相速度与群速度

§6-4 光的相速度和群速度
折射率是光在真空中和介质中传播速度的比值，即v c n /=，通常可以通过测定光线方向的改变并应用折射定律()21sin /sin i i n =来求它，但原则上也可分别实测c 和v 来求它们的比值，用近代实验室方法，不难以任何介质中的光速进行精确的测定，例如水的折射率为，用这两种方法测得的结果是符合的，但对二硫化碳，用光线方向的改变的折射法测得的折射率为，而1885年迈克耳孙用实测光速求得的比值则为，其间差别很大，这绝不是由实验误差所造成的，瑞利找到了这种差别的原因，他对光速概念的复杂性进行了说明，从而引出了相速度和群速度的概念。

按照波动理论，这种通常的光速测定法相当于测定由下列方程所决定的波速的数值： ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=v r t A E ωcos 不难看出，这里v 所代表的是单色平面波的一定的位相向前移动的速度，因为位相不变的条件为 常量=-
v
r t 由此得到 01=-
dr v
dt 或 dt dr v = (6-1) 所以这个速度称为位相速度（简称相速），这速度的量值可用波长和频率来计算。

波的表达式部是t 和r 的函数,可以写成下列形式：
()kr t A E -=ωcos
式中v πω2= 和λπ/2=k 都是不随 t 和 r 而改变的量，故位相不变的条件为
kr t -ω=常量
0=-kdr dt ω
由此得
或 λωv k
v dt dr === (6-2) （6-2）式表示的位相速度乃是严格的单色波地(ω有单一的确定值)所特有的一种速度，单色波以t 和r 的余弦函数表达,ω为常量，这种严格的单色波的空间延续和时间延续都是无穷无尽的余弦（或正弦）波，但是这种波仅是理想的极限情况，实际所到的永远是形式不同的脉动，这种脉动仅在空间某一有限范围内、在一定的时间间隔内发生，在时间和空间上都是有起点和终点的，任何形式的脉动都可看成是由无限多个不同频率、不同振幅的单色正弦波或余弦波叠加而成的，即可将任何脉动写成傅里叶级数或傅里叶积分的形式，在无色散介质中所有这些组成脉动的单色平面波都以同一相速度传播，那么该脉动在传播过程中将永远保持形状不变，整个脉动也永远以这一速度向前传播，但是除真空以外，任何介质通常都具有色散的特征，就是说，各个单色平面波各以不同的相速传播，其大小随频率而变，所以由它们叠加而成的脉动在传播过程中将不断改变其形状，在这种情况下，关于脉动的传播速度问题就变得比较复杂了，观察种脉动时，可以先认定它上面的某一特殊点，例如振幅最在大的一点，而把这一点在空间的传播速度看作是代表整个脉动的传播速度，但是由于脉动形状的改变，所选定的这一特殊点在脉动范围内也将不断改变其位置，因而该点的传播速
度和任何一个作为组成部分的单针平面波的相速都将有所不同，按照瑞利的说法，这脉动称为波群，因而脉动的传播速度称为群速度，简称群速，现在仅就一个简化的例子来讨论两种速度的关系。

假设脉动由两个频率相近且振幅相等的单色简谐波叠加而成，在这简化的例子中，现象的主要特征仍然保留无遗，这两个单色余弦波可用下列两式表示
()()⎭⎬⎫-=-=r k t A E r k t A E 222111cos cos ωω
这时假设两个单色波的频率和波长彼此相差很小，可以认为
k
k k k k k δδδωωωδω
ωω-=+=-=+=02010201 脉动为 1E 和 2E 之和，即
()()
()()
r k t k r t A r k k t r k k t A r k t A r k t A E E E 0021212121221121cos cos 222cos 22cos 2cos cos -•-•=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+-=+=ωδδωωωωωωω
引入符号 ()k r t A A δδω•-•=cos 20
使该脉动的形式仍旧写为
()r k t A E 000cos -=ω
应当注意现在 不是常数，而是随时间和空间在改变，但改变得很缓慢，因为δω 和k δ 比起0ω和 k 0来都是很小的量（这和频率相近的两个振动叠加时形成的拍相类似），因此，如果不用严格的措词，则可认为该脉动是一个振幅变化缓慢的简谐波，
A 0
(a)
(b)
(图6－8)
图6-8（a ）表示两个简谐波（一个用实践，一个用虚线表示）的叠加，图6-8（b ）中虚线表示合振动缓慢的变化，形成一个脉动。

设在该脉动上选定一个具体有一定数值的0A 点（例如最大值），而计算这一点向前移动
的速度，这个速度就代表脉动的传播速度（群速），它既是波的一定振幅向前推进的速度，因而也就是在一定的条件下运动着的脉动所具有的能量的传播速度。

v 1
v 21
?2?ut
t v 1t
v 2r B 1
B 2
A 1A 2
B 1B 2
A 2A 1v 1v 2(图6－9)
图6-9表示（6-3）式的这两个余弦波，波长分别为 1λ和2λ，分别以速度 1v 和 2v 沿同一方向传播，并假设21λλ>，21v v >，在某瞬时，空间某一点A 处两波的波峰1A 和2A 重合，因而这时里出现一个最大值的振幅，经过了时间t 后，波长为1λ的波超前了一段路程，在空间另一点B 处两波的波峰1B 和2B 重合，在这一段时间里最大值振幅已从A 点移到B 点，也就是说AB 这一段距离和时间 t 的比值给出群速度 u ，从图中可直接看出 221
1λλ=-=-ut t v ut t v
或对于任一个波2λ=-ut vt
从图中还可以看出竖直双线处
v t δδλ•=
从上两式中消去t ，即得
δλ
δλv v u -= 这个关系式称为瑞利公式，从已知的相速度v 和δλδ/v 的值就可算出群速度 u 的值。

事实上，在脉动中不选定最大值而选定任一个指定的合振幅 也可同样算得相同的群速度，按（6-4）式,0A 不变的条件为
常量=•-•k r t δδω
注意δω和k δ是不随t 和r 而变的，故在不同时刻和不同地点 A 0 保持不变的条件为 k
dt dr kdr dt δδωδδω==-或0
而这里的 dt
dr 是指群速度，于是 u k
δδω= 由此可见，单色波的特征在于用相速k v /ω= 表示一定位相的推进速度，而任何脉动的一般特征在于用群速 u k
δδω= 表示一定振幅的推进速度。

对于任何脉动，u 和v 之间的一般关系式也不难找到，（6-2）式表示任何一个严格单色波的相速度 v 与ω及 k 之间的关系，在考虑群速度 u 时，必须注意各个成分波（严格单色波）的相速度是随波长而变的，即 v 是 k 的函数，按（6-2）式，k v /ω= 或 vk =ω ，
于是
()k
v k v k vk k u δδδδδδω+===
又因 λ
π2=k 故 δλλπδ22-=k δλ
δπλδδλδλδδδv k v k v 22-=•= 于是 δλ
δλδλδπλλπδδv v k v k -=••-=222 最后得任何脉动的一般瑞利公式 δλ
δλv v u -= (6-7) 上式给出群速u 和相速 v 之间的关系，由此可以看出，群速与相速大小的差值与λ和λd dv / 有关，λd dv / 表示相速随波长的变化率，由于折射率的定义为v c n /= ，是相速之比，并随入射波长不同而不同，所以λd dv / 和 λd dn / 有密切关系，只有在有色散介质中，才必须区分群速和相速，真空中二者是没有区别的。

如果知道了()λv v = 的函数，还可用作图法来求出群速度，
（图6－10）
图6-10所示的曲线表示某一假定的这种函数，曲线上一步P 的横坐标为 λ ，纵坐标为 v ，P 点的切线 PR 的斜率为λαd dv tg /= ，从图直接可以看出 u d dv v tg v QP SP OR =-=-=-=λ
λαλ 欲求相当于某波长附近的群速度，只要在图中曲线上该点作切线和 v 轴相交于一点R ， OR 的长度即等于所求的群速度。

瑞利指出，在测定光速的各种实验方法中，就实质来看，所用的都不是一列延绵不断的波，而是把波分割成许多小脉动，在测定光速的罗默法中，光的分割是由周期蚀造成的；在遮断法中是由齿轮或其它遮断器造成的；在旋转镜法中，当镜子的转动角度足够大时，光就达不到观察者，在所有这些情况下，实际在色散物质中测量到的都是群速而不是相速，光只有在真空中才没有色散，即 0/=δλδv ，因而其群速和相速相等。

迈克耳孙在水和二硫化碳的实验中所测量到的是群速的比值，不是相速的比值，但在他的测定范围内水的 δλδ/v 非常小，以致实际上u=v ，所以
n v
c u c == 在二硫化碳中，则δλδ/v 较大，因而，u<v ，他直接测得二硫化碳的折射率是相速的比值 v c / ，用测量速度间接计算出来的是群速的比值c/u ，精确测量二硫化碳的色散值δλδ/v ，证明迈克耳孙所测得的速度比值确实是相当于瑞利公式所给出的群速的比值。