向量和矩阵范数及其应用
数值分析8(向量范数与矩阵范数)
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A 2 ( A A), 其中 ( B ) max{| i ( B ) |}
T i
2 T T 证: 2 这表明矩阵ATA是对称半正定的, 是非负。设矩阵ATA的特征值为
|| Ax || x A Ax 0
1 2
所以它的特征值 都
n 0
并设对应的特征向量为
v1 , 由于ATA是对称,故 v1 ,
vi
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2
1, i 1,
, vn , v n 是Rn的标准正交基: T , n vi v j 0, i j
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对于向量 x 可被特征向量系所表示 x ck v k
n n k 1
n n
n
T T T || Ax ||2 x A Ax ( c v k k )( ck k vk ) 2
Matlab内部函数: norm(A,p)。
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矩阵算子范数
设 ||x||是Rn上的向量范数,A∈Rn×n,则A的非 负函数 || Ax ||
|| A || max
x 0
|| x ||
称为矩阵A的算子范数(或诱导范数)。 注1 矩阵算子范数由向量范数诱导出, 如
|| Ax ||2 || A ||2 max x 0 || x || 2
1 i n
, xn
Matlab内部函数: norm(x,p)。特别的, norm(x) 等价于norm(x,2)。 范数概念是我们熟悉的距离概念的一种自然的 推广。 k *
lim || x x || 0
k
则称序列{xk}在范数||.||下收敛于x*。
第五章--向量范数和矩阵范数
当 x 时，|| x ||A 0 ；当 x θ 时由 A 对称
正定知 xH Ax 0 ，即 || x ||A 0 。
对于任意 k C ，有 || k x ||A (kx)T A(kx) | k | xT Ax | k | || x ||A
由于 A 为Hermite正定矩阵，故存在酉矩阵 U ，使得
|| x ||2
| x1 |2 | x2 |2
| xn |2
定义的|| ||2 是 F n上的向量范数，称为2-范数或 l2
范数，也称为 Euclid 范数。
例 7 对任意 x ( x1, x2, , xn) T F n，由
|| x ||p
1/ p n
| xi |p , p 1
i1
定义的|| ||p 是 F n 上的向量范数，称为p -范数或 lp
UT AU Λ diag( λ1, λ2, , λn)
这里 A 的特征值 λi (i 1, 2, , n) 都为正数。
从而有
A UΛUT U Λ Λ UT BT B
此时
|| x ||A xT Ax xT BT Bx (Bx)T Bx || Bx ||2
因此对任意 y C n ， || x y ||A || B( x y) ||2
数 || A || 表示对于任意向量 x F n ， A 可以 “拉伸”向量 x 的最大倍数，即使得不等式
|| A x || C || x || 成立的最小的数 C 。称 || A || 为范数 || || 和 || ||
j1
n
| xj
j1
yj |; yj |;
yj |;
1
yj |m m;
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：
向量范数生成的矩阵范数
向量范数生成的矩阵范数矩阵范数在矩阵分析、系统理论、数值逼近等领域有着广泛的应用。
矩阵的范数是一个数学工具，用于度量矩阵的大小或者多样性。
它是矩阵理论中重要的概念之一，具有很多有用的性质。
矩阵范数的定义有很多种不同的形式，其中一种常见的定义是通过向量范数来生成的。
本文重点介绍向量范数生成的矩阵范数的定义、性质和应用。
一、向量范数的定义向量范数是将一个向量映射到非负实数的函数。
常用的向量范数包括欧几里得范数、曼哈顿范数、p-范数、无穷范数等。
以二维向量为例，这些向量范数的定义如下：1. 欧几里得范数：||x||₂ = sqrt(x₁² + x₂²)，其中x=(x₁,x₂)。
2. 曼哈顿范数：||x||₁ = |x₁| + |x₂|。
向量范数满足以下条件：1. 非负性：对于所有的向量x，||x||≥0，且等号成立当且仅当x=0。
2. 齐次性：对于所有的向量x和标量a，||ax|| = |a|||x||。
3. 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y||≤||x||+||y||。
给定一个矩阵A∈R^(m×n)，我们可以通过向量范数定义一种矩阵范数，记作||A||。
向量范数生成的矩阵范数定义如下：||A|| = sup{||Ax|| : x∈R^n, ||x||=1}。
其中||x||=1是指x的范数等于1，sup表示取最大值。
也就是说，矩阵A的范数等于将所有满足x的范数为1的向量Ax的范数取最大值。
4. Frobenius范数：||A||_F = sqrt(∑(i,j)|a_ij|²)。
其中，1-范数和无穷范数是矩阵列向量和行向量的范数的最大值和最大值，而2-范数就是矩阵的谱半径。
Frobenius范数是矩阵元素绝对值平方和的开方。
三、性质和应用和向量范数一样，向量范数生成的矩阵范数也具有一些重要的性质，它们包括：3. 子多项式不等式：对于所有的矩阵A和所有次数不超过n的多项式p，有||p(A)||≤ ||p||_∞||A||。
向量与矩阵的范数及其在matlab中的用法（norm）
向量与矩阵的范数及其在matlab中的⽤法（norm）⼀、常数向量范数L0范数‖x‖0def=向量中⾮零元素的个数其在matlab中的⽤法：sum( x(:) ~= 0 )L1范数‖x‖1def=m∑i=1|x i|=|x1|+⋯+|x m|，即向量元素绝对值之和其在matlab中的⽤法：norm(x, 1)L2范数‖x‖2=(|x1|2+⋯+|x m|2)1/2，即向量元素绝对值的平⽅和后开⽅其在matlab中的⽤法：norm(x, 2)L∞范数极⼤⽆穷范数‖x‖∞=max{|x1|,⋯,|x m|}，即所有向量元素绝对值中的最⼤值其在matlab中的⽤法：norm(x, inf)极⼩⽆穷范数‖x‖∞=min{|x1|,⋯,|x m|}，即所有向量元素绝对值中的最⼩值其在matlab中的⽤法：norm(x, -inf)⼆、矩阵范数诱导范数和元素形式范数是矩阵范数的两种主要类型。
1. 诱导范数L1范数（列和范数）‖A‖1=max1⩽j⩽nm∑i=1{|a ij|}，即所有矩阵列向量绝对值之和的最⼤值其在matlab中的⽤法：norm(A,1)L2范数‖A‖2=λi，其中λi为A T A的最⼤特征值。
其在matlab中的⽤法：norm(A,2)L∞范数（⾏和范数）‖A‖∞=max1⩽i⩽mn∑j=1{|a ij|}，即所有矩阵⾏向量绝对值之和的最⼤值其在matlab中的⽤法：norm(A,inf)2. "元素形式"范数L0范数‖A‖0def=矩阵的⾮零元素的个数其在matlab中的⽤法：sum(sum(A ~= 0))L1范数‖A‖1def=m∑i=1n∑j=1|a ij|，即矩阵中的每个元素绝对值之和其在matlab中的⽤法：sum(sum(abs(A)))L F范数‖A‖F def=(m∑i=1n∑j=1|a ij|2)1/2，即矩阵的各个元素平⽅之和后开⽅其在matlab中的⽤法：norm(A,'fro')L∞范数√‖A‖∞=maxi=1,⋯,m;j=1,⋯,n{|a ij|}，即矩阵的各个元素绝对值的最⼤值其在matlab中的⽤法：max(max(abs(A)))核范数‖A‖∗=n∑i=1λi，λi为A的奇异值，即所有矩阵奇异值之和其在matlab中的⽤法：sum(svd(A))本⽂作者：本⽂为作者原创，转载请注明出处。
矩阵范数理论及其应用
第四章 矩阵范数理论及其应用知识要点：1、向量范数及其性质（范数与赋范空间，n 维向量的1-范数1x 、2-范数2x 、p -范数px 和∞范数x∞，pp lim xx ∞→∞=，aP a xPx =，2H H PxPx x P Px ==，有限维赋范空间的范数是等价的）2、矩阵范数及其相容性（Frobenius 范数，FEn =，相容性：AB A B ≤，1E ≥）3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数）4、矩阵范数的应用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径）§4.1 向量范数及其性质一、范数与赋范线性空间定义1：如果线性空间V 中的任一向量x ，都对应—个实值函数()f x （记为x ），并满足以下三个条件（称为范数公理）：(1)非负性：0x ≠时, x ＞0；0x =时, x =0。
(2)齐次性：ax =a x ,a K ∈，x V ∈。
(3)三角不等式：x y +≤x +y ，,x y V ∈。
则称x 为V 上向量x 的范数（norm ），V 称为赋范线性空间（normed linear space ）。
易证x y -满足距离公理，称之为x 与y 的范数诱导的距离。
若0n x x -→，则称nx 收敛于x ，记为n x x →。
例1：对于连续函数空间[,]C a b 中的向量()f x ，可如下定义范数为：1()()baf t f t dt =⎰，()max ()a t bf t f t ∞≤≤=，1()()bpppa f t f t dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰，1p ≤<∞。
分别称之为1-范数，∞-范数，p -范数。
注：需要用到数学专业的一些函数不等式，才能证明上述范数的正确性。
性质1：对于赋范线性空间V 上任意的x ，定义实函数()f x x =，则()f x 为V 上的连续函数，即0x x →时，0()()f x f x →，其中0x V ∈。
向量和矩阵的范数
|| k Ax || | k ||| Ax || 2) || k A || max max | k ||| A || x0 x0 || x || || x || || Ax || 3) 由 || A || max ，则 || Ax |||| A |||| x || x R n x 0 || x || 于是 || ( A B ) x || || Ax Bx |||| A |||| (|| A || || B ||) || x ||
法则对应于一非负实数 ||
n
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数
设向量x ( x1 , x2 ,..., xn )T || ||
x || | x |
1 i 1 i
n
x || || x ||
( | xi | ) ( x, x) ( xT x) 2
i 1
3.5 病态方程组与矩阵的条件数
例3.5.1 设线性方程组 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解 该方程组的精确解为x (1,1)T 。
||
Hale Waihona Puke x ||2 n ||
x ||
1 例如 : || n
1 n x ||1 | xi | || n i 1
x ||
max{| xi |} | xi |
1i n i 1
n
向量的收敛性
定义3.4.2 设R n中一向量序列{ x ( k ) }( k 1,2,...), 其中 (i 1,2,..., n)
矩阵分析引论--第四章--矩阵的奇异值分解-向量范数、向量范数
n
定义 E
xi2 .
证明
a,
都与
b
E 等价.
i 1
利用 a
x11 xn n
( x1 ,, xn )连续，
在单位球面
S
y
(
y1 ,,
yn
n
)
i 1
yi2
1
上
取得最大值M与最小值m.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
第二节 矩阵范数
定义4-2 设A P nn ,定义非负实数 A， 满足下列条件: (1) 正定性：当A 0时，A 0; (2) 齐次性：kA k A (k P); (3) 三角不等式： A B A B . (4) AB A B . 则称非负实数||A||为n×n方阵的范数.
则称非负实数||||为向量 的范数.
此时称线性空间V 为线性赋范空间.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
设V是内积空间， V ,定义： ( , ),
则 • 是V上的一个范数，称为由内积引出的范数.
向量范数的性质：
P124, 1
(1) 0 0 ;
(2) 0时， 1 1 ;
A F
n
2
aij
tr( AH A）
i , j1
是与 2相容的方阵范数. 称为 F 范数.
注：当U为酉矩阵时，有
F范数的优点
A的酉相似矩阵的F 范数相同.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
常用的矩阵范数
n
(1)
A
1
max
1 jn i 1
aij
矩阵的范数
矩阵的范数矩阵的范数是线性代数中的一个概念，它是用来衡量矩阵大小的一种方式。
范数是一种将矩阵（或向量）映射到非负实数的函数，反映矩阵（或向量）的大小。
在实际应用中，矩阵的范数被广泛用于求解线性方程组、矩阵分解、数据压缩等各种问题中。
矩阵范数的定义比较抽象，但其有严格的数学定义。
在此先介绍一下向量范数，然后再拓展到矩阵范数的定义。
1. 向量范数向量范数是将一个向量映射到其大小的非负实数函数。
向量范数必须满足以下性质：（1）非负性：对于所有向量x，有||x||>=0。
（2）同一性：当且仅当x=[0,0,...,0]时，有||x||=0。
（3）绝对值：||x||=|-x|。
（4）三角不等式：对于所有向量x和y，有||x+y||<=||x||+||y||。
常见的向量范数有：（2）L2范数：||x||2=√(∑xi^2)。
矩阵范数类似于向量范数，也是将一个矩阵映射到其大小的非负实数函数。
矩阵范数也必须满足向量范数的四个性质（非负性、同一性、绝对值、三角不等式），同时还需要满足以下性质：（5）齐次性：对于所有矩阵A和实数t，有||tA||=|t|||A||。
（2）谱范数：||A||2=max|λi|，其中λi为A的特征值。
（5）核范数：||A||*=\sigma_1(A)+\sigma_2(A)+...+\sigma_r(A)，其中\sigma_1(A)≥\sigma_2(A)≥...≥\sigma_r(A)≥0是A的奇异值。
其中，Frobenius范数是最常用的矩阵范数，它等价于将矩阵展开成一个向量，然后计算向量的L2范数。
谱范数可以被视为矩阵的最大奇异值。
一范数和∞范数则是适用于稀疏矩阵的范数，它们可以度量矩阵的行或列中的非零元素个数。
核范数可以被视为对矩阵进行低秩近似的一种方式。
总之，矩阵范数是一种十分有用的工具，它不仅可以度量矩阵的大小，而且可以用于求解许多数学问题，如线性方程组、矩阵分解、最小二乘问题、数据压缩等。
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-0.5
0
0.5
1
向量之间的距离
x, y R , d ( x, y ) || x y || 称为x, y之间的距离
n
向量序列的极限
(k ) T x ( k ) ( x1( k ) ,, xn ) Rn ,
ห้องสมุดไป่ตู้
lim xi( k ) xi* , i
k
lim x
k k
x A1b x ' A1b A1e
相容性
A
1
x x ' x
A1e x
A1 e b / A
e A b
A b 1 x
相容性
b Ax b A x
矩阵分析-D.YE
线性方程组的病态问题
问题二，A 存在扰动： – 给定方程组Ax=b，其解为x*， – 另给定包含误差方程组（A+F）x=b，其解为x’，分析其误差。（A+F可 逆） 令 x’= x*+δx，将方程（A+F）x=b与Ax=b 做差，并展开，得到：
i 1
n
x1 y1
矩阵分析-D.YE
∞-范数:
x x
max | xi | 0
1i n
0 x 0;
x
max | xi || | max | xi || | x
1i n 1i n
x y
1 i n 1 i n
max | xi yi |
2
n
0 3 1 4 1
2
5
2
解:
A 1 max aij
1 j n i 1
n
max{ 2 ,5 ,2} 5
1 j n
A max aij
1i n j 1
max{ 3 , 4 ,2} 4
1i n
由于
A2
max ( AT A)
因此 A F 与 x 2 也是相容的。
2 1 n 1。 i 1 n
1. 矩阵范数不一定是算子（诱导）范数。
|| Ix || || x || x 0, 1, || x || || x ||
而 || I || F
2. 矩阵范数不一定都是相容的。
但不满足相容性。 || A || max aij 是矩阵范数， 例： 1 i , j n
A 0，且 A 0 A 0 ；
A A , R；
A B A B
（3） 三角不等式 ：
例如，令 A F 2 a ij i 1 j 1
n n
1
2
类似于向量的2-范数.
可以验证满足上述条件，称为Frobenius范数,简称F-范数.
由Rayleigh原理， n || x || 2 || x || A 1 || x || 2
矩阵分析-D.YE
范数等价性
对于任何有限维向量空间V上定义的任意两种范数||x||a,
||x||b, 都存在两个与x 无关的正常数C1, C2，使得
x
a
C1 || x || b ,
x (1, 4,3, 1)T
2
max ( AT A)
称A的2 范数
其中max ( AT A )为AT A的特征值的绝对值的最 大值
矩阵分析-D.YE
n n 2 A F aij i 1 j Ax 2 A 2 x
2
1
2
A 2 max ( AT A) A F
2
AF x
矩阵分析-D.YE
范数相容性： 对于给定的向量范数 和矩阵范数 ,
若x R n , A R n n , 都有
Ax A x
则称所给的向量范数 和矩阵范数 相容；如果
AB
A
B , A, B R nn
则称该矩阵范数 是相容的
x0
Ax 1 x1
max aij ；
1 j n i 1
n
A的每列绝对值之和的最 大值,
(2) A max
x0
称A的列范数
n
Ax x
max aij ；
1i n j 1
A的每行绝对值之和的最 大值, 称A的行范数
(3) A 2 max
x0
Ax 2 x
3.0237
3.6056
AF
292
A1
容易计算 较常使用
A
A2
计算较复杂
AF
较少使用
对矩阵元素的 变化比较敏感 性质较好 使用最广泛
矩阵分析-D.YE
矩阵范数的性质
| i | ，其中 为 定义：矩阵A的谱半径记为 (A) = max i 1 i n A 的特征根。
性质：对于任意算子范数有： ( A) || A || 证明： 由算子范数相容性可得：
x
b
C 2 || x || a
例 1 求下列向量的各种常用范数
解:
x 1 x1 x2 x4 9 x
x
2
( x1 x2 x4
max xi
1i 4
2
2
2
)
1
2
27 3 3
4
矩阵分析-D.YE
向量范数的几何意义
P大于1，p范数为凸函数
(k )
x R
*
n
lim d ( x ( k ) , x* ) lim || x ( k ) x* || 0
k
矩阵分析-D.YE
矩阵范数
矩阵A R nn 的某个非负实值函数 N ( A) A ，
若对任意的n×n矩阵A，B满足下述条件： （1） 正定性 ：
（2） 齐次性 ：
且 x
x2 x
矩阵分析-D.YE
向量的能量范数(自行验证, 利用正定矩阵
的分解A = UTU,参见教材第五章课后习题）：
设A R
nn
为对称正定阵， x R n ,
T 1/ 2
N A ( x) x A ( x Ax)
( a ij xi x j )
i , j 1
n
12
1/ p
x1 x2
p
p
1
x1 x2
p
p
1
P小于1，p范数不为凸函数 范数的凸性对求解最优 化问题很重要。 P=5范数 P=0.4范数
x1 sin 2 / p (t ), x2 cos 2 / p (t )
1 0.5 0 -0.5 -1 -1
矩阵分析-D.YE
P=2范数 P=1范数
1 1 2 2 A 如： 1 1 ， 2 2 ， B
4 4 AB 4 4 ，
|| AB || 4
|| A || || B || 2 1 2
矩阵分析-D.YE
例3
求矩阵A的各种常用范数
1 2 A 1 2 0 1
1
矩阵分析-D.YE
线性方程组的病态问题
例：线性方程组： 2 x1 3.00001x2 8.00002 的解为 x1＝， 1 x2＝2 若方程系数有一个小的扰动， 2 x1 3 x2 8 2 x1 2.99999 x2 8.00003 解此方程得 x1＝8.5， x2＝－3 2 x1 3 x2 8
n
1 p
x 1和 x
2
是 x p 在p 1和p 2时的特例
x2
p
xn
p
)
1
p
(n max xi )
1 i n
p
1
p
n
x
p
1
p
xi ( p ) max xi max 1i n
1 i n
x
( p 时),
1
所以 x
也是 x p的特例
矩阵分析-D.YE
矩阵的算子（诱导）范数：
N ( A) A v max
x0 xR n
Ax x
v
v
矩阵的算子（诱导）范数满足相容性条件：
(1) Ax
v
A
v
x v；
(2) AB v A v B v (A, B R nn )。
矩阵分析-D.YE
常用的矩阵算子（诱导）范数
(1) A 1 max
|| Ax || || A || || x || 将任意特征值对应的特征向量u带入得： | | || u || || u || || Au || || A || || u || A 由于为任意特征值，则 ( A) max | i | || A ||
矩阵分析-D.YE
因此先求AT A的特征值
1 T A A 2 0 1 0 1 2 2 1 1 2 0 1 1 1 1 0 2 0 1 0 9 1 1 1 2 1
1 1
矩阵分析-D.YE
矩阵范数的性质
1 性质：(算子范数） || ( E B) ||
1 , 如果 || B || 1 1 || B ||
证明： 如果 || B || 1, 则E B可逆.
否则x* 0, Bx* x*, || B || 1
E ( E B) ( E B) 1 ( E B) 1 B( E B) 1 ( E B) 1 E B( E B) 1 || ( E B) 1 || 1 || B |||| ( E B) 1 || || ( E B) 1 || (1 || B ||) 1 1 || ( E B) || 1 || B ||