大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
(整理)厦门大学年下学期高等数学期中考试卷及答案
-------------1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积. 解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程.2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分 所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的 小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层 水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程 期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。
大一期中高数复习题
大一期中高数复习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^2+3x-2的定义域是：A. RB. [0, +∞)C. (-∞, 0]D. (-∞, 0) ∪ [1, +∞)2. 已知函数f(x)=2x-1，求f(a+h)-f(a)的极限当h趋于0时的值是：A. 0B. 1C. 2D. -13. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 若f(x)=x^3-2x^2+x-5，求f'(x)的值：A. 3x^2-4x+1B. 3x^2-4x+2C. 3x^2-4x+3D. 3x^2-4x+45. 曲线y=x^3-6x^2+9x在x=2处的切线斜率是：A. -3B. 0C. 3D. 6二、填空题（每题2分，共10分）1. 若f(x)=x^2+1，则f'(x)=________。
2. 函数g(x)=x^3在x=-1处的导数为________。
3. 若f(x)=ln(x)，则f'(x)=________。
4. 函数h(x)=e^x的导数是________。
5. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)=________。
三、计算题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。
2. 求曲线y=x^2-4x+7在x=2处的切线方程。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
2. 证明：若函数f(x)在x=c处可导，则f(x)在x=c处连续。
五、应用题（每题10分，共10分）1. 某公司生产的产品成本函数为C(x)=5x+1000，其中x为生产量。
求该公司生产100件产品时的平均成本。
六、综合题（每题10分，共10分）1. 假设某函数f(x)满足f'(x)=2x+1，且f(0)=0，求f(x)的表达式。
大一下学期高数期中复习题
微积分(二)期中复习题第一部分1. 设2,4a b ==，若向量32a b -垂直于向量a b +，向量2a b +垂直于向量43a b -，求a 与b 之间的夹角，并求以32a b -和2a b +为邻边的平行四边形的面积.2.已知向量(,,2)a x y =-与向量(4,1,3)b =垂直，且a 的模等于b 在z 轴上的投影，求 ,x y .3.证明：两直线1111:112x y z L -+-==-与223:12x y L z -+==-相交，并求此两直线所在平面的方程.4.求过直线110:220x y L x y z ++=⎧⎨++=⎩且与直线211:211x y z L -+==--平行的平面方程.5.求过点(1,1,1)P 且与直线12:113x y z L +==-垂直相交的直线方程.6.求曲线222224:3x y z x y z ⎧++=⎪Γ⎨+=⎪⎩在xOy 面的投影。
7.求曲线2244:0x y y z ⎧++=Γ⎨=⎩绕x 轴旋转一周所得的曲面。
第二部分1、求函数)1ln(4222y x y x z ---=定义域。
2、求()22001lim sin .x y x y xy→→+3、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧++=2)(2sin ),(2222y x y x y x f 002222=+≠+y x y x 在点（0，0）处的连续性。
4、设(,)z f x y =由ln x z z y =确定，求22,z z x x∂∂∂∂。
5、设222z y x eu ++=，而y x z sin 2=，求xu ∂∂，du y u ,∂∂。
6、设),(22y x y x f z -=，其中),(υu f 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2, 。
7、求函数223246u x y y x z =-++在原点沿()2,3,1OA =方向的方向导数。
8、设32u x y z =-，求u 在点()2,1,1-处的方向导数的最大值及取得最大值的方向。
大一期中高数答案1
1 1 1 ， ≤ 2 ≤ 2 n +n+n n +n+i n +n+n 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n 1 2 n 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n ≤ 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 ≤ 2 2 n +n+n n + n +1 n + n + 2 n +n+n n + n +1 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n 1 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n 1 又 lim = = ， lim 2 n →∞ n 2 + n + n 2 n→∞ n + n + 1 2 1 2 n 1 所以由夹逼准则知： lim( 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 )= n →∞ n + n + 1 n +n+2 n +n+n 2
x < ln(1 + x) < x . 1+ x
五. (本题满分 10 分) 证明：当 x > 0 时，Байду номын сангаас
证：令
f ( x) = ln(1 + x)
所以 至少 ∃ξ
则
f ( x ) 在 [0, x] 上满足拉格朗日定理的条件 f ( x) − f (0) x−0
即
∈ (0, x) 使 f ′(ξ ) =
1 ln(1 + x) − ln1 = 1+ ξ x
又0 <ξ
< x, 所以
1 1 < <1 1+ x 1+ ξ
高等数学(下册)期中考试题及答案
高等数学（下册）期中考试20110504一、 填空题（每小题4分，共计40分）1、已知三点 A(1,0,2)，B(2,1,-1)，C(0,2,1)，则三角形ABC 的面积为 。
2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是 。
3、函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件为 , 必要条件为 。
4、设方程az z y x 2222=++确定函数),(y x z z =，则全微分dz 。
5、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
6、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面面积为 。
7、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
8、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。
9、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 若将三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 在球面坐标系下化为三次积分,则I= 。
10、设Ｌ是椭圆周1422=+y x 的正向，则曲线积分⎰+-L y x ydxxdy 224= 。
二、求解下列问题（共计14分） 1、 （7分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （1, 0，1）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。
2、 （7分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,)).z f x y f x y =+, 求2(1,1).zx y∂∂∂三、求解下列问题（共计16分）1、（8分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。
广工环境工程大一下学期高数期中考试(下)(06提高班)解答
过 L 和 L2 的平面为
x4 2 4
y 1 1
z4 3 3 0 即 3x 9 y z 8 0
所求直线 L 为
2 x 7 y 5z 12 0 3x 9 y z 8 0
四、计算下列各题（每题６分，共 18 分） １．设 f ( x, y) 连续，且 f ( x, y) xy 求 f ( x, y) 。 解：设
s s1 s2 ＝ 1 1 1 ＝ 4i j 3k 2 1 3
设 ( x, y, z ) 为 L 上任意一点，则过 L 和 L1 的平面为
i
j
k
x2 1 4
y 3 z 1 1 1 1 3 0 即 2 x 7 y 5z 12 0
解：由对称性，只需求 z 0 那部分 面积的两倍。 在 上， dS
2a 2a x y
2 2 2
dxdy ， 在 xoy 面上的投影区域 D ： x 2 y 2 a 2 。
S 2 dS ＝ 2 2a d
D
0
2
a
d
2a
2 2
0
＝ 4 2 ( 2 1)a 2
2z 2 f1 2 x( f11 2 x f12 2 y) 2 y( f 21 2 x f 22 2 y) x 2
广东工业大学试卷用纸，第 4 页， 共 6 页
2 f1 4x 2 f11 2x 8xyf12 4 y 2 f 22
同理
z 2 yf1 2 xf 2 y
2 z 2 f1 4 y 2 f11 8xyf12 4 x 2 f 22 y 2
交通学院2016至2017学年度大一下学期期中考试高等数学答案
交通学院2016至2017学年度大一下学期期中考试高等数学试卷参考答案一、选择题（每题2分）1、C2、D3、C4、A5、B 二、填空题（每题3分）6、dx -7、（1,1,1）或i +j +k8、012=---z y x9、π 10、23π三、计算题（每题6分） 11、解：先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xyxy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦ (3)而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++…………………………………【5】 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→，所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=…………………………………【6】（本题用取对数的方法做照样给分） 12、解：121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂，…………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.xf xyf f f y y''''''=+--…………………………………【6】 13、解：方程两边对x 求导，得323dydz y z x dx dx dy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 从而54dy x dx y =-，74dz x dx z =该曲线在()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T == (4)（用行列式法求解切向量，只要求对都给分） 故所求的切线方程为1128107x y z -+-==………………..【5】 法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (6)14、解：方程组两端对x 求导，得⎩⎨⎧=-+-=-+.0,0222y v u x vv uu x x x x 即：⎩⎨⎧=+-=+yv u x vv uu x x x x ,222…………………………………【2】 则vu yvx v u y v x xu +-=-=∂∂1122122，…………………………………【4】 同样方程组两端对y 求导，得：vu xu y v 2221++=∂∂.…………………………………【6】 （本题用全微分的方法做也给分，在求解方程组时使用克莱姆法则和代换法都可以） 15、解：积分区域对称于x 轴，221xyy x y++为y 的奇函数， 从而知2201Dxydxdy x y =++⎰⎰…………………………………【3】 所以 12120222021ln(1)ln 21122Dr I dxdy d dr r xyr ππππθ-==+=+++⎰⎰⎰⎰极坐标…【6】 16、解：∑的方程为z =，∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-． (2)=4】故22012ln()2ln 2aaa a hπρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦ (6)四、解答题（每题8分）17、解：332233'()(+y+)033'()(1+y+)033x y x y x y x x y x y x y yx x f x e y e x e x x f e y e e ++++++⎧=++==⎪⎪⎨⎪=++==⎪⎩解得42(1,),(1,)33---， (2)33222332233''(2)()(+22+)33''+()=(+++1)33''(1)(+2)33x yx y x yxx x y x y x yxy x yx y x yyy x x A f x x e x y e x x y e x x B f e x y e x y e x x C f e y e y e +++++++++==++++=+==++==+++=+ (5)对于4(1,)3-点，11123333,,,0,0,A e B e C e AC B A ---===∆=->> 4(1,)3∴-为极小值点，极小值为13e -- (7)对于2(1,)3--，5552333,,,=0A eB eC e AC B ---=-==∆-<,不是极值 (8)18、解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得22(sin )(cos )8x x DL OAI e y m dx e y mx dy m d ma πσ+=-+-=-=-⎰⎰⎰． (3)而1(sin )(cos )ax xOAI e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-⎰⎰ (6)∴221(sin )(cos ).8x x Le y m dx e y mx dy I I ma ma π-+-=-=-⎰ (8)19、解：()()2224000sin cos tF t d d r f r r dr ππθϕϕϕ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰……………………【3】 ()3224400002sin cossin t t d r dr d f r r dr πππϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()422028tt r f r drπ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰…………………………………【6】 故()(3222320002()222lim lim lim ().333t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦=== (8)20、解：因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++，模为3】此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++- (5)()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ==== (7)3=.…………………………………【8】 五、证明题（7分）21、方法一：(1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ， (2)右边=⎰⎰--ππππ0sin sin dx e dy ex y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e ex x，…………………………………【4】 所以 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰-- (5)(2) 由于2sin sin ≥+-x x e e ，故由（1）得.2)(20sin sin sin sin πππ≥+=-⎰⎰--dx e e dx yedy xex x xLy (7)方法二：（1） 根据格林公式，得⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ，…………………………………【1】 ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin .…………………………………【2】 因为D 具有轮换对称性，所以⎰⎰-+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-Dxy dxdy e e )(sin sin ，…………………………………【4】 故 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰-- (5)(2) 由(1)知⎰⎰⎰--+=-Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin=dxdy e dxdy e DDxy ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin （利用轮换对称性） =.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e eDDx x (7)阅卷教师注意事项：计算题、解答题、证明题阅卷时请参考步骤给分，如缺步骤酌情扣分。
大一高数下考试题及答案
大一高数下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，是指对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
这个定义描述的是（）。
A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是收敛的？（）A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案：B4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：D5. 以下哪个是二阶导数？（）A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。
答案：02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。
答案：-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。
答案：1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。
答案：x = -1三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
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大一第二学期高等数学期中考试试卷
一、填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分,请将合适的答案填在空中;
1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，,则该球面的方程为
______________________
2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为
3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为
4、22
22222
(,)(0,0)
(1cos())sin lim
()e
x y x y x y xy x y +→-+=+
5、设二元函数y x xy z 3
2
+=,则
=∂∂∂y
x z
2_______________ 二、选择填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分;以下每道题有四个答案,其中只有一个答案是正确的,请选出合适的答案填在空中,多选无效; 1、旋转曲面1222=--z y x 是
A ．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成；
B ．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成；
C ．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成；
D ．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．
2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.
A.212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;
B.32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++;
C.32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++;
D.322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++
3、已知直线π
22122
:
-=
+=
-z
y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 A.L 在π内; B.L 与π不相交; C.L 与π正交; D.L 与π斜交. 4、下列说法正确的是
A 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ,使得b a λ=；
B 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22y
z
∂∂在区域D 内连续,则在该区域内两个
二阶混合偏导必相等；
C 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；
D 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要
条件.
5、设),2,2(y x y x f z -+=且2
C f ∈即函数具有连续的二阶连续偏导数,则=∂∂∂y
x z
2
A 122211322f f f --;
B 12221132f f f ++;
C 12221152f f f ++;
D 12221122f f f --.
三、计算题本大题共29分
1、本题13分计算下列微分方程的通解;
16分221xy y x y +++='
27分x xe y y y 223=+'-''
2、本题8分设u t uv z cos 2+=,t e u =,t v ln =,求全导数
dt
dz ; 3、本题8分求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值; 四、应用题本题8分
1、某工厂生产两种型号的机床,其产量分别为x 台和y 台,成本函数为
xy y x y x c -+=222),
( 万元,若市场调查分析,共需两种机床8台,求如何安排生产使其
总成本最少最小成本为多少 五、综合题本大题共21分
1、本题10分已知直线⎪⎩⎪⎨⎧==+011x c z b y l ：,⎪⎩⎪⎨⎧==-0
1
2y c z a x l ：,求过1l 且平行于2l 的平面方程．
2、本题11分设函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++ 在球面
22225(0,0,0)x y z R x y z ++=>>>上求一点,使函数(,,)f x y z 取到最大值．
六、证明题本题共12分
1、设函数⎪⎭
⎫
⎝⎛=x y x z
F x u k ,
,其中k 是常数,函数F 具有连续的一阶偏导数．试证明:z u z y u y x u x
∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x y x
z F kx k , 第二学期高等数学期中考试试卷答案
一、填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分 1.、 ()()()21113222=-+++-z y x
2、12
．
3、2450x y z +--=．
4、0
5、232x y +；
二、选择填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分
1A 2B 3C 4C 5A
三、计算题本大题共29分
1、1解：将原微分方程进行分离变量,得：
x x y
y
d )1(1d 2
+=+ 上式两端积分得c x x x x y y
y ++=+==+⎰⎰2)d 1(arctan 1d 2
2
即 ： c x x y ++=2
arctan 2
其中c 为任意常数． 2解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r ,22=r 于是,
该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=因2=λ是特征方程的单根,故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y +=代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,2
10=b ,11-=b
于是,求得题没方程的一个特解*y .)12
1(2x e x x -= 从而,所求题设方程的通解为.)12
1(2221x x x e x x e C e C y -++= 2、解：
()
u t v u t uv u
u z sin cos 22-=+∂∂=∂∂,
()
uv u t uv v v z 2cos 2=+∂∂=∂∂,u t
z cos =∂∂ 依复合函数求导法则,全导数为
3、解：解方程组()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=0
22,01422,22
2y e y x f y y x e y x f x
y x x ,得驻点⎪⎭⎫
⎝⎛-1,21;由于()()
124,22+++==y y x e y x f A x xx ,()()142+==y e xy f B x xy ,()x yy e y x f C 22,==在点
⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处,02>=e A ,0=B ,e C 2=,2
24e B AC =-,所以函数在点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1,21处取得极小值,极小值为21,21e f -=⎪⎭
⎫
⎝⎛-;
四、应用题本题8分
1、解：即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值 构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ
解方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ
解得 3,5,7==-=y x λ
这唯一的一组解,即为所求,当这两种型号的机床分别生产5台和3台时,总成本最小,最小成本为：2835325)3,5(22=⨯-⨯+=c 万 五、综合题本大题共21分
1、解：直线1l 与2l 的方向向量分别为
{}⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧=b c c b 1100011101，，，，，，s ,
{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a c
c a 101
0101012，，，，，，s ,
作 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧--=⨯=221111c bc ca
，，s s n ,
取直线1l 上的一点()c P ，，001,则过点1P 且以⎭⎬⎫
⎩⎨⎧--=2111c bc ca
，，n 为法向量的平面01=+--c
z
b y a x , 就是过1l 且平行于2l 的平面方程．
2、解：设球面上点为(,,)x y z ．
令 2222(,,,)ln ln 3ln (5)L x y z x y z x y z R λλ=+++++-,
由前三个式子得2
2
2
3
z x y ==,代入最后式子得,x y R z ===．由题意得(,,)f x y z 在
球面上的最大值一定存在,因此唯一的稳定点(,)R R 就是最大值点,最大值为
5(,))f R R =．
六、证明题本题共12分1、证明：
所以,z
u z y u y x u x
∂∂+∂∂+∂∂。