2019学年浙江省高中数学竞赛

2019学年浙江省高中数学竞赛一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分.1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为2. 已知5log )35(log 172+=-a a ，则实数a=3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根，则b a 22-的取值范围为4. 设R y x ∈,，且1)sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ，则x -y= 5. .已知两个命题，命题P ：函数())0(log >=x x x f a 单调递增；命题q ：函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围为6. 设S 是⎪⎭⎫ ⎝⎛85,0中所有有理数的集合，对简分数()1,,=∈q p S p q ，定义函数()32,1=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为9. 已知平面向量→a ，→b ，→c ，满足1=→a ，2=→b ，3=→c ，10<<λ，若0=⋅→→c b ，则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为10. 已知()⎩⎨⎧≥-<-=0,10,22x x x x x f ，方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-，则实数a=二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上11. 设.,2,1,)(316)(,32)(2121 =+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ，求x x f n 3)(=的实数解。

12. 已知椭圆12622=+y x 的右焦点为F ，过F 的直线)2(-=x k y 交椭圆于P ，Q 两点（0≠k ），若PQ 的中点为原点，直线ON 交直线x=3于M.（1）求∠MFQ 的大小；（2）求MFPQ 的最大值. 13. 设数列{}n a 满足： ,3,2,1,2,221=≤=-+n a a a n n n ，证明：如果1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列。

14. 设+∈Z b b b a a a 321321,,;,,，证明：存在不全为零的数{}2,1,0,,321∈λλλ，使得332211a a a λλλ++和332211b b b λλλ++同时被3整除.15. 设{}n a a a ,,,21 =σ为{}n ,,2,1 的一个排列，记()∑=++==ni n i i a a a a F 1111,σ，求().m in σF答案：一、填空题1. -41282.23.[]2,04.)(22Z k k ∈+ππ 5.),2[]1,2(+∞-6.57.13102--8.⎥⎦⎤⎢⎣⎡714arctan ,0 9.),4()113136,(+∞--∞ 10.2317- 二、解答题11. 证明：利用数学归纳法.（1）x=2是x x f n 3)(=的解当n=1时，x=2是x x x f 332)(21=+=的解.当n=k 时，设6)2(=k f 则6)2(3164)2(1=+=+k k f f . 由此可得x=2是x x f n 3)(=的解（对于所有的n ）.（2）当x>2时，2233)(x x x f n <<. 当n=1时，)2(23332)(221><<+=x x x x x f . 当n=k 时，设x x f k 3)(>，则x x x f x x f k k 31)(316)(221>+>+=+. 由此可得0<x<2都不是x x f n 3)(=的解（对于所有的n ）.因此，对于每个n ，x x f n 3)(=的实数解为x=212. 解：（1）联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(12622x k y y x ，可得061212)13(2222=-+-+k x k x k . 设P 点的坐标为()p p y x ,，Q 的坐标为().,q q y x 则13612,13122222+-=+=+k k x x k k x x q p q p . 于是有()13442+-=-+=+k k k x x k y y q p q p . 因为PQ 的中点为N ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+132,136222k k k k N ，因此ON 的斜率为k k MF 1-=， 即得1-=PQ MF k k ，因此MF 与PQ 垂直，∠MFQ=2π. （2）()()[]q p q p q p q p q p x x x x k x x k k x x k x x MF PQ I 4)(11)(222222222-+=-=+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()222222222213124131224)13(144++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=k k k k k k k k . 令132+=ku ，则()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---=+-=169411316)21211(3163)2(18222u u u u u u I ，13. 证明：（1）若1a 为有理数，则{}n a 为一个有理数数列（2）对于任意的n ，设1),(,==x y xy a n ，由已知条件，有且仅有下述一个等式成立：x x y a a n n 22221+=+=+或xx y a a n n 22221-=-=+.n a 与1+n a 有相同的分母（不约分）. （3）设1),(,1==q p p q a ，则n n n b pb a ,=为整数，由于,,3,2,1,2 =≤n a n 因此p b p n 22≤≤-（4）若存在两个自然数l k <，使得i k a a =，则由（2）中得到的x x y a a n n 22221+=+=+或xx y a a n n 22221-=-=+递推公式以及2≤n a ，n=1,2,3，…，可得{}n a 从k 项开始是一个周期数列，周期为k l -（5）由（3）可知对于任意的n ，n b 的值只有4p+1（有限个），故总能找到l k <，使得l k b b =，从而由l k a a =.综上所述，如果l a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列.14.证明：不妨设{}3,2,1,2,1,0,),3(m od ),3(m od =∈≡≡i l k l b k a i i i i k i ．则要证明结论正确，只要证明存在不全为零的数{}2,1,0,,321∈λλλ，使得≡++332211k k k λλλ)3(m od 0)3(m od 332211≡++l l l λλλ．(*)记)3(m od 1221c I k I k =-，这里{}2,1,0∈c ．情形（1）当时，则011==l k ，或者11,l k 不全为零．若011==l k ，则取0,1321===λλλ，有（*）式成立．若11,l k 不全为零，不妨设01≠k ，则取0,,31221=-==λλλk k ，且⎩⎨⎧≡-=++≡-=++)3(mod 0)3(mod 021123322112112332211l k l k l l l k k k k k k k λλλλλλ即(*)式. 情形（2）当c=1或2时，即)3(mod 12≡c ．记)3(m od )(),3(m od )(2311312332c l k l k c c l k l k c ≡-≡-，这里{}2,1,0,21∈c c ．令1,,32211===λλλc c ，则{}2,1,0,,321∈λλλ且不全为零，且=++332211k k k λλλ≡++332211k c k c k c )3(m od )()(32311312332k k l k l k c k l k l k c +-+- )3(mod 0)3(mod )1()3(mod )(32221123≡-≡+-≡k c k l k l k ck类似可以证明)3(m od 0332211≡++l l l λλλ．综上所述，可以取到不全为零的数{}2,1,0,,321∈λλλ，使得（*）式成立15.解：问题等价于圆周上放置i r 个数，使得相邻数的乘积之和为最小，最小值记为n T ．不妨设n a =1，则数字1必与它相邻，否则设j a =1（2≠j ，i r ），则可将j a a a ,,,32 ，的数字改变为21,,,a a a j j -上的数字，则相邻数的乘积和的该变量为0))((211121121<--=--++++a a a a a a a a a a a a j j j j j j ．于是可确定12=a ．再说明数字2也必与数字i r 相邻，即2=n a ．事实上，若j a =2（n j ≠），则交换j n n a a a ,,,1 -为n j j a a a ,,,1 +，此时的目标改变值为0))((111111<--=--+---n j j j j n j n j a a a a a a a a a a a a .因此目标取到最小值时，2,1,21===n a a n a ．由此出发，依次可得2,113-=-=-n a n a n ． 在已安排好的两端数字，若剩下的数比两端数字都小，则在剩下的数中找两个最小的数字，按小对大，大对小放置；若剩下的数比两端数字大，则在剩下的数字中找两个最大的数，按大对小，小对大放置．由此规律即得 ,4,3,4,33524-=-===--n a n a a a n n ．下面用递推法计算n T ．考虑n+2个数字，我们在n T 的数字排序中，将每个数字加1，再放置1，n+2这两个数字，在，n+1的中间插入n+2，1，即可得到2+n T ．因此，)1(2)2(2)2()1(2+-++++++=+n n n n T T n n ，其中∑=+++=++=ni n i i n n n T a a T 11)2()1)(1(，。