徐州一中高一数学竞赛试题
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
高一数学竞赛试题
(Ⅱ)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a81＝－时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．
(Ⅰ)证明：由已知，当n≥2时，
又Sn＝b1＋b2＋…＋bn，
所以＝1，
即
所以－＝，
又S1＝b1＝al＝1．
（3）在BC上取一点K，使 则 ,计算可得 ，
由此可求得PQ与BR所成的角为
17．已知 直线 和圆 .
（Ⅰ）求直线 斜率的取值范围；
（Ⅱ）直线 能否将圆 分割成弧长的比值为 的两段圆弧？为什么？
解：（Ⅰ） ，
∴当k≠0时 ，解得 且k≠0
又当k＝0时，m＝0，方程 有解，所以，综上所述
（Ⅱ）假设直线 能否将圆 分割成弧长的比值为 的两段圆弧．设直线 与圆 交于A，B两点
高一数学竞赛试题
班级_________姓名_________
一、选择题
1．已知集合 ，则下列正确的是（A）
A． B.
C. D.
2函数 是( B )
(A)周期为 的偶函数(B)周期为 的奇函数
(C)周期为 的偶函数(D)周期为 的奇 D．
4．设二元一次不等式组 所表示的平面区域为M，使函数
15．已知 是定义在R上的函数，且 ，
若 ，则 的值为 。
三、解答题
16.已知正四棱锥R—ABCD的底面边长为4，
高为6，点O是底面ABCD的中心，点P是RO的中点，点Q是
△RBC的重心.
（1）求证：面ROQ⊥面RBC；
（2）求直线PQ与底面ABCD所成的角；
（3）求异面直线PQ与BR所成的角的余弦值.
则∠ACB＝120°．∵圆 ，∴圆心C（4，-2）到l的距离为1．
高一数学下学期竞赛试题
一中2021年下学期高一数学竞赛试题一、选择题〔一共8题，每一小题4分〕1．集合M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+013|x x x ，N ={}3|-≤x x ，那么集合{}1|≥x x =〔 〕A ．N M ⋂B ．N M ⋂C ．C R )(N M ⋂D ．C R )(N M ⋃2．假设函数)1(-=x f y 的图像与函数1ln +=x y 的图像关于直线x y =对称，那么=)(x f 〔 〕 A ．12-x eB ．x e 2C ．12+x eD ．22+x e3．设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，那么不等式0)()(<--xx f x f 的解集为〔 〕 A ．),1()0,1(+∞⋃-B ．)1,0()1,(⋃--∞C ．),1()1,(+∞⋃--∞D ．)0,1()0,1(⋃-4．假设直线0=++c by ax 通过第一、二、三象限，那么〔 〕 A ．0,0>>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0><bc abD ．0,0<<bc ab5．设有直线n m ,和平面βα,，以下四个命题中正确的选项是〔 〕 A ．假设,//,//ααn m 那么n m //B ．假设,//,//,,ββααn m n m ⊂⊂那么βα//C ．假设,,a m ⊂⊥βα那么β⊥mD ．假设,,,αββα⊄⊥⊥m m 那么α//m 6．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，那么BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为〔 〕 A ．36B ．552 C ．515 D ．510 7．连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为34,72，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有以下四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于M 。
高一数学竞赛试题参考答案
高一数学竞赛试题参考答案一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
）1.[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立， 当a ＝0时，－3≠0成立； 当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．3．C 【解析】 依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a∈(1，2)，选择C.4．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝124 5．C 【解析】 由f (x －1)＝f (x ＋1)知f (x )是周期为2的偶函数，因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，故当x ∈[－1,0]，－x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＝x 2，由周期为2可以画出图象，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103内无解． 6.[答案] D[解析] 由题意，DE ⊥平面AGA ′， ∴A ，B ，C 正确，故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )＝2x －3－x ，因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数．又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.8.[答案] A[解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2，∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋54≤1，故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2(－1≤x ≤32)，x －x 2(x <－1或x >32)，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
数学竞赛高一试题及答案
数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。
4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。
三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。
6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。
四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。
五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。
如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。
10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。
答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。
9. 一个正六边形的内角和为 _______。
10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。
11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。
三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。
13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。
高一第一学期数学竞赛试题
高一第一学期数学竞赛决赛试题命题人：景建文 审核人：（本次竞赛时间120分钟，满分150分）一、选择题（每题5分，共50分）1、设全集{1,2,3,4,5}U =,{}1,2U A C B ⋂=，则集合U C A B ⋃的子集个数为（ ）A. 3B. 4C. 7D. 82、对函数()x f x e =作)(t h x =的代换，则不改变函数)(x f 的值域的是（ ） A ．t t h 10)(= B.2)(t t h = C ．tt h 1)(= D ．t t h 2log )(= 3、已知集合{}{}23,log 4,,x M N x y ==，且{}2MN =，函数:f M N →满足：对任意的x M ∈，都有()x f x +为奇数，满足条件的函数的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．44、已知函数2()f x ax x c =--，且()0f x >的解集为（－2，1）则函数()y f x =-的图象为（ ）5、已知()|log |a f x x =，其中01a <<，则下列不等式成立的是（ ）A ．11()(2)()43f f f >>B ．11(2)()()34f f f >>C ．11()()(2)43f f f >>D ．11()(2)(34f f f >>6、如图，一个平面图形的斜二测直观图是边长为1的正方形，则这个平面图形是（ ）A.周长为4的菱形B.周长为6的平行四边形C.周长为2+的平行四边形D.周长为8的平行四边形 7、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，那么函数解析式为221y x =-，值域为{1,7}的“孪生函数”共有 （ ）A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个8、函数()f x =）A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数9、当10<<a 时，aa aaa a ,,的大小关系是（ ）A ．a a aaa a>>B ．a aaaa a >>C ．aa a a a a>> D ．aa aa a a >>10、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能为（ ）A ．1 B．12 D．1213、钟表现在是10时整，那么在 时 分 秒时，分针与时针首次出现重合. 14、若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .15、设集合A=10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭, B=1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 函数f(x)=()1,221,,x x A x x B ⎧+∈⎪⎨⎪-∈⎩若x 0A ∈, 且 f [ f (x 0)]A ∈,则x 0的取值范围是 .三、解答题（共75分）（写出必要的文字说明，作出相应的图示）16、（12分）已知函数31(){|0}{|4},1x f x y y y y x -=≤⋃≥-的值域是 求()f x 的定义域。
徐州高一数学试题及答案
徐州高一数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）。
A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 若函数f(x) = 2x + 1，则f(-1)的值为（）。
A. 1B. -1C. 3D. -33. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，d = 3，则a5的值为（）。
A. 14B. 17C. 20D. 234. 圆的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0，圆心坐标为（）。
A. (1, 2)B. (0, 0)C. (1, 4)D. (-1, 2)5. 函数y = x^2 - 4x + 3的顶点坐标为（）。
B. (2, 1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)6. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 47. 若sin(α) = 1/2，则cos(2α)的值为（）。
A. 1/2B. -1/2C. 0D. 18. 函数y = 1/x的图象在第一象限的斜率为（）。
A. 正B. 负C. 零D. 不确定9. 已知等比数列{bn}，b1 = 2，q = 2，则b4的值为（）。
A. 16B. 32C. 64D. 12810. 函数y = ln(x)的定义域为（）。
B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 - 6x + 9的最小值为______。
12. 已知向量a = (3, -4)，b = (-2, 6)，则a·b = ______。
13. 圆的直径为10，则该圆的半径为______。
14. 函数y = 2^x的反函数为______。
15. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a3 = ______。
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徐州一中2001年高一数学竞赛试题 班级 学号 姓名
一． 选择题（每小题3分，共36分）
1．若0＜|α|＜,则 （ ）
A.sin2α＞sinα
B.cos2α＜cosα
C.tg2α＞tgα
D.ctg2α＜ctgα
2．已知βα,均属于[)π2,0，且有以下三个命题： （ ）
① 如果,sin sin βα=那么.2sin 2sin βα=
② 如果,sin sin βα=那么,βα=或πβα=+
③ 如果,sin sin βα=那么.02
sin =-β
α 上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
3．已知角x 满足|sinx ＋cosx|＞1，则函数1sin cos sin cos y x x x x
=+
有 （ ） （A ）最小值2.5 （B ）最大值－2 （C ）最小值2 （D ）无最值 4．已知0＜2a ＜90°＜β＜180°，a ＝(sina)cosβ，b ＝(cosa)sinβ，c ＝(cosa)cosβ，
则a ，b ，c 大小关系是 （ ）
A.a ＞c ＞b
B.a ＞b ＞c
C.b ＞a ＞c
D.c ＞a ＞b
5．已知函数f(x)＝arcsin(2x ＋1) (－1≤x≤0)，则f -1(π/6)的值为 （ ）
6．已知函数f(x)在R 上是增函数，若a+b ＞0，则 （ ）
A.f(a)+f(b)＞f(-a)+f(-b)
B.f(a)+f(b)＞f(-a)-f(-b)
C.f(a)+f(-a)＞f(b)+f(-b)
D.f(a)+f(-a)＞f(b)-f(-b)
7．若函数
在区间（-1，0）上有的递增区间是
（ ）
8．已知函数f(x)=x 2+lg(x+)，若f(a)=M ，则f(-a)= （ ）
A.2a 2-M
B.M-2a 2
C.2M-a 2
D.a 2-2M
9．设x,y 为非负实数，且x 2＋y 2＝4,M ＝x·y－4（x ＋y ）＋10,那么M 的最值情况是 （ ）
A 、有最大值2，最小值
B 、有最大值2，最小值0
C 、有最大值10，最小值
D 、最值不存在
10．已知的实根个数是 （ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、1个或2个或3个
11．设
的值为本 （ ）
A 、1
B 、-1
C 、-
D 、
12．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于 （ ）
A.22
B.21
C.19
D.18
二．填充题（每小题3分，共24分）
13．已知sin(π/4－x)=5/13,其中o<x<π，则
)x 4/cos(x 2cos +π= 14．函数y=2cos(3x －π/4)+1的对称中心的一般形式为 .
15．已知函数f(x)对任意的实数x1、x2满足2f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2)＋f(x1－x2)，且f(x)≠0，则此函数为______函数（填奇偶性），并在你学过的函数中写出一个满足这些条件的函数（只需写出一个即可）___________________________________
16．设函数已知f(a) > 1, 则实数a的取值范围为
17．老师给出一个函数y = f(x), 四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质: 甲: 对于, 都有f(1 + x) = f(1－x)；乙: 在上函数递减；丙: 在上函数递增；丁: f(0)不是函数的最小值。
如果其中恰有三人说得正确, 请写出一个这样的函数
18.已知等比数列｛a
n ｝，a
1
＞0，公比q＞0，且q≠1，若a
3
,a
5
,a
6
成等差数列，
19．给出下列八种图象变换方法:①将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1/2(纵坐标不变)；②将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)；③将图象向上平移1个单位④将图象向下平移1个单位；⑤将图象向左平移π/3个单位；⑥将图象向右平移π/3个单位；⑦将图象向左平移π/6个单位；⑧将图象向右平移π/6个单位.需且只需用上述的3种变换即可由函数y＝sinx的图象得到函数y＝sin(2x＋π/3)＋1的图形，那么这3种变换正确的顺序_____________________(按顺序填上正确变换的序号).
20．抛物线型拱桥桥顶离水面2米时，水面宽4米，当水下降1.125米后，水面宽米.
三．解答题（每大题12分，共60分）
19. 假设AIK 为⊿ABC 外接圆的一条弦，其中I 为⊿ABC 的内心，试证：AI ·IK ＝ 2 R·r .(r 为⊿ABC 内切圆的半径,R 为⊿ABC 外接圆的半径)
20.已知0＜θ＜π/4，且,222θθxtg tg x =+求证
.222221253θtg x x x x n =+++++-ΛΛ（本题12分）
21．对正整数n ，作x 的二次方程x 2+（2n+1）x+n 2=0，使它的根为αn 和βn .求
下式的值： +
）
（本题12分） 22．设二次函数f(x)＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R)，已知不论α、β为何实数，恒有f(sin α)≥0，f(2＋cos β)≤0.
①求证：b ＋c ＝－1； ②求c 的取值范围；③若函数f(sin α)的最大值为8，求f(x)的解析式。
23.设()x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且对任意]1,1[,-∈b a 当0≠+b a 时，都有()()0>++b
a b f a f ． （1）证明：()x f 在[]1,1-上是增函数；
（2）若,11
1>-c 解关于x 的不等式 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x f x f x f x f c x 21414121。