2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书12.3离散型随机变量及其分布列均值与方差试题部分

12.3 离散型随机变量及其分布列、均值与方差探考情 悟真题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点离散型随机变量及其分布列 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解两点分布和超几何分布的意义,并能进行简单的应用. 2018浙江,7,4分离散型随机变量的分布列函数的单调性★★★离散型随机变量的均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.2019浙江,7,4分离散型随机变量 的均值、方差 随机变量的分布列★☆☆2017浙江,8,4分 离散型随机变量 的均值、方差随机变量的分布列分析解读 1.随机变量及其分布列、均值与方差是概率统计部分的重要内容,是高中数学的主干知识,也是高考的热点.2.主要考查随机变量分布列的性质及运算求解能力.3.一般以解答题形式出现,以随机变量分布列为载体,综合计数原理、古典概型、等可能事件等考查学生分析问题、解决问题的能力.4.预计2021年高考试题中,对随机变量及其分布列、均值与方差的考查必不可少.破考点 练考向 【考点集训】考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2019浙江“超级全能生”联考,15)随机变量X 的分布列为X －3 －1 1 3 Pabcd其中a,b,c,d 成等差数列(a ＜b),则P(|X|=3)= ,D(X)的取值范围为 . 【参考答案】12;(209,5) 2.(2019浙江名校新高考研究联盟联考,11)已知随机变量ξ的分布列如下:ξ －1 1Pm13则E(ξ)= ,D(ξ)= . 【参考答案】－13;89考点二 离散型随机变量的均值与方差1.(2018浙江台州第一次调考,5)在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球,现从中有放回地摸取5次,每次随机摸取一球,设摸得的白球个数为X,黑球个数为Y,则( ) A.E(X)＞E(Y),D(X)＞D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)＞D(Y)C.E(X)＞E(Y),D(X)=D(Y)D.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y) 【参考答案】C2.(2020届浙江师大附中11月模拟,6)设0＜a ＜23,随机变量X 的分布列是X －1 01Pa23－a 13则当a 在(0,23)内增大时,( ) A.D(X)增大 B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大 【参考答案】A3.(2018浙江宁波模拟,13)已知随机变量X 的分布列如下表:X a2 34P13 b16 14若E(X)=2,则a= ;D(X)= . 【参考答案】0;52炼技法 提能力 【方法集训】方法1 求离散型随机变量的分布列的方法1.(2020届浙江台州一中模拟,5)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用X 表示所选3人中女生的人数,则E(X)为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【参考答案】B2.(2019浙江衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,6)已知随机变量ξ的分布列如下:ξ 1 2 3 P a b c若Eξ=2,则Dξ的值可能是( ) A.43B.32C.2D.23【参考答案】D3.(2018浙江浙东北联盟期中,14)已知随机变量ξ的分布列为ξ －1 012 Pa13 16b若E(ξ)=13,则a ＋b= ,D(ξ)= . 【参考答案】12;119方法2 求离散型随机变量的均值与方差的方法1.(2019浙江温州九校联考,7)抽奖箱中有15个形状一样,颜色不一样的乒乓球(2个红色,3个黄色,其余为白色),抽到红球为一等奖,黄球为二等奖,白球不中奖.有90人依次进行有放回地抽奖,则这90人中中奖人数的数学期望和方差分别是( ) A.6,0.4 B.18,14.4 C.30,10 D.30,20 【参考答案】D2.(2018浙江宁波期末,7)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n ∈N *)个黑球.现从中有放回地摸取4次,每次都是随机摸取一球,设摸得白球的个数为X,若D(X)=1,则E(X)=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【参考答案】B3.(2018浙江嵊州期末质检,8)甲箱子里装有3个白球和2个红球,乙箱子里装有2个白球和2个红球.从这两个箱子里分别摸出一个球,设摸出的白球的个数为X,摸出的红球的个数为Y,则( ) A.P(X=1)＞12,且E(X)＜E(Y) B.P(X=1)＞12,且E(X)＞E(Y) C.P(X=1)=12,且E(X)＜E(Y) D.P(X=1)=12,且E(X)＞E(Y) 【参考答案】D4.(2020届浙江绍兴一中期中,6)随机变量X 的分布列如表所示,若E(X)=13,则D(3X －2)=( )X －10 1 P16abA.59B.53C.5D.7 【参考答案】C【五年高考】A 组 自主命题·浙江卷题组考点一 离散型随机变量及其分布列(2018浙江,7,4分)设0＜p ＜1,随机变量ξ的分布列是ξ 012P1－p212p 2则当p 在(0,1)内增大时,( ) A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小 【参考答案】D考点二 离散型随机变量的均值与方差1.(2019浙江,7,4分)设0＜a ＜1.随机变量X 的分布列是Xa1P131313则当a 在(0,1)内增大时,( )A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大 【参考答案】D2.(2017浙江,8,4分)已知随机变量ξi 满足P(ξi =1)=p i ,P(ξi =0)=1－p i ,i=1,2.若0＜p 1＜p 2＜12,则( ) A.E(ξ1)＜E(ξ2),D(ξ1)＜D(ξ2) B.E(ξ1)＜E(ξ2),D(ξ1)＞D(ξ2) C.E(ξ1)＞E(ξ2),D(ξ1)＜D(ξ2) D.E(ξ1)＞E(ξ2),D(ξ1)＞D(ξ2) 【参考答案】AB 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2019天津理,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(2)设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率.解析 本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,重点考查数学建模、数学运算的核心素养.(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B (3,23),从而P(X=k)=C 3k (23)k (13)3－k,k=0,1,2,3.所以,随机变量X 的分布列为X 0123P1272949827随机变量X 的数学期望E(X)=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B (3,23),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}. 由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)＋P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)＋P(X=2)P(Y=0)=827×29＋49×127=20243.思路分析 (1)观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”,判断X~B(n,p),从而利用二项分布求出分布列与期望.(2)先将“天数恰好多2”用数学语言表示,即{X =3,Y =1或{X =2,Y =0.从而利用互斥与相互独立事件的概率计算公式求解. 解后反思 本题关键是将实际问题转化为数学问题.2.(2017课标全国Ⅲ理,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?解析 本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X 所有可能取值为200,300,500,由表格数据知 P(X=200)=2＋1690=0.2,P(X=300)=3690=0.4,P(X=500)=25＋7＋490=0.4.因此X 的分布列为X 200 300 500 P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n －4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300＋2(n －300)－4n=1 200－2n; 若最高气温低于20,则Y=6×200＋2(n －200)－4n=800－2n. 因此EY=2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2=640－0.4n. 当200≤n ＜300时,若最高气温不低于20,则Y=6n －4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200＋2(n －200)－4n=800－2n. 因此EY=2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2=160＋1.2n. 所以n=300时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为520元.3.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望.解析 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C 21C 31C 51C 103=14. (2)X 的所有可能取值为0,1,2,且 P(X=0)=C 83C 103=715,P(X=1)=C 21C 82C 103=715,P(X=2)=C 22C 81C 103=115.综上知,X 的分布列为X 012P715715115故E(X)=0×715＋1×715＋2×115=35.4.(2015四川,17,12分)某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了3名男生、2名女生,B 中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X 表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望.解析 (1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 43C 63C 63=1100. 因此,A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100=99100. (2)根据题意,X 的可能取值为1,2,3. P(X=1)=C 31C 33C 64=15,P(X=2)=C 32C 32C 64=35, P(X=3)=C 33C 31C 64=15. 所以X 的分布列为X 123P153515因此,X 的数学期望为E(X)=1×P(X=1)＋2×P(X=2)＋3×P(X=3) =1×15＋2×35＋3×15=2.评析本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.考点二 离散型随机变量的均值与方差1.(2018课标全国Ⅲ理,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)＜P(X=6),则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 【参考答案】B2.(2017课标全国Ⅱ理,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX= . 【参考答案】1.963.(2016四川,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X 的均值是 . 【参考答案】324.(2018课标全国Ⅰ理,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p ＜1),且各件产品是不是不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p 0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C 202p 2(1－p)18. 因此f '(p)=C 202[2p(1－p)18－18p 2(1－p)17]=2C 202p(1－p)17(1－10p).令f '(p)=0,得p=0.1,当p ∈(0,0.1)时, f '(p)＞0; 当p ∈(0.1,1)时, f '(p)＜0.所以f(p)的最大值点p 0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2＋25Y,即X=40＋25Y, 所以EX=E(40＋25Y)=40＋25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX ＞400,故应该对余下的产品作检验.5.(2018天津理,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. (i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望;(ii)设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A 发生的概率.解析 本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=k)=C 4k ·C 33－kC 73(k=0,1,2,3).所以随机变量X 的分布列为X 0123P13512351835435随机变量X 的数学期望E(X)=0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435=127.(ii)设事件B 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B ∪C,且B 与C 互斥. 由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故P(A)=P(B ∪C)=P(X=2)＋P(X=1)=67. 所以事件A 发生的概率为67.6.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m 个白球,n 个黑球(m,n ∈N *,n ≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m ＋n 的抽屉内,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(k=1,2,3,…,m ＋n).123…m ＋n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X 的数学期望,证明:E(X)＜n (m ＋n)(n －1).解析 本题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其性质,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P=Cm ＋n －1n －1C m ＋nn =nm ＋n . (2)随机变量X 的概率分布为X1n1n ＋11n ＋2…1k…1m ＋nPCn －1n －1C m ＋nnC nn －1C m ＋nn Cn ＋1n －1C m ＋nn…Ck －1n －1C m ＋nn…Cn ＋m －1n －1C m ＋nn随机变量X 的期望为E(X)=∑k=n m ＋n1k ·Ck －1n －1C m ＋n n =1C m ＋n n ∑k=n m ＋n1k ·(k －1)!(n －1)!(k －n)!.所以E(X)＜1C m ＋nn ∑k=n m ＋n(k －2)!(n －1)!(k －n)! =1(n －1)C m ＋nn ∑k=n m ＋n(k －2)!(n －2)!(k －n)!=1(n －1)C m ＋nn(1＋C n －1n －2＋C nn －2＋…＋Cm ＋n －2n －2)=1(n －1)C m ＋nn(Cn －1n －1＋Cn －1n －2＋C nn －2＋…＋Cm ＋n －2n －2)=1(n －1)C m ＋nn(C nn －1＋C nn －2＋…＋Cm ＋n －2n －2)=…=1(n －1)C m ＋nn(Cm ＋n －2n －1＋Cm ＋n －2n －2)=Cm ＋n －1n －1(n －1)C m ＋nn=n (m ＋n)(n －1),即E(X)＜n(m ＋n)(n －1).7.(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成如图,其中“*”表示服药者,“＋”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ); (3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.(只需写出结论) 解析 本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y 的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y 的值小于60的概率为1550=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D 四人中,指标x 的值大于1.7的有2人:A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2. P(ξ=0)=C 22C 42=16,P(ξ=1)=C 21C 21C 42=23,P(ξ=2)=C 22C 42=16. 所以ξ的分布列为ξ 012P16 23 16故ξ的期望E(ξ)=0×16＋1×23＋2×16=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差.方法总结 ①在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利用期望的公式求其数学期望;②在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或分散程度进行比较.C 组 教师专用题组考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2016课标Ⅰ,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X 的分布列;(2)若要求P(X ≤n)≥0.5,确定n 的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?解析 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 可知X 的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22, P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2＋0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2=0.24; P(X=20)=2×0.2×0.4＋0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04.(4分) 所以X 的分布列为X16 17 18 19 20 21 22 P0.04 0.16 0.24 0.240.20.08 0.04(6分)(2)由(1)知P(X ≤18)=0.44,P(X ≤19)=0.68,故n 的最小值为19.(8分) (3)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时,EY=19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04=4 040.(10分) 当n=20时,EY=20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)思路分析 (1)确定X 的可能取值,分别求其对应的概率,进而可列出分布列. (2)根据(1)中求得的概率可得P(X ≤18)以及P(X ≤19)的值,由此即可确定n 的最小值. (3)求出n=19,n=20时的期望值,比较大小即可作出决策.2.(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T(分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解析 (1)由统计结果可得T 的频率分布为T(分钟) 25 30 35 40 频率0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.20.30.40.1从而ET=25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1=32(分钟).(2)设T 1,T 2分别表示往、返所需时间,T 1,T 2的取值相互独立,且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T 1＋T 2≤70)=P(T 1=25,T 2≤45)＋P(T 1=30,T 2≤40)＋P(T 1=35,T 2≤35)＋P(T 1=40,T 2≤30) =0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5=0.91.解法二:P(A )=P(T 1＋T 2＞70)=P(T 1=35,T 2=40)＋P(T 1=40,T 2=35)＋P(T 1=40,T 2=40) =0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1=0.09. 故P(A)=1－P(A )=0.91.3.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X 的分布列和数学期望. 解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A, 则P(A)=56×45×34=12.(2)依题意得,X 所有可能的取值是1,2,3. P(X=1)=16,P(X=2)=56×15=16,P(X=3)=56×45×1=23, 所以X 的分布列为X 123P161623所以E(X)=1×16＋2×16＋3×23=52.考点二 离散型随机变量的均值与方差1.(2016山东,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX.解析 (1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D , 由事件的独立性与互斥性,得P(E)=P(ABCD)＋P(A BCD)＋P(A B CD)＋P(AB C D)＋P(ABC D )=P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A )P(B)P(C)P(D)＋P(A)·P(B )P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C )P(D)＋P(A)P(B)·P(C)P(D ) =34×23×34×23＋2×(14×23×34×23＋34×13×34×23) =23.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23. (2)由题意,随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)=14×13×14×13=1144,P(X=1)=2×(34×13×14×13＋14×23×14×13)=10144=572, P(X=2)=34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23=25144,P(X=3)=34×23×14×13＋14×13×34×23=12144=112,P(X=4)=2×(34×23×34×13＋34×23×14×23)=60144=512, P(X=6)=34×23×34×23=36144=14.可得随机变量X 的分布列为X 012346P1144 5722514411251214所以数学期望EX=0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14=236. 2.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列和均值(数学期望).解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=A 21A 31A 52=310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P(X=200)=A 22A 52=110, P(X=300)=A 33＋C 21C 31A 22A 53=310,P(X=400)=1－P(X=200)－P(X=300)=1－110－310=610. 故X 的分布列为X200300400P110310610EX=200×110＋300×310＋400×610=350.3.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X 的分布列和数学期望. 解析 (1)记事件A 1={从甲箱中摸出的1个球是红球}, A 2={从乙箱中摸出的1个球是红球}, B 1={顾客抽奖1次获一等奖}, B 2={顾客抽奖1次获二等奖}, C={顾客抽奖1次能获奖}.由题意,A 1与A 2相互独立,A 1A 2与A 1A 2互斥,B 1与B 2互斥,且B 1=A 1A 2,B 2=A 1A 2＋A 1A 2,C=B 1＋B 2. 因为P(A 1)=410=25,P(A 2)=510=12,所以P(B 1)=P(A 1A 2)=P(A 1)P(A 2)=25×12=15, P(B 2)=P(A 1A 2＋A 1A 2)=P(A 1A 2)＋P(A 1A 2) =P(A 1)P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)=P(A 1)[1－P(A 2)]＋[1－P(A 1)]P(A 2) =25×(1－12)＋(1－25)×12=12.故所求概率P(C)=P(B 1＋B 2)=P(B 1)＋P(B 2)=15＋12=710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为15,所以X~B (3,15).于是P(X=0)=C 30(15)0(45)3=64125,P(X=1)=C 31(15)1(45)2=48125,P(X=2)=C 32(15)2(45)1=12125,P(X=3)=C 33(15)3(45)0=1125.故X 的分布列为X 0 1 2 3P64125 48125 12125 1125X 的数学期望为E(X)=0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125=35. 4.(2015湖北,20,12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B 两种奶制品,生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产A,B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量. (1)求Z 的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率. 解析 (1)设每天A,B 两种产品的生产数量分别为x 吨,y 吨,相应的获利为z 元,则有 {2x ＋1.5y ≤W,x ＋1.5y ≤12,2x －y ≥0,x ≥0,y ≥0.①目标函数为z=1 000x ＋1 200y.当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为 A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).当z=1 000x ＋1 200y 变形为y=－56x ＋z 1 200, 当x=2.4,y=4.8时,直线l:y=－56x ＋z1 200在y 轴上的截距最大,最大获利Z=z max =2.4×1 000＋4.8×1 200=8 160. 当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).将z=1 000x ＋1 200y 变形为y=－56x ＋z 1 200, 当x=3,y=6时,直线l:y=－56x ＋z1 200在y 轴上的截距最大,最大获利Z=z max =3×1 000＋6×1 200=10 200.当W=18时,①表示的平面区域如图3, 四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0). 将z=1 000x ＋1 200y 变形为y=－56x ＋z 1 200, 当x=6,y=4时,直线l:y=－56x ＋z1 200在y 轴上的截距最大,最大获利Z=z max =6×1 000＋4×1 200=10 800. 故最大获利Z 的分布列为Z8 160 10 200 10 800 P0.30.50.2因此,E(Z)=8 160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2=9 708. (2)由(1)知,一天最大获利超过10 000元的概率 p 1=P(Z ＞10 000)=0.5＋0.2=0.7,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p=1－(1－p 1)3=1－0.33=0.973.评析本题考查了线性规划,离散型随机变量的分布列与均值及概率的计算等基础知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共36分)1.(2019浙江高考信息优化卷(一),5)已知随机变量Y~B(n,p),且E(Y)=2.4,D(Y)=1.68,则此二项分布是( ) A.B(3,0.8) B.B(8,0.3) C.B(6,0.4) D.B(4,0.6) 【参考答案】B2.(2019浙江诸暨期末,3)随机变量ξ的分布列为ξ1 2 3 Paba则其数学期望Eξ=( )A.1B.2C.3D.不能确定 【参考答案】B3.(2020届浙江金丽衢十二校联考,6)口袋中有5个形状和大小完全相同的小球,编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球,以ξ表示取出球的最大号码,则E(ξ)=( )A.3.55B.3.5C.3.45D.3.4 【参考答案】B4.(2019浙江宁波期末,8)已知ξ是离散型随机变量,则下列结论错误的是( ) A.P (|ξ|≤13)≤P (ξ2≤13) B.[E(ξ)]2≤E(ξ2) C.D(ξ)=D(1－ξ) D.D(ξ2)=D[(1－ξ)2] 【参考答案】D5.(2019浙江绍兴数学调测,7)袋中有m 个红球,n 个白球,p 个黑球(5≥n ＞m ≥1,p ≥4),从中任取1个球(每个球取到的机会均等),设ξ1表示取出红球的个数,ξ2表示取出白球的个数,则( ) A.E(ξ1)＞E(ξ2),D(ξ1)＞D(ξ2) B.E(ξ1)＞E(ξ2),D(ξ1)＜D(ξ2)C.E(ξ1)＜E(ξ2),D(ξ1)＞D(ξ2)D.E(ξ1)＜E(ξ2),D(ξ1)＜D(ξ2) 【参考答案】D6.(2020届浙江浙南名校联盟联考,7)设0＜x ＜12,随机变量ξ的分布列如下:ξ 0 1 2 P0.50.5－xx则当x 在(0,12)内增大时,( )A.E(ξ)减小,D(ξ)减小B.E(ξ)增大,D(ξ)增大C.E(ξ)增大,D(ξ)减小D.E(ξ)减小,D(ξ)增大 【参考答案】B7.(2020届浙江“超级全能生”联考,6)已知随机变量ξ的分布列如下:ξ 0 12P (1－p)22p(1－p) p 2则当p ∈(0,1)且不断增大时,( ) A.E(ξ)增大,D(ξ)增大 B.E(ξ)减小,D(ξ)减小C.E(ξ)增大,D(ξ)先增大后减小D.E(ξ)增大,D(ξ)先减小后增大 【参考答案】C8.(2020届浙江“绿色评价”联盟联考,8)随机变量ξ的分布列如表所示,ξ 1 23Pab16若E(ξ)=53,则随机变量ξ的方差D(ξ)等于( ) A.19B.39C.59D.79【参考答案】C9.(2020届浙江东阳中学月考,7)随机变量X 的取值为0,1,2,若P(X=0)=14,E(X)=1,则D(X)=( ) A.32B.12C.14D.1 【参考答案】B二、填空题(共6分)10.(2020届浙江百校联考,12)已知随机变量ξ的分布列如下表.ξ 01 2Pab16若E(ξ)=23,则a= ,D(ξ)= .【参考答案】12;59。