4.1 三角形的中线、角平分线
三角形的高,中线与角平分线
角平分线的计算方法
通过角度计算
给定一个三角形，可以通过测量或计算角度来确定角平分线的长度。
通过边长计算
已知三角形的三边长度，可以通过计算来找到角平分线的长度。
角平分线的应用
确定中点和垂直平分线
角平分线可以用来找到一个三角形内的中点，以及过这个中 点的垂直平分线。
判定定理的应用
角平分线的性质可以用于证明某些几何定理，如等腰三角形 的判定定理。
条垂直于底边的高。
注意事项和难点解析
高的定义
三角形的高是顶点到底边的垂线段。在直角三角形中， 斜边上的高是直角边上的高的2倍。
钝角三角形高的画法
在钝角三角形中，需要先确定钝角所对的边，然后在其 延长线上作高。
等腰三角形高的画法
在等腰三角形中，需要找到底边的中点，然后过该点作 两条相等的高。这两条高与底边形成一个等腰直角三角 形。
THANK YOU.
性质
三角形中线平分三角形的三条边，且三条中线交于一点。该交点称为三角形 的重心，每条中线与三条边的长度乘积相等。
中线的计算方法
方法一
利用几何作图法，通过三角形的顶点和对边中点直接连接得到中线。
方法二
通过三角形的顶点和对边中点的距离公式来计算中线的长度。公式为：$AD = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}}$，其中AD为中线长度，AB和AC为三角形的两边长度 。
性质
高是连接顶点和垂足的线段，并且高经过三角形的顶点，且 平行于底边。
高的计算方法
• 方法一：直接作图法 • 确定顶点和对边； • 过顶点作对边的垂线； • 连接顶点和垂足，得到高。 • 方法二：利用中线和角平分线性质作图法 • 作三角形中线或角平分线； • 在中线或角平分线上取一点，连接这个点和相应顶点，得到高。
专题4.1认识三角形(与三角形有关的线段)(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题4.1 认识三角形（与三角形有关的线段）（知识讲解）【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．特别说明：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．2．三角形的分类(1)按角分类：特别说明：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：特别说明：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.特别说明：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；特别说明：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝BC. 特别说明：(1)三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明：（1）三角形的角平分线是线段； ⇔21⇔21（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、与三角形有关线段??三角形的边段??概念??分类1．如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出CDE ∆的边和角．（3）AD 是哪些三角形的边？C ∠是哪些三角形的角？【答案】（1）图中有：ABD ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆，ACB ∆，共5个；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【分析】（1）分类找三角形，含AB 的，含AD （不含AB ）的，含DE （不含AD ）的三类即可；（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD 的三角形，先找AD 左边的，再找AD 右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C 的内部在线段看与角的两边是否相交即可解：（1）图中有：以AB 为边的三角形有∠ABD ，∠ABC ，以AD 为边的三角形有∠ADE ，∠ADC ，再以DE 为边三角形有∠DEC ，一共有5个三角形分别为ABD ∆，ABC ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．举一反三：【变式】如图，以BD 为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．【分析】先根据BD 边找三角形，再根据∠1找三角形.解：以BD 为边的三角形有：∠BDC ，∠BDO ，以∠1为内角的三角形有：∠EOC ，∠ACD ．【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.2．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．若a ，b ，c 满足22()()0a b b c -+-=，试判断ABC 的形状．【答案】ABC 的形状是等边三角形．【分析】利用平方数的非负性，求解a ，b ，c 的关系，进而判断ABC ．解：∠22()()0a b b c -+-=，∠0a b -=，0b c -=∠a =b =c ，∠ ABC ∆是等边三角形．【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含90︒的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．举一反三：【变式】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．（1）∠ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝∠B ；（2）三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解：(1)∠∠A ＝30°，∠C ＝∠B ，∠A ＋∠C ＋∠B ＝180°，∠∠C ＝∠B ＝75°，∠满足条件的三角形是锐角三角形．(2) ∠三个内角的度数之比为1∠2∠3，∠可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∠满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．类型二、与三角形有关线段??构成三角形条件??确定第三边取值范围3．判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm 、8cm 、4cm ； （2）5cm 、6cm 、11cm ； （3）5cm 、6cm 、10cm ；【答案】（1）不能，因为3cm ＋4cm ＜8cm ；（2）不能，因为5cm ＋6cm ＝11cm ；（3）能，因为5cm ＋6cm ＞10cm【分析】略举一反三：【变式】如图所示三条线段a ，b ，c 能组成三角形吗？你是用什么方法判别的？【答案】三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由见分析【分析】只需要利用作图方法证明b a c b c -<<+即可．解：三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由如下：如图所示，根据线段的和差可知b a c b c -<<+，∠三条线段a ，b ，c 能组成三角形．【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，线段的尺规作图，证明b a c b c -<<+是解题的关键．4．己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a ．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为整数，当a 为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1) 212a << (2)当11a =时，三角形的周长最大为23【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．（1）解：由三角形的三边关系可知7575a -<<+，即212a <<，∠a 的取值范围是212a <<；（2）解：由（1）知，a 的取值范围是212a <<，a 是整数，∠当11a =时，三角形的周长最大，此时周长为：571123++=，∠周长的最大值是23．【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 举一反三：【变式】已知：ABC 中，5AB =，21BC a =+，12AC =，求a 的范围．【答案】38a <<【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可．解：∠AB BC AC 、、是ABC 的三边，∠AC AB BC AC AB -<<+，即：a -<+<+12521125，解得：38a <<，故答案为：38a <<．【点拨】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组；熟练掌握三角形的三边关系以及解不等式组的方法是解题的关键．类型三、与三角形有关线段??三角形的高??作图??求值（等面积法）5．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A ，点B ，点C 均在小正方形的顶点上．(1) 画出ABC 中BC 边上的高AD ；(2) 直接写出ABC 的面积为___．【答案】(1)见分析 (2)8【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．（1）解：如图所示：AD 即为所求；1【变式】如图：(1) 用三角尺分别作出锐角三角形ABC ，直角三角形DEF 和钝角三角形PQR 的各边上的高线．(2) 观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可；（2）根据（1）所作图形进行求解即可．（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．【点拨】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．6．如图，,AD AE 分别是ABC 的中线和高，3cm AE =，26cm ABD S =△．求BC 和DC 的长．【答案】8cm BC =，4cm CD =ABD S =是ABC 的中线，得到解：由题意，得：BD AE ⋅4cm ，是ABC 的中线，12BD BC =∠4cm,28cm CD BC BD ===．【点拨】本题考查三角形的高线和中线．熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连线段，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，AD BE ，分别是ABC 的高，若465AD BC AC ===，，，求BE 的长．2ABC S =分别是ABC 的高，1122ABC S BC AD AC =⨯=⨯45AD BC AC ===，，，462455BC BE ⨯==24BE =【点拨】本题考查了三角形面积的计算公式，掌握等面积法求解是解题的关键．7．如图，在ABC 中()2AB BC AC BC BC >=，，边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，求AC 和AB 的长．【答案】5636AC AB ==，【分析】先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论7050AC CD AC CD +=+=①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解：设BD CD x ==，则24AC BC x ==，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，AB BC >，①当7050AC CD AB BD +=+=，时，470x x +=，解得：14x =，441456AC x ∴==⨯=，14BD CD ==，50501436AB BD ∴=-=-=，36AB ∴=，36286456BC AB AC +=+=>=，满足三边关系，5636AC AB ∴==，；②当5070AC CD AB BD +=+=，时，450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==⨯=，10BD CD ∴==，70701060AB BD =-=-=，60AC BC AB +==，不满足三角形三边关系，所以舍去，5636AC AB ∴==，．【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程． 举一反三：【变式】如图，已知AD 、AE 分别是ABC 的高和中线9cm,12cm AB AC ==，15cm BC =，90BAC ∠=︒．试求：(1) ABE 的面积；(2) AD 的长度；(3) ACE △与ABE 的周长的差．2ACE △的周长－ABE 的周长）解：ABC 是直角三角形，2191254(cm )2ABC =⨯⨯，AE 是BC 上的中线，BE EC ∴=，ABE ACE S S ∆∆∴=，2127cm 2ABE ABC S S ∆∆∴=； ）解：BAC ∠=，AD 是BC 1122AD BC ∴⋅=AB AC AD BC ⋅∴=）解：AE 是BC BE CE =，ACE 的周长－ABE 的周长和ABE 的周长差是3cm 【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．8．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ．设运动的时间为t 秒．(1) 当t =___________时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分？(2) 当t =___________时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分？(3) 当t 为何值时，BCP 的面积为12？【答案】(1)6(2)6.5(3) 2或6.5秒先求出ABC的周长为把ABC的周长分成相等的两部分时，12cmBC+=速度即可求解；）根据中线的性质可知，点把ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即）分两种情况：∠P在AC1）ABC中，∠8cmAC，6cmBC，10cmAB，∠ABC的周长861024cm=++=，∠当CP把ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时212t=，解得6t=．故答案为：6；）当点P在AB中点时，把ABC的面积分成相等的两部分，此时213t=，解得 6.5t=．故答案为：6.5；）分两种情况：∠当P在AC∠BCP的面积16 2CP⨯⨯4CP=，24t=，t∠当P在AB∠BCP的面积=12=ABC面积的一半，∠P为AB中点，213t=， 6.5．故t为2或6.5秒时，BCP的面积为12．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分【变式】已知ABC的面积为S，根据下列条件完成填空.图1图2图3(1) 1AM 是ABC 的边BC 上的中线，如图1，则1ACM 的面积为 （用含S 的式子表示，下同）；2CM 是1ACM 的边1AM 上的中线，如图2，则2ACM △的面积为 ；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，则3ACM △的面积为 ；…… ）中的求解可得规律，利用规律即可求解．是ABC 的边上的中线，ABC 的面积为11122ACM ABC S S S ==； 2CM 是1ACM 的边AM 2， 12111244ACM ACM ABC S S S S ===；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，231128ACM ACM S S S ==， 故答案为：12S ，14S ，1）解：∠112ACM SS =，211124ACM ACM S S S ==2312ACM ACM S S ==，以此类推，可得12n ACM S ⎛⎫= ⎪⎝⎭2022=2022ACM S故答案为：202212⎛⎫ ⎪【点拨】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是9．如图，CE 是ABC 的角平分线，EF BC ∥，交AC 于点F ，已知64AFE ∠=︒，求FEC ∠的度数．【答案】32︒ ACB AFE ==∠是ABC 的角平分线，12BCE ACB =∠FEC BCE =∠本题主要考查了平行线的性质，【变式】如图，点E 为直线AB 上一点，B ACB ∠=∠，BC 平分ACD ∠，求证：AB CD ．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．解：BC 平分ACD ∠，ACB BCD ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，B BCD ∴∠=∠，∠AB CD ∥．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．10．如图，ABC 中，按要求画图：(1) BAC ∠的平分线AD ；(2) 画出ABC 中BC 边上的中线AE ；(3) 画出ABC 中AB 边上的高CF ．【分析】（1）画出BAC ∠的平分线交BC 于D 即可；（2）取BC 的中点E ，连接AE ，中线AE 即为所求；（3）过点C 作CF BA ⊥交BA 的延长线于F ，CF 即为ABC 中AB 边上的高．（1）解：如图，AD 即为所求；（2）解：如图，中线AE 即为所求；（3）解：如图，高CF 即为所求．【点拨】本题考查了作三角形的角平分线、中线和高线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．举一反三：【变式】在边长为1的正方形网格中：'''；(1)画出ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C'''的重叠部分面积为多少？(2)ABC与A B C重叠部分面积为'''即可；）根据题意画出ABC沿CB个单位后的A B C）正方形的边长为，根据图形进行求解即可．'''如图所示：解：（1）ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C（2）∠正方形的边长为1，9．下列图形中哪些具有稳定性？【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性．【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解．解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）．【点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）下列图形中具有稳定性是；（只填图形序号）（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】（1）∠∠∠；（2）图见分析【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：（1）具有稳定性的是∠∠∠三个．（2）如图所示：【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式2】如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：∠三角形木架的形状______，说明三角形具有______；∠四边形木架的形状______说明四边形没有______．【答案】图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠是三角形，稳定性；∠四边形，稳定性．【分析】∠根据三角形的稳定性进行解答即可；∠根据四边形的不稳定性进行解答即可．解：图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．故答案为：是三角形，稳定性；∠四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．故答案为：四边形，稳定性．【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．。
北师版数学七年级下册《4.1 认识三角形》第3课时 三角形的中线、角平分线课件(新版22页)
的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，
则 AB＝__7__cm.
A
提示：将△ABD 与△ADC 的周长
之差转化为边长之差.
B
D
C
例2 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的
中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =___1_2__cm2.
解析：因为 CE 是△ACD 的中线，
D
B
E
C
5. 在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC－AC = 5 cm，
△DBC 的周长为 25 cm，求△ADC 的周长.
解：因为 CD 是△ABC 的中线，
A
所以 BD＝AD.
D
因为△DBC 的周长为
BC＋BD＋CD＝25 cm，
B
C
所以 BD + CD＝25－BC.
所以△ADC 的周长为 AD＋CD＋AC ＝BD＋CD＋AC
北师版数学七下课件
第四章 三角形
4.1 认识三角形
第3课时 三角形的中线、角平分线
导入新课
情境导入 这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要
平分，该怎么办呢？本节课让我们一起来解决这个 问题吧！
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点
A
与它对边中点的线段，叫做这
个三角形的中线. 如图，若 BE
= EC，则 AE 是 △ABC 的 BC B
A
B
所以∠BAC = 180°－∠B－∠C = 180°－45°－60° = 75°.
所以∠BAE = 37.5°.
因为∠B +∠BAE +∠AEB = 180°， 所以∠AEB = 180°－45°－37.5° = 97.5°.
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
拓展二：解三角形三角形中线,角平分线问题 (精讲)(解析版)
拓展二：三角形中线，角平分线问题 (精讲）目录一、必备知识分层透析 二、重点题型分类研究题型1: 三角形中线问题（向量化法） 题型2：三角形中线问题（角互补法） 题型3：三角形角平分线（比例法） 题型4：三角形角平分线（等面积法） 题型5：三角形角平分线（边长比与面积比关系）题型6：三角形角平分线（角互补法）三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析一、三角形中线问题 方法1、向量化如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+ (此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷） 方法2、角互补ADC ADB π∠+∠=⇒cos cos 0ADC ADB ∠+∠=二、角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 方法1：内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC= 方法2：等面积法(使用频率最高）ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 方法3：边与面积的比值：ABD ADCSAB AC S=方法4：角互补：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=·全国·高三专题练习）锐角ABC 中，角CD 长的取值范围．c a =+又()12CD CA CB =+， 则()222211()244CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅()()2211224221442a b ab ab ab ++=+=+， 由正弦定理可得22sin sin sin a b cA B C===，所以a =所以(253CD ∈，2．（2023两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角(1)求角A ；(2)若2b =，，求ABC 的BC 【答案】(1)7 (1)cos 2cos(A =(0,A π∈若选②：由正弦定理，得A ，C ∈(2)解：AD 是ABC 的BC ∴1()2AD AB AC =+，∴222211()(2)44AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+()222AB AB AC AC +⋅+ 秋·云南昆明·高一统考期中）在ABC 中，内角已知ABC 的面积； BC 上的中线为. 【答案】(1)4A π=222a c b +-和ACD 中，分别由余弦定理可得212b AD+-，212AD AD+--8=bc ，即AD 秋·江苏镇江·高一校考期中）在ABC 中，内角(1)求角A；，求ABC的面积2sin sin CB，在ABC在ABC 中，sin 2cos B =-因为0C <<选择条件③在ABC 中，3cos2C =因为0C <<23C π=；(1)求BAM ∠的正弦值； 在ABM 中，由余弦定理，得ACM △中，由余弦定理，得BMA 与CMA ∠在ABM 中，由余弦定理，得因为BAM ∠解法2、由题意可得，cos 45AB AC AB AC ⋅=⨯⨯AM 为边上的中线，则()12AM AB AC =+， 两边同时平方得，22211125442AM AB AC AB AC =++⋅=，故5AM =，边中点，则ABM 的面积为ABC 面积的11sin 22BAM AB AC BAC =⨯⨯∠126452⨯⨯⨯︒， ． 、在ABN 中，由余弦定理，得，分别为边BC ，为ABC 重心，2103=，在ABP 中，由余弦定理，得22PB AB PA PB -=⋅又由MPN ∠131050APB =解法2：因为BN 为边上的中线，所以12BN AN A BA B AC =+=-+， ()22111111322244AM BN AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+= ⎪⎝⎭， 2222111024BN AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-+=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即10BN =．所以131310cos 50510AM BN MPN AM BN⋅∠===⨯．3．（2022·四川达州·一模）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积边上的中线长为3. 求ABC 外接圆面积的最小值. 【答案】(1)a =π. 【详解】（1）ABC 的面积sin 0A >，因此cos bc是ABC的中线，有1()2AD AB AC=+，因此22242AD AB AB AC AC=+⋅+，即有22，解得22，由余弦定理得2222cosa b c bc A=+-，即2a=.）设ABC外接圆半径为R，由正弦定理得）知22241cos2Abc b c=≥=+，当且仅当π<，于是得11sin3A≥所以ABC外接圆面积最小值为．（2022·四川宜宾统考模拟预测）ABC的内角sinsinC bcA-=2a c=，求ABC的周长；AC边的中点为D，求中线的最大值.3sinsinc CcA-=故ABC的周长a b c b++=+2）∵2BD BC BA=+，()22222222422BD BC BABC BA BC BA a c b =+++⋅+=+-=设ABC 中角(1)求b 边的长度； ，求ABC 的面积；1sin +4b B b 为中点，所以()12AD AB AC =+，设,AB AC 的夹角为2211=++2=22AD AB AC AB AC c ∴⋅又()()2211+=+=+=22c AB AD AB AB AC AB AB AC ⋅⋅⋅21+4cos =cos ==417+8cos AB AD BAD AB AD⋅θθ∠，即128cos 8cos 116cos 90θθ，所以1cos =8θ或cos =θ1+4cos >0θ，所以1cos =8θ，易得ABC ∴的面积为137×41sin =24θ⨯⨯．（2022秋·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考期末）已知分别为ABC 三个内角A (1)求A ；(2)若AD 为，求ABC 的面积在ABC 中，sin cos A C 3sin sin A ，又在ABC 中，3sin cos A =，即sin ⎛⎝()0,A π∈66ππ=即A 2在ABC 中，2在ABC中()12AD AB AC=+，()()222211244AD AB AC AB AC AB AC=+=++⋅()22214964x x x=++得21x=即1x=，2b=，3c=133sin22ABCS bc A==(1)求证：2AB AC=；60）证明：因为ABD中，由正弦定理可得：180，故sin180，故cos 3，cos 3=，0180BAC <∠<，故60BAC ∠.题型4：三角形角平分线（等面积法）典型例题春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知ABC 的内角，ABC 的面积为c 的值. 2c ab -=， 1π1πsin sin 2626ACD BCDABCSSCA CD CB CD S +=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，秋·河北衡水·高一校考阶段练习）记ABC 的内角0B =． 的角平分线交在ABC 中，由正弦定理得：0πC <<，解得所以2π3C =(2)依题意，a +是ABC 的角平分线，则+=ACDBCDABCSSS，2πsin 3，整理得ab =，解得ab CD a b ==+：三角形角平分线（边长比与面积比关系）典型例题秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知ABC 中，角的角平分线．ABCABDS S△△sin C∠ABC ABD S S =△△由正弦定理可得BDC ∠+即sin sin C A =（2）BCD ABD S S =△△设2AB =BDC ∠+22923b b b b +-⋅cos ABC ∴∠例题2．（(1)求cos C 及线段BC 的长；ABCS =sin AC∠12ADCABCS S =，3158ABC S =△. 6：三角形角平分线（角互补法）同类题型演练ABC 中，已知545cos 7AB AC B，，. AD 的长．在ABC 中，由余弦定理整理得27BC 解得7BC =97BC由于0BC >，所以7BC =因为(0,B π∈，所以sin 0B >2261cos 7B Bsin sin AC BCB A=267sin 26755BC B A ACABCABDACDSSS=+及三角形的面积公式可得：11145sin 24sin +5sin 222x x 整理得20sin 240cos9sin9x在ABC 中，由余弦定理2221625491cos 2405AB AC BC AAB AC2cos 22cos 1A 得cos θ=8109ADx2022春·湖北恩施·高二校考阶段练习）在ABC 中，内角，且cos 2C ＝sin 2A +cos 2B +sin A sin C 求角B 的大小；23=，角B BD ＝1，求ABC 的周长．160sin 602a BD +⋅⋅，+c ， 2222故ABC 的周长为．（2022·吉林统考模拟预测）在ABC 中，内角sin sin B b =求角A 的大小；若3AB =，的内角平分线交ABCABDADCS SS=+，1sin sin 2BAC AB AD BAD ∠=⋅⋅∠π1πsin 3sin 326AD =⨯⨯⨯+在ABC 中，由余弦定理：22AC AB +-．中，由正弦定理，中，由正弦定理，ABC 中，由余弦定理：1DC AC ()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+，2222131934416168AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭193127913116168216⨯+⨯+⨯⨯⨯= 334AD =． ．（2022秋·全国·高三开学考试）已知在平面四边形ABCD 中，，求BDC 的面积，求CD 长BDC S=解：设CD =高三专题练习）已知ABC 的内角，ACD ABC S S=△△377，CD ACDABC S =2BD =由角平分线性质得1ABCS=12ACDS=⨯解得CD6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC中，2AB AC=，BAC∠的角平分线交BC于ABDADCSS的值；1,=AC【答案】（1）2【详解】解：（=ABDADCSSAB==ABDADCSS在ACD 中，224+=AD AD ．（2022·北京海淀校考模拟预测）已知ABC 的内角3sin 6B π⎛+ ⎝30c +=;条件这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题由题意知3sin B ⎛ ⎝06π⎫=⎪⎭, (0,B π∈故23B π=在ABC 中,由余弦定理可得22c ac +-22a c b +-对于条件①:与上式结合可得）在ABC 中,由正弦定理可得sin b B, 72sin 3π=, 33,cos 41=）BD 是∠ABD CBD =∠ABDBCD SAD S CD ==7AC =,AD ∴在ABD △2BD AB =35258⎛=+ ⎝故158BD =OM ON =⋅．1sin 2OM ⎛= ⎝⎭，(2,2ON =()2sin 223sin f x OM ON =⋅=+1sin 23cos 23sin 22x x x ⎛-+- ⎝222πππ==∵AD 为∠BAC 的角平分线，2AB AC =，ABC S=(3513ACD ABC S S ==．（2022·四川·校联考模拟预测）在(sin sin a A b B c =++ABC ABD ACD S S S =+，得()24bc b c bc =+≥，得值为43．ABC 中，ABC ABD ACD S S S =+，1sin 302b AD ⋅⋅︒， ()bc +，所以3b =，c =统考一模）在ABC 中，内角，3BA AC ⋅=，是ABC 的中线，求23π coscos()sin 22B C A A +==sin 0B ≠sin 2A ∴=，(0,πA ∈得cos2A =， 23A π∴=）3BA AC ⋅=,cos()3A π-=,得由余弦定理得：2b c +1()2AD AB AC =+， 2211()(44AD AB AC ∴=+=所以72AD =， AD 的长为72. ．（2022·河南开封·校联考模拟预测）在sin 2B C +=2AD AB AC =+，即224()AD AB AC =+,22cos b bc A +，∴2216b c bc +=-,，即163≤bc , 当且仅当433b c ==时取等号2216A b c bc bc =+-=-，解：在ABC 中，因为由正弦定理sin a A ,3,=m b m 24922+=⨯m C C π<<，所以在ACD 中，所以AD =选择条件②角，但由于三边未知，故三角形不唯一，不满足条件选择条件③因为ABC 的面积为1sin 2ab C 6ab =.1）知:a b 2,3,a b ==在ACD 中，所以AD =．（2022·湖北省直辖县级单位23AC =，(1)MPN ∠的余弦值．在ABC 中，由余弦定理可知：(222BC =+2BC = , AB BC =ABC ∴是等腰三角形，故120在ABM 中，由余弦定理可知：2cos AM ABC =∠在ABM 中，由正弦定理可知：sin AB AMB =∠因为AMB ∠27121cos 60)cos cos 60sin sin 60727MPN AMB AMB ∠==∠-∠=⨯-是ABC 的重心，所以23BP BN =21,3BN BP =∴= ,故112331133sin 601,sin 6012223262222BPMBCMSBP BM S BN BC =⋅⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅=⨯⨯⨯=所以四边形PMCN 的面积为333263BNCBMPS S-=-=统考模拟预测）向量12sin ,m x ⎛⎫= ⎪⎝，63cos 2n ⎛⎫= ⎝()2m m n =⋅+. 求函数()f x 的对称中心；若函数1()()4g x f x =+上有5个零点，求的取值范围；在ABC 中，内角A ，)C 恰好为函数(f x 【答案】(1)π12⎛ ⎝25π31π,1212⎫⎪⎭4932sin m ⎛= ⎝，6cos 2n ⎛= ⎝2sin 2m n ⎛=+ ⎝()252sin 2sin 242()f x m m x n x ⎛=+-= ⎝=⋅+在ACD 中，由BCD △中，由78sin c A =在ABC 中，则可得712a =743a b +=4937123+(1)求证：::AD AB CD CB =；ABCABDCBDS SS=+，即cos θ，因为02θπ<<，则ABCS =统考三模）已知(2c ++是ABC 的角平分线，且，求ABC 的面积中，由正弦定理及sin C 得：是ABC 的角平分线，ABCABDCADSSS=+可得1因为3b =，2AD =，即有11sin 3622ABCSbc A ==⨯⨯．（2022·浙江绍兴·浙江省春晖中学校考模拟预测）在ABC 中，60，ABC 的面积等于，BAC ∠的角平分线___________. 【答案】217 【详解】解：2BC =，ABC 的面积等于132AB =⋅24AB AC ⋅=由余弦定理2cos BC AB AC A =⋅⋅(AB AC AB AC AB -⋅⋅=10AC +=（由于AB AC >AM 为∠所以=+ABCABMACMSSS，即ABCS=即111163642222AM AM =⨯⋅⨯+⨯⋅，解得故答案为：21；123．。
三角形的中线、高线、角平分线
三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的高线。
2. AD⊥BC于D。
3.∠ADB=∠ADC=90°。
三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。
三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的中线。
2. BD=DC=12BC。
三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
三角形的重心在三角形的内部。
三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这1. AD是△AB C的∠BAC的平分线。
2.∠1=∠2=12∠BA C三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形个角的顶点与交点之间的线段。
的内心。
三角形的内心在三角形的内部。
【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE ，其中画对的是_______。
甲 乙 丙 丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。
答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。
这道题是过B 点，垂直于AC 边。
例题 2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。
思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。
答案：设等腰三角形的腰长是x cm ，底边是y cm 。
根据题意，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122212x y x x ， 解得：⎩⎨⎧==178y x 或⎩⎨⎧==514y x根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。
2024北师大版数学七年级下册4.1.3《认识三角形—三角形的中线和角平分线》教案
2024北师大版数学七年级下册4.1.3《认识三角形—三角形的中线和角平分线》教案一. 教材分析《认识三角形—三角形的中线和角平分线》这一节内容，主要让学生掌握三角形的性质，理解三角形的中线和角平分线的概念，以及它们之间的关系。
为学生后续学习三角形的其他性质和判定定理打下基础。
二. 学情分析学生在六年级时已经学习了图形的性质，对图形的认识有了初步的基础。
但他们对三角形的中线和角平分线的理解可能还停留在直观层面，需要通过实例和几何画图工具，让学生在直观感知的基础上，进一步理解三角形的中线和角平分线的性质。
三. 教学目标1.了解三角形的中线和角平分线的概念。
2.掌握三角形的中线和角平分线的性质。
3.能够运用中线和角平分线解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：三角形的中线和角平分线的概念及性质。
2.难点：三角形的中线和角平分线在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法，让学生在解决问题的过程中，掌握三角形的中线和角平分线的性质。
同时，利用几何画图工具，让学生直观地感知中线和角平分线的性质。
六. 教学准备1.教学课件。
2.几何画图工具。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的三角形，引导学生关注三角形的中线和角平分线。
提问：你们知道这些三角形的中线和角平分线吗？它们有什么作用？2.呈现（10分钟）介绍三角形的中线和角平分线的定义。
通过几何画图工具，展示三角形的中线和角平分线，让学生直观地感知它们的性质。
3.操练（10分钟）让学生利用几何画图工具，自己画出一个任意的三角形，并标出其中线和角平分线。
然后，相互交流并解释其中线和角平分线的性质。
4.巩固（10分钟）出示一些有关三角形中线和角平分线的练习题，让学生独立完成。
教师选取部分学生的作业进行点评，纠正学生在解答过程中可能出现的错误。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：三角形的中线和角平分线在实际问题中的应用。
出示一些实际问题，让学生运用中线和角平分线进行解答。
4.1认识三角形(3)三角形的中线、角平分线++课件+2023-2024学年北师大版数学七年级下册
巩固提能
1.如图,AD是△ABC的角平分线,则( A )
A.∠1= ∠BAC
B.∠1= ∠ABC
C.∠1=∠BAC
D.∠1=∠ABC
2.如图,AE是△ABC的中线,点D是BE上一点.若BD=5,CD=9,则
CE的长为( C )
A.5
B.6
C.7
D.8
3. 如 图 ,AD 是 △ABC 的 中 线 ,AB=5,AC=3,△ABD 的 周 长 和
B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC
D.AD=EC,DC=BE
2.如图,在△ABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是△ABC的角平分
40°
线,则∠CAD的度数为__________.
3.如图,已知△ABC的周长为21cm,AB=6cm,BC边上中线AD=
7cm
5cm,△ABD的周长为15cm,则AC的长为_________.
所以∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-65°=115°.
(2)在其他条件不变的情况下,若∠A=n°,则∠BOC的度数为多少
(用含n的式子表示)?
解:因为∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,
所以∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB).
在 △OBC 中 , ∠ BOC=180°-( ∠ OBC+ ∠ OCB)=180°- (∠
=
×45°=22.5°.
因为DE∥BC,所以∠EDC=∠BCD=22.5°.
因为∠B+∠BDC+∠BCD=180°,
所以∠BDC=180°-70°-22.5°=87.5°.
三角形的高、中线、角平分线的教案
三角形的高、中线、角平分线的教案一、教学目标：1. 让学生理解三角形的高、中线、角平分线的概念。
2. 让学生掌握三角形的高、中线、角平分线的性质。
3. 培养学生运用三角形的高、中线、角平分线解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 三角形的高：从一个顶点向对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高。
2. 三角形的中线：连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
3. 三角形的角平分线：从一个顶点出发，把这个顶点的角平分的线段叫做三角形的角平分线。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形的高、中线、角平分线的概念及性质。
2. 教学难点：三角形的高、中线、角平分线的画法及运用。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生直观地理解三角形的高、中线、角平分线的概念。
2. 采用讲解法，详细讲解三角形的高、中线、角平分线的性质。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固所学知识。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过复习三角形的基本概念，引入三角形的高、中线、角平分线的学习。
2. 讲解概念：讲解三角形的高、中线、角平分线的定义，并用图形演示。
3. 讲解性质：讲解三角形的高、中线、角平分线的性质，并通过图形进行说明。
4. 练习巩固：布置一些有关三角形的高、中线、角平分线的练习题，让学生独立完成。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调三角形的高、中线、角平分线在几何中的应用。
6. 布置作业：布置一些有关三角形的高、中线、角平分线的作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 探讨三角形的高、中线、角平分线在几何图形中的作用，如：在三角形面积计算中的应用。
2. 引导学生发现三角形的高、中线、角平分线与其他几何元素之间的关系。
七、课堂互动：1. 提问：三角形的高、中线、角平分线有什么共同点和不同点？2. 提问：在实际应用中，如何运用三角形的高、中线、角平分线解决问题？八、案例分析：1. 分析一个实际问题，如：在施工中如何准确地测量和切割三角形材料？2. 引导学生运用三角形的高、中线、角平分线知识解决案例中的问题。
北师大版数学七年级下册4.1.3《认识三角形—三角形的中线和角平分线》说课稿
北师大版数学七年级下册4.1.3《认识三角形—三角形的中线和角平分线》说课稿一. 教材分析《认识三角形—三角形的中线和角平分线》这一节是北师大版数学七年级下册第4.1.3节的内容。
本节课的主要内容是让学生了解三角形的中线和角平分线的定义，性质及其应用。
通过学习，让学生能够熟练运用中线和角平分线解决一些简单的几何问题。
在教材中，首先通过实例引出中线和角平分线的概念，接着介绍中线和角平分线的性质，然后通过一些练习题让学生巩固所学知识，最后总结本节课的主要内容。
整个教学内容由浅入深，循序渐进，使学生能够更好地理解和掌握三角形的中线和角平分线。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的几何基础。
但是，对于中线和角平分线的定义和性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、交流等方式，逐步理解和掌握中线和角平分线的概念和性质。
同时，学生在这一阶段的学习中，可能还存在对几何图形的观察和分析能力不足的问题。
因此，在教学过程中，需要注重培养学生的观察能力和分析能力，让学生能够更好地理解和运用中线和角平分线。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解三角形的中线和角平分线的定义，掌握中线和角平分线的性质，并能够运用中线和角平分线解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、交流等方式，培养学生的观察能力和分析能力，提高学生解决几何问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生能够积极主动地参与数学学习。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中线和角平分线的定义及其性质。
2.教学难点：中线和角平分线的运用，以及学生在解决实际问题时对中线和角平分线的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生通过观察、思考、交流等方式，自主学习和探索。
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●
︶
B
1 2
1 （∠1 =∠2 = ∠BAC） 2
●
D
C
动手做做
任意画一个三角形,然后用自己的方法作出这个 三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
A A A
B
C
B
C
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线 .
练习：
如图，在Δ ABC中，∠A=50°∠C=72°，BD 是Δ ABC的一条角平分线，求∠ABD的度数.
C
D
A
B
1、本节课我们学习了那些知识点？
2、通过这节课，同学们有什么收获？
习题4.3课本Ｐ88--89的1、3题
第四章 三角形
三角形的中线和角平分线
华师安宁附校：吕巧霞
给 我 一 个 支 点 ， 我 可 以 撬 起 整 个 阿 地 基 球 米 。
德
——
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的
线段，叫做这个三角形的中线.
A ●
∵ AD是△ABC的中线
F B
ห้องสมุดไป่ตู้
● ●
O
●
E C
∴ BD=CD=
1 BC 2
●
D
思 考:
任意三角形的三条中线的交点都交于一点吗？ 交点在三角形的内部吗?
A A A
●
●
●
B
C
B
C
B
C
三角形的三条中线交于一点,交 点在三角形的内部.
1、将纸上画出的三角形 剪下,将它的一个角对折, 使其两边重合.
A
2、用圆规画最简便.
B C
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
B
C
三角形的三条角平分线交于一点
随堂练习
1、线段AD是Δ ABC的角平分线（如图）， 那么∠BAD=
∠CAD
= 1
2
∠BAC ；
2、线段AE是Δ ABC的中线（如图）， 那么那么BE= EC
A
１ = ２ BC.
A
B
（第1题）
D
C
B
E
（第2题）
C
想一想： 三角形的角平分线与角的平分线 有什么区别？