第八章 导数在初等数学中的应用
导数在初等数学中的应用刘永祥
导数在初等数学中的应用刘永祥 荔堡中学摘 要 本文研究的是导数在初等数学中的应用，主要应用在函数问题、不等式问题、解析几何问题以及综合应用问题，导数为这些问题的研究提供了新的视角，新的方法，同时也改变了我们的思维习惯. 关键词 导数;极值;切线;单调性;不等式;目标函数中图分类号 O172.1 文献标识码 A导数是高中数学新课程新增的重点内容之一，是连接初等数学与高等数学的桥梁.导数进入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入生机与活力，为中学数学中的问题(如函数问题，不等式问题，解析几何问题等)的研究提供了新的视角，新的方法，新的途径，拓宽了高考的命题空间，也在一定程度上改变了我们的思维习惯.本文就导数在初等数学中的应用举例说明.1 导数在函数中的应用1.1 利用导数研究函数的单调性例1 （2003年全国高考题）设0a >,求函数()()ln f x x a =+,()0,x ∈+∞的单调区间.分析 本题求函数的单调区间,即求()0f x '> 或()0f x '<的x 的取值集合. 解 因为()1f x x a'=-+，由0,0x a >>得()0f x '>等价于()22240x a x a +-+>.下面对进行分类讨论：(1) 当1a >时，()0f x '>在()0,+∞上恒成立.此时函数()f x 在()0,+∞上单调递增. (2) 当1a =时，当1x ≠时有()0f x >.此时函数()f x 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上也单调递增.又函数()f x 在1x =处连续，因此函数()f x 在()0,+∞上单调递增.(3) 当01a <<时,由()0f x '>解得2x a <--或2x a >-+因此函数()f x在(()0,22a a ---++∞和内单调递增;在(2a a ---+内单调递减.点评 利用导数求函数的单调区间,其解题方法固定,但它比用单调性的定义证明要简单,也容易理解与掌握.1.2 利用导数求函数的极值、最值.例2 已知()326f x ax ax b =-+在[]1,2-上的最大值为3,最小值为-29.求,.a b分析 求得极值后再与()()1,2f f -比较得最值.在比较和判断最值时，还要对a 进行讨论.解 因为()()2231234f x ax ax a x x '=-=-,令()0f x '=得0x =.又易知0a ≠.于是当0a >时,函数()[]12f x -在，上先增后减,且在0x =处取得极大值.再比较()()1,2f f -得()()12f f ->.所以()()0323229f a b f =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==-⎩⎪⎩ 当0a <时()0f x x '=在处取得极小值.又()()12f f -<.所以()()02922923f a b f =-⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩.点评 此题的思路属逆向思维,但仍可根据求函数最值的步骤求,但在判断最值时要分类讨论,避免解题时出现不完整的现象.例3 已知,x y 为正实数,且22240x x y -+=,求xy 的最大值.分析 题中有两个变量,x y 首先应选择一个主要变量,把其表示为某一变量的函数关系,实现问题转化,同时还要根据题设确定变量的取值范围,再利用导数函数的最值.解 由已知等式变形得()221204y x x =->,结合0x >得02x <<.设 ()2t xy =()()22223412412,4x y x x x x x ==-=- 则3232t x x '=-+.令0t '=得1230,2x x ==.又02x <<,当32x =时,34max 1332422t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2764=.所以 ()max xy =点评 (1)当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值必为函数的最值(此时区间为开区间);(2)解题的关键在于将求二次函数的最值问题转化为求一元函数的最值问题,另外不能忘记先确定()x y 或的取值范围;(3)实际问题中需建立目标函数,其解决策略与本题类似.1.3 求函数的值域例4求函数y .解 因为240230x x x +≥⎧⇒≥-⎨+≥⎩,所以函数的定义域为[2,).-+∞又因为y '===所以当2x >-时0y '>.所以y =在(2,)-+∞内单调递增.又()21,f -=-且当x →+∞=→+∞.所以函数的值域为[1,)-+∞.2 在解几中的应用2.1 求切线方程,法线方程,公切线方程例5 求过曲线215y x x =++上的点192,2p ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程.解 因为212y x x '=-,所以2154x y ='=,故切线斜率154k =.所以切线方程为()19152,24y x -=-即15480x y -+=.点评 函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点()0(,)x f x 处的切线斜率,即()0.k f x '=例6 证明()1f x x x =在处可微,则曲线()()11,y f x p x y =在点处的切线、法线方程()()()111y f x f x x x '-=-.()()()1111y f x x x f x -=--' (设()10f x '≠). 证明 如图,曲线()()11,y f x p x y =在点处的切线的斜率等于()1f x ',因为切线通过p 点,故所求的切线方程是()()()111y f x f x x x '-=-.其次因为法线与切线(斜率()1f x ')垂直,故()10f x '≠时法线斜率等于()11f x -',因为法线也通过p 点,故所求的法线是()()()1111y f x x x f x -=--' (设()10f x '≠).例7 (2003年全国高考题)已知抛物线1:2c y x x =+和抛物线22:c y x a =-+,当a 取什么值时,12c c 和有且仅有一条公切线?写出公切线的方程.解 设公切线()1111,l c p x y 切于,()2222,l c p x y 切于,则l 的方程有两种表达式:()()11122y y x x x -=+- ① 或 ()2222y y x x x -=-- ②因为22111222,y x x y x a =+=-+,所以①, ②变为()21122y x x x =+-.或 222y x x x a =-++.于是有122212222x x x x a+=-⎧⎨-=+⎩,消去2x 得2112210x x a +++=.由题意得()4810,a ∆=-+=所以12a =-.此时121213,24x x y y ==-==-.即12,p p 重合.故当1212a c c =-时和有且仅有一条公切线,且公切线方程为14y x =-. 点评 (1)此三例主要考察导数的几何意义,切线方程、公切线方程的表示法及方程的相关知识,这是导数的一种最基本的应用;(2)()0f x '的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率,其切线方程可以表示为()()()000y f x f x x x '-=-.2.2 求函数的解析式例8 设函数()32y f x ax bx cx d ==+++的图象与y 轴的交点为点p ,且曲线在p 点处的切线方程为24120x y +-=,若函数在2x =处取得极值-16,试求函数的解析式,并确定函数的单调递增区间.解 已知切线的方程为2412y x =-+,它与y 轴的交点为()0,12p ,将()0,12p 代入()32f x ax bx cx d =+++得12d =.因为()232f x ax bx c '=++,所以()024k f c '===-切线,所以()322412f x ax bx x =+-+.又因为函数()f x 在2x =处取得极值-16,所以()()20216f f '=⎧⎪⎨=-⎪⎩.即12424018436163a b a a b b +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-=-=⎩⎩. 所以()3232412f x x x x =+-+.对()f x 求导数得()23624f x x x '=+-.令()0f x '<得42x -<<.所以函数的单调递增区间为()4,2-.点评 若可导函数()y f x =在0x 处取得极值m,则必有()()00f x mf x =⎧⎪⎨'=⎪⎩.3 在不等式中的应用3.1 处理不等式证明问题例9 (2001年全国高考题)已知,m n 是正整数,且1m n <<.证明()()11nmm n +>+.分析 此题用二项式定理结合排列组合知识解决较难,若构造函数利用其单调性证明,思路简洁,方法更胜一筹.解 所证不等式两边取自然对数得()()l n 1l n 1n m m n +>+,即()()ln 1ln 1m n m n++>.令()()ln 1x f x x+=,考察()f x 的单调性,有()()2ln 11xx x f x x -++'=. 当2x ≥时,()1,ln 1 1.1xx x<+>+所以()0f x '<.又函数()f x 在[2,)+∞上为减函数,得()()ln 1ln 1m n m n++>,所以()()11nmm n +=+.点评 (1)本题构造函数是解题的关键, “构造”是一种重要而灵活的思维方式,解题时要弄清条件的本质特征,有一个明确的方向,以便重新进行逻辑组合;(2)不等式常常与函数联系在一起,因此处理不等式问题离不开导数的应用,特别要注意利用函数的单调性及极(最)值证明不等式.例10 已知,,,a b c R +∈且a+b+c=1,求证45<.分析 此题利用微分中值定理比初等方法简单,拉格朗日中值定理：如果()f x 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续;(2)在开区间(,)a b 内可导,则在(,)a b 内至少有一点,ξ使()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.证明 由已知条件得0,,1,a b c <<设()f x =(01)x <<,则()f x =1.x >>=+又因为()()()0f x f f x ξ'-= (01)ξ<<,所以()()() 0f x f f x ξ'=+112.x =+<+所以()112x f x x +<<+.分别令,,x a b c =,然后三个不等式相加得3a b c +++()32a b c <+++.所以45<. 3.2 处理含参数的恒成立不等式问题例11 已知不等式42220x ax a +-+>对任意实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题主要考察求函数极值、最值的方法以及导数的应用意识.解 令()4222f x x ax a =+-+,则()()32444f x x ax x x a '=+=+,下面对a 进行分类讨论：①当0a ≥时,由()0f x '=得0x =,且当0x >时,()0f x '>;当0x <时,()0f x '<.所以()02f a =-+是()f x 的最小值.()0(,)f x >-∞+∞在上恒成立()020f a ⇔=-+>,即2,a <所以02a ≤<.②当0a <时,由()0f x '=得1230,x x x ==从上表可知,()02f a =-+是()f x 的极大值;(f 是极小值,且为()f x 在(),-∞+∞上的最小值.因此()0(,)f x >-∞+∞在内恒成立(22021f aa a ⇔=--+>⇔-<<.所以 20a -<<.综合①, ②可知实数a 的取值范围22a -<<.4 利用导数证明一类组合恒等式例12 求证123123...2nn n n n n C C C nC n -++++=.证明 因为()012233...1nn nn n n n n C C x C x C x C x x +++++=+,两边对x 求导数得()11232123...1n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+ (1)令1x =得123123...2nn n n n n C C C nC n -++++=.例13 求证()122332223...12nn n n n n C C C n C n n -++++=+. 证明 对例12中的(1)式两边同乘以x 得()11223323...1n n nn n n n C x C x C x nC x nx x -++++=+.两边对x 求导数得()()()121222322123...111n n n n n n n n C C x C x n C x n x n n x x ---++++=++-+. (2)令1x =得()12233212 23...212 nn n n n n n C C C n C n n n --++++=+-()212n n n -=+.5 以导数为切入点的综合应用题例14 向高为h 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量v 与水深h 的函数关系如图1，则水瓶的形状可以是（ ）解我们用v h ∆∆表示体积随高度的变化率,当0h ∆→时,v h∆∆的值就是函数的导数,其几何意义是曲线的切线斜率,题中曲线先陡后平,体现出：vh∆∆先快后慢.故选（B ）.点评 此题属于导数在函数图象中的应用问题,应紧紧抓住两变量的变化关系，结合导数的几何意义解决,更显自然.另外也可求位移函数对时间的导数等其它的物理意义.例15 用总长为14.8m 的钢条制成一个长方形容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m ,那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积.分析 应建立目标函数,并利用导数求其最大值.解 设容器底面短边长为x m ，则另一边长为(0.5)x +m ，高为14.844(0.5)3.224x x x --+=-.由3.22x ->0和x >0得0<x <1.6.设容器的容积为3ym ,所以(0.5)(3.22)y x x x =+-.(A) (B) (C)(D)令'(0.5)(3.22)(3.22)2(0.5)0y x x x x x x =+-+--+=,得2151140x x --=.解得11x =,2415x =-（不合题意,舍去）.又因为0 1.6,x <<所以当1 1.6x <<时,'0y <.从而知1x =是函数y 的极大值点,且极大值为1 1.5 1.2 1.8⨯⨯=.又因为0x =或 1.6x =时,0y =.所以当1x =时,函数y 有最大值1.83m .这时容器的高为1.2.m点评 本题是传统内容的考题,若用求二次函数的一般方法难以解决,如果用分解因式后配项再用三个数的均值定理也是很难解决的,引导学生用求导的方法解决,以旧代新.在实际问题中,有时会遇到函数在某区间内只有一个极值点,那么可不与端点比较即可断定该极值为最值.例16 有一杠杆的支点在它的一端,而在距支点1m 处挂一个490kg 的物体,同时加力于杆的另一端,使杠杆保持水平,若杠杆本身每米重为5kg ,求最省力的杆长?解 设杆长为x m ,则杆重为5x kg ,杆AB 的中点D 即为重力作用点,由杠杆原理知：49052xFx x =+⋅.所以249055490,22x F x F x x'=+=-. 令0x F '=得14x =.从以上几例我们不难发现,对导数的考察,高考中往往用新旧结合,以旧代新或以新方法去解决问题的方法去进行命题,在新课程高考试卷中应用了求导数的方法处理函数的极值、最值、函数的单调性和有关不等式问题及相关综合应用的问题,将新增内容和传统内容有机结合设问,已形成高考命题的一道独特的风景线.这一命题思路应引起广大师生的注意,使学生能够获到最佳解题途径.参 考 文 献[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M]. 第三版.北京:高等教育出版社.[2]导函数的应用微积分学辞典[M].上海:上海教育出版社.[3]沈志刚.导数的应用[J],中学数学研究[A], 2003年第11-12期:32-33. [4]杨爱国.利用导数解初等数学问题[J],中学数学研究[A],2004(4):23-25. [5]李昭平.导数应用的“六大”亮点[J],数学教学研究[A],2004(9):32-34. [6]高俊宇.导数题型分析解析[J],数学教学研究[A],2004(4):22-25.[7]徐永忠.新课程高考命题的热点-导数的应用[J],中学数学研究[A],2003(10):13-14. [8]李昭平.高考对导数问题考察的五大特点[J],中学数学研究[A],2004(5):16-19.。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。
本文将详细阐述导数的几何意义以及在实际问题中的应用。
一、导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
考虑函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，这个导数值代表函数曲线在该点处的斜率。
换言之，导数告诉我们曲线在特定点的变化速率。
如果导数为正，表示曲线在该点处是上升的；如果导数为负，表示曲线在该点处是下降的；如果导数为零，表示曲线在该点处有极值（最大值或最小值）。
基于这个几何意义，我们可以通过导数来研究曲线的特性。
例如，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性，也可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以帮助我们理解曲线的弯曲程度。
曲线的弯曲程度与导数的变化率有关，较大的导数变化率表示曲线弯曲较陡峭，较小的导数变化率表示曲线弯曲相对平缓。
二、导数的应用1. 线性逼近导数的几何意义使得它在线性逼近问题中非常有用。
我们可以利用导数来构造一个称为切线的线性函数，用来近似曲线在该点的行为。
这种线性逼近方法在很多实际问题中被广泛应用。
例如，当我们需要确定一条曲线在某点的近似切线时，可以使用导数来计算该点处的切线斜率，并进一步确定切线方程。
2. 最优化问题导数在最优化问题中有重要的应用。
最优化问题涉及如何找到一个函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，我们可以找到导数为零的点，即函数的极值点。
进一步分析导数的符号，可以确定函数的最大值或最小值。
这一方法在经济学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3. 运动学问题导数在运动学中也有广泛的应用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来得到速度函数，通过对速度函数再次求导得到加速度函数。
这种将导数应用于运动学问题的方法使得我们能够研究物体的速度和加速度变化。
这在物理学和工程学中对于研究物体的运动非常有用。
4. 统计学在统计学中，导数被用于估计和分析数据。
例如，在回归分析中，我们可以通过对观测数据进行拟合来得到一个最佳的函数。
导数在研究初等函数上的应用
其次研 究函数 的单调性 、 极值 、 最值 、 凸凹性 、 点及 函数 作 图等 。最后 选取一 些典 型 的问题 ， 拐 用导数 进行刻 画。
关键词 ： 导数 ； 单调 性 ； 极值 ； 凸凹一 ； 点 ｌ 拐 ＃ －
引 言
ｆ± ２ 二 ！ 兰 （ ！
’
导数是数学分析课程 中最重要 的基本概念之一 ，它反映 了
０
（ ） 出 ｆｘ在 区间 （ ，） １求 （） ａｂ 内的所有驻点 ， 导数不存在 的点 ，
并计算各点 的函数值 ；
（） ２ 求出端点处的函数值 ｆａ和 “ｂ ； （） ） （） ３ 比较以上所有 函数值 ， 中最大 的就是 函数在ｆ，】 的 其 ａｂ上
最大值 ， 的就是函数 在【， 上的最小值。 最小 ａｂ ］
一０一 ） ０ １ 。 已越来越广泛 了，已逐渐 由解决 问题 的辅助地位上升为分析和 区 间 为 （ Ｏ，１ 和 （ ， ） 从 以上二例 可以看出 ， 函数 ｆｘ 的单调性是 函数 的局部状 （） 解决 问题 时 的必 不 可 少 的工 具 。
应先求 出 ｆ ｘ ＝ ， ）Ｏ的点或 ｒ ｘ不存在的 （ （） 导数是依照实际问题为背景提出的概念 。利用 函数 的导数 态 。研究函数 的单调性 ， 这些点把定义域分为若干个小 区间 ， 考查 ｆ ｘ 在各个 区间内 ，） （ 可以用来研究 函数分析性 质， 诸如单调性 、 极值点 、 凹凸性 、 函数 点， 然后根据定理判断 “ｘ在各个小 区间内的单调性。 ） 的渐进线 、 图象等许多性质。着重 阐述运用 导数来研究中学中 的符号 ， 画 ． ２ 常见 的因式分解 、 明恒等式 、 证 曲线 的切线 和法线方程 、 方程根 １ 函数的最值 的讨论等 ， 目的是可 以给中学里解决数学 问题拓展新的思路 ， 可 在生产实践 中， 常会遇到一类 “ 最大 ” “ 、最小” “ 、 最省” 等问 例如厂家生产一种 圆柱形杯 子 ， 就要考 虑在 一定条件下 ， 杯 以使有些数学问题得 到简化 ，希望能给中学 的老师和 同学提供 题 ， 子 的直径和高取多大时 ， 用料最省等。这类 问题就是数学上最值 些可借鉴 的东西。下面就讨论 一下导数在初等数学 中的应用。 １ 导数在研究 函数上的应用 １ 函数 的单调性 ． １ 问题。如何求最大值 、 小值 问题呢？ 最 设 函数 ｙ ｆｘ 在闭 区间【，］ ＝（ ） ａｂ上连续 ， 由闭区间上连续 函数
导数在初等数学中的应用-毕业论
江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文导数在初等数学中的应用Application of Derivative inThe Elementary Mathematics姓名：胡磊学号：200907010052学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：陈冬香（教授）完成时间：2013年4月25号导数在初等数学中的应用胡磊【摘要】导数是高中数学所接触的一个概念，它广泛地应用于众多数学模块中，如在函数的研究中，导数能更直观的形象的反应函数的部分性质，还有在判断方程的根；不等式的证明、恒等式的证明、数列求和、解析几何中都有广泛的应用。
在部分数学模块中，导数的引入给许多常规问题的解决提供了新的方法，突出导数在解决问题的优越性；并且归纳总结导数在应用时应注意的部分问题。
【关键词】导数初等数学解题方法应用Application of Derivative in the Elementary MathematicsHu Lei【Abstract】Derivative is a concept which is studied in high school mathematics. It is widely used in numerous math modules such as the research of the Function, in which Derivative can reflect Function’s partial properties more directly and magically. What’s more, Derivative also apply to the judgment of the Function Root, the certification of the Inequity and Identity, the summation of Number Sequence and the Analytic Geometry. In some math modules, the introduction of the Derivative provides new ways for many conventional problems which highlights its superiority in problem-solving. In addition, the essay also sums up and summarizes some problems in the application of the Derivative.【Key words】Derivative Mathematic Problem solving method Application目录1 引言 (1)2 研究导数在函数中的应用 (1)2.1 导数在研究函数的单调性中的作用 (1)2.2 导数在求函数的极值中的作用 (3)2.3利用导数求函数的值域 (4)3 研究导数在判别方程根中的应用 (4)4 研究导数在不等式中的应用 (6)5 研究导数在恒等式的证明中的应用 (8)6 导数在数列方面的应用 (10)7 研究导数的几何应用 (11)8 导数解决实际生活中的问题 (12)8.1 成本问题 (12)8.2 制作容器 (13)9 导数在应用时注意的部分问题 (14)总结 (15)参考文献 (16)致谢 (16)1 引言导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但是于导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。
导数在初等数学中的应用
改ｇ …
八Ｘ ） ＝ ２
价
州 嵌分 忻蚰 倘
’
．
， 存 ‘ ， （） Ｏ ＋∞）Ｌ ， 嘲数 ， Ｔ增 ｊ
＋
１
《 Ｉｏ） 一．
０
０
（ １ ｏ， ）
１
０
胀 等式为 ， ） ０ ’） ＞Ｉ ＞ ＞ 导 ＜ （ ＞ ：，１ ． 《 ． ｌ ｌ ０ ＝专 ｃ ０
ｇ
（ ｘｊ
０
故 ｍＯ州，其解集为 ｛ ＜２ ｛ ＞ Ⅲ＜ ｍ：
ｇｔ ｘ）
板
１ 俄 ／ 、
极
久 ＼
极 小 值 一 １ １ ｎ２
—
当ｍＯ耐，其解集为 ｝ｍ＜ １ ． ＜Ｉ ２ ＜１ １ ｝
二 、 明不 等 式 证 在 中 学里 学 习 的不 等 式 证 明 方 法 有 换 元 法 、 析 法 、 纳 法 等 基 本 方 分 归
・ ・
ｌ２ ｎ
２
ｆ为ｏ ｆ ｆ
ｌ
卜ｌｌ ， ｛ 】
《 ＝０ ）
‘ ＋ ．
法。但对于部分不等式的证 明， 函数的 角度出发 ， 过研究其 函数值 的 从 通 大小或其导 函数值的大小将不等式转化成 函数问题进行证 明。
例 ２【｝ ．“ 三 １ ＞Ｏ ｓ ＜ Ｉ ｉ 对， ｎ 则 ， Ｏ ０ ’） （
许 多人 认 为 ， 学 学 习 的 数 学 分 析 对 今 后 我 们 的 从 教 无 任 何 帮 助 ， 大 而 事 实 上 数 学分 析 中 的观 点 思 想 可 以 加 深 对 中 学 数 学 课 本 中概 念 的 理 解 ， 可 以提 高 教 师 自 身水 平 。 在 微 积 分 这 一 章 中 ， 以透 彻 地 学 习 导 数 的 由 来 、 可 概 念 、 意 义 。导 数 在 初 等 数 学里 内 容 虽 然 不 多 ， 应 用 广 泛 ， 几何 但 涉及 到 了
导数在中学数学中的应用
导数在中学数学中的应用分析摘要:导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引导导数的学习有利于学生更好地理解函数的性质，利用导数更容易求参数的值，；利用导数证明等式与不等式，利用导数求切线方程。
导数进入中学数学，丰富了中学数学知识和解法，给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法，给许多常规问题的解法提供了新视角。
关键词：导数、中学数学、应用大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。
在作切线时，他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E 就是我们现在所说的导数f'(A)。
导数与物理，几何，代数关系密切.在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度，加速度。
导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念.又称变化率.。
导数在中学数学中的应用十分广泛，利用导数可以作函数的图像、求函数的解析式、求函数的极值最值、求参数的值、证明等式和不等式、求切线的方程、求部分关于极限的问题。
总之导数在中学数学中的应用是十分广泛的。
16、17世纪，资本主义开始迅速的发展，精密的科学、航海学、弹道学的诞生，促进了力学的发展，工业技术的发展。
又要求当时的数学有了更高的要求，一开始都是用特殊的办法解决同一类型的问题，后来又了一般的方法，并逐步发展变化，最后牛顿和莱布尼茨建立了微积分。
导数的定义：函数()y f x =，如果自变量x 在x 有增量△x ，那么函数y 相应地有△y=()(),o of x x f x +∆-比值yx∆∆叫做函数y=f （x ）在x 到o x x +∆之间的平均变化率即y x ∆∆=00()()f x x f x x+∆-∆。
如果当0x ∆→时，y x ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作)(0'x f 或0'x x y =。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分中非常重要的一个概念，它描述了一个函数在其中一点处的变化率。
导数的应用非常广泛，不仅在数学中有着重要的意义，也在物理、经济、工程等领域中得到了广泛的应用。
下面将详细介绍导数的定义、性质及其应用。
首先，我们来看导数的定义。
设函数f(x)在点x=a处的导数为f'(a)，则导数的定义为：f'(a) = lim_(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)其中，lim表示极限运算。
这个定义表明，导数可以通过求极限来得到，它描述了函数在点a处的变化率。
根据导数的定义，我们可以得到一些导数的基本性质。
首先，导数有线性性质，即对于任意的实数a和b，以及函数f(x)和g(x)，有：（af(x)+bg(x))' = af'(x)+bg'(x)其次，导数满足乘法法则和链式法则。
乘法法则表明，对于函数的乘积，其导数可以通过各个函数的导数来计算，具体而言有：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)链式法则表明，对于复合函数，其导数可以通过外层函数和内层函数的导数来计算，具体而言有：(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)此外，导数还满足反函数法则和导数的平均值定理。
反函数法则表明，对于反函数，其导数可以通过原函数的导数来计算，具体而言有：(f^(-1)(y))'=1/f'(x)导数的平均值定理表明，对于一个区间[a,b]上连续且可导的函数f(x)，存在一个点c，在[a,b]内，使得f'(c)等于函数在该区间的平均变化率。
了解了导数的定义和性质后，我们可以来看一些导数的应用。
首先，导数可以用于计算函数在其中一点的斜率。
具体而言，如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，那么它就可以表示函数在该点处的斜率，即函数在该点处的切线的斜率。
其次，导数还可以用于确定函数的最值。
导数的应用教学课件ppt
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§8.2 导数在初等数学中的应用
一、导数在初等代数中的应用
例1 已知函数 f ( x) ln(1 x) x，g x x ln x （Ⅰ）求函数 f ( x )的最大值； ab （Ⅱ）设 0 a b，证明： 0<g (a) g (b) 2 g ( ) (b a)ln 2 （2004年全国高考Ⅱ ）
x
例3 已知函数 f ( x )
1 x ax e 1 x
（Ⅰ）设 ＞0，讨论 y f ( x)的单调性；
（Ⅱ）若对任意x (0,1) 恒有 f ( x) ＞1，求
a
a的取值范围．
（2006年全国Ⅰ套第21题，14分）
2 2 f ( x ) x a ln x 例4 已知函数 （ ＞0），f ( x )的导函数是f ( x) ，对任意两个不相 x x
2
例2 （1）设函数 f ( x) x log2 x (1 x) log2 (1 x) （0＜ ＜1，求函数 f ( x)的最 小值 , p2n满足 p1 p2 p2n 1 （2）设正数 p1 , p2 , p1 log2 p1 p2 log2 p2 p3 log2 p3 p2n log2 p2n n 证明： (2005年全国Ⅰ)
第八章 导数在初等数学中的应 用
1.目的与要求：通过本章教学，使学生理解导数的 定义，掌握导数在初等数学中的应用，认识导数的 应用价值．
2.教学重点、难点分析：导数的定义，导数在初等 数学中的应用是教学的重点；导数在初等数学中的 综合应用是教学的难点．
§8.1 导数的定义及其教学
一、导数定义的引入
等的正数 x1 、 ，证明：
x2
（Ⅰ）当 a （Ⅱ）当 a
0 时，
f ( x1 ) f ( x2 ) x x2 f 1 2 2
4 时， f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
（2006年四川理22题 ）S 源自t )二、导数在几何中的应用
例1
x t y 轴围成的三角形面积 y e 设曲线 （x 0）在点 M (t , e ) 处的切线 l 与x 轴、
为S (t )
（Ⅰ）求切线 l 的方程； （Ⅱ）求 S (t )的最大值 （2004年浙江 ）
小结
一、导数的定义及其教学
二、导数的应用