−=−故))((x F E −ν是A 可测的. 因此∈−F E ,F 即F 对包含差运算封闭.再设⊂}{n E F并且.↑n E 则.)(↑x n E 于是有).)((lim ))(())((11x n n n x n x n n E E E ννν∞→∞=∞===∪∪由上式看出))((1x n nE∪∞=ν是A 可测的. 因此∈∞=∪1n n E ,F 即F 对单调增加的集列的并运算封闭. 所以F 是包含C 的一个λ类. 注意到C 是一个π类. 由§1.3.推论12, 我们有=×B A ⊂)(C σ.F即对任意∈E B A ×, )(x E ν是A 可测的. 若.)(+∞=Y ν 由于),,(νB Y 是−σ有限的, 因此存在Y 的一列互不相交的可测集}{n Y 使得+∞<)(n Y ν并且1.nn Y Y ∞==∪对每个,1≥n 在B 上定义测度∈∩=B Y B B n n ),()(νν.B则.)()(+∞<=n n Y Y νν 设∈E B A ×. 则由上面所证, 每个,1≥n )(x n E ν是A 可测的. 我们有.)()())(()(111∑∑∞=∞=∞==∩=∩=n x n n n x n n x x E Y E Y E E νννν∪由此可见)(x E ν是A 可测的. 在B A ×上定义集函数λ如下:∈=∫E d E E x ,)()(µνλB A ×.则λ是非负值集函数并且.0)(=∅m 设}{n E 是B A ×中的一列互不相交的集. 则由单调收敛定理得到.)())(())(())(()(11111∑∫∑∫∫∞=∞=∞=∞=∞=====n n n x n n x n x n n n n E d E d E d E E λµνµνµνλ∪∪∪即λ是可数可加的. 故λ是B A ×上的测度. 若B A E ×=是一个可测矩形, 则).)(()()(.)()()()(E B A d x I B d E E A x νµνµµνµνλ×=⋅===∫∫故在C 上.νµλ×=测度的有限可加性蕴涵在由C 生成的环R 上.νµλ×= 由于µ和ν都是−σ有限的, 容易知道λ和νµ×也是−σ有限的(参见习题). 由§2.2定理6知道在B A ×上.νµλ×= 这表明对任意∈E ,B A × (3)式成立.■注1 由定理3, 我们也可以用(3)式来定义B A ×上的乘积测度,νµ× 这样定义的νµ×与我们前面定义的νµ×M 上的乘积测度νµ×在B A ×上是一致的. 但是这样得到的乘积测度空间),,(νµ×××B A Y X 一般说来不是完备的. 本节所用的定义乘积测度的方式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间),,(νµνµ×××M Y X , 这样就避免了对),,(νµ×××B A Y X 再进行完备化的讨论.引理4 设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个完备的测度空间, 若∈E νµ×M 并且.0))((=×E νµ 则对几乎所有,X x ∈B ∈x E 并且 a.e.,0)(=x E ν证明 由§2.2定理11, 存在∈F =)(R σ,B A × 使得E F ⊃并且.0))(())((=×=×E F νµνµ定理3)ii (蕴涵 a.e.0)(=x F ν 由于B 关于ν是完备的, 因此由x x F E ⊂得到∈x E a.e.,B 并且 a.e.0)(=x E ν.■定理5 设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个完备的−σ有限的测度空间, ∈E νµ×M . 则).i (则对几乎所有,X x ∈ 必有.B ∈x E).ii ()(x E ν是),,(µA X 上的可测函数. 并且成立等式∫=×.)())((µννµd E E x (4)).iii (若),(y x f 是),,(νµνµ×××M Y X 上的可测函数, 则对几乎所有,X x ∈ 函数),()(y x f y f x =是),,(νB Y 上的可测函数.证明 设∈E νµ×M . 由§2.2定理13, 存在∈F B A × 和∈N νµ×M ,,0))((=×N νµ使得.N F E −= 由引理4, ∈x N a.e.,B 并且 a.e.0)(=x N ν 再利用定理3, 我们有∈−=x x x N F E a.e.,B 因此)i (得证. 由定理3, )(x F ν是A 可测的. 由于A 关于µ是完备的, 并且a.e.),()()()(x x x x F N F E νννν=−=故)(x E ν是A 可测的(参见第三章习题第7题). 注意到,0))((=×N νµ 由定理3)ii (,∫∫==×=×).()())(()))((x x E d F F E ννννµνµ即(4)成立. 因此)ii (得证. 由于对任意实数,a ∈<}),(:),{(a y x f y x νµ×M .于是由结论)i (, 对几乎所有,X x ∈我们有∈<=<∈x a y x f y x a y x f Y y }),(:),{(}),(:{.B即),()(y x f y f x =是),,(νB Y 上的可测函数. 因此)iii (得证.■由对称性,关于y E 和)((y E µ成立类似于定理3,引理4和定理5的结果.设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个测度空间, ),(y x f 是Y X ×上的可测函数. 若对几乎所有固定的,X x ∈ ),(y x f 在Y 上的积分存在. 记()(,).Yg x f x y d ν=∫()(x g 可能在一个−µ零测度集上没有定义, 在这个零测度集上令)(x g =0). 若)(x g 是X 上的可测函数并且在X 上的积分存在, 则称f 的二次积分存在, 并且称()Xg x d µ∫为f 的二次积分,记为()XYfd d νµ∫∫或.XYd fd µν∫∫ 类似可以定义另一个顺序的二次积分.YXd fd νµ∫∫关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系, 我们由如下的定理. 这是本节最主要的结果定理6 (Fubini 理)设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个完备的−σ有限的测度空间. 则).i (若f 是),,(νµνµ×××M Y X 上的非负可测函数, 则()(,)YI x f x y d ν=∫和()(,)XJ y f x y d µ=∫分别是X 和Y 上的非负可测函数. 并且成立X Yf d µν××=∫()XYfd d νµ∫∫=().YXfd d µν∫∫(5)).ii (若f 是),,(νµνµ×××M Y X 上的可积函数, 则()(,)YI x f x y d ν=∫和()(,)XJ y f x y d µ=∫分别是关于µ和ν可积的. 并且(5)成立.证明 ).i (由对称性, 只需证明()(,)YI x f x y d ν=∫是X 上的非负可测函数, 并且X Yf d µν××=∫()XYfd d νµ∫∫(6)先设E I f =是特征函数, 其中∈E νµ×M . 由定理5)i (, 对几乎所有,X x ∈∈x E .B 于是(,)()().x E E x YYI x y d I y d E ννν==∫∫ a.e..−µ由定理5)ii (, )(x E ν是X 上的可测函数. 并且()..)()()(µνµννµνµd d I d E E d I XYEXx YX E ∫∫∫∫==×=××这表明当f 是特征函数时, ()(,)YI x f x y d ν=∫是X 上的非负可测函数并且(6)成立. 由积分的线性性质知道, 当f 是非负简单函数时, )(x I 是X 上的非负可测函数并且(6)成立. 一般情形, 设f 是非负可测函数. 则存在非负简单函数列}{n f 使得.f f n ↑ 由上面的证明,()(,)n n YI x f x y d ν=∫是X 上的非负可测函数. 由单调收敛定理得到(,)(,).n YYf x y d f x y d νν↑∫∫ 因此)(x I 是X 上的非负可测函数. 再对函数列}{n I 应用单调收敛定理, 我们有()()lim lim .n n n n X YX YXYXYf d f d f d d fd d µνµννµνµ→∞→∞×××=×==∫∫∫∫∫∫即(6)成立. 因此)i (得证.).ii (由对称性, 我们只需证明)(x I 是关于µ可积的, 并且(6)成立. 由)i (的结论,(,)Yf x y d ν+∫和(,)Yf x y d ν−∫是X 上的非负可测函数. 因此)(x I 是X 上的可测函数.对+f 和−f 分别运用(6), 我们有()()().X YX YX YX YXYXYf d f d f d f d d f d d fd d µνµνµννµνµνµ+−×××+−×=×−×=−=∫∫∫∫∫∫∫∫∫注意由于f 是关于νµ×可积的, 故上式中出现的积分都是有限的, 因此作减法运算是允许的. 这就证明了)(x I 是关于µ可积的, 并且(6)成立.■推论7 设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个完备的−σ有限的测度空间, f 是),,(νµνµ×××M Y X 上的可测函数. 若YXd f d νµ<+∞∫∫ 或,XYd f d µν<+∞∫∫则f 可积并且成立X Yf d µν××=∫XYd fd µν∫∫=.YXd fd νµ∫∫ (7)证明 设+∞<∫∫XYd f d µν. 由Fubini 定理, 我们有X Yf d µν××=∫.YXd f d νµ<+∞∫∫即f 可积. 再由Fubini 定理即知(7)成立. ■注2 在Fubini 定理中, 若),(y x f 是可积的. 则由于()(,)YI x f x y d ν=∫是关于µ可积的. 因此函数)(x I 几乎处处有限. 这表明对几乎所有,X x ∈),()(y x f y f x =是关于ν可积的. 同理, 对几乎所有,Y y ∈ 函数),()(y x f x f y = 是关于µ可积的.注3在Fubini 定理中, 若去掉),,(µA X 和),,(νB Y 是完备的这个条件, 则当f 是),,(νµ×××B A Y X 上的非负可测函数或可积函数时, 定理的结论仍成立. 其证明与定理6的证明是类似的. 只是此时不用定理5而直接引用定理.3就可以了.例1 设),,(µA X 是一个−σ有限的测度空间, f 是X 上的非负可测函数,.1+∞<≤p 则10({:()}).pp f d p t x f x t dt µµ+∞−=>∫∫证明 令},0)(:),{(≥>=t x f t x E 则}.)(:{t x f x E t >= 显然t x f −)(是乘积空间)),(,(11m X ×××µR R M F 上的可测函数, 故∈>−=}0)(:),{(t x f t x E )(1R M F ×. 因此函数),()(t x I x I E E t =是关于)(1R M F ×可测的. 由Fubini 定理我们有()101{:()}01{:()}010()()()({:()}).f x pp XXp x f x t Xp x f x t Xp f x d d pt dtd pt I x dtpt dt I x d pt x f x t dt µµµµµ−+∞−>+∞−>+∞−====>∫∫∫∫∫∫∫∫■下面我们将本节的结果用到nR 上的Lebesgue 积分上去.定理8 设)(1R B 和)(2R B 分别是1R 和2R 上的Borel σ-代数, 1m 和2m 分别是1R 和2R 上的Lebesgue 测度. 则×)(1R B =)(1R B )(2R B 并且在)(2R B 上.211m m m =× 即=×××)),()(,(111111m m R R R R B B ).),(,(222m R R B证明 设R 是2R 中的左开右闭方体的全体生成的环, R ′是由2R 中的Lebesgue 可测矩形的全体生成的环. 则=)(R σ),(2R B=′)(R σ×)(1R B ).(1R B 由于⊂R R ′, 故=)(2R B =′⊂)()(R R σσ×)(1R B ).(1R B反过来, 令1p 和2p 是2R 到1R 的投影函数, 即.,),(1x y x p = y y x p =),(2. 则1p 和2p 都是连续的, 因而是2R 上的Borel 可测函数. 由§3.1定理2, 若∈B A ,)(1R B , 则∈−)(11A p )(2R B , ∈−)(12B p ).(2R B 于是).()()()()(2121111R R R B ∈∩=×∩×=×−−B p A p B A B A故⊂′R ).(2R B于是×)(1R B =)(1R B ⊂′)(R σ).(2R B 因此×)(1R B =)(1R B )(2R B . 由乘积测度的定义容易知道在R 上.211m m m =× 由§2.2定理6知道在)(R σ上.211m m m =× 即在)(2R B 上面.211m m m =×■定理9 两个一维Lebesgue 测度空间的乘积测度空间是二维Lebesgue 测度空间, 即=×××),,(1111m m i i m m M R R ).),(,(222m R R M (8)证明 仍设R ,R ′, 1m 和2m 如定理8. 由定理8,=×××)),()(,(111111m m R R R R B B ).),(,(222m R R B此即=×′×)),(,(1111m m R σR R ).),(,(22m R σR由§2.2定理15,),,(1111m m i i m m ×××M R R 和)),(,(222m R R M 分别是)),(,(1111m m ×′×R σR R 和)),(,(22m R σR 的完备化空间. 因此(8)成立.■推论10 设f 是2R 上的非负L 可测函数或L 可积函数.则成立2R f dxdy =∫dy f dx ∫∫11R R =.dx f dy ∫∫11RR特别地, 当dy f dx <+∞∫∫11R R 或者dx f dy <+∞∫∫11RR 时, 成立dy f dx ∫∫11R R =.dx f dy ∫∫11RR(我们将2R 上的L 积分记为2.R f dxdy ∫)证明 将定理6和推论7应用到乘积空间),,(1111m m iim m ×××M R R 上, 并利用定理9即得. ■显然, 对pR 与qR 的乘积空间qp +R 的情形,成立与推论10类似的结果.例2 计算0sin ()(0).axbx x I e e dx a b x+∞−−=−<<∫解 我们有0sin ()sin .b ax bxxy ax e e dx dx e xdy x +∞+∞−−−−=∫∫∫ 由于1sin ln .bb b xyxyaaabdy ex dx dy edx dy y a+∞+∞−−≤==<+∞∫∫∫∫∫由Fubini 定理(推论7), 我们有002sin sin 1arctg arctg .1bb xyxy aab aI dx exdy dy e xdxdy b a y+∞+∞−−====−+∫∫∫∫∫小结本节首先介绍了测度空间的乘积空间.乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理. 本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理—Fubini定理. Fubini定理是积分理论的基本定理之一,它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用.习题习题四, 第43题—第57题.。
数学分析(2)期末试题参考答案
∑ A′
∑ ℓα (
)
µ(Iα) µ Jβxα,γ
≥
ε0 m
>
ε.
α=1 γ=1
α=1
γ=1
另 一 方 面， 对 于 每 个 xα， 存 在 一 个 Kk， 使 得 xα ∈ Kk。 因 为 P 是 利 用 K1, . . . , Kκ 的边界构造的网格分划，所以相应的 Iα × Jβxα,γ 一定包含在这个
恰好覆盖
Em，于是
∑A′
α=1
µ(Iα)
≥
ε0。对于每个
Iα (1 于是
≤ α ≤ A′)，取一个
∑ℓα
γ=1
µ(Jβxα ,γ
)
≥
1 m
xα ∈ Iα ∩ Em，设 ，所以我们有
Jβxα,1 , . . . , Jβxα,ℓα
恰好覆盖
Kxα ，
∑ A′ ∑ ℓα ( µ Iα
) × Jβxα,γ
=
i) 求证：
∫
∫
∫
ωi = ωi + ωi, i = 1, 2.
γ3
γ1
γ2
ii) 求证：
∫
lim
ωi = 0, i = 1, 2.
R→+∞ γ2
iii) 计算广义积分：
C = ∫ +∞ cos (x2) dx, S = ∫ +∞ sin (x2) dx
0
0
() 解答： i) 因为 ωi ∈ Ω1 R2 、dωi = 0 (i = 1, 2)，所以由 Green 公式可知结论
解答：（证法一）因为
K
紧且
Lebesgue ∫
零测，所以
Jordan
零测，于是