2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案(1)
2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案
2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案一、填空题（每题8分，共80分）1. 32290x x x -+-=2. 1-3.16±4分，满分8分） 4.5. 136.5[27. z =−14±√154i （每个答案给4分，满分8分）8. 1269. 15310. 912 二、解答题（共五题，11-13各20分，14、15各30分，合计120分） （解答题严格按照上述标准给分，分数整5整10，不给其他过度分数。
）11. 已知数列{}n a，且11a =2,3,)n ==L ，令1n n b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n S 。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈(1)101n S n λ≤+≤+恒成立，求实数λ的取值范围。
解答 （1）由数学归纳法证明得na = （5分） （2）由于n b =1n S =, （10分）(1)101n S n λ≤+≤+得到λ≤≤上式对任意的正整数成立，则min 202λ=≤≤=，（15分）即202λ≤≤。
（20分）12. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且椭圆C 的任意三个顶点构成的三角形面积为12。
（1）求椭圆C 的方程；（2）若过(,0)P λ的直线l 与椭圆交于相异两点,A B ，且2AP PB =u u u r u u u r ，求实数λ的范围。
解答 （1）设椭圆的长半轴长为,a 短半轴长为,b 则有122ab a ==，解得，11,2a b ==，所以椭圆C 的方程为2241x y +=。
（5分） （2）设直线l 的方程为,x my λ=+设两个交点坐标为11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2AP PB =u u u r u u u r ，得到122y y =-。
………………………………① （10分）联立方程组2241x y x my λ⎧+=⎨=+⎩ 得到222(4)210m y my λλ+++-=……②显然，12,y y 为方程②的两个相异的实根，则有22222(2)4(1)(4)04(1)m m m λλλ--+>⇒>-…………③ 由韦达定理得212122221,44m y y y y m m λλ-+=-=++，联立①得到 2222222214(1)2()04491m m m m λλλλ--+=⇒=++-………………④ （15分）又1λ=±，13λ=±不符合题意。
2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题(含答案)
13．已知函数
f
x
|
1
x 1|e x
a.
(1)若 f x 0 恰有三个根，求实数 a 的取值范围
(2)在(1)的情形下，设 f x 0 的三根为 x1, x2 , x3 且 x1 x2 x3 , 证明 x2 x1 a. 14．设正整数 n 3, 已知 n 个数 a1, a2 ,, an ,记两两之和为 by ai a j i j , 得到如
n 1)min 20 ，（15 分）
即 6 20 。 2
（20 分）
12. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 3 ，且椭圆 C 的任意三个顶点构成的三角形面 2
积为 1 。 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若过 P(, 0) 的直线 l 与椭圆交于相异两点 A, B ，且 AP 2PB ，求实数 的范围。
（1） x
1时，
f
x
x
1
e
1 x
，
f 'x 1
1 x
1 x2
e
1 x
0
x
1时，
f
x
x
1
e
1 x
，
f 'x
1
1 x
1 x2
e
1 x
0
所以函数 f x 在 , 1 , 1,0 , 0, ，
且 f (x) (x ), f (1) 0, f (0 ) , f (0 ) 0,
故a 0
（5 分）
（2）当 n 4 时。显然由 k C32 1 4 ，否则取某三个数的两两之和不能确定出第四个数。
当 k 4 时，如果 b21, b31, b42 , b43 这 4 个值，也无法确定出 a1, a2 , a3, a4 。
2020年全国高中数学联赛浙江赛区填空题解析
2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题（填空题解析，除第九题）33)](32,32[21cos 0',)cos 2(1cos 2'______cos 2sin ,..42416249184781498,98494789849144957674972249494924777772477._________724.31)}({max 12)11()(]1,0[12)11()(11]0,1[}2)1{(min )(._______]1,1[)(},12{min )(.29209)(2)(092303._______103.132max 22222222242422242222222]1,1[222]1,[2]1,[23222322463323==∴∈+-∈∴≥⇒≥--=-=∈±∴±=⇒=⇒=+-∴=++=++++⇒=++⋅++++⇒=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+++∴-=∴-=--=∈-≤--+=∴=+≤-∈--=---=-+-∴=-+-⇒=-+-⇒-=-⇒=+-=+-+=-∈+∈+∈ππππππk x a a a x a a x y y Z k k k x x y x x y x xy R x x t t t t x x xx x x xx x x x x y x y x y x m m a f a f a a a f a x a x a f a f x x a f x x x r r r r r r r r r r r x x r 令解析：的最大值为则答案为令平距离为，地面端点到节点的水直距离为设墙上端点到节点的垂解析：米或米为端点到地面的垂直距离，则此时竹竿在墙上的都是离和到地面的垂直距离上某一节到墙的垂直距端落在地面上。
若竹竿，一端靠在墙上，另一某竹竿长为时，当时，当解析：上的最大值为在则已知方程为解析：为的整系数一元三次方程为其解得首项系数为的解，则以为方程设种由下表可得共有组合：十、百位：，个位：解析：位数的个数为，则满足上述条件的六码和为的倍数，且六位数的数都是的数字的倍数，十位和百位上数字是进制数中，其个位上的的正整数组成的六位十已知由的辐角为解析：设或取得最小值时，则此时当为复数，且设，构图可得间夹角均为，，可知和由解析：的取值范围为则。
【精品】2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案
由归纳可知，这些 可唯一确定出 ，然后再有 （或 ）确定出 。
（30分）
15.设 为实数列，证明 。
证明：不等式的左边= ，由Cauchy不等式得
，（10分）
由等式
以及 ，从而只需证明
（1）以及 （2）。（20分）
解答（1）当 时，显然由 才能唯一确定出 ，此时 。（5分）
（2）当 时。显然由 ，否则取某三个数的两两之和不能确定出第四个数。
当 时，如果 这4个值，也无法确定出 。
当 时，若已知 中任意五个数的值。不妨设 的值未知，则由 可以确定 ，从而唯一确定出 。（10分）
（3）当 时，显然由当 ，下面证明最小值取到等号。
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过 的直线 与椭圆交于相异两点 ，且 ，求实数 的范围。
解答（1）设椭圆的长半轴长为 短半轴长为 则有 ，解得， ，所以椭圆 的方程为 。（5分）
（2）设直线 的方程为 设两个交点坐标为 ， 。
由 ，得到 。………………………………①（10分）
联立方程组 得到 ……②
显然， 为方程②的两个相异的实根，则有
11.已知数列 ，且 ， ，令 ，记数列 的前 项和为 。
（1）求数列 的通项公式；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围。
解答（1）由数学归纳法证明得 。 （5分）
（2）由于 ，得
, （10分）
由 得到
，
上式对任意的正整数成立，则 ，（15分）
即 。（20分）
12. 已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且椭圆 的任意三个顶点构成的三角形面积为 。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)
2
4
2
2
【解析】 a =b ， c =d ，设 a=x ， b=x ； c=y ， d=y ，x － y =9． ( x+y )( x－ y ) =9．
∴ x+y2=9， x－ y2=1， x=5， y2=4． b－ d=53－25=125－ 32=9 3．
11．将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每
n=q2+q+1，l
≥
1 q(
q+1)
2+1，
2
q≥ 2，q∈ N．已知此图中任四点不共面， 每点至少有一条连线段， 存在一点至少有 q+2 条连
线段．证明：图中必存在一个空间四边形 ( 即由四点 A、B、 C、 D和四条连线段 AB、BC、CD、
DA组成的图形 ) ．
2020 年全国高中数学联赛解答
BD DQ 本题成立．而要证 BDQ∽ DAQ，只要证 AD=AQ即可．
二、（本题 50 分）
设三角形的三边长分别是正整数 l ，m， n．且 l >m>n>0．
l
m
n
已知
3 10 4
=
3 10 4
=
3 10 4
，其中
{ x} =x－ [ x] ，而 [ x] 表示不超过
x 的最大整数．求这种三角
形周长的最小值．
2
y=－ (cot
u+tan u)+cos
u=－ sin2
u+cosu．在
u∈ [ － ，－ ] 46
时， sin2
u与
cos u 都单调递
11 增，从而 y 单调递增．于是 u=－ 6时， y 取得最大值 6 3，故选 C．
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
（
）
A．只有一个
B ．有二个
C ．有四个
D ．有无穷多个
6. 记集合 T
{ 0,1,2,3,4,5,6}, M
{ a1 7
a2 72
a3 73
a4 74
| ai
T , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的
顺序排列，则第 2020 个数是（
）
A． 5 5 6 3 7 72 73 74
二、（本题满分 50 分）
设正数 a、 b、 c、 x、 y、z 满足 cy bz a, az cx b; bx ay c.
x2
y2
z2
求函数 f (x, y, z)
的最小值 .
1x 1y 1z
三、（本题满分 50 分）
对每个正整数 n，定义函数 f (n)
0 当 n为平方数 ,
[ 1 ]当 n不为平方数 . { n}
。
【答案】 4 . 3
【解析】设 f ( x) cos(x ) cos( x ) cos(x ), 由 x R ， f (x) 0 知，
f ( ) 0, f ( ) 0, f ( ) 0, 即 cos(
) cos( ) 1,cos(
)
cos(
) 1,cos(
) cos(
) 1. cos(
) cos(
【解析】
2 3 ,0
23
, cos(
2) cos( 3 ), 即
2
22
2
2
sin 2 sin 3.
又0 2 ,
3 , cos 2 0, cos 3 0, cos 2 cos 3 0, 方程表示的曲线是椭
22
圆。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛
2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛一、填空题（每小题8分，共80分）1.设r 为方程330x x -+=的解，则以2r 为解、1为首项系数的整系数一元三次方程为____________.2.已知[]{}2,1()min 21x a a f a x x ∈+=--.则()f a 在区间[]1,1-上的最大值为____________. 3.某竹竿长为24米，一端靠在墙上，另一端落在地面上.若竹竿上某一节点到墙的垂直距离和到地面的垂直距离均为7米，则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为____________.4.设x R ∈.则sin 2cos x y x=-的最大值为____________. 5.在四面体P ABC -中，棱PA 、AB 、AC 两两垂直，且PA AB AC ==,,E F 分别为AB PC 、的中点.则EF 与平面PBC 所成角θ的正弦值为____________.6.已知平面上不共线的三个单位向量a 、b 、c ,满足 a + b + c = 0.若01t ≤≤，则2(1)a tb t c -++-的取值范围是____________.7.已知z 为复数，且1z =.当23413z z z z ++++取得最小值时，复数z =____________.8.已知由六个正整数组成的六位十进制数中，其个位数的数字为4的倍数，十位和百位上的数字均为3的倍数，且六位数的数码和为21.则满足上述条件的六位数的个数为____________.9.一个正整数若能写成20827(,,)a b c a b c N ++∈形式，就称其为“好数”.则集合{}1,2100⋅⋅⋅，，中好数的个数为____________.10.设12,,,n i i i ⋅⋅⋅为集合{}1,2,n ⋅⋅⋅,的一个排列.若存在k l <且k l i i >，则称数对(,)k l i i 为一个逆序，排列中所有逆序数对的数目称为此排列的逆序数.比如，排列1432的逆序为43、42、32，此排列的逆序数就是3.则当6n =时，且3=4i 的所有排列的逆序数的和为____________.二、解答题（每小题20分，共60分）11.已知数列{}n a满足：11a ==1n n b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的n N +∈(1)101n S n λ≤+≤+恒成立，求实数λ的取值范围.12.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x，且椭圆C 的任意三个顶点构成的三角形面积为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(,0)P λ的直线l 与椭圆交于相异的两点A 、B ，且2AP PB =,求实数λ的取值范围.13.已知函数1()1x f x x e a -=+-.（1）若()0f x =恰有三个根，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的情况下，设()0f x =的三个根为123x x x 、、，且123x x x <<，证明：21x x a -<.三、附加题（每小题30分，共60分）14.记正整数3n ≥，n 个数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，记()ij i j b a a i j =+>，得到如下图的数表.21313212,1 n n n n b b b b b b -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅若在表格中任意取定k 个数，可以唯一确定出n 个数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，求k 的最小值.15.设{}i a 、{}j b 为实数列.证明：112020202020202222,112m n m n m n a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.。