浅谈导数在解决实际问题中的应用文献综述

毕业论文文献综述数学与应用数学浅谈导数在解决实际问题中的应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，简要说明有关主题的或争论焦点）本论文的主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究导数在几何、物理及其经济上的一些应用，首先我们来介绍一些概念：定义1[]1 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限 ()()000lim x x f x f x x x →-- (1) 存在，则称函数f 在点0x 处的导数，记作()'0f x .令0x x x =+∆,()()00y f x x f x ∆=+∆-,则(1)式可改写为()()()00'000lim lim x x f x x f x y f x x x ∆→→+∆-∆==∆∆ (2) 所以,导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比y x ∆∆的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数()'0f x 则为f 在0x 处关于x 的变化率.若(1)(或(2)式极限不存在,则称f 在点0x 处不可导.定义2[]1 设函数()y f x =在点0x 的某右邻域[)00,x x δ+上有定义，若右极限 ()()0000lim lim x x f x x f x y x x ++∆→∆→+∆-∆=∆∆ ()0x δ<∆< 存在,则称该极限值为f 在点0x 的右导数,记作()'0f x +.右导数和左导数统称为单侧导数.若函数在区间I 上每一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数),则称f 为I 上的可导函数.此时对每一个x I ∈,都有f 的一个导数()'f x (或单侧导数)与之对应.这样就定义了一个在I 上的函数,称为f 在I 上的导函数,也简称为导数.记作'f ,'y 或dy dx,即 ()()()'0lim x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆,x I ∈. 在物理学中导数'y 也常用牛顿记号y 表示,而记号dy dx 是莱布尼茨首先引用的.目前我们把dy dx 看作为一个整体,也可以把它理解为d dx施加于y 的求导运算,待到学过“微分”之后,我们将说明这个记号实际上是一个“商”.相应于上述各种表示导数的形式,()'0f x 有时也写作0'x x y =或0x x dy dx =. 定义3[]1 若函数f 在点0x 的某邻域()0U x 内对一切()0x U x ∈有()()0f x f x ≥,()()()0f x f x ≤,则称函数f 在点0x 取得极大(小)值,称点0x 为极大(小)值点.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.利用导数求函数极(最)值这类问题的方法是:(1)用求导法求出函数导数.(2)令导数等于0,得出驻点及其不可导点.(3)用这些点把区间分成几个部分,然后讨论函数的单调性.(4)求出极值点.(5)求出区间端点值与极值进行比较,得到最值[]2.通过导数的定义，我们将利用导数的思想把导数应用到实际问题中. 二、主题部分（阐明有关主题的历史背景，现状和发展方向，以及对这些问题的评述）15世纪文艺复兴以后的欧洲,资本主义逐渐发展,采矿冶炼、机器发明、商业交往、枪炮制造、远洋航海、天象观测等大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题.其中有两类问题导致了导数概念的产生:一是求变速运动的瞬时速度;二是求曲线上一点处的切线.这两类问题都有归结为变量变化的快慢程度,即变化率问题.牛顿从第一个问题出发,莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念[]35-.1) 求变速运动的瞬时速度通常人们所说的物体的运动速度,是指物体在一段时间内的平均速度.例如:一汽车从甲地出发到达乙地,全程120千米,行驶4小时,则汽车行驶的平均速度是30千米/小时.事实上,汽车并不是每时每刻都以30千米/小时的速度行驶,这是因为,下坡时会跑得快些,上坡时会跑得慢些,也可能中途停车,等等,即 汽车每时每刻的速度是变化的.一般来说平均速度不能反映汽车在某一时刻的瞬时速度.随着科学技术的发展,我们仅仅知道物体运动的平均速度是不够的,还要知道物体在某一时刻的瞬时速度.例如:研究子弹头的穿透能力必须知道弹头接触目标的瞬时速度.2) 求曲线上一点处的切线斜率斜率()()0000lim lim x x f x x f x y k x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆导数是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.导数在实际应用方面有重要意义，物理学、经济学、几何学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示.譬如：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀直加为例，位移关于时间的一阶导数是速度，二阶导数是加速度）、可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和弹性.首先我们先叙述一下导数在物理学中的应用[]67-.数理不分家,导数在物理中有着广泛的应用.从实际问题抽象出数学模型后,抛弃物理背景,用导数方法处理,既可减少物理思维难度,又能开辟数学的应用天地.我们可以利用导数求速度和加速度,求感应电动势,求瞬间电流,对连接体进行速度的分解等等.解决非匀变速直线运动的物体的瞬时速度及瞬时加速度的问题,就只能利用导数处理.如果物体按()s s t =的规律作直线运动,则物体在时刻0t 的瞬时速度()'00v s t =,也叫位移s 在时刻0t 对时间t 的变化率：在时刻0t 的瞬时加速度()'00a v t =． 例如:物体做直线运动,位移对时间的变化规律为265s t t =-,求物体运动的加速度和初速度各为多少? 由定义有()'125ds v s t t dt===-.初速度是指0t =时刻的速度,将0t =代入上式有:05/v m s =-,()'212/a v t m s == 此题通常的求法是根据匀位移公式2012s v t at =+比较系数求出加速度和初速度. 在解决一些非均匀物体的的问题时，也要利用导数．例如:有一个质量分布不均匀的细杆AB ，长20cm ，AM 段的质量与从A 到M 点的距离的平方成正比.已知AM=2 cm 时，AM 质量为8g.求AB 上任一点处的线密度?AB 上中点处的线密度?解:依题意得到AM 段的质量y 是AM 段的距离x 的函数关系为:2y kx =,()020x ≤≤ 由于2x =时,8y =,所以2k =故质量y 对距离x 的函数关系为:22y x =,()020x ≤≤AB 上任一点处的线密度ρ就是质量y 对距离x 的导数，即()'224dy x x dxρ===g/m AB 上中点处的线密度是10x =时的线密度，即1041040x ρ==⨯=g/m在求电源的最大输出功率、求可变电阻消耗功的最值.以及炮弹的射程最远问题等都可利用导数得到解决，这里关键在于通过求导运算可以快速得到取极值的条件．接下来我们来叙述一下导数在经济中的应用[]812-.经济学是成本与收益的比较．经济学研究经济规律也就是研究经济变量相互之间的关系．经济变莓是可以取不同数值的量,如通货膨胀率、失业率、产量、收益等等，经济变量分为自变量与因变量.导数在经济领域中的应用．主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系．因此必须了解一些经济分析中常见的函数.常见的函数:(1)价格函数．一般说来,价格是销售量的函数．(2)需求函数．需求函数为()Q f p =,其中:Q 表示商品需求量；P 表示商品市场价格．(3)成本函数．成本函数记为C ,01C C C =+,其中:0C 为固定成本;1C 为变动成本．(4)收益函数．收益函数记为R ,R pq =,其中:q 表示销售量；P 表示价格．(5)利润函数．利润函数记为L,L=R —C,其中：R 表示收入;C 表示成本．一、弹性分析经济学所分析的弹性问题主要可以分为需求弹性和供给弹性2个方面也可以,也可以分成点弹性和弧弹性2种,常见的弹性分析主要有需求的价格弹性、需求的收入弹性、需求的交叉弹性以及供给的价格弹性、供给的收入弹性、供给的交叉弹性等.1.需求弹性1） 需求的价格弹性所谓需求的价格弹性,是指商品价格的变动率与其所引起的需求量变动率之比.公式为:d Q Q P Qe P P QP∆∆==∆∆ 当价格发生微小变化时:d dQ Pe dP Q= 由于需求量与价格反方向变化,所以,P ∆与Q ∆必有一个为负数,因此,d e 为负值.由于对弹性的考察只注重量的变化,所以一般都d e 的绝对值.需求弧弹性：表示某商品需求曲线上两点之间的需求量的相对变动对于价格的相对变动的反应程度，即需求曲线上两点之间的弹性.设需求函数为()Q f P =,Q ∆、P ∆各表示需求量和价格的变动量，d e 表示需求弹性系数，则需求弹性公式为：d Q Q P Qe P P QP∆∆=-=-∆∆ 在计算同一条弧的需求弧弹性时,由于P 和Q 所取的基值不同,因此,降价和涨价的计算结果不同.如果仅是一般计算某一条弧的需求弧弹性,并未强调是作为降价或涨价的结果则为了避免不同的计算结果,通常取两点的价格和需求量各自的平均值(中值)来做为P 和Q 值.则需求弧弹性中点公式为:121222d Q P P Q P Q Qe P Q Q P Q P P ∆+∆∆=-=-=∆+∆∆ 需求点弹性：表示需求曲线上某一点上需求量的无穷小的变动率对于价格的无穷小的变动率的反应程度,即需求曲线上某一点的弹性.设需求函数为()Q f P =,dQ ,dP 各表示需求量和价格的无穷小的变动量,d e 表示需求弹性系数,则需求点弹性公式为:d QdQ P Q e P dP QP∆=-=-∆ 2） 需求的收入弹性 需求的收入弹性就是用来测定商品的需求量对消费者收入水平变动的反应程度. ()()%%=需求的变动率需求的收入弹性系数收入的变动率 Q Y Y Y QYQQ ∆∆==∆∆ 3） 需求的交叉弹性 需求的交叉弹性就是用来计量一种商品的需求量的变化对其他商品价格变化反应的灵敏程度.xy x x y y xyxy Q P Q Q P P Q x e y P ∆=∆∆=-=∆商品需求量变动的百分比商品价格变动的百分比2.供给弹性供给弹性表示在一定的时期内,一种商品的供给量的相对变动对于该商品价格相对变动的反应程度.它是商品供给量的变动率与价格变动率之比.例:在一个某种商品的需求量对价格、收入和其它变量的回归方程中,收人的回归系数是10.要求:(1)计算当收入为10000美元,商品销售量是80000单位时,该商品的收入弹性;(2)如果该商品销售量从80000上升到90000单位,收入从10000美元上升到11000美元,商品的收入弹性是多少?该商品属于哪种产品?解(1)该商品的需求收入弹性是Q QI I ∆∆其中：I 表示收入;Q 表示商品销售数量；Q ∆是商品销售数量的变化;I ∆是收入的变化.在对Q 进行的关于I 和其它解释变量的回归中,I 的估计系数是10,即Q 10I∆=∆. 因此,对于10000美元的收入和80000单位的销售量,商品的收人弹性1000010 1.2580000I E =⨯=. (2)销售量从80000增加到90000单位，消费者的收入从10000美元增加到11000美元时, 1.24I E =,所以该商品是奢侈品．二、边际分析在经济学中,习惯用“平均”和“边际”的概念描述一个经济变量y 对于另外一个经济变量x 的变化.平均概念y 表示在自变量x 的某一个范围内的变化情况;边际概念涉及x 的某一值的“边缘上”y 的变化情况.显然,平均值,随石的范围不同而不同,边际概念表示当x 的改变量x ∆趋于0时y 的相应改变量y ∆与x ∆的比值的变化,即当x 在某一给定值附近有微小变化时y 的瞬时变化率.若设某经济指标y 与影响指标值的因素x 之间成立函数关系式()y f x =,则称导数()'f x 为()y f x =的边际函数,记作My .随着y ，x 含义不同,边际函数的含义也不同.(1)边际成本函数. 设生产某产品q 单位时所需要的总成本函数为()C C q =,则称()'MC C q =为边际成本函数.简称边际成本,()'0C q 称为当产量为0q 时的边际成本,其经济含义是:当产量为g.时,再生产一个单位产品所增加的总成本为()'0C q . (2)边际收入函数收入函数()R R q =,边际收入函数()'MR R q =,简称边际收入,()'0R g 称为当商品销售量为0g 时的边际收入,经济意义为:当销售量达到0g 时,如果增减一个单位产品,则收入将相应地增减()'0R g 个单位.(3)边际利润函数利润函数()()()L L q R q C q ==-,边际利润函数()()()''''L L q R q C q ==-,()'0L q 称为当产量为0q 时的边际利润,其经济意义是:当产量达到0q 时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减()'L q 单位.三、最优化分析[]11 (浅论导数在经济学中的应用)在经济管理中,企业需要寻求最小生产成本或获得最大利润的一系列价格策略.这些问题都可归结为求函数的最大值和最小值问题.这一思想运用到经济上可以进行经济业务最大化、最小化分析,通过分析来达到有效、合理安排生产,最大限度地取得利润,最小限度地消耗能源与原料.例如最大利润,最大收入,最低成本,最优批量,最大税收等.(导数在经济分析中的应用)最后我们在说一下导数在几何方面和实际生活中其它方面的应用[]1315-.应用导数的知识我们可以进一步研究函数以及曲线的某些性质, 分析处理解析几何中的有关切线问题.(浅谈导数的应用).比如中值定理,单调性,极值,最值和曲线的凹凸性等.导数的引入,大大拓宽了数学知识在实际优化问题中的应用空间.这个问题,是一个最优化问题,在实际生活中,这样的例子比较常见,需要建立函数关系式,一般没有简单有效的方法;即使能求解,也要涉及到较高的技能技巧.恰好用导数的知识,来求函数的最值就比较方便.对于这一类型的优化问题,如果所建立的函数次数较高,或是由它们经过四则运算得到初等函数以及它们的复合函数等等,都可以比较方便地应用导数知识来求问题的最值[]2.举个例子：有甲、乙两个城市.甲城市在一直线高速路A 处,乙城市与甲城市在高速路的同侧;乙城市位于离高速路40公里的B 处,它到高速路的垂足D 与A 相距50公里;两城市要在此路边共建一个加油站C,从加油站到甲城市和乙城市的费用分别为每公里3a 元和5口元.问加油站C 建在路边何处,才能使费用最省?解：设BCD=Q ∠,则40BC=sin θ,CD=40cot θ,02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 5040cot AC θ=-设总的水管费用为()f θ,依题意,有()()4053cos 35040cot 515040sin sin f a aa a θθθθθ-=-+=+ 所以()()()''253cos sin 53cos sin 40sin f aθθθθθθ---= 所以()235cos 40sin fa θθθ-=令()0f θ=,得3cos 5θ= 根据实际意义,当cos θ取35时,函数取到最小值, 此时4sin 5θ=,3cot 4θ=, 所以AC 5040cot 20θ=-=公里,即加油站建在A 、D 之间距城市甲20公里处.可使费用最省.导数的应用还有很多,比如在化学中解决化学反应速率问题,在工程方面研究设计问题等等.三、总结部分（将全文主题进行简要总结，提出自己的见解并对进一步发展方向作出预测）论述了导数的概念，分析了导数的定义，讨论了导数的应用问题．最后对导数研究的重点，难点进行归纳，给出恰当例子．本论文的重点是研究导数的实际应用问题！查阅各种相关文献，对各文献进行归纳总结，提取各文献中关于导数的相关内容，系统的进行总结．其中的难点在于如何把导数应用到实际生活中．我相信经过更多的研究，导数会有更多的应用．四、参考资料（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）[1]华东师范大学数学系．数学分析[M]．.北京：高等教育出版社，2001．[2]王丽英．巧用导数求最值[J]．张家口职业技术学院学报，2010，3．[3]明清河．数学分析的思想和方法[M]．济南：山东大学，2004．[4]Tom M.Apostol ．Mathematical Analysis(Second Edition) [M]．机械工业出版社，2004．[5] Richard Courant Fritz John ．Introduction to Calculus and Analysis[M]．世界图文出版公司，2001．[6]林清华．谈导数的几点应用[J]．科技信息（学术版），2008,9．[7]熊志权．利用导数处理高中物理问题[J]．高中数理化（高三），2007,5．[8]仇恒喜，赵迎军．微观经济学[M]．北京：经济科学出版社，2009．[9]刘荣花，杨春艳，孙艳伟．导数理论在经济分析中的应用[J]．高师理科学刊，2010，30(4)．[10]丁瑶．导数的经济意义及教学探讨[J]．重庆电子工程职业学院学报，2010，19(4)．[11]杨春艳，祝微．浅谈导数在经济分析中的应用[J]．金融理论与教学，2010，3．[12]葛琳．例谈导数在经济分析问题中的最优化应用[J]．考试周刊，2009，(36)．[13]唐红兵，洪燕君．浅谈导数几何意义的应用[J]．科技信息，2009，(24)．[14]张娟．浅谈导数在实际生活中的应用[J]．科技信息，2010，19．[15]夏大鹏．导数的应用刍议[J]．湖北广播电视大学学报，2010, 30(2)．。