2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题(含答案)
2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案
2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案一、填空题（每题8分，共80分）1. 32290x x x -+-=2. 1-3.16±4分，满分8分） 4.5. 136.5[27. z =−14±√154i （每个答案给4分，满分8分）8. 1269. 15310. 912 二、解答题（共五题，11-13各20分，14、15各30分，合计120分） （解答题严格按照上述标准给分，分数整5整10，不给其他过度分数。
）11. 已知数列{}n a，且11a =2,3,)n ==L ，令1n n b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n S 。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈(1)101n S n λ≤+≤+恒成立，求实数λ的取值范围。
解答 （1）由数学归纳法证明得na = （5分） （2）由于n b =1n S =, （10分）(1)101n S n λ≤+≤+得到λ≤≤上式对任意的正整数成立，则min 202λ=≤≤=，（15分）即202λ≤≤。
（20分）12. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且椭圆C 的任意三个顶点构成的三角形面积为12。
（1）求椭圆C 的方程；（2）若过(,0)P λ的直线l 与椭圆交于相异两点,A B ，且2AP PB =u u u r u u u r ，求实数λ的范围。
解答 （1）设椭圆的长半轴长为,a 短半轴长为,b 则有122ab a ==，解得，11,2a b ==，所以椭圆C 的方程为2241x y +=。
（5分） （2）设直线l 的方程为,x my λ=+设两个交点坐标为11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2AP PB =u u u r u u u r ，得到122y y =-。
………………………………① （10分）联立方程组2241x y x my λ⎧+=⎨=+⎩ 得到222(4)210m y my λλ+++-=……②显然，12,y y 为方程②的两个相异的实根，则有22222(2)4(1)(4)04(1)m m m λλλ--+>⇒>-…………③ 由韦达定理得212122221,44m y y y y m m λλ-+=-=++，联立①得到 2222222214(1)2()04491m m m m λλλλ--+=⇒=++-………………④ （15分）又1λ=±，13λ=±不符合题意。
2020年全国高中数学联赛浙江赛区填空题解析
2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题（填空题解析，除第九题）33)](32,32[21cos 0',)cos 2(1cos 2'______cos 2sin ,..42416249184781498,98494789849144957674972249494924777772477._________724.31)}({max 12)11()(]1,0[12)11()(11]0,1[}2)1{(min )(._______]1,1[)(},12{min )(.29209)(2)(092303._______103.132max 22222222242422242222222]1,1[222]1,[2]1,[23222322463323==∴∈+-∈∴≥⇒≥--=-=∈±∴±=⇒=⇒=+-∴=++=++++⇒=++⋅++++⇒=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+++∴-=∴-=--=∈-≤--+=∴=+≤-∈--=---=-+-∴=-+-⇒=-+-⇒-=-⇒=+-=+-+=-∈+∈+∈ππππππk x a a a x a a x y y Z k k k x x y x x y x xy R x x t t t t x x xx x x xx x x x x y x y x y x m m a f a f a a a f a x a x a f a f x x a f x x x r r r r r r r r r r r x x r 令解析：的最大值为则答案为令平距离为，地面端点到节点的水直距离为设墙上端点到节点的垂解析：米或米为端点到地面的垂直距离，则此时竹竿在墙上的都是离和到地面的垂直距离上某一节到墙的垂直距端落在地面上。
若竹竿，一端靠在墙上，另一某竹竿长为时，当时，当解析：上的最大值为在则已知方程为解析：为的整系数一元三次方程为其解得首项系数为的解，则以为方程设种由下表可得共有组合：十、百位：，个位：解析：位数的个数为，则满足上述条件的六码和为的倍数，且六位数的数都是的数字的倍数，十位和百位上数字是进制数中，其个位上的的正整数组成的六位十已知由的辐角为解析：设或取得最小值时，则此时当为复数，且设，构图可得间夹角均为，，可知和由解析：的取值范围为则。
【精品】2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案
由归纳可知，这些 可唯一确定出 ，然后再有 （或 ）确定出 。
（30分）
15.设 为实数列，证明 。
证明：不等式的左边= ，由Cauchy不等式得
，（10分）
由等式
以及 ，从而只需证明
（1）以及 （2）。（20分）
解答（1）当 时，显然由 才能唯一确定出 ，此时 。（5分）
（2）当 时。显然由 ，否则取某三个数的两两之和不能确定出第四个数。
当 时，如果 这4个值，也无法确定出 。
当 时，若已知 中任意五个数的值。不妨设 的值未知，则由 可以确定 ，从而唯一确定出 。（10分）
（3）当 时，显然由当 ，下面证明最小值取到等号。
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过 的直线 与椭圆交于相异两点 ，且 ，求实数 的范围。
解答（1）设椭圆的长半轴长为 短半轴长为 则有 ，解得， ，所以椭圆 的方程为 。（5分）
（2）设直线 的方程为 设两个交点坐标为 ， 。
由 ，得到 。………………………………①（10分）
联立方程组 得到 ……②
显然， 为方程②的两个相异的实根，则有
11.已知数列 ，且 ， ，令 ，记数列 的前 项和为 。
（1）求数列 的通项公式；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围。
解答（1）由数学归纳法证明得 。 （5分）
（2）由于 ，得
, （10分）
由 得到
，
上式对任意的正整数成立，则 ，（15分）
即 。（20分）
12. 已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且椭圆 的任意三个顶点构成的三角形面积为 。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)
2
4
2
2
【解析】 a =b ， c =d ，设 a=x ， b=x ； c=y ， d=y ，x － y =9． ( x+y )( x－ y ) =9．
∴ x+y2=9， x－ y2=1， x=5， y2=4． b－ d=53－25=125－ 32=9 3．
11．将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每
n=q2+q+1，l
≥
1 q(
q+1)
2+1，
2
q≥ 2，q∈ N．已知此图中任四点不共面， 每点至少有一条连线段， 存在一点至少有 q+2 条连
线段．证明：图中必存在一个空间四边形 ( 即由四点 A、B、 C、 D和四条连线段 AB、BC、CD、
DA组成的图形 ) ．
2020 年全国高中数学联赛解答
BD DQ 本题成立．而要证 BDQ∽ DAQ，只要证 AD=AQ即可．
二、（本题 50 分）
设三角形的三边长分别是正整数 l ，m， n．且 l >m>n>0．
l
m
n
已知
3 10 4
=
3 10 4
=
3 10 4
，其中
{ x} =x－ [ x] ，而 [ x] 表示不超过
x 的最大整数．求这种三角
形周长的最小值．
2
y=－ (cot
u+tan u)+cos
u=－ sin2
u+cosu．在
u∈ [ － ，－ ] 46
时， sin2
u与
cos u 都单调递
11 增，从而 y 单调递增．于是 u=－ 6时， y 取得最大值 6 3，故选 C．
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
（
）
A．只有一个
B ．有二个
C ．有四个
D ．有无穷多个
6. 记集合 T
{ 0,1,2,3,4,5,6}, M
{ a1 7
a2 72
a3 73
a4 74
| ai
T , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的
顺序排列，则第 2020 个数是（
）
A． 5 5 6 3 7 72 73 74
二、（本题满分 50 分）
设正数 a、 b、 c、 x、 y、z 满足 cy bz a, az cx b; bx ay c.
x2
y2
z2
求函数 f (x, y, z)
的最小值 .
1x 1y 1z
三、（本题满分 50 分）
对每个正整数 n，定义函数 f (n)
0 当 n为平方数 ,
[ 1 ]当 n不为平方数 . { n}
。
【答案】 4 . 3
【解析】设 f ( x) cos(x ) cos( x ) cos(x ), 由 x R ， f (x) 0 知，
f ( ) 0, f ( ) 0, f ( ) 0, 即 cos(
) cos( ) 1,cos(
)
cos(
) 1,cos(
) cos(
) 1. cos(
) cos(
【解析】
2 3 ,0
23
, cos(
2) cos( 3 ), 即
2
22
2
2
sin 2 sin 3.
又0 2 ,
3 , cos 2 0, cos 3 0, cos 2 cos 3 0, 方程表示的曲线是椭
22
圆。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛
2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛一、填空题（每小题8分，共80分）1.设r 为方程330x x -+=的解，则以2r 为解、1为首项系数的整系数一元三次方程为____________.2.已知[]{}2,1()min 21x a a f a x x ∈+=--.则()f a 在区间[]1,1-上的最大值为____________. 3.某竹竿长为24米，一端靠在墙上，另一端落在地面上.若竹竿上某一节点到墙的垂直距离和到地面的垂直距离均为7米，则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为____________.4.设x R ∈.则sin 2cos x y x=-的最大值为____________. 5.在四面体P ABC -中，棱PA 、AB 、AC 两两垂直，且PA AB AC ==,,E F 分别为AB PC 、的中点.则EF 与平面PBC 所成角θ的正弦值为____________.6.已知平面上不共线的三个单位向量a 、b 、c ,满足 a + b + c = 0.若01t ≤≤，则2(1)a tb t c -++-的取值范围是____________.7.已知z 为复数，且1z =.当23413z z z z ++++取得最小值时，复数z =____________.8.已知由六个正整数组成的六位十进制数中，其个位数的数字为4的倍数，十位和百位上的数字均为3的倍数，且六位数的数码和为21.则满足上述条件的六位数的个数为____________.9.一个正整数若能写成20827(,,)a b c a b c N ++∈形式，就称其为“好数”.则集合{}1,2100⋅⋅⋅，，中好数的个数为____________.10.设12,,,n i i i ⋅⋅⋅为集合{}1,2,n ⋅⋅⋅,的一个排列.若存在k l <且k l i i >，则称数对(,)k l i i 为一个逆序，排列中所有逆序数对的数目称为此排列的逆序数.比如，排列1432的逆序为43、42、32，此排列的逆序数就是3.则当6n =时，且3=4i 的所有排列的逆序数的和为____________.二、解答题（每小题20分，共60分）11.已知数列{}n a满足：11a ==1n n b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的n N +∈(1)101n S n λ≤+≤+恒成立，求实数λ的取值范围.12.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x，且椭圆C 的任意三个顶点构成的三角形面积为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(,0)P λ的直线l 与椭圆交于相异的两点A 、B ，且2AP PB =,求实数λ的取值范围.13.已知函数1()1x f x x e a -=+-.（1）若()0f x =恰有三个根，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的情况下，设()0f x =的三个根为123x x x 、、，且123x x x <<，证明：21x x a -<.三、附加题（每小题30分，共60分）14.记正整数3n ≥，n 个数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，记()ij i j b a a i j =+>，得到如下图的数表.21313212,1 n n n n b b b b b b -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅若在表格中任意取定k 个数，可以唯一确定出n 个数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，求k 的最小值.15.设{}i a 、{}j b 为实数列.证明：112020202020202222,112m n m n m n a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是yxO Ox yO xyyx O A.B. C.D.3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A ) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 34．若x ∈[－5π12 ，－π3 ]，则y=tan(x +2π3 )－tan(x +π6 )+cos(x +π6 )的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，则△PF 1F 2的面积等于 ．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．2020年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C【解析】452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2020－1980=23项．由2025+23=2048．知选C ．3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点在y=p k =43上，即AB 中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x －43)+43，令y=0，得点P 的坐标为163．∴ PF=163．选A ．4．若x ∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x +2π3)－tan(x +π6)+cos(x +π6)的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253【答案】C【解析】令x +π6=u ，则x +2π3=u +π2，当x ∈[－5π12，－π3]时，u ∈[－π4，－π6]，y=－(cot u +tan u )+cos u=－2sin2u +cos u ．在u ∈[－π4，－π6]时，sin2u 与cos u 都单调递增，从而y 单调递增．于是u=－π6时，y 取得最大值1163，故选C ．二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．【答案】(－3，－5－12)∪(5－12，3)． 【解析】即|x |3－2|x |2－4|x |+3<0，⇒(|x |－3)(|x |－5－12)(|x |+5+12)<0．⇒|x |<－5+12，或5－12<|x |<3． ∴ 解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．【答案】－4≤a ≤－1．【解析】A=(1，3)；又，a ≤－21－x∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．【答案】93【解析】a 3=b 2，c 5=d 4，设a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9．∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．【答案】2+48【解析】如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得．设E 的射影为N ，则MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，N MHGFEDCBAT n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．【答案】118【解析】由于a 1，a 2，…，a n －1中的每一个都可以取0与1两个数，T n =2n －1．在每一位(从第一位到第n －1位)小数上，数字0与1各出现2n －2次．第n 位则1出现2n －1次．∴ S n =2n －2⨯0.11…1+2n －2⨯10－n．∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R)与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．【解析】曲线方程为：Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c s in 4t )∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t ．(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1－x )2+2b (1－x )x +cx 2即 y=(a －2b +c )x 2+2(b －a )x +a (0≤x ≤1)． ①若a －2b +c=0，则Z 0、Z 1、Z 2三点共线，与已知矛盾，故a －2b +c ≠0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB 中点M ：14+12(a +b )i ，BC 中点N ：34+12(b +c )i ．与AC 平行的中位线经过M (14，12(a +b ))及N (34，12(b +c ))两点，其方程为4(a －c )x +4y －3a －2b +c=0．(14≤x ≤34)． ②令 4(a －2b +c )x 2+8(b －a )x +4a=4(c －a )x +3a +2b －c ．即4(a －2b +c )x 2+4(2b －a －c )x +a －2b +c=0．由a －2b +c 0，得4x 2+4x +1=0， 此方程在[14，34]内有惟一解： x=12．以x=12代入②得， y=14(a +2b +c )．∴ 所求公共点坐标为(12，14(a +2b +c ))．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证BD AD =DQAQ即可．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．【解析】当3l、3m、3n的末四位数字相同时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104．即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n ．∴ 3n (3l －n －1)≡0 (mod 104)．(l －n >0)但 (3n ，104)=1，故必有3l －n ≡1(mod 104)；同理3m －n ≡1(mod 104)．下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x ．∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000．故x |4000．用4000的约数试验：∵ x=1，2，时3x ≡∕1(mod 10)，而34≡1(mod 10)，∴ x 必须是4的倍数；∵ x=4，8，12，16时3x ≡∕1(mod 102)，而320≡1(mod 102)，∴ x 必须是20的倍数；∵ x=20，40，60，80时3x ≡∕1(mod 103)，而3100≡1(mod 103)，∴ x 必须是100的倍数；∵ x=100，200，300，400时3x ≡∕1(mod 104)，而3500≡1(mod 104)．即，使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而l －n 、m －n 都是500的倍数， 设l －n=500k ，m －n=500h ，(k ，h ∈N*，k >h )．由m +n >l ，即n +500h +n >n +500k ，⇒n >500(k －h )≥500，故n ≥501．取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．现设任一点连的线数≤n －2．且设b 0＝q +2≤n －2．且设图中没有四边形．于是当i ≠j 时，B i 与B j 没有公共的点对，即|B i ∩B j |≤1(0≤i ，j ≤n －1)．记B 0－＝V \B 0，则由|B i ∩B 0|≤1，得|B i ∩B 0－|≥b i －1(i ＝1，2，…，n －1)，且当1≤i ，j ≤n －1且i ≠j 时，B i ∩B 0－与B j ∩B 0－无公共点对．从而B 0－中点对个数≥i ＝1n －1∑(B i ∩B 0－中点对个数)．即C 2 n －b 0≥i ＝1n －1∑C 2 |B i ∩B 0－|≥i ＝1n －1∑C 2 b i －1＝12i ＝1n －1∑ (b 2i －3b i +2)≥12[1n －1(i ＝1n －1∑b i )2－3i ＝1n －1∑b i +2(n －1)](由平均不等式)＝12[1n －1(2l －b 0)2－3(2l －b 0)+2(n －1)]＝12(n －1)[(2l －b 0)2－3(n －1)(2l －b 0)+2(n －1)2]＝12(n －1)(2l －b 0－n +1)(2l －b 0－2n +2)(2l ≥q (q +1)2+2＝(n －1)(q +1)+2)≥12(n －1)[(n －1)(q +1)+2－b 0－n +1][(n －1)(q +1)+2－b 0－2n +2]＝12(n －1)[(n －1)q +2－b 0][(n －1)(q －1)+2－b 0]．(两边同乘以2(n －1)即 (n －1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(n －1≥q (q +1)代入) 得 q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(各取一部分因数比较) ①但(nq －q －n +3－b 0)－q (n －b 0－1)＝(q －1)b 0－n +3(b 0≥q +2)≥(q －1)(q +2)－n +3＝q 2+q +1－n ＝0．②(nq －q +2－b 0)－(q +1)(n －b 0)＝qb 0－q －n +2≥q (q +1)－n +2＝1＞0． ③由假设，不存在处在不同行的2个红点对，使此四点两两同列，所以，有(由于去掉了q ＋2列，故还余q 2－1列，不同的列对数为C 2 q 2－1)i ＝1n －1∑C 2 m i ≤C 2 q 2－1． 所以q 2·q (q －1)＋q (q －1)(q －2)≤(q 2－1)(q 2－2)．⇒ q (q －1)(q 2＋q －2)≤(q －1)(q ＋1)(q 2－2)⇒q 3＋q 2－2q ≤q 3＋q 2－2q －2．矛盾．故证．。
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13．已知函数
f
x
|
1
x 1|e x
a.
(1)若 f x 0 恰有三个根，求实数 a 的取值范围
(2)在(1)的情形下，设 f x 0 的三根为 x1, x2 , x3 且 x1 x2 x3 , 证明 x2 x1 a. 14．设正整数 n 3, 已知 n 个数 a1, a2 ,, an ,记两两之和为 by ai a j i j , 得到如
n 1)min 20 ，（15 分）
即 6 20 。 2
（20 分）
12. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 3 ，且椭圆 C 的任意三个顶点构成的三角形面 2
积为 1 。 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若过 P(, 0) 的直线 l 与椭圆交于相异两点 A, B ，且 AP 2PB ，求实数 的范围。
（1） x
1时，
f
x
x
1
e
1 x
，
f 'x 1
1 x
1 x2
e
1 x
0
x
1时，
f
x
x
1
e
1 x
，
f 'x
1
1 x
1 x2
e
1 x
0
所以函数 f x 在 , 1 , 1,0 , 0, ，
且 f (x) (x ), f (1) 0, f (0 ) , f (0 ) 0,
故a 0
（5 分）
（2）当 n 4 时。显然由 k C32 1 4 ，否则取某三个数的两两之和不能确定出第四个数。
当 k 4 时，如果 b21, b31, b42 , b43 这 4 个值，也无法确定出 a1, a2 , a3, a4 。
当 k 5 时，若已知 b21, b31, b32 , b41, b42 , b43 中任意五个数的值。不妨设 b21 的值未知，则由 b31, b32 , b42 , b43 可
1
31
3
1
解析：不妨设 r 2 t r -t 2 ，由条件 r3-r 3 0 -t 2 t 2 3 0 -t 2 t 2 3
1
r 4-r 2 3r 0 t 2-t-3t 2
1
0 t2
1
t 2-t
， r 6-r 4 3r 3
3
0 t 3-t 2-3t 2
0
3
下表格：
若在上述表格中任意取定 k 个数，可以唯一确定出 n 个数 a1, a2 ,an , 请求 k 的最小值.
15．设 an,bn 为实数列，证明
2020
m,n1
1
1
ambn
m n
2
2
2020 m 1
am2
2
2020 n 1
bn2
2
.
2020 年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案
10.设i1, i2,in, 是集合 {1, 2,, n} 的一个排列如果存在 k<且 ik it ，则称数对 ik ,it 为一个逆序，排
列中所有逆序数对的数目称为此排列的逆序数。比如，排列 1432 的逆序为 43，42，32，此排列的
逆序数就是 3．则当 n=6 时，且 i3 4 的所有排列的逆序数的和为 ▲
r 6-r 4
3r3
3
0 t 3-t 2-3t 2
0 t 3-t 2
- 33
1 3
t 3-t
0
化简有： t3-2t 2 t-9 0 ，即方程为： x3-2x2 x-9 0
2．已 知f a min x2 2x 1 , ，则 f a 在 1,1 上的最大值为 ▲ x[ a ,a 1]
（5 分）
（2）设 g(x) x 1 ，下证 g(x) f x在 x ,0 上恒成立.
x
即证
x2
1
1
1
x 1e x ，变形得到 e x
1 1
，在 x ,0 上，显然成立.
（10 分）
x
x
设 gx a 在 x ,0 上有两解 x4 , x5 ，且 x4 1 x5 .
可得： f x1 a gx4 f x4 ， f x2 a gx5 f x5
2020 年全国高中数学联赛浙江赛区[链接]初赛试题 (说明：本试卷满分 200 分，共 10 道填空题，5 道解答题。题目的答案请写在答题纸上) 一、填空题(每题 8 分共 80 分)
1．设 r 为方程 x3 x 3 0 的解，则以 r 2 为其解的首项系数为 1 的整系数一元三次方程为 ▲
解答 （1）由数学归纳法证明得 an n 1 n 。
（5 分）
（2）由于 bn n 1 n ，得
Sn n 1 1,
（10 分）
由 n 2 (Sn 1) n 101 得到
7
n2 n 1
100 n 1
n 1，
上式对任意的正整数成立，则 6 ( 2
n n
2 1
)
max
(
100 n 1
由韦达定理得
y1
y2
2m m2 4
,
y1 y2
2 m2
1 4
，联立①得到
8
2(
2m m2 4
)
2
2 m2
1 4
0
m2
4(1 2) 92 1
………………④
（15 分）
又 1， 1 不符合题意。 3
把④代入③得到
4(1 2) 9 2 1
4( 2
1)
1 9
2
1
(1, 1 ) 3
（解答题严格按照上述标准给分，分数整 5 整 10，不给其他过度分数。）
11. 已知数列{an}，且 a1
2 1， an n an1 n 1
1
1 n
(n
2, 3, )
，令 bn
1 an
，记数列{bn}的前 n
项和为 Sn 。
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）若对任意的 n N * ， n 2 (Sn 1) n 101 恒成立，求实数 的取值范围。
由 AP 2PB ，得到 y1 2 y2 。………………………………①
（10 分）
x2 4y2 1
联立方程组
x
my
得到 (m2 4) y2 2my 2 1 0 ……②
显然， y1, y2 为方程②的两个相异的实根，则有
(2m)2 4( 2 1)(m2 4) 0 m2 4( 2 1) …………③
(2)若对任意的 n N*, n 2 S n 1 n101 恒成立，求实数λ的取值范围.
12．已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 3 ，且椭圆 C 的任意三个顶点构成的三 2
角形面积为 1 . 2
(1)求椭圆 C 的方程
5
(2)若过 P(λ,0)的直线 l 与椭圆交于相异两点 A，B，且 AP 2PB, 求实数λ的范围.
解析：有条件可知 a，a 1 -1,2，且满足每段区间长度为 1，如图，初始区间为 -1,0，此时 f amin f 0 -1，在 AB 向下滑动至终点 D 过程中，其它段的最小值点始终在 B 下方， f a在 -1,1上的最大值为 f 0 -1.
1
方法二：当 a -1,0， f a a2-2 ，当 a 0,1， f a -2 ， f amin -1.
1，解出
x
即可.
x
4.设
x
R, 则
y
2
sin x cos
x
的最大值为
▲
解析： sin x t sin x t2- cos x t cos x sin x 2t ，t cos x sin x t 2 1 sinx φ
2- cos x
t 2 1 2t -
3 t 3
3 3
tmax
3. 3
3
解析：构造如图所示图形，令 OA a ， OB b ， OC c 由条件可知 O 为△ABC 的重心，且
OA OB OC ，则 O △ABC 的外心，即△ABC 为等边三角形；
设 tb 1-t c OD ，由系数和为1，可知点 D 在线段 BC 上，延长 OA 至点 E ，使得 OE 2OA ,
PPCB
2,0,2 0,2,2
，
易得
一
个法
向量
为
e
1,1,1 ，
E1,0,0
F
0,1,1
EF
1,1,1
sin θ cos e，EF e EF 1 . e EF 3
6．设平
面
上不
共
线的
三
个单
位向
量
→ a，
→→ b ， c ，满
足
a
b
c
0.
若
0
t1,
则
|
2a
tb
1
t
c
|
的取值范围为 ▲
二、解答题 (1113题, 每题 20 分；14，15 题，每题 30 分，合计 120 分)
11.已 知 数列 {an}， 且 a1
2 1,, 令 an n an1 n 1
1
1 (n n
2, 3, ),
令 bn
1 an
,记数 列 {bn} 的 前
n
项和为 Sn .
(1)求数列{an}的通项公式;
9
注意到 f x 的单调性，有 x1 x4 , x2 x5 .
（15 分）
通过解二次方程可以解得 x4
a
a2 2
4 , x5
a
a2 4
，
2
则有 x2 x1 x5 x4 a .
（20 分）