摩尔-库仑模型及其在FLAC3D中的应用

摩尔-库仑模型及其在FLAC 3D 中的应用摘要: 本文首先阐述了塑性流动理论的增量方程，结合摩尔库仑破坏准则和拉伸破坏准则形成了FLAC 3D中采用的摩尔库仑本构模型，并指出不同的应力计算值I ij σ条件下N ij σ的计算方法。

最后通过模型试验与解析方法进行对比，发现FLAC 3D计算结果与简单模型下精确的解析解吻合较好，但在变性较大时逐渐出现一定偏差。

关键词: 摩尔-库仑模型，增量方程，流动法则，FLAC 3D1. 塑性流动理论的增量方程 一般情况下，破坏准则可表示为()0n f σ= （1）式中，f 为已知屈服函数，用来判定塑性流动开始产生。

在主应力空间中，为一曲面，落在曲面内的应力点为弹性状态。

塑性状态下的应变增量可表示为弹性应变增量和塑性应变增量之和：e p i i i εεε∆=∆+∆ （2）弹性应变增量和弹性应力增量的关系表示为：()ei i n S σε∆=∆ （3）式中，i S 为弹性应变增量的线性方程。

流动法则规定了塑性应变增量向量的方向，即与塑性势面的方向垂直，表示为：p i igελσ∂∆=∂ （4） 得到的新的应力矢量应满足屈服方程：()0n n f σσ+∆= （5）式（5）提供了一个估计塑性应变增量矢量的表达式。

将式（2）代入式（3），且考虑到i S 为线性函数，得：()()p i i n i n S S σεε∆=∆-∆ （6）再将流动法则（4）代入得：()()i i n i ngS S σελσ∂∆=∆-∂ （7） 假定破坏函数()n f σ为线性函数，式（5）可表示为：*()()0n n f f σσ+∆= （8）式中，*f 代表函数f 减去其常量值，*(.)(.)(0)n f f f =-。

对于位于屈服面上的应力点，()0n f σ=，式（8）可转化为，**(())(())0n n n ngf S f S ελσ∂∆-=∂ （9） 此时，定义新的应力分量为：N i i i σσσ=+∆ （10） ()I i i i n S σσε=+∆ （11）根据式（11），可得：*()(())In n n f f S σε=∆ （12）综合式（9），（12），可得λ：*()(())(0)In n n n f f S g f σλσ=∂∂- （13） 根据应力增量表达式（7），估算应力（11），新的应力（10）可表示为：()N I i i i ngS σσλσ∂=-∂ （14） 2. 莫尔库伦模型（IN FLAC 3D ）莫尔库伦模型的破坏包线包括两部分，一段剪切破坏包线和一段拉伸破坏包线。

与剪切破坏相对应的是相关联的流动法则，与拉伸破坏对应的是不相关联的流动法则。

在FLAC 3D 中，莫尔库伦模型表示在1σ，2σ，3σ主应力空间中，对应的应变分量为主应变1ε，2ε，3ε。

弹性增量方程主应力空间中，虎克定律的增量表达式可写为，111223()e e eσαεαεε∆=∆+∆+∆212213()e e e σαεαεε∆=∆+∆+∆ （15） 313212()e e e σαεαεε∆=∆+∆+∆式中，1α和2α为由剪切模量和体积模量定义的材料常数。

143K G α=+223K G α=- (16)根据式（3），式（15）可改写为：112311223(,,)()e e e e e e S εεεαεαεε∆∆∆=∆+∆+∆212312213(,,)()e e e e e e S εεεαεαεε∆∆∆=∆+∆+∆ （17） 312313212(,,)()e e e e e e S εεεαεαεε∆∆∆=∆+∆+∆复合破坏准则莫尔库伦模型所采用的破坏准则为摩尔库仑准则和最大拉应力准则。

三个主应力为123σσσ≤≤。

破坏准则在13(,)σσ面表示如图1。

图1 FLAC 3D 莫尔库伦破坏准则破坏包线13(,)0f σσ=，在A 到B 上由莫尔库伦准则0s f =定义，132s f N φσσ=-+ （18）在B 到C 上由拉伸破坏准则0t f =定义，3t t f σσ=- （19）式中，φ为摩擦角，c 为粘聚力，tσ为抗拉强度 1s i n ()1s i n ()N φφφ+=- (20)由图1可见，材料的抗拉强度不能超过0s f =和13σσ=交点对应的3σ值，因此抗拉强度的最大值为max tan tcσφ=(21) 2.3 流动法则塑性势面由两个方程来描述，s g 和t g ，分别用来定义剪切塑性流动和拉伸塑性流动。

函数s g 为不相关联的流动法则，13s g N σσψ=- （22）式中，ψ为膨胀角，1sin 1sin N ψ+ψ=-ψ（23）函数t g 为相关联的流动法则，3t g σ=- （24）统一的流动法可由函数13(,)0h σσ=定义，为0s f =和0t f =的对角线，如图2所示。

31()P t P h a σσσσ=-+- (25)P a N φ= (26)2P t N φσσ=- (27)图2 莫尔库伦模型－流动法则当由式（11）计算出的I i σ对应的应力点落在图2所示domain 1中，产生剪切破坏，应力点在相应曲线0sf =上，流动法则由塑性势方程sg 推得。

如果点落在domain 2中，发生拉伸破坏，新的应力点在0tf =上，由流动法则tg 推出。

2.4 塑性修正首先考虑剪切破坏的情况。

式（22）进行偏微分可得：11sg σ∂=∂ 20sg σ∂=∂ （28） 3sg N σψ∂=-∂ 将1s g σ∂∂，2s g σ∂，3s g σ∂∂代换1e ε∆，2e ε∆，3eε∆，式（17）变为：112123,,s s s g g g S N αασσσψ⎛⎫∂∂∂=- ⎪∂∂∂⎝⎭22123,,(1)s s s g g g S N ασσσψ⎛⎫∂∂∂=- ⎪∂∂∂⎝⎭ （29） 312123,,s s s g g g S N αασσσψ⎛⎫∂∂∂=-+ ⎪∂∂∂⎝⎭由式（14），（18）可得： 1112()N I s N σσλααψ=-- 222(1)N Is N σσλαψ=-- （30） 3312()N I s N σσλααψ=--+且，131212(,)()()s I I sf N N N σσλααααψψψ=---+ （31） 考虑拉伸破坏的情况，类似方法可得：21131()N I I t ασσσσα=-- 22231()N I I t ασσσσα=-- （32） 3N t σσ=3. FLCA 3D 执行方法当在FLCA 3D 中运行莫尔库伦模型时，首先通过将由虎克定律计算出的应力增量叠加到原有应力上计算（Iij σ），这时可计算出主应力。

如果主应力达到破坏准则，进入domain 1或者domain 2。

在第一种情况下，产生剪切破坏，1N σ,2N σ,3N σ 由式（30）求得；在第二种情况下，产生拉伸破坏，1N σ,2N σ,3Nσ 由式（32）求得。

如果应力点()13,I Iσσ在()13,σσ平面上落在包线内部，那么表明在这一步计算中没有出现塑性流动，新的主应力为,1,3I i i σ=。

4. 模型验证如图3所示，x ，z 方向主应力相等，边界条件为110ε∆=22/ v t Lε∆=∆（33）330ε∆=式中，v是试样y方向的恒定变形速率，L为试样高度。

图3 模型实验边界条件在FLAC3D中，采用一单元进行模拟，计算坐标（0，1，0）在指定竖向位移下的竖向应力并与解析解对比，结果如图4，5。

经计算发现，解析解与数值解吻合较好，当点的竖向位移较大时，存在偏差。

5．结论将塑性理论的增量模型及摩尔库仑准则和拉伸破坏准则相结合，形成FLAC3D中采用的摩尔库仑模型。

针对不同的应力计算值Iijσ，在FLAC3D中采用不同的处理方法。

最后通过模型试验与解析方法进行对比，发现FLAC3D计算结果与简单模型下精确的解析解吻合较好，但在变形较大时逐渐出现一定偏差。

σvs S y (膨胀角100)图4yσvs S y(膨胀角00)图5y6. 参考文献[1] Itasca Consulting Group, Inc. FLAC3D User Manuals, Version 2.1, Minneapolis, Minnesota, 2002.6[2] Wood，D.M. Soil Behavior and Criterion State Soil Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.[3]钱家欢,殷宗泽. 土工原理与计算. 北京:中国水利水电出版社,1996[4]郑颖人,沈珠江,龚晓南. 岩土塑性力学原理. 北京:中国建筑工业出版社,2002。