14级《高等数学》(第二章)统测试卷答案

上海立信会计学院2014～2015学年第一学期
14级《高等数学》（第二章）统测试卷答案
（考试时间90分钟，闭卷） 共 4 页
一、单项选择题（每题2分，共20分）
1．设周期函数)(x f 在),(∞+-∞内可导，周期为4，又12)
1()1(lim
-=--→x
x f f x ，则
)(x f y =在点))5(,5(f 处的切线的斜率为 D A .2
1
B .0
C .1－
D .2－ 2．设函数)(x f 在点0=x 处连续，且1)
(lim
2
20=→h h f h ，则 C A .0)0(=f 且)0('-f 存在 B .1)0(=f 且)0('
-f 存在
C .0)0(=f 且)0('＋f 存在
D .1)0(=f 且)0('
＋f 存在
3．设⎪⎩⎪
⎨⎧≤>-=0
)
(0cos 1)(2x x g x x x
x x f 其中)(x g '是有界函数，则)(x f 在0=x 处 D
A .极限不存在
B .极限存在，但不连续
C .连续，但不可导
D .可导
4．设函数)(x f 在点a x =处可导，则函数|)(|x f 在点a x =处不可导的充分条件是 A .0)(=a f 且0)(='a f B .0)(=a f 且0)(≠'a f B C .0)(>a f 且0)(>'a f D .0)(<a f 且0)(<'a f
5．设32)3()2)(1()(---=x x x x f ，则导数)(x f '不存在的点个数是 B A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 6．设函数n n
n x
x f 31lim )(+=∞
→，则)(x f 在),(∞-∞内 C
A .处处可导
B .恰有一个不可导点
C .恰有两个不可导点
D .至少有三个不可导点 7．设可微函数)(x f y =，如果2
1
)('0=
x f ，则当0→∆x 时，该函数在0x x =处的微分dy 是 B A .x ∆的等价无穷小 B .x ∆的同阶但不等价的无穷小 C .x ∆的低阶无穷小 D .x ∆的高阶无穷小
8．若)()(x f x f --=，在),0(+∞内0)(>'x f ，0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内 A .0)(<'x f ，0)(<''x f B .0)(<'x f ，0)(>''x f C C .0)(>'x f ，0)(<''x f D .0)(>'x f ，0)(>''x f
9．设函数⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠=0
001sin ||)(2
x x x
x x f ，则)(x f 在0=x 处 C
A .极限不存在
B .极限存在但不连续
C .连续但不可导
D .可导
10．设)](,)(m ax [)(21x f x f x F =，20<<x ，其中x x f =)(1，2
2)(x x f =，则 D
A .⎪⎩
⎪⎨⎧
<<<<='2
2122101)(x x x x F B .⎩⎨⎧<<≤<='212101)(x x x x F C .⎩⎨⎧<≤<<='212101)(x x x x F D .⎩⎨⎧<<<<='2
121
01)(x x x x F
二、填空题（每题2分，共20分）
1．设)(x f y =，且36)
2()(lim 000=+-→h
h x f x f h ，则==0|x x dy dx 9－
2．设x 为不等于零的实数，t
x
x t f cos )(=，则=')(x f 1sin
3．设x
x x f 1
)(+=，则=''=1)(x x f 4
4．设)(x f 具有二阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则='')(x f 3
)]([2x f
5．已知⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=2323x x f y ，2
arcsin )(x x f ='，则
==0x dx dy 23π 6．设)()(ln x f e x f y =，其中f 可微，则=dy dx x f x f x f x e x f ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'+')(ln )()(ln 1)( 7．)99()4)(3)(2)(1(-----=x x x x x x y ，则=)
100(y ！100
8．设x
x x f +-=11)(，则=)()(x f n )
1()1(!2)1(+-+⋅-n n x n
9．设),(00y x 是抛物线c bx ax y ++=2
上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足
的关系是 c ax =2
0（或0≥a
c ），b 任意
10．设曲线n
x x f =)(在点)1,1(处的切线与x 轴的交点为)0,(n ξ，则=∞→)(lim n n f ξ e
1
三、计算题（每题5分，共40分）
1．设x e x x x y 3cos 3++=，求y ' ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-++-x x x x x ex x e x 3cos ln 3sin 33ln 33cos 1 2．221)1ln(x x x x y +-++=，求y ''
3．设x x
x y +=
1arctan ，求dy
x d x x x
x 2
2)1(1arctan ++-
4．设⎩⎨⎧+==2
ln 3sin 2t e y t x ，求2
2dx y d t t t e t 3cos 36)3sin 33(cos 3+ 5．由1)ln(2
2
=++xy
e y x 确定y 是x 的函数)(x y ，求)(x y ' xy
xy
e
y x x y e y x y x )(2)(22222++++-= 6．设)(x ϕ在a 点连续，)()(x a x x f ϕ-=，求)(a f -'与)(a f +'。

问在什么条件下)(a f '存
在？
)()(lim a x a
x ϕϕ=→)()
()(lim )(a a
x a a a x a x a f a
x ϕϕϕ=----='+
→+，
)()
()(lim )(a a
x a a a x a x a f a
x ϕϕϕ-=----='-
→-，
0)()()()()(=⇒-=⇒'='+-a a a a f a f ϕϕϕ
7．设⎩⎨⎧>+≤+=0
)1ln(0
)(x x x b ax x f ，确定a ，b 的值使)(x f 在0=x 处可导。

8．已知A x f =')(0，求x
x x f x x f x )
()(lim 000βα+--→ A )(βα+-
四、应用题（本题10分）
已知曲线x a y =（0>a ）与曲线x y ln =在),(00y x 处公共切点，试求： （1）常数a 的值及切点),(00y x ；（2）过此切点的切线方程。

1
-=e a ，)1,(2
e ；)(2
122
e x e y -=-- 五、证明题（本题10分）
设)(x f 在),(∞+-∞上有定义且在0=x 处连续，又对任意21,x x 均有)()()(2121x f x f x x f +=+。

（1） 证明)(x f 在),(∞+-∞上连续； （2） 又设a f =')0(（常数），证明x a x f =)(。

证（１）考虑y x ∆→∆0
lim
令01=x ，02=x ，得0)0(=f ，
又令x x =1，x x ∆=2，则)()()(x f x f x x f ∆+=∆+
即)()()(x f x f x x f y ∆=-∆+=∆，而)(x f 在点0=x 处连续，所以 0)0()(lim lim 0
==∆=∆→∆→∆f x f y x x
故)(x f 在),(∞+-∞内连续。

（２）考虑x
y
x f x ∆∆='→∆0lim )(
对),(+∞-∞∈∀x ，令x x =1，x x ∆=2， 则)()()(x f x f x x f ∆+=∆+， 即)()()(x f x f x x f y ∆=-∆+=∆
a f x
x f x y x f x x ='=∆∆=∆∆='→∆→∆)0()
(lim lim )(00，
c ax x f +=)(因为0)0(=f 故x a x f =)(。

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。