点线面位置关系例题与练习(含答案)

点、线、面的位置关系● 知识梳理（一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理2：不共线．．．的三点确定一个平面.推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交 （三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

范围：[]0,90θ∈︒︒3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：,,,//,////a b a b O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

符号表述：若任意,a α⊂都有l a ⊥，且l α⊄，则l α⊥.②判定：,a b a b O l l l al b ααα⊂⎫⎪=⎪⎪⊄⇒⊥⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭③性质：（1）,l a l a αα⊥⊂⇒⊥；（2）,//a b a b αα⊥⊥⇒； 3.2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥⇒∠-是二面角－的平面角 范围：[0,180]AOB ∠∈︒︒②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法. 3.3面面垂直（1）定义：若二面角l αβ--的平面角为90︒，则αβ⊥； （2）判定定理：a a ααββ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭（3）性质：①若αβ⊥，二面角的一个平面角为MON ∠，则90MON ∠=︒；②a AB a a a ABαβββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭● 热点例析【例1】热点一 有关线面位置关系的组合判断若a ，b 是两条异面直线，α，β是两个不同平面，a ⊂α，b ⊂β，α∩β＝l ，则( )．A ．l 与a ，b 分别相交B ．l 与a ，b 都不相交C ．l 至多与a ，b 中一条相交D ．l 至少与a ，b 中的一条相交解析：假设l 与a ，b 均不相交，则l ∥a ，l ∥b ，从而a ∥b 与a ，b 是异面直线矛盾，故l 至少与a ，b 中的一条相交．选D.热点二 线线、线面平行与垂直的证明【例2】如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD ．(1)方法一：因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD . 又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得 BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos 60°＝3AD 2，所以AD 2＋BD 2＝AB 2.所以AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ， 所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD .方法二：因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD (如图)， 所以BD ⊥D 1D .取AB 的中点G ，连接DG (如图)．在△ABD 中，由AB ＝2AD 得AG ＝AD . 又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形，因此GD ＝GB ， 故∠DBG ＝∠GDB .又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，故∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°， 所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD . (2)如图，连接AC ，A 1C 1.设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC .由棱台定义与AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ， 所以四边形A 1ECC 1为平行四边形． 因此CC 1∥EA 1.又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1 平面A 1BD ， 所以CC 1∥平面A 1BD .热点三 面面平行与垂直的证明【例3】在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝4，P 为平面ABCD 外一点，且PA ＝PB ，PD ＝PC ，N 为CD 的中点．(1)求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；(2)在线段PC 上是否存在一点E 使得NE ∥平面ABP ？若存在，说明理由并确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明：取AB 中点M ，连接PM ，PN ，MN ， 则PM ⊥AB ，PN ⊥CD .又ABCD 为直角梯形，AB ⊥BC ，∴MN ⊥AB . ∵PM ∩MN ＝M ，∴AB ⊥平面PMN . 又PN ⊂平面PMN ，∴AB ⊥PN .∵AB 与CD 相交，∴PN ⊥平面ABCD .又PN ⊂平面 PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD .(2)解：假设存在．在PC ，PB 上分别取点E ，F ，使BF ＝14BP ，CE ＝14CP ，连接EF ，MF ，NE ，则EF ∥BC 且可求得EF ＝34BC ＝3.∵MN ＝3且MN ∥BC ，∴EF ∥MN 且EF ＝MN . ∴四边形MNEF 为平行四边形，∴EN ∥FM . 又∵FM ⊂平面PAB ，∴在线段PC 上存在一点E 使得NE ∥平面ABP ，此时CE ＝14PC .热点四 折叠问题例4如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP//BC ，AP ⊥AB ，AB=BC=221=AP ，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将PCD∆沿CD 折起，使得⊥PD 平面ABCD ． （Ⅰ）求证：AP //平面EFG ； (Ⅱ) 求二面角D EF G --的大小．CAPGEFBD O解:(Ⅰ) 证明:连AC,BD 交于O 点,连GO,FO,EO ．∵E,F 分别为PC,PD 的中点,∴EF //CD 21,同理//12CD , EF ∴// GO∴四边形EFOG 是平行四边形, ⊂∴EO 平面EFOG ．又在三角形PAC 中,E,O 分别为PC,AC 的中点,∴PA//EO⊂EO 平面EFOG,PA ⊄平面EFOG,∴PA//平面EFOG,即PA//平面EFG ．方法二) 连AC,BD 交于O 点,连GO,FO,EO ．∵E,F 分别为PC,PD 的中点,∴EF //CD 21,同理//12PB 又//AB,EF ∴//AB 21∴=⋂=⋂,,B AB PB E EF EG 平面EFG//平面PAB,又PA ⊄平面PAB,//PA ∴平面EFG ．方法三)如图以D 为原点,以,,为方向向量建立空间直角坐标系xyz D -． 则有关点与向量的坐标为:()()()()()()0,0,2,0,2,0,1,2,0,0,1,1,0,0,1,2,00.P C G E F A()()()1,1,1,0,1,0,2,0,2-=-=-=设平面EFG 的法向量为()z y x n ,,=.00000⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴y z x z y x y取()1,0,1=n ．∵()AP n AP n ⊥∴=⨯+⨯+-⨯=⋅,0210021, 又⊄AP 平面EFG ． ∴ AP//平面EFG ．(Ⅱ)由已知底面ABCD 是正方形 ∴DC AD ⊥,又∵⊥PD 面ABCDPD AD ⊥∴ 又D CD PD =⋂⊥∴AD 平面PCD ,∴向量是平面PCD 的一个法向量, =()0,0,2又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG 的法向量为()1,0,1=.22222===∴ 结合图知二面角D EF G --的平面角为.450● 热点五 线线角线面角面面角例5正四棱锥ABCD P -中，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为26。

（1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）在侧面PAD 上寻找一点F ，使得EF ⊥侧面PBC 。

试确定点F 的位置，并加以证明。

（1）连BD AC ,交于点O ，连PO ，则PO ⊥面ABCD ，∴ ∠PAO 就是PA 与底面ABCD 所成的角，∴ tan ∠PAO=26。

设AB=1，则PO=AO •tan ∠PAO =23。

设F 为AD 中点，连FO 、PO ，则OF ⊥AD ，所以，PF ⊥AD ，所以，PFO ∠就是侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的平面角。

在Rt PFO ∆中，3tan ==∠FO PO PFO ，∴ 3π=∠PFO 。

即面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小为3π（2）由（1）的作法可知：O 为BD 中点，又因为E 为PD 中点，所以，EO =//PD 21。

∴ EOD ∠就是异面直线PD 与AE 所成的角。

在Rt PDO ∆中，2522=+=PO OD PD 。

∴ 45=EO 。

由BD AO ⊥，PO AO ⊥可知：⊥AO 面PBD 。

所以，EO AO ⊥。

在Rt AOE ∆中，5102tan ==∠EO AO AEO 。

∴ 异面直线PD 与AE所成的角的正切是5102。

（3）延长FO 交BC于点G ，连接PG 。