四元数——精选推荐
四元数
复数：
我们把形如a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位， i*i= -1;
复变函数:
四元数：
正如复数是有⼀个实部和⼀个虚部组成的，那我们将⼀个虚部换成三个虚部，即两两相交{i, j, k}。
其中n为三维的单位向量，i²=j²=k²=i·j·k=-1。这便是四元数的常规表达形式，不过单位四元数是有⼀⼤堆的约束的，并不是所有四维向量都
是四元数。如何去理解四元数：
四元数（以后不特指四元数=单位四元数）是四维空间中⼀个超球上⾯的点，满⾜w²+x²+y²+z²=1；⽽纯四元数是四维空间在w=0时的
⼀个⼦空间的点，形式为{0, q}，特别注意的是纯四元数与四元数是不同的概念。
四元数是复数虚部扩展的结果，复数的虚部为1个，⽽四元数虚部有3个，且两两互相正交，其中实部是cosθ/2，⽽虚部为⼀个単位轴
乘以sinθ/2。
四元数⾃由度并没有四个维度，由于存在w²+x²+y²+z²=1这个约束，它的⾃由度其实只有3，且每个四元数可以对应⼀个特征向量，即n。但请记住四元数并不是与特征向量⼀⼀对应的，后⽂会有说。
如何利⽤低维信息去理解⾼维信息？
例⼦：
三维的球⽤代数表⽰为x²+y²+z²=1，虽然球上⾯的点是由x，y，z三个参数来确定，但实际上我们只需要两个。假设取x和z表⽰，其中y可以
通过x和z进⾏求解。
那么，我们将y轴信息给隐去，只看投影平⾯，如下图所⽰。这张图的意思是，整个球在XOZ平⾯上投影是⼀个圆，当球⾯⼀点投影在圆上
时，y=0；投影的位置位于圆内时，则分别两种情况，y>0处于北半球，y<0处于南半球。
所以我们仅通过投影后的圆即可还原出整个球体。
推⼴到四维，w²+x²+y²+z²=1中取x、y和z来表⽰超球。如下图所⽰，四维空间投影到三维超平⾯（w=0）可能是⼀个two-sphere。当投影点
在整个two-sphere的边缘时，w⼀定为0，值得⼀提的是在这个空间内的四元数是⼀个纯四元数。当投影点落在two-sphere的内部时，也分为
两种情况，w>0和w<0。但是我们可以发现这两种情况下对应的特征向量是⼀样的，所以我们将旋转矩阵向四元数转换时，是有两个对应值
的，四元数的范围是2倍覆盖于3D旋转（2:1 mapping）。
四元数的“乘法”运算：
由于四元数有i，j，k三个虚部，所以得满⾜i²=j²=k²=i·j·k=-1这个条件。这⾥令★为“乘法”操作符，则p★q的公式如下，具体的推导步骤我就不
写了。
封闭性：易证明，p和p的共轭相乘即可，|p★q|=1。
结合律：这条也很好证明，只要证明(p★q)★r=p★(q★r)。
单位元素：e=(1,0,0,0)，这也是四元数的⼀个初始值（相当于单位矩阵）。带⼊上⾯的公式可知，p★(1,0,0,0)还是等于p。
逆元素：p存在⼀单位四元数，★操作的结果为e，具体参考下⾯公式，可以看出逆元素就是其共轭除以模的平⽅。
复数和⼆维旋转：复数相乘可以旋转的性质想必⼤家都很清楚，乘以i可以逆时针（朝+i⽅向）旋转90°，乘以-i可以顺时针旋转90°。列出⼀个公式。
其中推导公式中暗含了⼀个欧拉公式，包含sinθ和cosθ的矩阵就是我们常见的⼆维旋转矩阵。可以发现⼆维旋转矩阵其实也对应着⼀个类似
四元数的⼀个向量表达形式，就是复数。我们对矩阵进⾏求逆（主交换，次变号），发现其实对应的就是复数的共轭形式。也就是说cosθ+i·sinθ可以旋转θ，⽽cosθ-i·sinθ可以旋转-
θ。这个特性上的优势在四元数和三维旋转矩阵中就更明显了。
为什么⼆维旋转可以交换？在三维旋转中先绕x旋转，在绕y旋转和先绕y旋转，在绕x旋转肯定是不⼀样的，具体看图。那我们在⼆维旋转中
先转90°再转45°肯定和先转45°再转90°是⼀样的。究其根本，是⼆维旋转它⾸先就隐藏了⼀个⾮常重要的因素，就是旋转轴永远是垂直于
⼆维平⾯的，也是固定的，在⼆维中⽆论怎么旋转，都是共⾯的。放到三维空间，旋转之所以存在次序性，之所以不能交换，是旋转轴可以
跟向量成任意⾓度。如果你放到⼀个⼆维⼦空间⾥⾯去旋转，你依然可以满⾜交换性。⾄于这个旋转轴垂直为啥可以解释第⼀个问题，我后
⾯会慢慢说的。
四元数微分方程的推导
四元数微分方程的推导
由于载体的运动，四元数Q是变量，即0123,,,qqqq是时间的函数。刚体绕瞬时转轴转过角，其角速度为：
.ttbn（式1）
设这个运载体坐标系（b系）和地理坐标系（t系）之间的变换四元数的三角形式为：
cossin22Qn（式2）
对式2求导可得：
..11sincossin22222dQdnndtdt（式3）
因为：
.0ttbdnnnndt（式4）
1nn（式5）
则有： ....11sincos2222(cossin)222Qnnn（式6）
将式1和式2代入式6得：
.12ttbQQ（式7）
由于捷联惯性导航系统的惯性器件是直接固联在运载体上的，所以陀螺测量得到的角速度是沿运载体坐标系的绝对角速度，因此应用式7不方便，需要进行进一步变换。 因为：
*tbtbtbQQ（式8）
**1QQQQ（式9）
式中btb是沿运载体的角速度.
将式8、9代入式7得：
.12btbQQ（式10）
将式10写成矩阵形式为：
001231103222301332100bxbybzqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq（式11）
00112233001020bbbxyzbbbxzybbbyzxbbbzyxqqqqqqqq（式12）
式中，,,bbbxyz分别表示载体坐标系相对于地理坐标系沿各个轴向的角速度分量。
近世代数——精选推荐
近世代数
⽬录
基本概念
元素。集合。空集合。⼦集 。真⼦集 。A=B⟺A⊆B∧B⊆A 。幂集：⼀个集合所有⼦集组成的集合， P(A) 。交集。并集。性质：幂
等性；交换律；结合律；⼆者之间有分配律。
关系：M×M 的⼦集。即 ∀a,b∈M ，法则 R 可以确定 a 和 b 符合/不符合这个法则。记做 aRb 和 a¯Rb 。等价关系：满⾜⾃反性（
∀a∈M,aRa ）、对称性（ aRb⇔bRa ）和传递性（ aRb,bRc⇒aRc ）的关系，⽤ ∼ 表⽰，即 a∼b 。分类：把集合 M 的全体元素分
为若⼲互不相交的⼦集。每个分类与⼀个等价关系⼀⼀对应。
映射：集合 A,B ，有⼀个 法则 φ 使得所有的 x∈A 存在唯⼀的 y∈B 与之对应。记作 φ:x⟶y 或 y=φ(x) 。y 叫做 x 在映射 φ 下的像，
把 x 叫做 y 在映射 φ 下的原像或逆像。
满射：B 中每个元素在 A 中都有原像。单射：A 中不同的元素在 B 中像不同。双射：满射+单射。
逆映射：只有双射才有逆映射，记为 φ−1 。有限集合满⾜ |A|=|B| 且 φ 是 A 到 B 的⼀个映射，则 φ 是满射 ⟺ φ 是单射；推论：得出
φ 是双射。
相等映射 ： A 到 B 的映射 σ 和 τ 满⾜ ∀x∈A,σ(x)=τ(x) 。
映射合成/映射乘法： τ:A⟶B,σ:B⟶C ，则 x⟶σ(τ(x))(∀x∈A) 是 A 到 C 的⼀个映射，记为 στ(x) 。
代数运算：集合 M 的对应法则 M×M⟶M ，即任意两个有次序的元素 a 和 b 有唯⼀确定的元素 d 与它们对应。代数系统：有代数运算的
集合。（注意代数运算的封闭性。即 d∈M ）。⽤“乘法表”法表⽰有限集合的代数运算时，注意每列⾏⾸（第⼀列）是参与运算第⼀个元
素，每列列⾸（第⼀⾏）是第⼆个元素。
变换： 集合 A 到⾃⾝的映射。双射变换也叫⼀⼀变换。恒等变换是每个元素与⾃⾝对应的变换。含 n 个元素的任意集合共有 n! 个双射变
3D图形：矩阵、欧拉角、四元数与方位的故事
3D图形：矩阵、欧拉角、四元数与方位的故事
概述
又研究了将近两个星期的3D图形到了我最想研究的地方了,因为欧拉角与四元数的原因导致OpenGL ES的研究进度变缓,研究完这一块,我将教大家如何使用OpenGL ES做一个自转加公转的正立方体.效果如下.
方向、方位与角位移的区别
在说矩阵、欧拉角与四元数三种与角位移的关系之前,我们先来说说 方向、方位与角位移的区别.
在现实生活中,我们很少区分"方向"和"方位"的区别(非路痴观点),比如一个朋友来看望你,但是他可能在某一个公交站下车了,你去接他,但是找不到他,你急忙给他来一个电话"兄弟,你在哪个方向呢?"或者说是"兄弟,你在哪个方位呢?",如果不细细品味这两句话,其实感觉差异不是太大.通过一痛电话的扯,然后你们成功的面基了,但是你们却并不会在意"方向"和"方位"的区别.那么在几何中,这两者到底有什么差异呢?
这里我就盗用一下书上的例子,比如一个向量如果沿着自己的方向选择是不会改变自身任何属性的,如下图所示,因为向量是只有方向没有方位的.
那么对于一个物体,情况却是不一样的,一个物体如果朝向某一个方向的时候,然后自转,那么这个物体是会发生空间上的改变的,如下图一个锥体的自转,那么它的空间位置是发生改变的,也就是锥体的方位发生了改变了.
上面让我们对物体的方向和方位的区别有了一个大体上的了解,那么我们在空间中如何描述一个方位呢?这就需要使用到角位移了.
我们先说一个类似的例子,我们该如何描述空间中一个物体的位置呢?必须要把物体放在特定的坐标系中(好像很生涩).比如,如果我们说在一个坐标系中,有一个点是[1,1,1],那么你会非常轻易的想到了这个点在空间中的位置.描述空间位置其实就是描述相对于给定参考点(坐标原点)的位移.
其实,描述一个物体的方位是一样的,我们是不可能凭空描述一个物体的方位,我盟需要一个已知方位的参考量,通过这个参考量的旋转得到当前方位,那么旋转的量就叫做角位移.通过概念我们知道,角位移就是用来描述方位的,类似于速度就是用来描述物体运动快慢的一样.当然了,这里我要声明的一点就是虽然角位移是用来描述方位的,但是两者是不同的.例如,我们可以这么说,一个物体的方位是如何如何的;一个物体是通过某个已知方位经过角位移XXX旋转得到.所以说,方位是用来描述一个单一的"状态".但是角位移是用来描述两个状态之间的差异.
第四章四元数在3D物体姿态变化中的应用_2
第四章 四元数在3D物体姿态变化中的应用
4.1引言
对于三维仿真系统中鱼雷运动的可视化研究，一般的仿真系统采用了按照鱼雷的六
自由度参数来直接驱动模型的视景仿真。为了保证计算速度，往往需要在计算运动方程
时选取较大的计算步长，这样有时会无法实现仿真运动的光滑和连续，甚至出现鱼雷运
动跳跃的现象，如果选取较小的计算步长，那么计算速度的降低同样会影响到鱼雷的可
视化效果。
目前，国内的仿真系统里用来解决此问题的专用软件模块十分少见。本课题着重研
究了四元数在三维仿真系统中的应用，包括利用四元数对物体进行自由旋转和利用四元
数来解决鱼雷运动可视化中的问题，本文利用四元数对模型姿态角变化进行插值，很好
地解决了上述的鱼雷运动可视化仿真中存在的矛盾。
4.2四元数简介
四元数是1843年由英国数学家William Rowan Hamilton发明的数学概念。它的出现
很好地把二维空间中的复数扩展到了三维空间。由于四元数的乘法不满足交换律，对它
的研究较实数和复数都要困难，以至在它出现后一个多世纪都得不到很好的应用。直到
1985年Ken Shoemake[20]将它引入计算机图形学之后，四元数在计算机动画和三维图形绘
制方面才得到实际的应用。随着计算机技术和图形学的发展，四元数所表现出来的优势
也日渐得到人们的重视。
4.2.1四元数记法
一个四元数包含了四个分量，一个标量分量和一个3D向量分量。也可以说是一个
实部，三个虚部，表示如式4.1所示： i = + +j +k Qwbcd (4.1) 式4.1中w , b , c , d为实数，i , j , k为虚数，满足i2= j2 = k2 =－1。四元数也可以表
示为：[w ,v] 或 [w , (x ,y ,z)]，其中w为标量，v＝(x ,y ,z)为矢量。
4.2.2四元数的运算
四元数的加减法和一般复数的加减法相同，也满足交换律和结合律。但是四元数的
乘法满足结合律但不满足交换律，这是与实数和复数最显著的不同[5]。
G2o使用——精选推荐
G2o使⽤
G2o(General Graph Optimization)：
上：SparseOptimizer 是需要维护的类。
它是⼀个Optimizable Graph，从⽽也是⼀个Hyper Graph。含有很多个顶点和很多个边。
Base Vertex 和 Base Edge 都是抽象的基类，⽽实际⽤的顶点和边，都是它们的派⽣类。
⽤ SparseOptimizer.addVertex 和 SparseOptimizer.addEdge 向⼀个图中添加顶点和边，最后调⽤ SparseOptimizer.optimize 完成优化。
下：在优化之前，需要指定求解器和迭代算法。
⼀个 SparseOptimizer 拥有⼀个 Optimization Algorithm，继承⾃Gauss-Newton, Levernberg-Marquardt, Powell's dogleg 三者之⼀。
同时，这个 Optimization Algorithm 拥有⼀个Solver，它含有两个部分。⼀个是 SparseBlockMatrix ，⽤于计算稀疏的雅可⽐和海塞； ⼀个是⽤于计算迭代过程中最关键的
⼀步 HΔx=−b，需要⼀个线性⽅程的求解器。⽽这个求解器，可以从 PCG, CSparse, Choldmod 三者选⼀。
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
// 曲线模型的顶点，模板参数：优化变量维度和数据类型
class CurveFittingVertex: public g2o::BaseVertex<3, Eigen::Vector3d>
{
public:
EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW
数学符号表——精选推荐
数学符号表
维基百科，自由的百科全书
跳转到：跳转到： 导航, , 搜索搜索
数学上，上，有一组常在数学表达式中出现的符号。有一组常在数学表达式中出现的符号。有一组常在数学表达式中出现的符号。数学工作者熟悉这些符号，数学工作者熟悉这些符号，数学工作者熟悉这些符号，不是不是
每次使用都加以说明。每次使用都加以说明。所以，所以，所以，对于数学初学者，对于数学初学者，对于数学初学者，下面的列表给出了很多常见的符下面的列表给出了很多常见的符
号包括名称、读法和应用领域。另外，第三栏有一个非正式的定义，第四栏有个
简单的例子。简单的例子。
注意，有时候不同符号有相同含义，而有些符号在不同的上下文中有不同的含义。
符号 名称
定义 举例 读法
数学领域
= 等号
x
= y
表示表示 x
和 y
是相同的
东西或其值相等。东西或其值相等。 1 + 1 = 2 等于等于
所有领域所有领域
≠ 不等号
x
≠ y
表示表示 x
和 y
不是相同
的东西或其值不相等。的东西或其值不相等。 1
≠ 2 不等于不等于
所有领域所有领域
< 严格不等
号x
< y
表示表示 x
小于y
。 3
< 4
> 小于，大于大于
x
> y
表示表示 x
大于y
。 5
> 4
序理论
≤
≥ 不等号
x
≤ y
表示表示 x
小于等于y
。
x
≥ y
表示表示 x
大于等于y
。 3
≤ 4 4；；5
≤ 5
5
≥ 4 4；；5
≥ 5 小于等于，
大于等于大于等于
序理论
+ 加号
4 + 6 4 + 6 表示表示表示 4 4 4 加加 6 6。。 2 + 7 = 9 加
算术
− 减号
9
− 4 4 表示表示表示 9 9 9 减减 4 4。。 8
− 3 = 5 减
算术
负号
−3 3 表示表示表示 3 3 3 的负数。的负数。的负数。
−(
−5) = 5 负
算术
补集
A
− B
表示包含所有属于表示包含所有属于 A
{1,2,4}
− {1,3,4} = {2}
惯导（1）——精选推荐
1. 基本公式:
转动惯量：dmrI2；动量定理：IwH，动量矩的方向与角速度w方向相同； （在转子陀螺的讨论中，常将转子具有的动量矩成为叫角动量，角动量的单位：1克力·厘米·秒=980达因·厘米·秒=980克·厘米2/秒） 动量矩定理：idtdHM（M与H的方向不一定相同）；陀螺力矩：wHMG； 哥式定理：rwdtdrdtdrmnnm；（mnw是坐标系n相对坐标系m的旋转角速度）
2、动量矩定理dHMdt的具体应用（陀螺进动问题）。H与M方向不一定相同。
3、机械转子陀螺仪的两个基本特性（进动性与定轴性）。对表观运动的解释。
（1）定轴性：根据动量矩定理：idtdHM，当M=0时，H相对惯性空间保持恒定不变，即转子自
转轴指向相对惯性空间恒定不变，这就是陀螺的定轴性。（2）表观运动：当自由陀螺的角运动与地球自
转角速度间的夹角0时，地球上的观察者所看到的陀螺自转轴以-iew为角速度作旋转，旋转所形
成的曲面为一圆锥，对称平行于地轴，半锥角为，陀螺的这种运动称为表观运动。（3）进动性：当
双自由度陀螺在某一环架轴上有作用力矩M时，陀螺绕另一环架轴以w作进动运动：角动量H以最短
路径倒向外力矩M，由此确定进动角速度的方向；进动角速度的大小由HMw确定。同时，一但存
在外力矩，就马上出现进动角速度，所以陀螺进动是一种无惯性运动。
4、陀螺进动的定量表示：HM（进动方程）。陀螺力矩gMH：（产生的原因：M是外部
施力者（内环）加到陀螺转子上去的，根据牛顿第三定律描述的作用和反作用关系，转子一定会对施力
者作用有反作用力矩Mg 、作用对象：内环）。
5、单自由度积分陀螺仪的传递函数（0D，0C）()()()(1)gIogksHssIsDss
6、挠性陀螺仪动力调谐的物理意义：动力调谐的实质上是平衡环的惯性力矩和陀螺力矩与弹性恢复力
近世代数杨子胥最新版题解-答(精选.)
近世代数
第一章 基本概念
§1. 1 1.
4.
5.
近世代数题解 §1. 2 2.
3. word.
近世代数题解 §1. 3
1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算．
2. 解 这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数nn．
3. 解 例如AB＝E与AB＝AB—A—B． 4.
5.
近世代数题解 §1. 4 1.
2.
3.解 1）略 2）例如规定
4．
5．略
近世代数题解 §1. 5
1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射．
2.略 3.
4.
5.
§1. 6 1.
2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性；
3)是等价关系；4)是等价关系．
3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4.
则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)． 5.
6.证 1）略2）
word. 7.
8.
9. word.
10.
word.
11.
word.
12.
第二章 群
§2. 1 群的定义和初步性质
一、主要内容
1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子．
2．群的初步性质
1)群中左单位元也是右单位元且惟一；
2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一：
3)半群G是群方程a x=b与y a=b在G中有解(a ,b∈G)．
4)有限半群作成群两个消去律成立．
二、释疑解难
有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种：
近世代数——精选推荐 2
近世代数
。个代数运算以定义个元素的集合上总共可、含有 n n 12n （ ）
）
（群。能作成
对运算集合、由全体正整数作成的 a b a G 2b = 3、循环群的⼦群仍是循环群。 （ ）4．正规⼦群的左陪集也⼀定是⼀个右陪集。（ ）
5．任何群G 都与其商群G/N 同态。 （ ）
13123321 61）（、=???? ??- （ ）
也是循环群是循环群，则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 78．整数环Z 的每个理想不⼀定是主理想。 （ ）
9．设环R 有单位元且每个⾮零元素都有逆元，若 | R |＞1，
则R ⼀定是体。（ ）10．⽆零因⼦的交换环不⼀定是整环。 （ ）
11．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。（ ）
2、什么是理想？3什么是体？
的⾏列式。是矩阵其中同态映射，且是满射，
的⼀个
到是：普通乘法，证明：，代数运算是数的；再令运算是⽅阵的普通乘法
数阶⽅阵作成的集合，代
上全体是数域分）令三、（A |A | M M |A |A F M n F M 15?→??=四、（15分）设G 是⼀个群，且H ≤G ，K ≤G ，
证明：H 与K 的交集是G 的⼀个⼦群。
五、（15分）设N 是群G 的任⼀正规⼦群，证明：G ~ G/N6、（15分）写出三次对称群S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}关于⼦群
H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。
⼀、判断题。！个双射变换个元素的任意集合共有
、含有 n n 1 2．在模8剩余类环Z 8中{}6,4,2,0 2>=
4．整数环Z 的每个理想都是主理想。 （ ）
⼆、单项选择题（每⼩题2分，共10分）1、关于半群的说法不正确的是： （ ）
（A ）半群是带有⼀个代数运算的代数系统；(B) 半群的乘法⼀定适合结合律；
(C) 半群的乘法不⼀定适合交换律；
（D) 半群中⼀定有单位元。2、设G 是⼀个群，H 是G 的⼀个⾮空⼦集，则H ≤G 的充要条件是 （ ）
姿态解析——精选推荐
姿态解析
什么是姿态解算
姿态解算也叫做姿态分析、姿态估计、姿态融合。姿态解算是根据IMU(惯性测量单元)数据（陀螺仪、加速度计、地磁计等）求解出飞⾏器
的空中姿态，所以也叫做IMU数据融合。
姿态解算的⽬的
姿态解算⽬的是获取飞⾏器机体坐标系在地球坐标系中的姿态⾓（也就是欧拉⾓)。但欧拉⾓不是直接测量的，⽽是通过IMU(惯性测量单元)
数据（陀螺仪、加速度计、地磁计等）通过Mahony互补滤波算法或其它算法解算出姿态⾓的。
什么是姿态
姿态通俗的说就是指站在地⾯上观察飞⾏器的俯仰(pitch)/横滚(roll)/航向(yaw)状态。飞⾏器需要实时知道当前⾃⼰的姿态，才能够根据需要
操控其接下来的动作，例如保持平稳，翻滚。
姿态表⽰⽅法
姿态有多种数学表⽰⽅式，常见的是四元数，欧拉⾓，⽅向余弦矩阵。他们各⾃有其⾃⾝的优点，在不同的领域使⽤不同的表⽰⽅式。在四
轴飞⾏器中通常使⽤的是四元数、欧拉⾓和⽅向余弦矩阵。
飞机姿态⾓是按欧拉概念定义的，故亦称欧拉⾓。飞机姿态⾓是由机体坐标系与地理坐标系之间的关系确定的，⽤航向⾓、俯仰⾓和横滚⾓
三个欧拉⾓表⽰。
第⼀张是绕x轴旋转pitch，第⼆张绕y轴旋转yaw，第三张是绕z轴旋转rol
欧拉⾓表⽰:
莱昂哈德·欧拉⽤欧拉⾓来描述刚体在三维欧⼏⾥得空间的取向。对于在三维空间⾥的⼀个参考系，任何坐标系的取向，都可以⽤三个欧拉⾓
来表现。参考系⼜称为实验室参考系，是静⽌不动的。⽽坐标系则固联于刚体，随着刚体的旋转⽽旋转。如下图的左数第⼀个图a 、β、y就
是欧拉⾓。后⾯紧跟的三个图演⽰了欧拉⾓是如何产⽣的，分别对应哪个⾓度。
四元数表⽰:
四元数是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿在1843年发现的数学概念。从明确的⾓度⽽⾔，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集
合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着⼀个四维空间，相对于复数为⼆维空间。