第二讲 网格生成与坐标变换

一．网格生成
矩形网格下曲壁的差分
()()22,1,,1
11i j i j i j A
u u u u y
y
αααα+-+--∂=
∂+∆
形式变得十分复杂。

C
B
A
y
α∆y ∆,i j
,1
i j +矩形网格(
直壁
)
矩形网格(曲壁)
D
C A
B 贴体网格：网格线与物面边界重合。

构筑贴体网格的TTM 方法
TTM 方法的物理意义就是利用等温线构筑网格线。

222222
2200
x y x y ξξηη⎧∂∂+=⎪∂∂⎪
⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩
或写成 00x x y y x x y y ξξηη+=
⎧⎪⎨
+=
⎪⎩ 我们要做的工作就是把等温线ξ和η的坐标点(),x y 找到。

实际上就是在上述方程中把(),x y 从自变量变换成因变量（函数），变换结果如下：
两个矩形域中的等温线
矩形域中两组等温线的叠加
等η线
等ξ线
20
20
ax bx cx ay by cy ξξξηηηξξξηηη-+=⎧⎪⎨
-+=⎪⎩ 式中，
2222 , , a x y b x x y y c x y ηηξηξηξξ=+=+=+
可以用五点格式求解上述方程
()()1,1
1,11,11,11,,1,2
,1,,1
2
2242 0
i j i j i j i j i j i j i j
i j i j i j x x x x x x x a
b
x x x c ξξη
η
++-++---+-+-----+-∆∆∆-++=∆
()()1,1
1,11,11,11,,1,2
,1,,1
2
2242 0
i j i j i j i j i j i j i j
i j i j i j y y y y y y y a
b
y y y c ξξη
η
++-++---+-+-----+-∆∆∆-++=∆
它们均为线性方程组，可以用迭代法（点迭代，线迭代，ADI 法和超松弛法）求解。

初始网格（椭圆网格生成方程所需要的初始代数网格点分布）
收敛网格（椭圆网格生成方程最终生成的网格）
）
构筑网格的基本要求
1．网格要足够光滑；（考察 , , , x x y y ξηξη或 , , , x y x y ξξηη随
ξη-的分布）
2．网格线在物理量密度大的地方能够加密； 3．网格最好与物面正交。

例如，绝热壁条件
0T
n
∂=∂ （n 为物面外法向） 也就是 0T η∇∇=
x y i j ηηη∇=+
式中，,i j 为直角坐标系的单位矢量。

温度梯度为：
()()
x x y y x y x y T T T T T T T i j i j
x y T T
i j i j ξηξηξηξηξξηηξη
⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂∂∂∇=+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂=+++∂∂
于是 0T η∇∇=，成为：
()()()0x y x y x y T T i j i j i j ξξηηηηξη⎡⎤
∂∂++++=⎢⎥∂∂⎣⎦
即， ()()220x x y y x y T T ξηξηηηξη
∂∂+++=∂∂ 如果网格线与物面正交，就有
0 ξη∇∇=
即，
()()0x
y
x
y
i j i j ξξηη++=
也就是 0x x y y ξηξη+=， 于是绝热条件成为
0T
η
∂=∂
圆锥体的横截面网格
测度 , , , x y x y ξξηη在ξη-平面上的分布
ξη(a)(b)
(c)
(d)
ξ
η
ξ
η
ξ
η
y
ηx
ηy
ξx
ξ
椭圆网格生成方程所需要的初始代数网格点分布
椭圆网格生成方程最终生成的网格
测度 , , , x x y y ξηξη在ξη-平面上的分布
x ξξη
ξ
η
y ξ
x η
y η
ξ
ξ
η
η
(a)
(b)
(c)(d)
二．坐标变换
一般情况下，流场不可能是矩形，而我们又希望在矩形域中求解差分格式，所以必须进行坐标变换。

坐标变换：
()()
,,x y x y ξξηη=⎧⎪⎨=⎪⎩
x
y
A
D
C
B
物理域
η
ξ
A
D
B
C
计算域
设
η
∆
ξ∆ξη
i IM
=
j JM
=
1
j=
1
i=
均匀矩形网格计算域
21
1
x
y
H H
H x
L
ξ
η
=
⎧
⎪⎪
⎨=
-
⎪+
⎪⎩
y
x 1
H
2
H
L
物理域
j JM
=i IM
=1j =1
i =1
2
31j =1
i =12
3i IM
=j JM
=物 理 域
计 算 域
椭圆网格生成方程所需要的初始代数网格点分布
椭圆网格生成方程最终生成的网格
1
B 2
B 3
B 4
B C
C
A
A
ξ
η
C
3
B C
2
B 4
B A 1
B A
从尾迹处剪开，使流场成为单连域。

打开的双连域
计算域
2B 1
B C
3
B 4
B A
双连域的分割
多连域的代数网格点分布
由椭圆型偏微分方程组生成的网格
1
B 2B 3
B 4
B 5
B 6
B 7
B 8
B 2
B 3
B 4
B 1
B 5B 6B 7B 8
B 未展开的多连域
计算域
在计算域中，偏微分成为：
x x x x x x u u u u u u x ξηξηξηξηξηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=+=+=+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭
同理：
y y y y y y u u u u u u y ξηξηξηξηξηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=+=+=+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭
实际并不需要知道(),x y ξ和(),x y η的具体表达式，只需知道
, , , x y x y ξξηη就行了。

坐标变换：()()
,,x y x y ξξηη=⎧⎪⎨=⎪⎩
反变换：()()
,,x x y y ξηξη=⎧⎪⎨=⎪⎩
全微分：
x y x y x y x y d dx dy
d dx d dx dy
d dy ξξξξξξηηηηηη=+⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⇒=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 同理：
dx x d x d x x dx d y y dy y d y d dy d ξηξηξηξηξη
ξξη
η=+⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎪⇒=⎨
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎪⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎩ 比较两个全微分，可得
1
x y x y x x y
y ξ
ηξ
ηξξηη-⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
设 1
J x y x y ξηηξ
=
-，有
, , , x y x y Jy Jx Jy Jx ηηξξξξηη==-=-=
计算域中的Euler 方程
直角坐标系下（物理域）Euler 方程为：
0U F G
t x y
∂∂∂++=∂∂∂ 式中，
u U v e ρρρ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦ ()2u u p F uv e p u ρρρ⎡⎤⎢⎥+⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ ()2v uv G v p e p v ρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 补充 ()221
12
p e u v ργ=
++- 如果在计算域中求解，就需把Euler 方程变换到计算域中去，设坐标变换为
()()
,,t x y x y τξξηη⎧=⎪
=⎨⎪
=⎩ 则，计算域中Euler 方程为
0U F G
τξη
∂∂∂++=∂∂∂ 式中，
1u U v J e ρρρ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦ ()1x y U u U p F v U p
J e p U ρρξρξ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦
()1x y V uV p G vV p J e p V ρρηρη⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦
式中
x y
x y
U u v V u v ξξηη⎧=+⎪⎨
=+⎪⎩ 称为逆变速度（Contravariant Velocity ）
设物理速度为V ，则
V ui vj =+
式中，,i j 为直角坐标下的单位矢量，而
x y i j ξξξ∇=+ x y i j ηηη∇=+
于是逆变速度可写成
U V ξ=∇ V V η=∇
可见，逆变速度就是计算域中的速度，U 是物理速度在ξ∇方向上的投影，V 是物理速度在η∇方向上的投影。