运筹学基础-对偶线性规划(1)
《运筹学》线性规划的对偶问题
3、资源影子价格的性质
z y b1w1 b2w2 bi wi bmwm z z b1w1 b2w2 (bi bi )wi bmwm z bi wi
w
o i
z o bi
最大利润的增量 第i种资源的增量
第i种资源的边际利润
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1x1 c2 x 2 c2 x 2
s.t.
a11x1 a12x 2 a1n x n x n1
a 21x1 a 22x 2 a 2n x n
x n2
b1
b2
a m1x1 a m2 x 2 a mn x n
差额成本=机会成本 ——利润
5、互补松弛关系的经济解释
wix ni
0xwni
0 x ni i 0 wi
0 0
x jwmj
0xwjm j
0 0
w m x
j j
0 0
在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的资源边际利润等于0 （3）安排生产的产品机会成本等于利润 （4）机会成本大于利润的产品不安排生产
4、产品的机会成本
增加单位资源可以增加的利润
max z c1x1 c2x2 c jx j cn xn
s.t.
a11x1 a12x 2 a1jx j a1nx n b1 w1
a 21x1 a 22x 2 a 2jx j a 2nx n b2 w2
a m1 x1 a m2 x 2 a mj x j a mn x n bm wm
运筹学基础-线性规划(对偶)
第二章线性规划的对偶理论2.1对偶线性规划问题的提出任一线性规划问题都存在另一与之伴随的线性规划问题，他们从不同角度对一个实际问题提出并描述，组成一对互为对偶的线性规划问题。
一、对偶线性规划问题某工厂计划安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知每种单位产品的利润、生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、现有原材料和设备台时的定额如下表所示：【例1】ⅠⅡ设备128台时原材料A4016Kg原材料B0412Kg每单位产品利润（万元）23⏹原问题的策略:⏹问应如何安排生产才能使工厂获利最大？⏹现在的策略:⏹假设不生产Ⅰ、Ⅱ产品,而是计划将现有资源出租或出售,从而获得利润,这时需要考虑如何定价才合理?2132x x f +=max ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0x ,x 12x 4 16 x 48x 2x .t .s 212121设x 1、x 2分别表示计划生产产品Ⅰ、Ⅱ的单位数量，由题意原问题的模型为：工厂获得最大利润符合资源限制原材料A 原材料B0412Kg每单位产品利润（万元）23原问题的模型改变策略后，需要考虑如何给资源定价的问题！设y 1、y 2 、y 3分别表示出租单位设备台时的租金和出售单位原材料A 、B 的利润.y 1+4y 2≥2，2y 1+4y 3≥3则：❑工厂出租设备、原材料的租金要大于生产的利润才合算。
321y 12y 16y 8g min ++=工厂把所有设备台时和资源都出租和出让，用户支付为：❑要寻找使租用者支付的租金最少的策略。
原材料A 原材料B0412Kg每单位产品利润（万元）23⏹新问题的模型工厂改变策略以后的数学模型为：321y 12y 16y 8g min ++=⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥+≥+3,2,1,034y 2y 24y y ..3121i y t s i工厂获得相应利润用户所付租金最少32112168min y y y g ++=⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥+≥+3,2,1,034y 2y 24y y ..3121i y t s i2132x x f +=max ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,12416482..212121x x x x x x t s 联系在于，它们都是关于工厂生产经营的模型,并且使用相同的数据；原模型和对偶模型既有联系又有区别区别在于,它们所反映的实质内容是完全不同的：前者是站在工厂经营者的立场上追求工厂的销售收入最大，而后者则是站在谈判对手的立场上寻求应付工厂租金最少的策略。
运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
线性规划的对偶理论(第一部分
对偶问题的约束条件 对应于原问题的目标 函数和约束条件的系 数。
对偶问题的可行解集 是原问题可行解集的 凸包。
原问题与对偶问题关系
弱对偶性
对于任意一对原问题和对偶问题 的可行解，原问题的目标函数值 总是大于或等于对偶问题的目标
函数值。
强对偶性
当原问题和对偶问题都存在可行 解时，它们的最优解对应的目标
强对偶性定理
若原问题和对偶问题都有可行解，则 它们分别存在最优解，且这两个最优 解的目标函数值相等。
在满足某些约束规格（如Slater条件） 的情况下，强对偶性成立。
互补松弛条件
在原问题和对偶问题的最优解中，如果某个约束条件的对偶变量值为正，则该约束 条件必须是紧的（即取等号）。
如果原问题（对偶问题）的某个变量在最优解中取正值，则其对应的对偶问题（原 问题）的约束条件必须是紧的。
标准形式
通常将线性规划问题转化为标准 形式，即求解目标函数的最小值 ，约束条件为一系列线性不等式 。
对偶问题定义与性质
对偶问题定义：对于 给定的线性规划问题， 可以构造一个与之对 应的对偶问题，该问 题的目标函数和约束 条件与原问题密切相 关。
对偶问题性质
对偶问题的目标函数 是原问题约束条件的 线性组合。
解决对偶间隙等关键问题
在实际应用中，由于原问题和对偶问题之间可能存在对偶间隙，导致对偶理论的实用性受到一定的限制。 未来可以研究如何缩小或消除对偶间隙，提高对偶理论的实用性和应用范围。
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简化了复杂问题的求解过程
对偶理论能够将一些复杂的线性规划问题转化为相对简单的对偶问题进行求解，从而降低了问题 的求解难度和计算量。
揭示了原问题和对偶问题之间的内在联系
运筹学对偶问题的直观描述
运筹学对偶问题的直观描述
运筹学中的对偶问题是指原始线性规划问题和对应的对偶线性规划问题之间的关系。
直观描述对偶问题可以从几个方面来理解。
首先，可以从成本和效益的角度来理解。
原始线性规划问题通常涉及最小化成本或者最大化利润，而对偶线性规划问题则涉及最大化成本或者最小化利润。
这种对偶关系可以被解释为在资源有限的情况下，通过最小化成本来实现最大化效益，或者通过最大化效益来实现最小化成本。
其次，可以从约束条件的角度来理解。
原始线性规划问题的约束条件对应着对偶线性规划问题的变量，而对偶线性规划问题的约束条件对应着原始线性规划问题的变量。
这种对偶关系可以被理解为在资源分配和利用的过程中，对约束条件和变量之间的转换和对应关系。
另外，可以从几何图形的角度来理解。
原始线性规划问题的最优解和对偶线性规划问题的最优解之间存在着一种对偶关系，即原始问题的最优解和对偶问题的最优解分别对应着凸集的两个相对的极值点，它们之间的距离可以被理解为对偶问题的最优值和原始问
题的最优值之间的关系。
总的来说，对偶问题在运筹学中具有重要的意义，它不仅可以帮助我们理解原始问题和对偶问题之间的关系，还可以为我们寻找最优解提供了一种新的视角和方法。
通过对偶问题的研究和理解，我们可以更好地解决实际生产和管理中的复杂问题。
运筹学课件第二章线性规划的对偶理论及其应用
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
第一讲线性规划及其对偶问题运筹学
右端常数
(3) 线性规划模型矩阵形式
Max Z CX
s.t
AX b
X
0
C c1 c2 cn
价值向量
x1
X
x2
xn
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
b1
b
b2
bm
决策向量
系数矩阵
右端向量
(4) 一般型向标准型的转化
xi为大于零的整数，i 1,2,3,4,5,6,7,8
例3、运输问题
运输 单价 仓1
2 库3 需求
工厂 123 213 224 342 40 15 35
库存 50 30 10
求：运输费用最小的运输方案。
解：设xij为i 仓库运到j工厂的原棉数量 其中：i ＝1，2，3
j ＝1，2，3
Min Z= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 + x12+ x13 = 50 x21 + x22+ x23 = 30 x31 + x32+ x33 = 10
对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可 以通过以下变换，将其转化为标准形式: 目标函数
目标函数为极小化 约束条件
分两种情况：大于、小于 决策变量
可能存在小于零的情况
3.2 线性规划问题的基本解
Max Z CX 1
(1) 解的基本概念
s.t
AX
b
2
X 0 3
定义 在线性规划问题中，约束方程组(2)的系
运筹学第二章线性规划的对偶理论
(5.5) (5.6)
4.3 对偶问题的基本性质
证： 设B是一可行基，于是A=(B,N)
max z=CBXB+ CNXN BXB+BXN +Xξ=b X,XB,Xξ ≥0
其中Yξ=(Yξ1, Yξ2)
min ω =Yb YB－Yξ1=CB YN－Yξ2=CN Y, Yξ1 Yξ2 ≥0
(5.5) (5.6)
x1﹐x2 ≥0
关系？
对原模型设： 1 2
A= 4 0 b=(8,16,12)T C=(2，3) 04
X=（x1，x2）T Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
120
A=
1 -3
0 2
1 1
1 -1 1
b=(2,3,-5,1)T C=(5,4, 6)
确定约束条件
YA
C
x1 ≥0 ﹐x2≤0, x3 无约束
解：因原问题有3个变 于是 量，4个约束条件， 所以对偶问题4个 变量，3个约束条
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联系在于，它们都是关于工厂生产经营的模型,并且使用相同 的数据； 区别在于,它们所反映的实质内容是完全不同的：前者是站在 工厂经营者的立场上追求工厂的销售收入最大，而后者则是站在 谈判对手的立场上寻求应付工厂租金最少的策略。
所谓对偶规划，就是与线性规划原问题相对应 并使用同一组数据按照特定方法形成的另一种反映 不同性质问题的线性规划模型。
max f 2x1 3x2
x1 2 x2 8 4 x 16 1 s.t. 4 x2 12 x1 , x2 0
min g 8 y1 16 y2 12 y3
2 y1 4y2 s.t.2y1 4y3 3 y 0, i 1,2,3 i
变量
同号
ming 8y1 16y2 12y3
工厂改变策略以后的数学模型为：
min g 8y1 16y 2 12y 3
用户所付租金最少
y1 4y 2 2 s.t . 2y1 4y3 3 y 0, i 1,2,3 i
工厂获得相应利润
原模型和对偶模型既有联系又有区别
Ⅱ 2 0 4 3
现在的策略: 假设不生产Ⅰ、Ⅱ产品
8台时 16Kg 12Kg
厂获利最大？
,而是计划将 现有资源出租或出售,从而获得利润,这 时需要考虑如何定价才合理?
Ⅰ
Ⅱ 2 8台时
原问题的模型
设
备
1
原 材 料 A
原 材 料 B 每单位产品利润（万元）
4
0 2
0
4 3
16Kg
12Kg
设x1、x2分别表示计划生产产品Ⅰ、Ⅱ的单位 数量，由题意原问题的模型为：
改变策略后，需要考虑如何给资源定价的问题！
设y1、y2 、y3分别表示出租单位设备台时的租金和出售单位 原材料A、B的利润. 工厂出租设备、原材料的租金要大于生产的利润才合算。 则：
y1+4y2≥2，
2y1+4y3≥3
要寻找使租用者支付的租金最少的策略。 工厂把所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为：
x1 2 x2 8 4 x1 16 s.t . 4 x2 12 x , x 0 1 2
max f 2x1 3x2
min g 8 y1 16 y2 12 y3
y1 4y 2 2 s.t. 2y1 4y3 3 y 0, i 1,2,3 i
… … ….
a1n y1 a2n y2 ... amn ym cn y1, y2 ,...,ym 0
…
…
…
原问题与对偶问题的矩阵形式
上述的原问题P和对偶问题 D还可以用矩阵形式写为：
(P) max Z= cx s.t. Ax ≤b x ≥0
(D) min S= yb s.t. yA ≥ c y≥0 其中 y ( y1 , y 2 ,.., y m )
一、对偶线性规划问题
【例1】 某工厂计划安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知每种单位产品的 利润、生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、 现有原材料和设备台时的定额如下表所示：
Ⅰ 设 备 1 4 0 2 原 材 料 A 原 材 料 B 每单位产品利润（万元）
原问题的策略: 问应如何安排生产才能使工
二、对偶规划的一般数学模型
原模型与对偶模型有很多的内在联系和相似之处。如原问题如求目 标函数最大化，对偶问题即求目标函数最小化；原问题目标函数的系数 变成为对偶问题的右边项，而原问题的约束的右边项则变成为对偶问题 目标函数的系数；对偶问题的系数矩阵是原问题系数矩阵的转置。就象 一个人对着镜子会左右颠倒一样，原问题与对偶问题之间存在着严格的 对应关系。
max f 2x1 3x2
x 1 2 x 2 8 16 4x 1 s.t. 4x 2 12 x 1 , x 2 0
工厂获得最大利润
符合资源限制
Ⅰ
Ⅱ 2 0 4 3 8台时 16Kg 12Kg
新问题的模型
设
备
1 4 0 2
原 材 料 A 原 材 料 B 每单位产品利润（万元）
原问题的一般模型可定义为：
相应的对偶问题的一般模型可定义为：
maxZ c1 x1 c2 x2 ... cn xn minS b1 y1b2 y2 ... bm ym s.t. a11y1 a21y2 ... am1 ym c1 a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 s.t. a12 y1 a22 y2 ... am2 ym c2 a21 x1 a22 x2 ... a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 ... amn xn bm x1 , x2 ,...,xn 0
上述的对偶模型都称作为对称型对偶模型。 而在当原问题转化为标准型以后所建立的对偶模型则是非 对称型的，如： (P) maxZ= cx s.t. Ax =b x≥0
(D) minS= yb s.t. yA≥c y为自由变量
问题：如何由原模型写出对偶模型？其规律是什么?
三、原问题与对偶问题的对应关系
当我们讨论对偶问题时必定是指一对问题，因为没有原问 题也就不可能有对偶问题。原问题和对偶问题总是相依存在的。 同时，原问题和对偶问题之间也并没有严格的界线，它们互为 对偶，谁都可以是原问题，谁也都可以是对偶问题。 原问题线性规划模型 对偶线性规划模型
下列的表给出了原问题模型和模型的对应关系，这些也可以 看作是一个线性规划原问题转化为对偶问题的一般规律。
原问题为maxZ的线性规划问题对偶关系表
原问题（或对偶问题） 目标函数最大化 (maxZ) n 个变量 m 个约束 约束条件限定向量（右边项） 目标函数价值向量（系数） ≥0 ≤ 0 无限制 对偶问题（或原问题） 目标函数最小化（ minS） n 个约束 m 个变量 目标函数价值向量（系数） 约束条件限定向量（右边项） 约束 ≥ ≤ ＝ ≤0 反号 变量 ≥0 无限制