弯曲变形例题
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弯曲变形例题
20
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解：
解除B点约束 以反力qa代替
vB
q(2a) 4 8EI
qa (2a ) 3 3EI
14qa 4 3EI
vD
vB 2
2qa (2a ) 3 48EI
8qa 4 3EI
21
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例8：求图示梁 C、D两点的挠度 vC、 vD。
22
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解：
可由载荷等效法求得弯 矩和剪力的大小及方向
30
3)如图(d)所示，B端由于 而引起的挠度为：
fD ，D
(a) A
P
I
I1=2I
C
D
B
fB2
fD
D
l 4
5 pl3 768 EI
3Pl 2 64 EI
l 4
l/4
13 pl3 768 EI
4)叠加 f B1和 fB2，可求出作为
自由端B处的挠度为：
f f f pl3 3pl3 3pl3 B B1 B2 384EI 768EI 256EI
f2 C
0
(表7.1.7)
叠加:
f
f1
f2
5q l 4 0
C
C
C
768EI
18
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第七章
例6-2 试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中
点C的挠度。
q2
q1-q2
+
q1
=
q2
C
C
C
(b)
(c)
(a)
解：图(a)分解为图(b)和图(c)之和
图(b)中点C的挠度为:
f1 C
5q2l 4 384EI
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解：
解除B点约束 以反力qa代替
vB
q(2a) 4 8EI
qa (2a ) 3 3EI
14qa 4 3EI
vD
vB 2
2qa (2a ) 3 48EI
8qa 4 3EI
21
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例8：求图示梁 C、D两点的挠度 vC、 vD。
22
第22页/共65页
解：
可由载荷等效法求得弯 矩和剪力的大小及方向
30
3)如图(d)所示，B端由于 而引起的挠度为：
fD ，D
(a) A
P
I
I1=2I
C
D
B
fB2
fD
D
l 4
5 pl3 768 EI
3Pl 2 64 EI
l 4
l/4
13 pl3 768 EI
4)叠加 f B1和 fB2，可求出作为
自由端B处的挠度为：
f f f pl3 3pl3 3pl3 B B1 B2 384EI 768EI 256EI
f2 C
0
(表7.1.7)
叠加:
f
f1
f2
5q l 4 0
C
C
C
768EI
18
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第七章
例6-2 试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中
点C的挠度。
q2
q1-q2
+
q1
=
q2
C
C
C
(b)
(c)
(a)
解：图(a)分解为图(b)和图(c)之和
图(b)中点C的挠度为:
f1 C
5q2l 4 384EI
《材料力学》 练习题 (弯曲变形)
《材料力学》练习题（弯曲变形）
院系：年级：专业：
姓名：学号：成绩：
1、试用积分法求如图所示梁：
（1）挠曲线方程，并绘出挠曲线的大致形状；
（2）截面A处的挠度和截面B处的转角。
（EI为已知）
2、用积分法求图所示各梁的挠曲线方程、转角方程和B截面的转角、挠度。
（设EI=常数）
3、试用积分法求图中截面A 处的挠度和转角。
4、外伸梁受力如图所示，试用积分法求A θ、B θ及D y 、C y 。
（设EI =常数）
6、试用叠加法求如图所示简支梁C截面的挠度和两端的转角。
8、如图所示梁AB 的右端由拉杆BC 支承。
已知：4kN/m q =，2m l =，3m h =，梁的截面为边长200mm b =的正方形，材料的弹性模量110GPa E =；拉杆的横截面面积2250mm A =，材料的弹性模量2200GPa E =。
试求拉杆的伸长l ∆，以及梁的中点在竖直方向的位移。
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
5-3 梁的弯曲变形
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】求等截面直梁的挠度方程、最大挠度及最大转角。
解：
1）建立坐标系并写出弯矩方程
M ( x ) P ( x L)
2）写出微分方程并积分
EIw" M ( x) P( L x)
1 P( L x ) 2 C 2 1 EIw P( L x)3 Cx D 6 EIw
4）根据强度条件和刚度条件选择工字钢 由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面模量 Wz=3.09xl0-4m3 ，惯性矩Iz=3.40x10-5m4，可见选择22a工字 钢作梁能同时满足强度和刚度要求。
§5-3 梁的弯曲变形
六、提高梁弯曲刚度的措施
梁的弯曲变形与梁的弯曲刚度EI、约束条件、梁的跨度 以及梁所受载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，以 提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】按载荷叠加法求A点转角和C点挠度。
解：
1）载荷分解如图
§5-3 梁的弯曲变形
2）由梁的简单载荷变形表查简单载荷引起的变形。
AP Pa 2 4 EI
wCP
Aq
Pa3 6EI
qa3 3EI 5qa 4 24 EI
wCq
3）叠加得到总变形。
5）最大挠度及最大转角
wmax PL3 w( L) 3EI
max
PL2 ( L) 2 EI
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
1）建立坐标系并写出弯矩方程
P( x a) M ( x) 0 (0 x a) (a x L )
材料力学-第7章 弯曲变形
引言
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
材料力学 第5章 弯曲变形-2
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
如何提高梁的承载能力
目标： 降低
降低
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
合理布置载荷和支座
F
M
L/2
L/2
F
M
L/4
3L/4
F
对称 M
L/5
4L/5
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
工程实例
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
合理布置载荷和支座
第五章 弯曲变形：叠加原理求梁的挠度和转角
(a) (b)
材料 力学
第五章 弯曲变形：叠加原理求梁的挠度和转角
C
在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用教材附录C表 中第五种情况下的公式有
材料 力学
第五章 弯曲变形：叠加原理求梁的挠度和转角
均布荷载:反对称均布荷载
C
挠曲线:与跨中截面反对称
在反对称荷载作用下，跨中截面不仅挠度为零，弯矩亦为零，但 转角不等于零，因此，可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为 受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。
A
D
B
F2=2kN C
C F2=2kN
=
+
A
D
F2 a
B
C
F2
F2 M
B
C
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
L=400mm a=0.1mF
A
D
B
C
A
200mm F1=1kN F2=2kN
解：❶结构变换
A
D
B
C
F1=1kN
a
材料力学弯曲变形
材料力学弯曲变形
材料力学中的弯曲变形是指物体在受到外力作用下发生的一种变形形式。
当材料受到垂直于其长度方向的外力时，会产生弯矩，使得物体产生弯曲变形。
弯曲变形的原理可以通过材料力学中的悬臂梁模型进行解释。
在悬臂梁中，一个固定的端点支撑着一根梁，梁的另一端受到外力作用，使得梁产生弯曲。
在悬臂梁的弯曲变形中，梁上部的纤维受到拉力，而下部的纤维受到压力。
由于力的作用，纤维之间会相互滑动，从而产生弯曲变形。
弯曲变形可以通过材料的弹性性质进行描述。
弯曲变形的程度取决于材料的弯曲刚度，即弹性模量，以及外力的大小和作用点的位置。
与拉伸变形不同，弯曲变形的应变分布不是均匀的，而是随着离中轴线的距离而变化。
中轴线上的纤维经历的应变为零，而离中轴线较远的纤维经历的应变较大。
弯曲变形是材料工程中常见的一种变形形式，它在很多结构中都会发挥作用。
例如，在桥梁和楼板等结构中，弯曲变形可以帮助承受外部荷载并保持结构的稳定性。
在材料设计和工程应用中，科学家和工程师常常要考虑材料的弯曲性能，以确保结构的强度和稳定性。
工程力学2第六章 弯曲变形
§6-4 用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
d2y EI 2 EIy'' M ( x ) dx n
由弯矩的叠加原理知： 所以， 即，
§6–3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
代入求解，得
1 Fb 3 C1 C 2 Fbl 6 6l D1 D2 0
FAy x1
ymax
x2
a
b
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
Fb 2 Fb 2 EI 1 x1 (l b2 ) 2l 6l
Fb 3 Fb 2 EIy1 x1 ( l b 2 ) x1 6l 6l
转角
4、挠度与转角的关系 （ Relationship between deflection and slope)： w
A
tg w ' w '( x )
B
x
C C'
转角
w挠度
挠曲线
B
5、挠度和转角符号的规定
（Sign convention for deflection and slope) 挠度 向上为正,向下为负. 转角 自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负. w
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(ql 2 ) l ql3 B3 , 3EI 3EI ql 4 yC 3 16EI
w
B2
yC 2
(ql) l 2 ql3 , 16EI 16EI (ql)l 3 48EI
yC 2
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
ql3 ql3 ql3 11ql3 B B1 B 2 B3 24EI 16EI 3EI 48EI
3Pa 3 2 EI1
7 Pa3 Pa3 3EI 2 3EI1
弯曲变形/用变形比较法解静不定梁 例7-8 图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉 刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。 解： 1、选择基本静定梁。 D 2、列出变形协调条件。
l
A l/2 B l/2
积分二次：
1 4 EIy qx Cx D 24
（2）
1 3 由边界条件： x L, 0 代入（1）得： C qL 6 1 4 x L, y 0 代入（2）得： D qL 8
代入（1）（2）得：
弯曲变形/用积分法求梁的变形 3、确定常数C、D.
1 1 3 1 3 ( qx qL ) EI 6 6
1.当梁上有复杂载荷时，应该分段列出弯矩方程，而对每一段 进行积分时，必然要有两个积分常数； 2.将所有的转角方程和挠曲线方程全部列出以后，再来确定积 分常数，并应了解到每段方程只适用于一定的区间之内; 3.积分常数的确定要利用边界条件和连续条件。连续条件则在 每一分段处有两个：一个是挠度连续，另一个是转角连续；
Fab ( L a ) 6 LEI
x L 代入得：
B 2
xL
弯曲变形/用积分法求梁的变形 5、求 ymax 。
dy 由 0 求得 ymax 的位置值x。 dx
Fb( L2 b 2 ) A 0, 6 LEI
C 1 x a
Fab (a b) 0( a b) 3LEI
弯曲变形/用变形比较法解静不定梁
解得：
yC yCF yCFN
Fl 25 [1 ] I 3EI 32(1 24 2 ) Al
在本例中，在F力作用下，拉杆BD伸长，因而B处下 移， B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即
3
yB yBF yBFN lBD
弯曲变形
本 章 结 束
弯曲变形/用积分法求梁的变形 例7-2 一简支梁受力如图所示。试求 ( x), y( x) 和 A , ymax 。 F y 解： 1、求支座反力 x x C B A Fb Fa x FAy , FBy a b L L
L
2、分段列出梁的弯矩方程
FAy
BC段 (a x L)
FBy
a
Fa使AB梁产生向上凸的变形。
查表得：
Fa
B
B
a
C
( Fa ) l B 3EI
yC 1 则
yC1 B a
Fa2l 3EI
+
B a
F C
( Fa ) l a 3EI
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 2）考虑BC段(AB段看作刚体) A lFa源自BB aC
yC 1
常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)
前提：起始截面上没有集中外力偶！
用积分法计算梁的挠度和转角的一般步骤：
（1）建立坐标系 （2）分段写弯矩方程M(x) （3）分段建立挠度近似微分方程 分段的原则：一是弯矩方程M(x)不同；二是抗弯刚度EI有变化。
（4）积分、确定积分常数
应用积分法时需要注意的问题
A
P qa M qa 2 2 C B
a
a
C
yB 2 yB3
qa 2 a 2 qa a qa 3 2 2 EI EI EI qa 4 yB3 C a EI
q A
（3）最后结果
B
a
C
a
yB yB1 yB 2 y B 3
41qa 4 24 EI
B B1 B 2
7qa 3 6 EI
例7-7 用叠加法计算图示阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I2=2I1
I2
A
a
I1
B
P
P
a
M Pa
C
Pa3 Pa a 2 5Pa3 yC1 yB1 3EI 2 2 EI 2 6 EI 2
解： （1）刚化 I1，则：
yC 2
C
I2
A
a
I1
Pa 2 Pa a 3Pa3 B a 2 EI EI a 2 EI 2 2 2
（2）刚化 I2，则：
B
a B
yC 1 yC 2
P C
yC 3
I2
A
a
I1
B
a
所以：
Pa3 3EI1
yC 3 yC yC1 yC 2 yC 3
m
律 2 m 3、根据梁的约束（支座情 况）、变形相容条件，绘 制挠曲轴的大致形状。
上凸
M 图
下凸
弯曲变形/用积分法求梁的变形 F
注意：
（1）正弯矩使梁下凸，负弯矩
a Fa (+) (-) 3F 拐点
a
a
使梁上凸；
（2）在转角为零处，挠度出现 极值，在挠度最大处，截
面的转角不一定为零，在
M 图
AC段 (0 x a)
Fb M 1 ( x) FA x x, L
EI y1
Fb x, L
Fb M 2 ( x) x F ( x a), L Fb EI y2 x F ( x a ), L
弯曲变形/用积分法求梁的变形 AC段 (0 x a) BC段 (a x L) Fb 2 Fb 2 F EI 1 EI 2 EI y1 x C1 , EI y2 x ( x a ) 2 C2 , 2L 2L 2 Fb 3 Fb 3 F EIy 1 x C1 x D1 , EIy 2 x ( x a ) 3 C2 x D2 , 6L 6L 6 3、确定常数 由边界条件：
3
FN
A l/2 B l/2
F C
5F 1 FN 2 (1 24 I ) Al 2
yCF Fl 3 () 3EI
3、在基本静定梁上由叠加法求 yC 。 在F力单独作用下： 在 FN 力单独作用下：
yCFN
FN x 2 25Fl3 1 (3l x) ( )() I 6 EI 96 EI l x 1 24 2 2 Al
x 0, wA 0 （1） x a时，y1 y2
x L, yB 0
（3） （4）
（2）
由光滑连续条件： x a时，1 2 可解得：
Fb 2 C1 ( L b 2 ) C2 , 6L
D1 D2 0
弯曲变形/用积分法求梁的变形 则简支梁的转角方程和挠度方程为 AC段 (0 x a) Fb 1 ( x) [3 x 2 ( L2 b 2 )], 6 LEI Fb y1 ( x) [ x 3 ( L2 b 2 ) x], 6 LEI 4、求转角 BC段 (a x L)
材料力学
yC 2
所以
Fa3 3EI
Fa2l yc1 3EI
F
yC yC1 yC 2
C
A
B
a
yC 2
Fa2l Fa3 3EI 3EI Fa2 l a 3EI
例7-6 已知：q、EI,试求B截面的转角和挠度。 解： （1）将AC段刚化。
q A
a
C
a
q
C
B
qa 4 y B1 8EI
第七章 弯曲变形
弯曲变形/用积分法求梁的变形 例7-1悬臂梁受力如图所示。求 解： 取参考坐标系Axy。
yA 和 A 。
y A q B x x
1、列出梁的弯矩方程
1 2 L (0 x L) M ( x) qx 2 2、 d 2 y M ( x) 1 2 EI y qx dx2 EI z 2 积分一次： 1 3 EI y EI qx C （1） 6
yC yC1 yC 2 yC3
5ql 4 (ql)l 3 11ql 4 ql4 384EI 48EI 16EI 384EI
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 例7-5 ： 怎样用叠加法确定yC ? F 1）考虑AB段(BC段看作刚体) A
B l F A l F作用在支座上，不产生变形。 C
1 1 4 qL3 qL4 y ( qx x ) EI 24 6 8
弯曲变形/用积分法求梁的变形 将 x 0 代入得：
qL3 A EI A C ） （与C比较知： 6 EI qL4 yA EIyA D ） （与D比较知： 8EI
因此 常数C表示起始截面的转角×刚度(EI)
弯矩最大处，挠度不一定 最大。
Fa
上凸
下凸
直线
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
例7-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
w
yC 1
w
yC 3
w
yC 2
w
yC 1
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
ql3 B1 , 24EI
5ql4 yC1 384EI
w
yC 3
Fb F ( x a) 2 2 2 2 2 ( x) [3x ( L b )] , 6 LEI 2