导数
导数七个公式
导数的基本公式包括：
1.常数函数的导数：y = c（c为常数），其导数y' = 0。
2.幂函数的导数：y = x^n，其导数y' = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数：y = a^x，其导数y' = a^x lna；当底数为自然数e时，即y
= e^x，其导数y' = e^x。
4.对数函数的导数：y = log_a x，其导数y' = 1/(xlna)（a > 0且a ≠ 1）；当底
数为自然数e时，即y = ln x，其导数y' = 1/x。
5.三角函数的导数：
•y = sin x，其导数y' = cos x。
•y = cos x，其导数y' = -sin x。
•y = tan x，其导数y' = (sec x)^2 = 1/(cos x)^2。
•y = cotx，其导数y' = -(csc x)^2 = -1/(sin x)^2。
6.反三角函数的导数：
•y = arcsin x，其导数y' = 1/√(1 - x^2)。
•y = arccos x，其导数y' = -1/√(1 - x^2)。
•y = arctan x，其导数y' = 1/(1 + x^2)。
•y = arccot x，其导数y' = -1/(1 + x^2)。
这些公式是导数计算的基础，通过它们可以推导出更复杂的函数的导数。
在解题时，首先确定函数的定义域，然后应用相应的导数公式进行计算，最后根据导数的符号判断函数的增减性，进而描绘函数的图像或求解其他问题。
大学数学导数
大学数学导数数学导数是高等数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、工程学等等。
导数被定义为函数在某一点处的变化率，它描述了函数在该点附近的局部性质。
本文将从导数的定义、计算方法、应用以及一些相关的概念和定理进行讨论。
一、导数的定义在微积分中，导数常用符号 "f'(x)" 或 "dy/dx" 表示，它表示函数 f(x) 在点 x 处的导数。
导数可以通过以下极限定义来计算：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h二、导数的计算方法计算导数的方法有多种，其中最常用的方法是使用导数的基本性质和常见函数的导数公式。
以下是一些常见函数的导数公式：1. 常数函数的导数为 0。
2. 幂函数的导数计算可以使用幂函数的求导法则。
3. 指数函数的导数为自身的常数倍。
4. 对数函数的导数可以使用对数函数的求导法则。
5. 三角函数和反三角函数的导数公式。
三、导数的应用导数在实际应用中起着重要的作用。
以下是一些常见的应用：1. 确定函数的最大值和最小值。
2. 描述物理学中的运动和变化。
3. 经济学中的边际分析。
4. 工程学中的优化问题。
四、相关概念和定理1. 导数为零的点被称为函数的驻点。
在驻点处，函数的斜率为零。
2. 函数在某一区间内递增或递减的条件是其导数在该区间内恒为正或恒为负。
3. 函数在一个点的导数存在，则函数在该点连续。
4. 导数的和差、常数倍和乘积法则，以及链式法则等。
总结：导数是高等数学中重要的概念，它描述了函数在某一点附近的局部性质和变化率。
本文介绍了导数的定义、计算方法、应用以及一些相关概念和定理。
在实际应用中，导数有着广泛的应用，如确定函数的最值、描述物理学中的运动和变化、边际分析等。
通过掌握导数的概念和计算方法，我们可以更好地理解和应用数学在各个领域中的作用。
高中数学导数
高中数学导数
导数是高中数学中非常基础的一个知识点，它在数学和其他领域中有着广泛的应用。
下面将通过以下几个列表对导数进行详细介绍。
一、导数的定义
1. 函数在某一点的导数表示函数在该点的变化率，可以用极限的概念来表示。
2. 导数也可以表示为函数在某一点的切线斜率，即切线的斜率越大，则函数在该点的导数越大。
二、导数的求法
1. 使用导数的定义式，即求出一段极小的区间内函数的平均变化率的极限，这可以用极限的概念来表示。
2. 利用导数的性质进行求导，如求和、差、积、商等。
3. 利用基本函数的导数公式，如多项式、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
三、导数的应用
1. 导数可以用于求极值，即函数取得最大值或最小值的点。
2. 导数可以用于解决曲线的渐近线问题，如求水平渐近线和垂直渐近线。
3. 导数可以用于解决函数图像的凹凸性问题，即函数在凹还是凸的区间。
四、常见的导数公式
1. 常数函数的导数为零。
2. 幂函数的导数为 $n*x^{n-1}$。
3. 指数函数 $a^x$ 的导数为 $a^x\ln(a)$。
4. 对数函数 $\ln(x)$ 的导数为 $\frac{1}{x}$。
5. 三角函数的导数公式：
$\sin(x)$ 的导数为 $\cos(x)$；
$\cos(x)$ 的导数为 $-\sin(x)$；
$\tan(x)$ 的导数为 $\sec^2(x)$。
以上就是导数的基本概念和应用。
导数是高中数学中的重要内容，我们需要掌握导数的求法和基本公式，并熟练应用导数解决问题。
导数公式大全
（4）lg cos(3 2x2 )
解: (1) y ' 6x(-1 x2 )2
(2) y ' -3x ln 3sin 3x
(3) y ' 2x - 3 2 x2 - 3x 2
(4)
y
'
[cos(3 2x2 )]' cos(3 2x2 )
- sin(3 2x2 ) cos(3 2x2 )
z x
y
y
z x
2z
x y
f xy ( x, y)
zxy;
z y
x
x
z y
2z y x
f yx ( x, y)
zyx ;
z y
(tan x) = sec2x .
(cot x) = - csc2x .
(sec x) = sec x tan x . (csc x) = - csc x cot x .
另外还有反三角函数的导数公式：
1
(arcsin x)
,
1- x2
(arccos x) - 1 , 1- x2
求 z f (x, y) 对自变量 x (或 y)的偏导数时,只须将另一 自变量 y (或 x )看作常数,直接利用一元函数求导公式和
四则运算法则进行计算.
例1 设函数 f (x, y) x3 - 2x2 y 3y4,
求
f
x
(
x,
y),
f
y
(
x,
常见导数基本公式
常见导数基本公式导数作为微积分的基本概念之一，在数学和物理等领域有着重要的应用。
学习导数的基本公式，不仅可以帮助我们求解各种函数的导数，还可以为我们理解函数图像的特征提供指导。
本文将介绍一些常见的导数基本公式，并通过具体的例子来阐述其应用和意义。
首先，我们先来讨论一阶导数的基本公式。
对于任意函数f(x)，其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
当函数f(x)在一点x0处可导时，其导数可以通过以下几种常见的公式来计算。
1. 常数函数导数公式：对于常数c，其导数为0，即d(c)/dx = 0。
这是因为常数函数的斜率恒为0，即不随x的变化而变化。
2. 幂函数导数公式：对于幂函数f(x) = x^n（n为常数），其导数可以表示为d(x^n)/dx = nx^(n-1)。
这个公式告诉我们，幂函数的导数是通过将指数降低1，并乘以原来的指数。
例如，当n为2时，f(x) = x^2的导数为d(x^2)/dx = 2x。
3. 指数函数导数公式：对于指数函数f(x) = e^x，其导数为d(e^x)/dx = e^x。
指数函数的导数与函数自身相等，这是指数函数在任意点的斜率都等于函数值。
例如，f(x) = e^x的导数为d(e^x)/dx = e^x。
4. 对数函数导数公式：对于自然对数函数f(x) = ln(x)，其导数为d(ln(x))/dx = 1/x。
对数函数的导数可以通过求幂函数导数公式和指数函数导数公式的逆运算得到。
例如，f(x) = ln(x)的导数为d(ln(x))/dx = 1/x。
以上是一阶导数的一些基本公式，可以帮助我们求解一些简单函数的导数。
但是在实际问题中，我们经常遇到复合函数或者多元函数，需要使用更加复杂的导数公式。
下面，我们来介绍一些常见的高阶导数公式和一些导函数的性质。
1. 高阶导数公式：高阶导数是指函数的导数再次求导得到的导数。
对于一阶导数f'(x)，我们可以通过不断求导得到二阶导数f''(x)，三阶导数f'''(x)等。
求导公式大全
求导公式大全1、原函数:y=c(c为常数)导数: y'=0导数:y'=nx^(n-1) 3、原函数:y=tanx 导数: y'=1/cos^2x 4、原函数:y=cotx 导数:y'=-1/sin^2x 5、原函数:y=sinx 导数:y'=cosx6、原函数:y=cosx 导数: y'=-sinx7、原函数:y=a^x 导数:y'=a^xlna 8、原函数:y=e^x 导数: y'=e^x导数:y'=logae/x10、原函数:y=lnx导数:y'=1/x求导公式大全整理y=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方) f(x)=sinx f'(x)=cosxf(x)=cosx f'(x)=-sinxf(x)=tanx f'(x)=sec^2xf(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)f(x)=e^x f'(x)=e^xf(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 xf(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 xf(x)=acrsin(x) f'(x)=1/√(1-x^2)f(x)=acrcos(x) f'(x)=-1/√(1-x^2)f(x)=acrtan(x) f'(x)=-1/(1 x^2)高中数学导数学习方法1、多看求导公式，把几个常用求导公式记清楚，遇到求导的题目，灵活运用公式。
2、在解题时先看好定义域，对函数求导，对结果通分，这么做可以让判断符号变的比较容易。
16个基本导数公式详解
16个基本导数公式详解在微积分中，导数是指函数在其中一点的切线斜率或变化率。
它在计算斜率、切线和极值时起着重要作用。
以下是16个基本导数公式的详解。
1. 常数函数导数：对于常数函数y=c，导数为dy/dx = 0。
这是因为常数函数在任何点的斜率都是零。
2. 幂函数导数：对于幂函数y=x^n（这里n是常数），其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
这个公式可以通过使用极限定义导数来证明。
例如，对于y=x^2，导数为dy/dx = 2x。
3. 指数函数导数：对于指数函数y=a^x（这里a是常数且a>0），其导数为dy/dx = a^x * ln(a)。
这个公式可以通过使用极限定义导数和对数函数的导数来证明。
4. 对数函数导数：对于自然对数函数y=ln(x)，其导数为dy/dx =1/x。
对数函数的导数是指数函数导数的倒数。
这个公式也可以通过使用极限定义导数来证明。
5. 正弦函数导数：对于正弦函数y=sin(x)，其导数为dy/dx =cos(x)。
这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。
6. 余弦函数导数：对于余弦函数y=cos(x)，其导数为dy/dx = -sin(x)。
这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。
7. 正切函数导数：对于正切函数y=tan(x)，其导数为dy/dx =sec^2(x)。
这个公式可以通过使用sin(x)和cos(x)的导数公式来证明。
8. 反正弦函数导数：对于反正弦函数y=arcsin(x)，其导数为dy/dx = 1/√(1 - x^2)。
这个公式可以通过使用反三角函数的定义和导数的链式法则来证明。
9. 反余弦函数导数：对于反余弦函数y=arccos(x)，其导数为dy/dx = -1/√(1 - x^2)。
这个公式可以通过使用反三角函数的定义和导数的链式法则来证明。
10. 反正切函数导数：对于反正切函数y=arctan(x)，其导数为dy/dx = 1/(1 + x^2)。
一般常用求导公式
一般常用求导公式在数学中，求导是一项非常重要的运算，它用于计算函数在某一点的导数。
为了方便计算，数学家们总结出了一系列常用的求导公式，能够帮助我们更快速地求出函数的导数。
本文将介绍一般常用的求导公式，并给出相应的解释和使用示例。
一、基本导数法则1. 常数函数导数公式若y = C（C为常数），则y' = 0。
解释：常数函数的导数恒为0，因为其图像是一条水平线，斜率为0。
例如：如果y = 5，那么y' = 0。
2. 幂函数导数公式若y = x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。
解释：幂函数的导数可以通过将指数降低1并作为新的指数乘以原指数，得到幂函数的导数。
例如：如果y = x^3，那么y' = 3x^2。
3. 指数函数导数公式若y = a^x（a>0且a≠1），则y' = a^x * ln(a)。
解释：指数函数的导数等于函数的值乘以底数的自然对数。
例如：如果y = 2^x，那么y' = 2^x * ln(2)。
4. 对数函数导数公式若y = lo gₐ(x)（a>0且a≠1），则y' = 1 / (x * ln(a))。
解释：对数函数的导数等于1除以自变量乘以底数的自然对数。
例如：如果y = log₂(x)，那么y' = 1 / (x * ln(2))。
5. 指数对数函数导数公式若y = a^(bx + c)（a>0且a≠1，b和c为常数），则y' = (b * ln(a)) * a^(bx + c)。
解释：指数对数函数的导数等于指数项的系数乘以底数的自然对数，再乘以函数本身。
例如：如果y = 3^(2x + 1)，那么y' = (2 * ln(3)) * 3^(2x + 1)。
二、常用三角函数导数公式1. 正弦函数导数公式若y = sin(x)，则y' = cos(x)。
2. 余弦函数导数公式若y = cos(x)，则y' = -sin(x)。
导数的公式定义
导数的公式定义
导数（Derivative）也称为微商，是微积分中的重要基础概念。
导数的公式定义为：当函数 y=f（x）的自变量 x 在一点 x0 上产生一个增量Δx 时，函数输出值的增量Δy 与自变量增量Δx 的比值在Δx 趋于 0 时的极限 a 如果存在，a 即为在 x0 处的导数，记作 f’（x0）或 df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质，描述了函数在某一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数 f（x），x↦f’（x）也是一个函数，称作 f（x）的导函数（简称导数）。
基本导数公式16个汇总
基本导数公式16个汇总基本导数公式16个整理16个基本导数公式(y：原函数;y：导函数)：1、y=c，y=0(c为常数)。
2、y=x^μ，y=μx^(μ-1)(μ为常数且μ≠0)。
3、y=a^x，y=a^x lna;y=e^x，y=e^x。
4、y=logax，y=1/(xlna)(a0且a≠1);y=lnx，y=1/x。
5、y=sinx，y=cosx。
6、y=cosx，y=-sinx。
7、y=tanx，y=(secx)^2=1/(cosx)^2。
8、y=cotx，y=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2。
9、y=arcsinx，y=1/√(1-x^2)。
10、y=arccosx，y=-1/√(1-x^2)。
11、y=arctanx，y=1/(1+x^2)。
12、y=arccotx，y=-1/(1+x^2)。
13、y=shx，y=ch x。
14、y=chx，y=sh x。
15、y=thx，y=1/(chx)^2。
16、y=arshx，y=1/√(1+x^2)。
导数的几何意义是什么导数的数学意义是：函数y=f(x)在x0点的导数f(x0)的几何意义：表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
导数的物理意义是：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度(就直线运动而言，位移关于时间的一阶导数是瞬时速度，二阶导数是加速度)，可以表示曲线在一点的斜率，还可以表示经济学中的边际和弹性。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
导数运算法则减法法则：(f(x)-g(x))=f(x)-g(x)加法法则：(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)乘法法则：(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)除法法则：(g(x)/f(x))=(g(x)f(x)-f(x)g(x))/(f(x))^2常用导数公式1、y=c(c为常数) y=02、y=x^n y=nx^(n-1)3、y=a^x y=a^xlnay=e^x y=e^x4、y=logax y=logae/x y=lnx y=1/x5、y=sinx y=cosx6.y=cosx y=-sinx7、y=tanx y=1/cos^2x8、y=cotx y=-1/sin^2x。
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△x f(x 0,y 0)=f(x 0+△x,y 0)－f(x 0,y 0)(或△y f(x 0,y 0)=f(x 0,y 0+△y)－f(x 0,y 0)并引进偏导数的概念，即若极限 xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000(4 - 2 1)存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x,y)处对自变量x 的偏导数，记作 ),(00/y x f x ,,y0)(x0,xz ',),(00y x xf∂∂y0)(x0,x z∂∂．类似地，函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处对y 的偏导数可定义为 记作),(00/y x f y ,,y0)(x0,yz ',),(00y x yf ∂∂y0)(x0,yz ∂∂,若函数z=f(x,y)在区域D 内每一点(x,y)处对的偏导数都存在，则此偏导数就是x,y 的函数，称为f(x,y)对的偏导函数，记作),(/y x f x ,x z ',x f ∂∂,xz∂∂. 类似地，在D 内对变量的偏导函数记为),,(/y x f y y z ',y f ∂∂,yz ∂∂. 偏导数的定义可知，二元函数对一个自变量的偏导数，就相当于把另一个自变量看作常数，仍旧用一元函数的求导方法.例25 求函数z=x 3+2xy+y 3在点(1,2)处的两个偏导数. 解 把y 看作常数,对x 求导得,232y x z x +='再把x 看作常数,对y 求导得.322y x z y +=' 将点(1,2)代入,得7)2,1(='x z.14)2,1(='yz例26 求z=e 2x sin3y 的两个偏导数. 解xz∂∂=2e 2x sin3y ,yz∂∂=3e 2x cos3y . 例27求z=x y 的两个偏导数.解 ,1-='y x yxz .ln x x z y y ='偏导数的概念及计算方法可以推广到二元以上的多元函数,这里不再细述.对二元函数z=f(x,y)也有高阶导数的概念.若x z ∂∂=),(/y x f x , yz ∂∂=).,(/y x f y 这两个函数对x,y 的偏导数也存在,则称它们为函数z=f(x,y)的二阶偏听偏导数．二阶偏导数有以下四个：),,()(22y x f x z x z x xx ''=∂∂=∂∂∂∂),,()(2y x f yx zx z y xy''=∂∂∂=∂∂∂∂),,()(2y x f x y z y z x yx ''=∂∂∂=∂∂∂∂ ).,()(22y x f yzy z y yy''=∂∂=∂∂∂∂ 其中xyf ''与yx f ''称为二阶混合偏导数. 类似地,还可有更高阶的偏导数,二阶及二阶以上的偏导数统称为高偏导数.例28 设求z=3x 2y －2xy 2+ｘ3+4y 3．求．z z z z yy yx xy xx '''''''',,, 解 ,32622x y xy ｚx +-=' ,124322y xy x z y +-='yx z y x z y x z y x x y z yy xy yx xx 244,46,46),(666+-=''-=''-=''+=+=''例28中二个混合偏导数是相等的,即,而且在一般情况下,这也是正确的,即在导函数连续时,有yx xyf y x f ''=''),((x,y). 习作题6.41. f(x,y)=5x －３ｙ，求f x (1,0).2. f(x,y)=x 8y 3,求f x (1,0),f y (1,1)3. 设u=e y sinx,求.,)0,1()1,0(yu xu ∂∂∂∂4. 设z=yx,求.,yz x z ∂∂∂∂ 5. 若f(x,y)=x+(y －1)lnsin,yx求f x (x,1).6. 设u=(x+2y+3z)2,求.,,zu y u x u ∂∂∂∂∂∂ 第五节 全 微 分本节类比一元函数的微分，介绍二元函数的全微分概念及其在近似计算国的应用.一、全微分的概念定义 设有二元函数z=f(x,y),对于自变量在点（x,y ）处的改变量△x, △y ，函数z=f(x,y)有相应的全改变量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y),如果它可以表示为△z=A △x+B △y+o(ρ), 其中A 、B 只与x, y 有关，与x,y 无关，ρ=22)()(y x ∆+∆,o(ρ)是当ρ→0时比ρ=22)()(y x ∆+∆高阶的无穷小，则称二元函数z=f(x,y)在点（x,y ）处可微，并称A△x+B △y 是z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分.记作dz= A △x+B △y例如,若边长为x 和y 的矩形的边长分别取得改变量△x, △y, 则面积s 相应地有改变量△ s= (x+△x)( y+△y)-xy=y △x+x △y+△x △y上式右端的y △x+x △y 是△x, △y 的线性函数, △x △y 在△x →0, △y →0时是一比ρ=22)()(y x ∆+∆高阶的无穷小量,它比要小得多(图6-15).据全微分的定义有ds=y △x+x △y,即s=xy 的全微分表达式ds=y △x+x △y 中的A=y,B=x.那么,一般地,若二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微,其全微分表达式中的A 与B 分别是什么?若z=f(x,y)在点(x,y)处可微,则有△ z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)= A △x+B △y+o(ρ). 在上式中, 令△y=0，则有偏改变量△x z=f(x+△x,y)-f(x,y)=A △x+o (∣△x ∣) 两端除以△x ，并令△x →0，有A x x o A x z x x x =∆∆+=∆∆→∆→∆))((lim lim即 A=xz∂∂. 同理，可得 B=yz ∂∂.由此可得结论：若z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则x z ∂∂,yz ∂∂存在，且 dz=x z ∂∂△x+yz ∂∂△y. 注意，对于一元函数y=f(x)来说，可微性与导数存在是一致的，且可导必然连续，但对二元函数z=f(x,y)就不是这样，即使x z ∂∂,yz∂∂都存在，函数z 也不一定可微，也未必连续.但可以证明,若x z ∂∂,yz ∂∂都连续,则z=f(x,y)在(x,y)一定可微,且可微必然连续.最常碰到的函数都是有连续偏导数的,因此也是可微的.本书只讨论具有连续偏导数的函数,所以他们总是可微的.与一元函数类似,当x,y 是自变量时,我们规定dx =△x .dy=△y.于是,二元函数的全微分有更为对称整齐的形式:dz=x z ∂∂dx+yz ∂∂dy. 由全微分定义,若z=f(x,y)可微,则可先求得x z ∂∂,yz∂∂,然后再写出全微分dz=x z ∂∂dx+yz ∂∂dy.即可.当然,也可直接利用一元函数的微分法则来求得二元函数的全微分.例1 求z=x 3y 4的全微分. 解法一 因为x z ∂∂=3x 2y 4,yz∂∂=4x 3y 3所以 dz=x z ∂∂dx+yz ∂∂dy=3x 2y 4dx+4x 3y 3dy 解法二 dz=y 4d(x 3)+x 3d(y 4)= 3x 2y 4dx+4x 3y 3dy二、全微分在近似计算中的应用由二元函数的全微分的定义可知,若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,且∣△x ∣、∣△y ∣很小时,则 △z=f(x+△x.y+△y)≈dz=x z ∂∂dx+yz∂∂dy . 或f(x+△x.y+△y)≈f(x,y)+x z ∂∂dx+yz∂∂dy .用这两个公式可以计算二元函数的近似值. 例2 利用全微分公式求(1.01)2..99的近似值.解 设函数z=f(x,y)=x y,则 f x=(x,y)=yxy -1,f y =(x,y)=x y lnx取x=1,△x=0.01,y=3,△y=-0.01,于是 (1.01)2. 99=f(1.01,2.99)=f(1+0.01,3-0.01)≈f(1,3)+f x (1,3)*0.01+f y (1,3)*(-0.01) =13+3*12*0.01+13*ln1*(-0.01) =1.03.例3 设某产品的生产函数为Q=4L 43K 41,其中Q 是产量,L 是劳力投入,K 是资金投入.现在劳力投入由256增加到258,资金投入由10000增加到10500，问产量大约增加多少?解 由41413K L LQ -=∂∂,4343==∂∂K K Q ，得 于是,当L=256，△L=2，K=10000，△K=500 时△Q ≈dQ=47500*10000*2562*10000*256*343434141_=+-即产量大约增加47个单位. 习作题6.51． 设z=xlny,试用两种方法求dz 2． 设z=xy,当x=2,y=1,△x=0.1,△y=-0.2,求△z 及dz. 3． 求z=x 2y 2+x 3+y 4,求dz.4． 求u=ln(2x+3y+4z)的全微分 5． 利用全微分求(0.98)2.03得近似值.4.5.2二元函数的极值设二元函数z=f(x,y)在包含点(x 0,y 0)的某个区域有定义，若对异于(x0,y0)的邻近点(x,y)，其函数值恒成立f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)),则称点(xo,y0)为f(x,y)的极大值点（或极小值点）,而称f(x0,y0)为f(x,y)的极大值（或极小值）。
极大值点和极小值点统称为函数的极值点，极大值和极小值统称为函数的极值.例29 函数z=２(x2+y2)在点(0,0)处有极小值.因为对于点（0，0）的任一邻域内异于（0,0）的点的函数值都大于0,而在点（0,0）处的函数值为零．例30 函数z=221y x --在点(0,0)处有极大值.因为在点(0,0)处函数值等于1,而对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点的函数值都小于1.下面介绍怎样利用二元函数的一阶偏导数和二阶偏导数确定极值点的方法.(1) 若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)存在偏导数,且在点(x0,y0)处取得极值,则必 ,0),(,0),(0000='='y x f y x f y x 换言之,解方程组｛.0),(,0),(0000='='y x f y x f y x可求得函数可能的彬值点.仿照一元函数,称满足(4-22)的点(x0,y0)为函数z=f(x,y)的临界点.当然,临界点未必就一定是极值点,但若函数在临界点有二阶偏\导数,则可用下法确定:(2) 设(x0,y0)是x=f(x,y)的临界点,函数在该点有二阶偏导数,记A=),(00y x f xx'', B=),,(),(0000y x f y x f yx xy ''='' C=),(00y x f yy '' 则有①当AC －Ｂ2>0,且A>0,则临界点),(00y x 是极小点； ②当AC －Ｂ2>0,且A<0,则临界点),(00y x 是极大点； ③当AC －Ｂ2<0, 则临界点),(00y x 不是极值点.用以上结论,读者可自行验明例29、30的结论是正确的 例31某商店销售A 、B 两类商品，其单价分别为10元和9元.A 类商品件与B 类商品件的总成本C (x,y)=400+2x+3y+0.01(3x 2+xy+3y 2)为（元）。